Номер 96, страница 23, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Решение уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 96, страница 23.

Условие 2023.

96 Найди множество корней уравнения:

а) $x = -\frac{1}{6}x;$

б) $3,2 - 5a = -1,8a + 4;$

в) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18};$

г) $0,3n - (2,6 - 0,9n) = 1,2n + 3;$

д) $1\frac{5}{7}(d + 3) = -2(1 - d);$

е) $0,6(-2k + 3) - 0,4(9 - k) = -0,3(k - 9);$

ж) $\frac{5}{8}(m - 2) - \frac{2}{3}(m + 2) = m - 3;$

з) $\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0,14}{0,35}.$

Решение 2 (2023).

а)

$x = -\frac{1}{6}x$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения:
$x + \frac{1}{6}x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$(1 + \frac{1}{6})x = 0$
$(\frac{6}{6} + \frac{1}{6})x = 0$
$\frac{7}{6}x = 0$
Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Так как $\frac{7}{6} \neq 0$, то:
$x = 0$
Ответ: $\{0\}$

б)

$3,2 - 5a = -1,8a + 4$
Сгруппируем члены с переменной $a$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$-5a + 1,8a = 4 - 3,2$
Приведем подобные слагаемые:
$-3,2a = 0,8$
Найдем $a$, разделив обе части на $-3,2$:
$a = \frac{0,8}{-3,2} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$
$a = -0,25$
Ответ: $\{-0,25\}$

в)

$4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$\frac{25}{6} - \frac{4}{3}x = 4x + \frac{59}{18}$
Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$\frac{25}{6} - \frac{59}{18} = 4x + \frac{4}{3}x$
Приведем дроби к общему знаменателю. Для левой части это 18, для правой — 3:
$\frac{25 \cdot 3}{18} - \frac{59}{18} = \frac{4 \cdot 3}{3}x + \frac{4}{3}x$
$\frac{75 - 59}{18} = \frac{12x + 4x}{3}$
$\frac{16}{18} = \frac{16}{3}x$
Сократим дробь в левой части:
$\frac{8}{9} = \frac{16}{3}x$
Найдем $x$:
$x = \frac{8}{9} \div \frac{16}{3} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\{\frac{1}{6}\}$

г)

$0,3n - (2,6 - 0,9n) = 1,2n + 3$
Раскроем скобки:
$0,3n - 2,6 + 0,9n = 1,2n + 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$1,2n - 2,6 = 1,2n + 3$
Перенесем члены с $n$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$1,2n - 1,2n = 3 + 2,6$
$0 \cdot n = 5,6$
$0 = 5,6$
Получили неверное равенство, которое не зависит от значения переменной $n$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: $\emptyset$

д)

$1\frac{5}{7}(d + 3) = -2(1 - d)$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$.
$\frac{12}{7}(d + 3) = -2(1 - d)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$\frac{12}{7}d + \frac{36}{7} = -2 + 2d$
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателей:
$12d + 36 = -14 + 14d$
Сгруппируем члены с переменной $d$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$36 + 14 = 14d - 12d$
$50 = 2d$
$d = \frac{50}{2} = 25$
Ответ: $\{25\}$

е)

$0,6(-2k + 3) - 0,4(9 - k) = -0,3(k - 9)$
Раскроем скобки:
$-1,2k + 1,8 - 3,6 + 0,4k = -0,3k + 2,7$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-0,8k - 1,8 = -0,3k + 2,7$
Перенесем члены с $k$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$-1,8 - 2,7 = -0,3k + 0,8k$
$-4,5 = 0,5k$
Найдем $k$:
$k = \frac{-4,5}{0,5} = -9$
Ответ: $\{-9\}$

ж)

$\frac{5}{8}(m - 2) - \frac{2}{3}(m + 2) = m - 3$
Раскроем скобки:
$\frac{5}{8}m - \frac{10}{8} - \frac{2}{3}m - \frac{4}{3} = m - 3$
Сократим дробь $\frac{10}{8}$ до $\frac{5}{4}$:
$\frac{5}{8}m - \frac{5}{4} - \frac{2}{3}m - \frac{4}{3} = m - 3$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8, 4 и 3, которое равно 24:
$24(\frac{5}{8}m) - 24(\frac{5}{4}) - 24(\frac{2}{3}m) - 24(\frac{4}{3}) = 24(m - 3)$
$15m - 30 - 16m - 32 = 24m - 72$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-m - 62 = 24m - 72$
Перенесем члены с $m$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$72 - 62 = 24m + m$
$10 = 25m$
Найдем $m$:
$m = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$
Ответ: $\{0,4\}$

з)

$\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0,14}{0,35}$
Упростим правую часть уравнения:
$\frac{0,14}{0,35} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5}$
Получаем пропорцию:
$\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{2}{5}$
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $3 - 5x \neq 0$, откуда $x \neq \frac{3}{5}$.
Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5(4x - 3) = 2(3 - 5x)$
Раскроем скобки:
$20x - 15 = 6 - 10x$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$20x + 10x = 6 + 15$
$30x = 21$
$x = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0,7$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $0,7 \neq \frac{3}{5}$ (т.к. $0,7 \neq 0,6$). Корень подходит.
Ответ: $\{0,7\}$

Условие 2010-2022.

96 Найди множество корней уравнения:

а) $x = -\frac{1}{6}x;$

б) $3,2 - 5a = -1,8a + 4;$

в) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18};$

г) $0,3n - (2,6 - 0,9n) = 1,2n + 3;$

д) $1\frac{5}{7}(d + 3) = -2(1 - d);$

е) $0,6(-2k + 3) - 0,4(9 - k) = -0,3(k - 9);$

ж) $\frac{5}{8}(m - 2) - \frac{2}{3}(m + 2) = m - 3;$

з) $\frac{4x-3}{3-5x} = \frac{0,14}{0,35}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).