Номер 81, страница 19, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Понятие уравнения. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 81, страница 19.

Условие 2023.

81 a) Реши уравнение методом проб и ошибок: $x (x + 12) = 64, x \in N.$

б) Реши уравнение методом перебора: $x (x - 9)(15 - x) = 70, x \in N.$

Решение 2 (2023).

а)

Дано уравнение $x(x+12)=64$, где $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$).
Решим его методом проб и ошибок, подставляя последовательно натуральные числа вместо $x$ и проверяя, выполняется ли равенство.

• При $x=1$: $1 \cdot (1+12) = 1 \cdot 13 = 13$. $13 \neq 64$.
• При $x=2$: $2 \cdot (2+12) = 2 \cdot 14 = 28$. $28 \neq 64$.
• При $x=3$: $3 \cdot (3+12) = 3 \cdot 15 = 45$. $45 \neq 64$.
• При $x=4$: $4 \cdot (4+12) = 4 \cdot 16 = 64$. $64 = 64$.

При $x=4$ равенство выполняется. Так как при увеличении $x$ значение левой части уравнения также будет увеличиваться, других натуральных корней у уравнения нет.
Ответ: $x=4$.

б)

Дано уравнение $x(x-9)(15-x)=70$, где $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$).
Решим его методом перебора.

Произведение в левой части уравнения равно положительному числу 70. Поскольку $x$ — натуральное число, то множитель $x$ всегда положителен ($x>0$). Чтобы произведение было положительным, два других множителя, $(x-9)$ и $(15-x)$, должны быть одного знака, то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны.

1. Предположим, что оба множителя положительны:
$x-9 > 0 \Rightarrow x > 9$
$15-x > 0 \Rightarrow x < 15$
Таким образом, $x$ должен быть натуральным числом, удовлетворяющим условию $9 < x < 15$. Возможные значения для $x$: $10, 11, 12, 13, 14$. Проверим их перебором.

• При $x=10$: $10 \cdot (10-9) \cdot (15-10) = 10 \cdot 1 \cdot 5 = 50$. $50 \neq 70$.
• При $x=11$: $11 \cdot (11-9) \cdot (15-11) = 11 \cdot 2 \cdot 4 = 88$. $88 \neq 70$.
• При $x=12$: $12 \cdot (12-9) \cdot (15-12) = 12 \cdot 3 \cdot 3 = 108$. $108 \neq 70$.
• При $x=13$: $13 \cdot (13-9) \cdot (15-13) = 13 \cdot 4 \cdot 2 = 104$. $104 \neq 70$.
• При $x=14$: $14 \cdot (14-9) \cdot (15-14) = 14 \cdot 5 \cdot 1 = 70$. $70 = 70$.

Значение $x=14$ является корнем уравнения.

2. Предположим, что оба множителя отрицательны:
$x-9 < 0 \Rightarrow x < 9$
$15-x < 0 \Rightarrow x > 15$
Не существует числа, которое одновременно меньше 9 и больше 15. В этом случае решений нет.

Следовательно, единственным натуральным решением уравнения является $x=14$.
Ответ: $x=14$.

Условие 2010-2022.

81 а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $x(x+12)=64, x \in N$.

б) Реши уравнение методом перебора: $x(x-9)(15-x)=70, x \in N$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).