Номер 87, страница 22, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции - номер 87, страница 22.

Условие 2023.

87 Размеры фигур, приведённых на рис. 1 и 2, были увеличены в отношении 3 : 2.

1) Вырази увеличение изображения в процентах.

2) Изобрази в тетради копию чертежа, приведённого на рис. 1, произведя необходимые измерения и вычисления.

3) По копии чертежа, приведённого на рис. 2, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертёж в тетради.

Рис. 1

Рис. 2

Решение 2 (2023).

1)

Размеры фигур были увеличены в отношении $3:2$. Это означает, что новый размер относится к старому как $3$ к $2$. Найдем коэффициент увеличения, разделив новую пропорцию на старую: $k = 3 / 2 = 1.5$.

Это значит, что новые размеры составляют $1.5$ от старых размеров. Чтобы выразить это в процентах, умножим на $100\%$: $1.5 \times 100\% = 150\%$.

Новый размер составляет $150\%$ от оригинального. Увеличение изображения — это разница между новым размером в процентах и оригинальным (который составляет $100\%$): $150\% - 100\% = 50\%$.

Ответ: Увеличение изображения составляет $50\%$.

2)

Чтобы изобразить увеличенную копию фигуры с рис. 1, нужно сначала измерить оригинальные размеры, а затем умножить их на коэффициент увеличения $k=1.5$.

1. С помощью линейки измеряем диагонали четырехугольника ABCD и отрезки, на которые они делятся точкой пересечения O. Допустим, измерения дали следующие результаты (ваши измерения могут немного отличаться):
   • Длина диагонали AC = $3.6$ см.
   • Длина диагонали BD = $2.4$ см.
   • Длина отрезка AO = $1.6$ см.
   • Длина отрезка OC = $2.0$ см.
   • Длина отрезков BO = OD = $1.2$ см.
2. Вычисляем размеры для новой, увеличенной фигуры, умножая каждый размер на $1.5$:
   • Новая длина AC' = $3.6 \text{ см} \times 1.5 = 5.4$ см.
   • Новая длина BD' = $2.4 \text{ см} \times 1.5 = 3.6$ см.
   • Новая длина AO' = $1.6 \text{ см} \times 1.5 = 2.4$ см.
   • Новая длина OC' = $2.0 \text{ см} \times 1.5 = 3.0$ см.
   • Новая длина BO' = OD' = $1.2 \text{ см} \times 1.5 = 1.8$ см.
3. Строим новый чертеж по вычисленным размерам:
   • Начертите отрезок AC' длиной $5.4$ см.
   • На этом отрезке отметьте точку O' так, чтобы AO' = $2.4$ см (и, соответственно, O'C' = $3.0$ см).
   • Через точку O' проведите прямую, перпендикулярную AC'.
   • На этой прямой отложите от точки O' отрезки O'B' и O'D' длиной $1.8$ см в разные стороны.
   • Соедините точки A, B', C', D' последовательно. Полученный четырехугольник A'B'C'D' будет искомой копией.

Ответ: Для построения копии необходимо использовать вычисленные увеличенные размеры: диагонали $5.4$ см и $3.6$ см, с точкой пересечения, делящей их на отрезки $2.4$ см, $3.0$ см и $1.8$ см, $1.8$ см соответственно.

3)

По условию, чертеж на рис. 2 — это увеличенная копия. Чтобы восстановить оригинальные размеры, нужно размеры этой копии умножить на обратный коэффициент, то есть на $2/3$.

1. Измеряем ключевые размеры трапеции KLMN на рис. 2. Допустим, измерения дали следующие результаты:
   • Длина верхнего основания LM = $2.1$ см.
   • Длина нижнего основания KN = $4.5$ см.
   • Высота LE (и MF) = $2.4$ см.
2. Вычисляем оригинальные размеры, умножая каждый измеренный размер на $2/3$:
   • Оригинальная длина LM = $2.1 \text{ см} \times (2/3) = 1.4$ см.
   • Оригинальная длина KN = $4.5 \text{ см} \times (2/3) = 3.0$ см.
   • Оригинальная высота LE = $2.4 \text{ см} \times (2/3) = 1.6$ см.
3. Строим оригинальный чертеж по вычисленным размерам:
   • Начертите нижнее основание KN длиной $3.0$ см.
   • Из точек K и N проведите две параллельные прямые, перпендикулярные KN.
   • На высоте $1.6$ см проведите прямую, параллельную KN.
   • На этой прямой постройте верхнее основание LM длиной $1.4$ см так, чтобы трапеция была симметричной (если она выглядит таковой на рисунке). Для этого от середины KN отложите по $0.7$ см в обе стороны и из этих точек проведите перпендикуляры до пересечения с верхней параллельной прямой. Это будут точки L и M.
   • Соедините точки K с L и N с M. Полученная трапеция будет оригиналом.

Ответ: Оригинальные размеры трапеции: верхнее основание $1.4$ см, нижнее основание $3.0$ см, высота $1.6$ см.

Условие 2010-2022.

87 Размеры фигур, приведенных на рисунках 1 и 2, были увеличены в отношении $3 : 2$.

1) Вырази увеличение изображения в процентах.

2) Изобрази в тетради копию чертежа, приведенного на рис. 1, произведя необходимые измерения и вычисления.

3) По копии чертежа, приведенного на рис. 2, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертеж в тетради.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).