Номер 107, страница 25, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Решение уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 107, страница 25.

Условие 2023.

107 Найди множество натуральных корней уравнения:

а) $5x^2 - 7x - 24 = 0;$

б) $4x(x - 3)(7 - x) = 80.$

Решение 2 (2023).

a) $5x^2 - 7x - 24 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-7$, $c=-24$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 49 + 480 = 529$

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 23}{10}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{7 + 23}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Второй корень:

$x_2 = \frac{7 - 23}{10} = \frac{-16}{10} = -1.6$

Согласно условию, необходимо найти множество натуральных корней. Натуральные числа — это целые положительные числа. Из двух найденных корней только $x_1 = 3$ является натуральным числом.

Ответ: $\{3\}$

б) $4x(x - 3)(7 - x) = 80$

Сначала упростим уравнение, разделив обе его части на 4:

$x(x - 3)(7 - x) = 20$

Мы ищем натуральные корни, то есть $x$ должен быть целым положительным числом ($x \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Левая часть уравнения представляет собой произведение трех множителей. Чтобы их произведение было положительным числом (20), либо все три множителя должны быть положительными, либо один из них должен быть положительным, а два — отрицательными.

Случай 1: Все множители положительны.

$x > 0$ (выполняется, так как $x$ — натуральное число)

$x - 3 > 0 \implies x > 3$

$7 - x > 0 \implies x < 7$

Следовательно, нам нужно проверить натуральные числа $x$, удовлетворяющие условию $3 < x < 7$. Это числа 4, 5, 6.

• При $x=4$: $4 \cdot (4-3) \cdot (7-4) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$. Не равно 20.
• При $x=5$: $5 \cdot (5-3) \cdot (7-5) = 5 \cdot 2 \cdot 2 = 20$. Это является решением.
• При $x=6$: $6 \cdot (6-3) \cdot (7-6) = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18$. Не равно 20.

Случай 2: Один множитель положителен, два — отрицательны.

Поскольку $x$ — натуральное число, множитель $x$ всегда положителен. Значит, два других множителя, $(x-3)$ и $(7-x)$, должны быть отрицательными.

$x - 3 < 0 \implies x < 3$

$7 - x < 0 \implies x > 7$

Не существует числа, которое было бы одновременно меньше 3 и больше 7, поэтому в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным натуральным корнем уравнения является $x=5$.

Ответ: $\{5\}$

Условие 2010-2022.

107 Найди множество натуральных корней уравнения:

а) $5x^2 - 7x - 24 = 0$;

б) $4x(x - 3)(7 - x) = 80$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).