Номер 114, страница 26, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Решение уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 114, страница 26.

Условие 2023.

114* На гробнице замечательного математика древности Диофанта надпись состав-лена в форме задачи. Реши её, пользуясь одним из переводов этой надписи:

Прах Диофанта гробница покоит:

дивись ей – и камень

Мудрым искусством его

скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни

он прожил ребёнком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая,

с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской

возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. П. Боброва)

Решение 2 (2023).

Это классическая задача-эпитафия, для решения которой нужно составить и решить линейное уравнение. Обозначим за $x$ общее количество лет, прожитых Диофантом.

1. Анализ условия и составление математической модели

Разложим всю жизнь Диофанта на последовательные периоды, описанные в эпитафии, и выразим их через $x$:

• Детство ("шестую часть жизни"): $\frac{1}{6}x$ лет.
• Юность ("половину шестой", т.е. $\frac{1}{2}$ от $\frac{1}{6}$): $\frac{1}{12}x$ лет.
• Период до женитьбы ("минула седьмая"): $\frac{1}{7}x$ лет.
• После женитьбы до рождения сына: $5$ лет.
• Период, в течение которого жил его сын ("полжизни отцовской"): $\frac{1}{2}x$ лет.
• Период скорби после смерти сына ("Дважды два года"): $2 \times 2 = 4$ года.

Сумма всех этих периодов составляет полную продолжительность жизни Диофанта, $x$.

2. Составление и решение уравнения

На основе вышеизложенного составим уравнение:

$$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$$

Сначала упростим правую часть, сложив числа:

$$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 9$$

Теперь перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$$x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2} = 9$$

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6, 12, 7, 2 равно 84.

$$\frac{84x}{84} - \frac{14x}{84} - \frac{7x}{84} - \frac{12x}{84} - \frac{42x}{84} = 9$$

Объединим дроби в левой части:

$$\frac{84x - 14x - 7x - 12x - 42x}{84} = 9$$

Выполним вычитание в числителе:

$$\frac{9x}{84} = 9$$

Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 84 и разделим на 9:

$$x = \frac{9 \times 84}{9}$$

$$x = 84$$

3. Проверка решения

Подставим найденное значение $x=84$ и проверим длительность каждого периода:

• Детство: $\frac{84}{6} = 14$ лет.
• Юность: $\frac{84}{12} = 7$ лет.
• До женитьбы: $\frac{84}{7} = 12$ лет.
• До рождения сына: 5 лет.
• Сын жил: $\frac{84}{2} = 42$ года.
• Диофант скорбел: 4 года.

Сумма всех периодов: $14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84$ года. Решение верно.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Условие 2010-2022.

114 На гробнице замечательного математика древности Диофанта надпись составлена в форме задачи. Реши ее, пользуясь одним из переводов этой надписи:

Прах Диофанта гробница покоит:

дивись ей – и камень

Мудрым искусством его

скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни

он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая –

с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской

возлюбленный сын его прожил –

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).