Номер 72, страница 18, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Понятие уравнения. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 72, страница 18.

Условие 2023.

72 Имеет ли корни уравнение и сколько:

а) $|x|=3,$

$|y|=-3,$

$|z|=0;$

б) $x^2=16,$

$x^2=-16,$

$x^2=0;$

В) $\frac{x(x-5)}{x}=0,$

$\frac{2(y+3)(y-6)}{y}=0,$

$-4z(z-1)(z+2)(z-3)(z+4)=0?$

Решение 2 (2023).

а)

Уравнение $|x| = 3$.
Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Расстояние 3 от начала координат имеют две точки: 3 и -3. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: имеет 2 корня.

Уравнение $|y| = -3$.
Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|y| \ge 0$ для любого $y$. Следовательно, модуль не может быть равен отрицательному числу -3.
Ответ: не имеет корней.

Уравнение $|z| = 0$.
Модуль числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Следовательно, уравнение имеет один корень: $z = 0$.
Ответ: имеет 1 корень.

б)

Уравнение $x^2 = 16$.
Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. $x = \pm\sqrt{16}$, что дает два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Ответ: имеет 2 корня.

Уравнение $x^2 = -16$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, квадрат числа не может быть равен отрицательному числу -16 (в области действительных чисел).
Ответ: не имеет действительных корней.

Уравнение $x^2 = 0$.
Квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Уравнение имеет один корень: $x = 0$.
Ответ: имеет 1 корень.

в)

Уравнение $\frac{x(x - 5)}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \ne 0$. На ОДЗ можно сократить $x$ в числителе и знаменателе: $x - 5 = 0$. Отсюда получаем $x = 5$. Этот корень удовлетворяет условию ОДЗ ($5 \ne 0$).
Ответ: имеет 1 корень.

Уравнение $\frac{2(y + 3)(y - 6)}{y} = 0$.
ОДЗ: $y \ne 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю: $2(y + 3)(y - 6) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $y + 3 = 0$ или $y - 6 = 0$. Получаем два корня: $y_1 = -3$ и $y_2 = 6$. Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ.
Ответ: имеет 2 корня.

Уравнение $-4z(z - 1)(z + 2)(z - 3)(z + 4) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель, содержащий переменную, к нулю:
$z = 0$;
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$;
$z + 2 = 0 \Rightarrow z = -2$;
$z - 3 = 0 \Rightarrow z = 3$;
$z + 4 = 0 \Rightarrow z = -4$.
Уравнение имеет пять различных корней.
Ответ: имеет 5 корней.

Условие 2010-2022.

72 Имеет ли корни уравнение и сколько:

a) $|x| = 3$

$|y| = -3$

$|z| = 0$

б) $x^2 = 16$

$x^2 = -16$

$x^2 = 0$

в) $\frac{x(x-5)}{x} = 0$

$\frac{2(y+3)(y-6)}{y} = 0$

$-4z(z-1)(z+2)(z-3)(z+4) = 0? $

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).