Номер 73, страница 18, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Понятие уравнения. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 73, страница 18.

Условие 2023.

73. Докажи, что корнем уравнения является любое число:

а) $ (-x)^2 = x^2 $;

б) $ (-x)^3 = -x^3 $;

в) $ 3(x - 4) = x - 2(6 - x) $;

г) $ |x| = |-x| $.

Решение 2 (2023).

а) Чтобы доказать, что уравнение $(-x)^2 = x^2$ верно для любого числа, необходимо показать, что левая часть тождественно равна правой. Преобразуем левую часть, используя свойство степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.
Представим $-x$ как произведение $-1$ и $x$:
$(-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2$
Поскольку $(-1)^2 = 1$, получаем:
$1 \cdot x^2 = x^2$
Таким образом, мы пришли к тождеству $x^2 = x^2$, которое справедливо для любого значения $x$.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

б) Докажем, что уравнение $(-x)^3 = -x^3$ верно для любого числа. Как и в предыдущем пункте, преобразуем левую часть, представив $-x$ как $-1 \cdot x$:
$(-x)^3 = (-1 \cdot x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3$
Поскольку $(-1)^3 = -1$, получаем:
$-1 \cdot x^3 = -x^3$
Мы получили тождество $-x^3 = -x^3$, которое справедливо для любого значения $x$.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

в) Чтобы доказать, что уравнение $3(x - 4) = x - 2(6 - x)$ верно для любого числа, упростим обе его части, раскрыв скобки.
Преобразуем левую часть:
$3(x - 4) = 3 \cdot x - 3 \cdot 4 = 3x - 12$
Преобразуем правую часть:
$x - 2(6 - x) = x - (2 \cdot 6 - 2 \cdot x) = x - 12 + 2x = (x + 2x) - 12 = 3x - 12$
Уравнение принимает вид $3x - 12 = 3x - 12$. Это тождество, которое верно при любом значении $x$. Если мы попробуем его решить, то получим $0 = 0$.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

г) Докажем, что уравнение $|x| = |-x|$ верно для любого числа, используя определение модуля числа. Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, и он всегда неотрицателен.
Рассмотрим три случая:
1. Если $x > 0$ (положительное число), то $|x| = x$. В этом случае $-x < 0$, и по определению модуля $|-x| = -(-x) = x$. Равенство $x = x$ верно.
2. Если $x < 0$ (отрицательное число), то $|x| = -x$. В этом случае $-x > 0$, и по определению модуля $|-x| = -x$. Равенство $-x = -x$ верно.
3. Если $x = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = |0| = 0$. Равенство $0 = 0$ верно.
Так как равенство выполняется для всех возможных значений $x$, оно является тождеством.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

Условие 2010-2022.

73 Докажи, что корнем уравнения является любое число:

а) $(-x)^2 = x^2$;

б) $(-x)^3 = -x^3$;

в) $3(x - 4) = x - 2(6 - x)$;

г) $|x| = |-x|$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).