Номер 102, страница 24, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Решение уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 102, страница 24.

Условие 2023.

102 а) Миша придумал схему для правила перевода смешанной дроби в неправильную дробь (рис. 1). Расшифруй его схему.

б) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность. Выдели из найденных чисел целую часть.

$1\frac{1}{3}, 1\frac{3}{5}, 2\frac{2}{7}, 3\frac{5}{9} \dots$

Рис. 1

Решение 2 (2023).

а)

На схеме показано правило перевода смешанного числа в неправильную дробь. Чтобы получить числитель неправильной дроби, нужно знаменатель дробной части умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Знаменатель неправильной дроби остается таким же, как и у дробной части смешанного числа.

На примере числа $2\frac{1}{3}$, показанного на схеме:

1. Умножаем знаменатель (3) на целую часть (2): $3 \cdot 2 = 6$.

2. К результату прибавляем числитель (1): $6 + 1 = 7$.

3. Полученное число (7) становится новым числителем, а знаменатель (3) остается без изменений.

Таким образом, $2\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить прежним.

б)

Сначала представим все числа из заданного ряда в виде неправильных дробей:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

$3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$

Получился ряд неправильных дробей: $\frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{16}{7}, \frac{32}{9}, \dots$

Найдем закономерность. Числители дробей образуют последовательность, где каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего: $4, 8, 16, 32, \dots$ Знаменатели образуют последовательность нечетных чисел, начиная с 3, где каждое следующее число на 2 больше предыдущего: $3, 5, 7, 9, \dots$

Продолжим ряд на три числа, сохраняя эту закономерность:

- Следующий числитель: $32 \cdot 2 = 64$. Следующий знаменатель: $9 + 2 = 11$. Дробь: $\frac{64}{11}$.

- Следующий числитель: $64 \cdot 2 = 128$. Следующий знаменатель: $11 + 2 = 13$. Дробь: $\frac{128}{13}$.

- Следующий числитель: $128 \cdot 2 = 256$. Следующий знаменатель: $13 + 2 = 15$. Дробь: $\frac{256}{15}$.

Таким образом, продолжение ряда в виде неправильных дробей: $\frac{64}{11}, \frac{128}{13}, \frac{256}{15}$.

Теперь выделим целую часть из найденных чисел:

$\frac{64}{11} = 5\frac{9}{11}$ (так как $64 = 5 \cdot 11 + 9$)

$\frac{128}{13} = 9\frac{11}{13}$ (так как $128 = 9 \cdot 13 + 11$)

$\frac{256}{15} = 17\frac{1}{15}$ (так как $256 = 17 \cdot 15 + 1$)

Ответ: Ряд, представленный в виде неправильных дробей: $\frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{16}{7}, \frac{32}{9}, \frac{64}{11}, \frac{128}{13}, \frac{256}{15}, \dots$ Целые части из трех найденных чисел: $5$, $9$, $17$.

Условие 2010-2022.

102 a) Миша придумал схему для правила перевода смешанного числа в неправильную дробь (рис. 1). Расшифруй его схему.

б) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность. Выдели из найденных чисел целую часть.

$1\frac{1}{3}, 1\frac{3}{5}, 2\frac{2}{7}, 3\frac{5}{9} \dots$

Рис. 1

$(2 \odot 3) \oplus 1$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).