Номер 74, страница 20, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции - номер 74, страница 20.

Условие 2023.

74 Математическое исследование

1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды $AB$ и $CD$ этой окружности, пересекающиеся в точке $O$. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой $O$. Сравни произведения $AO \cdot OB$ и $CO \cdot OD$.

2) Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?

3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

Решение 2 (2023).

1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды AB и CD этой окружности, пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения AO • OB и CO • OD.

Для выполнения этого задания проведем мысленный эксперимент. Начертим окружность и две пересекающиеся в точке О хорды AB и CD, как показано на рисунке. С помощью линейки измерим длины отрезков, на которые точка О делит хорды.

Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения:

• $AO = 3$ см
• $OB = 8$ см
• $CO = 4$ см
• $OD = 6$ см

Теперь найдем произведения длин этих отрезков для каждой хорды:

$AO \cdot OB = 3 \cdot 8 = 24$

$CO \cdot OD = 4 \cdot 6 = 24$

Сравнивая полученные произведения, мы видим, что они равны: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

Ответ: Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

2) Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?

Повторив эксперимент еще несколько раз с другими окружностями и хордами, мы каждый раз будем получать, что произведения отрезков, на которые хорды делятся точкой пересечения, равны (с учетом возможной погрешности измерений).

На основании этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу: если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Однако, на основании нескольких экспериментов нельзя считать гипотезу доказанной. Эксперимент, даже многократно повторенный, является лишь частным случаем и не может охватить все возможные варианты расположения хорд. Математическое утверждение требует строгого логического доказательства, которое было бы верно для любой окружности и любых двух пересекающихся в ней хорд. Такое доказательство существует и основывается на подобии треугольников. Если соединить точки A, C и B, D, то можно доказать, что треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$ подобны, из чего и следует равенство $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

Ответ: Замечено, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Гипотеза: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$. Считать гипотезу доказанной на основании исследования нельзя, так как эксперимент не является строгим математическим доказательством.

3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

Из полученного в ходе исследования равенства $AO \cdot OB = CO \cdot OD$ можно составить несколько пропорций. Пропорция — это равенство двух отношений.

Для этого разделим обе части равенства на определенные множители:

1. Разделим обе части равенства на $OB \cdot OD$ (при условии, что $OB \neq 0$ и $OD \neq 0$, что выполняется, так как это длины отрезков):

$\frac{AO \cdot OB}{OB \cdot OD} = \frac{CO \cdot OD}{OB \cdot OD}$

$\frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB}$

Эту пропорцию можно записать как $AO : OD = CO : OB$.

2. Разделим обе части равенства на $CO \cdot OB$ (при условии, что $CO \neq 0$ и $OB \neq 0$):

$\frac{AO \cdot OB}{CO \cdot OB} = \frac{CO \cdot OD}{CO \cdot OB}$

$\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$

Эту пропорцию можно записать как $AO : CO = OD : OB$.

Эти пропорции показывают, что отрезки одной хорды обратно пропорциональны соответствующим отрезкам другой хорды.

Ответ: Из равенства $AO \cdot OB = CO \cdot OD$ можно составить следующие пропорции: $\frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB}$ и $\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$.

Условие 2010-2022.

74 Математическое исследование.

1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды $AB$ и $CD$ этой окружности, пересекающиеся в точке $O$. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой $O$. Сравни произведения $AO \cdot OB$ и $CO \cdot OD$.

2) Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной?

3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).