Номер 104, страница 24, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Решение уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 104, страница 24.

Условие 2023.

104 Какие способы сравнения дробей ты знаешь? Сравни дроби:

а) $\frac{3}{17}$ и $\frac{8}{17}$;

б) $\frac{16}{37}$ и $\frac{16}{49}$;

в) $\frac{5}{3}$ и $\frac{18}{19}$;

г) $2\frac{1}{5}$ и $3\frac{2}{5}$;

д) $\frac{15}{16}$ и $\frac{17}{18}$;

е) $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$;

ж) $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{20}$;

з) $\frac{25}{6}$ и $\frac{17}{4}$.

Решение 2 (2023).

Существует несколько способов сравнения дробей:

• Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
• Сравнение дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
• Приведение к общему знаменателю: если у дробей разные числители и знаменатели, их можно привести к общему знаменателю. Затем сравнить как дроби с одинаковыми знаменателями.
• Сравнение с единицей: если одна дробь правильная (меньше 1), а другая неправильная (больше или равна 1), то неправильная дробь всегда больше.
• Сравнение "дополнений" до единицы: для правильных дробей, близких к 1, можно сравнить, какой дроби "не хватает" до единицы. Больше будет та дробь, которой не хватает меньше.
• Перевод в десятичную дробь: можно перевести обыкновенные дроби в десятичные и сравнить их.
• Сравнение смешанных чисел: сначала сравнивают целые части. Больше то число, у которого целая часть больше. Если целые части равны, сравнивают дробные части.
• Перекрестное умножение: чтобы сравнить дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, можно сравнить произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$. Если $a \cdot d > b \cdot c$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.

а) Сравним дроби $\frac{3}{17}$ и $\frac{8}{17}$.
У этих дробей одинаковые знаменатели (17). Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Сравниваем числители: $3 < 8$.
Следовательно, $\frac{3}{17} < \frac{8}{17}$.
Ответ: $\frac{3}{17} < \frac{8}{17}$.

б) Сравним дроби $\frac{16}{37}$ и $\frac{16}{49}$.
У этих дробей одинаковые числители (16). Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.
Сравниваем знаменатели: $37 < 49$.
Следовательно, $\frac{16}{37} > \frac{16}{49}$.
Ответ: $\frac{16}{37} > \frac{16}{49}$.

в) Сравним дроби $\frac{5}{3}$ и $\frac{18}{19}$.
Используем метод сравнения с единицей.
Дробь $\frac{5}{3}$ является неправильной, так как числитель $5$ больше знаменателя $3$. Значит, $\frac{5}{3} > 1$.
Дробь $\frac{18}{19}$ является правильной, так как числитель $18$ меньше знаменателя $19$. Значит, $\frac{18}{19} < 1$.
Поскольку $\frac{5}{3} > 1$, а $\frac{18}{19} < 1$, то $\frac{5}{3} > \frac{18}{19}$.
Ответ: $\frac{5}{3} > \frac{18}{19}$.

г) Сравним смешанные числа $2\frac{1}{5}$ и $3\frac{2}{5}$.
При сравнении смешанных чисел сначала сравниваем их целые части.
Сравниваем целые части: $2 < 3$.
Поскольку целая часть первого числа меньше целой части второго числа, то и само первое число меньше второго.
Следовательно, $2\frac{1}{5} < 3\frac{2}{5}$.
Ответ: $2\frac{1}{5} < 3\frac{2}{5}$.

д) Сравним дроби $\frac{15}{16}$ и $\frac{17}{18}$.
Обе дроби правильные и близки к единице. Сравним, сколько каждой дроби не хватает до 1.
Для первой дроби: $1 - \frac{15}{16} = \frac{16}{16} - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
Для второй дроби: $1 - \frac{17}{18} = \frac{18}{18} - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$.
Теперь сравним "недостающие" части: $\frac{1}{16}$ и $\frac{1}{18}$. У них одинаковые числители, значит больше та дробь, у которой знаменатель меньше. $16 < 18$, следовательно $\frac{1}{16} > \frac{1}{18}$.
Так как от единицы в первом случае отнимается большая часть, то результат будет меньше.
Следовательно, $\frac{15}{16} < \frac{17}{18}$.
Ответ: $\frac{15}{16} < \frac{17}{18}$.

е) Сравним дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$.
У дробей разные числители и знаменатели. Приведем их к общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель для 9 и 11 это их произведение: $9 \cdot 11 = 99$.
Приведем первую дробь к знаменателю 99: $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 99: $\frac{6}{11} = \frac{6 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{54}{99}$.
Теперь сравним дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{44}{99}$ и $\frac{54}{99}$.
Сравниваем числители: $44 < 54$.
Следовательно, $\frac{44}{99} < \frac{54}{99}$, а значит $\frac{4}{9} < \frac{6}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{9} < \frac{6}{11}$.

ж) Сравним дроби $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $13 \cdot 20 = 260$.
$\frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 20}{13 \cdot 20} = \frac{100}{260}$.
$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 13}{20 \cdot 13} = \frac{91}{260}$.
Сравним полученные дроби: $\frac{100}{260}$ и $\frac{91}{260}$.
Так как $100 > 91$, то $\frac{100}{260} > \frac{91}{260}$.
Следовательно, $\frac{5}{13} > \frac{7}{20}$.
Ответ: $\frac{5}{13} > \frac{7}{20}$.

з) Сравним дроби $\frac{25}{6}$ и $\frac{17}{4}$.
Обе дроби неправильные. Преобразуем их в смешанные числа.
$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$ (так как $25 = 4 \cdot 6 + 1$).
$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$ (так как $17 = 4 \cdot 4 + 1$).
Целые части у смешанных чисел одинаковы (равны 4). Теперь нужно сравнить их дробные части: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{4}$.
У этих дробей одинаковые числители (1). Больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Сравниваем знаменатели: $6 > 4$.
Следовательно, $\frac{1}{6} < \frac{1}{4}$.
А значит, $4\frac{1}{6} < 4\frac{1}{4}$.
Таким образом, $\frac{25}{6} < \frac{17}{4}$.
Ответ: $\frac{25}{6} < \frac{17}{4}$.

Условие 2010-2022.

104 Какие способы сравнения дробей ты знаешь? Сравни дроби:

а) $\frac{3}{17}$ и $\frac{8}{17}$;

б) $\frac{16}{37}$ и $\frac{16}{49}$;

в) $\frac{5}{3}$ и $\frac{18}{19}$;

г) $2\frac{1}{5}$ и $3\frac{2}{5}$;

д) $\frac{15}{16}$ и $\frac{17}{18}$;

е) $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$;

ж) $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{20}$;

з) $\frac{25}{6}$ и $\frac{17}{4}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).