Номер 81, страница 21, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции. Параграф 3. Отношения. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 81, страница 21.

Условие 2023.

81 Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, равное 36 км, за 40 мин, а легковой автомобиль – на 40 % быстрее. Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Решение 2 (2023).

Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти скорости автобуса и легкового автомобиля, затем найти их скорость сближения и, наконец, рассчитать время до встречи.

1. Найдем скорость автобуса ($v_{авт}$).
Расстояние $S = 36$ км.
Время, за которое автобус проходит это расстояние, $t_{авт} = 40$ мин. Для удобства расчетов переведем минуты в часы:
$40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Скорость автобуса вычисляется по формуле $v = S/t$:
$v_{авт} = \frac{36}{\frac{2}{3}} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$ км/ч.

2. Найдем скорость легкового автомобиля ($v_{л.а.}$).
По условию, легковой автомобиль на 40% быстрее автобуса. Это означает, что его скорость на 40% больше скорости автобуса.
$v_{л.а.} = v_{авт} + 0.4 \cdot v_{авт} = 1.4 \cdot v_{авт}$
$v_{л.а.} = 1.4 \cdot 54 = 75.6$ км/ч.

3. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$).
Поскольку транспортные средства движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_{авт} + v_{л.а.} = 54 + 75.6 = 129.6$ км/ч.

4. Найдем время до встречи ($t_{встр}$).
Время до встречи можно найти, разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{36}{129.6}$ ч.
Упростим полученную дробь:
$\frac{36}{129.6} = \frac{360}{1296} = \frac{10 \cdot 36}{36 \cdot 36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ ч.

5. Переведем время встречи в минуты и секунды для более наглядного ответа.
$t_{встр} = \frac{5}{18} \cdot 60 = \frac{300}{18} = \frac{50}{3}$ мин.
Представим результат в виде смешанной дроби:
$\frac{50}{3} \text{ мин} = 16 \frac{2}{3} \text{ мин}$.
Так как $\frac{2}{3}$ минуты — это $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ секунд, то время встречи составит 16 минут 40 секунд.

Ответ: Они встретятся через $16 \frac{2}{3}$ минуты, или через 16 минут 40 секунд.

Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Да, в условии этой задачи есть лишнее данное. Этим данным является расстояние между пунктами, равное 36 км. Задачу можно решить, не зная конкретного значения расстояния.
Докажем это аналитически.

Пусть $S$ — расстояние между пунктами, $t_{авт}$ — время автобуса в пути (40 мин), $v_{авт}$ и $v_{л.а.}$ — скорости автобуса и автомобиля соответственно.
Из условия мы знаем:
$v_{авт} = \frac{S}{t_{авт}}$
$v_{л.а.} = 1.4 \cdot v_{авт} = 1.4 \cdot \frac{S}{t_{авт}}$
Время до встречи $t_{встр}$ находится по формуле:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{S}{v_{авт} + v_{л.а.}}$
Подставим в эту формулу выражения для скоростей:
$t_{встр} = \frac{S}{\frac{S}{t_{авт}} + 1.4 \cdot \frac{S}{t_{авт}}}$
Вынесем $S$ за скобки в знаменателе:
$t_{встр} = \frac{S}{S \cdot (\frac{1}{t_{авт}} + \frac{1.4}{t_{авт}})}$
Как видно, расстояние $S$ в числителе и знаменателе сокращается:
$t_{встр} = \frac{1}{\frac{1 + 1.4}{t_{авт}}} = \frac{1}{\frac{2.4}{t_{авт}}} = \frac{t_{авт}}{2.4}$
Таким образом, для нахождения времени встречи достаточно знать только время автобуса $t_{авт}$ и соотношение скоростей. Подставим значение $t_{авт} = 40$ мин:
$t_{встр} = \frac{40 \text{ мин}}{2.4} = \frac{400}{24} = \frac{50}{3}$ мин.
Результат совпадает с полученным ранее, что доказывает, что значение расстояния не является необходимым для решения задачи.

Ответ: Да, лишнее данное — расстояние в 36 км.

Условие 2010-2022.

81 Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, равное 36 км, за 40 мин, а легковой автомобиль – на 40% быстрее. Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).