Номер 67, страница 19, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции. Параграф 3. Отношения. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 67, страница 19.

Условие 2023.

67 Реши уравнения:

1) $5,4 : a = 1,8 : 6,8;$

2) $b : \frac{6}{7} = 5\frac{4}{9} : 4\frac{2}{3};$

3) $\frac{720}{91,2} = \frac{c}{0,513};$

4) $\frac{4,2}{7\frac{5}{7}} = \frac{3\frac{1}{9}}{d};$

5) $2,4 : (0,5k) = 3,6 : 1\frac{2}{3};$

6) $7 : \left(\frac{4}{11}m\right) = 56 : 3,2;$

7) $\frac{8n}{9} = \frac{6,4}{0,45};$

8) $\frac{2,1}{27} = \frac{2\frac{1}{3}}{0,3p};$

9) $4 : (x - 3) = 2 : 3;$

10) $\frac{2y + 1,6}{0,8} = \frac{30}{2,5};$

11) $\frac{1,5}{4x - 1} = \frac{0,4}{x + 4};$

12) $\frac{5y}{1\frac{1}{3}} = \frac{y - 0,9}{0,2};$

Решение 2 (2023).

1) $5,4 : a = 1,8 : 6,8$

Это пропорция. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции $a$, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член.

$a = \frac{5,4 \cdot 6,8}{1,8}$

Сократим $5,4$ и $1,8$ на $1,8$:

$a = 3 \cdot 6,8$

$a = 20,4$

Ответ: $20,4$

2) $b : \frac{6}{7} = 5\frac{4}{9} : 4\frac{2}{3}$

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $b$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Получаем пропорцию: $b : \frac{6}{7} = \frac{49}{9} : \frac{14}{3}$

$b = \frac{\frac{6}{7} \cdot \frac{49}{9}}{\frac{14}{3}} = \frac{6 \cdot 49}{7 \cdot 9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 7}{3} \cdot \frac{3}{14} = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{14} = 1$

Ответ: $1$

3) $\frac{720}{91,2} = \frac{c}{0,513}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).

$91,2 \cdot c = 720 \cdot 0,513$

$91,2 \cdot c = 369,36$

$c = \frac{369,36}{91,2}$

$c = 4,05$

Ответ: $4,05$

4) $\frac{4,2}{7\frac{5}{7}} = \frac{3\frac{1}{9}}{d}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и десятичную дробь в обыкновенную.

$4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$

$7\frac{5}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{54}{7}$

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$

Подставляем в уравнение:

$\frac{\frac{21}{5}}{\frac{54}{7}} = \frac{\frac{28}{9}}{d}$

По основному свойству пропорции:

$\frac{21}{5} \cdot d = \frac{54}{7} \cdot \frac{28}{9}$

$\frac{21}{5} \cdot d = \frac{6 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 9} = 6 \cdot 4 = 24$

$d = 24 : \frac{21}{5} = 24 \cdot \frac{5}{21} = \frac{8 \cdot 5}{7} = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$

Ответ: $5\frac{5}{7}$

5) $2,4 : (0,5k) = 3,6 : 1\frac{2}{3}$

Преобразуем $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

$2,4 \cdot \frac{5}{3} = 0,5k \cdot 3,6$

$\frac{2,4 \cdot 5}{3} = 1,8k$

$0,8 \cdot 5 = 1,8k$

$4 = 1,8k$

$k = \frac{4}{1,8} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$

Ответ: $2\frac{2}{9}$

6) $7 : (\frac{4}{11}m) = 56 : 3,2$

Используем основное свойство пропорции:

$7 \cdot 3,2 = \frac{4}{11}m \cdot 56$

$22,4 = \frac{224}{11}m$

$m = 22,4 : \frac{224}{11} = \frac{224}{10} \cdot \frac{11}{224}$

$m = \frac{11}{10} = 1,1$

Ответ: $1,1$

7) $\frac{8n}{9} = \frac{6,4}{0,45}$

По основному свойству пропорции:

$8n \cdot 0,45 = 9 \cdot 6,4$

$3,6n = 57,6$

$n = \frac{57,6}{3,6} = \frac{576}{36}$

$n = 16$

Ответ: $16$

8) $\frac{2,1}{27} = \frac{2\frac{1}{3}}{0,3p}$

Преобразуем $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

$2,1 \cdot 0,3p = 27 \cdot \frac{7}{3}$

$0,63p = 9 \cdot 7$

$0,63p = 63$

$p = \frac{63}{0,63} = \frac{6300}{63}$

$p = 100$

Ответ: $100$

9) $4 : (x - 3) = 2 : 3$

По основному свойству пропорции:

$4 \cdot 3 = 2 \cdot (x - 3)$

$12 = 2x - 6$

$12 + 6 = 2x$

$18 = 2x$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Ответ: $9$

10) $\frac{2y + 1,6}{0,8} = \frac{30}{2,5}$

Сначала упростим правую часть:

$\frac{30}{2,5} = \frac{300}{25} = 12$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{2y + 1,6}{0,8} = 12$

$2y + 1,6 = 12 \cdot 0,8$

$2y + 1,6 = 9,6$

$2y = 9,6 - 1,6$

$2y = 8$

$y = 4$

Ответ: $4$

11) $\frac{1,5}{4x - 1} = \frac{0,4}{x + 4}$

Используем перекрестное умножение:

$1,5 \cdot (x + 4) = 0,4 \cdot (4x - 1)$

$1,5x + 6 = 1,6x - 0,4$

$6 + 0,4 = 1,6x - 1,5x$

$6,4 = 0,1x$

$x = \frac{6,4}{0,1}$

$x = 64$

Ответ: $64$

12) $\frac{5y}{1\frac{1}{3}} = \frac{y - 0,9}{0,2}$

Преобразуем $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Используем перекрестное умножение:

$5y \cdot 0,2 = (y - 0,9) \cdot \frac{4}{3}$

$1y = \frac{4}{3}y - 0,9 \cdot \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}y - \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}y - \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{4}{3}y - \frac{6}{5}$

$y = \frac{4}{3}y - 1,2$

$1,2 = \frac{4}{3}y - y$

$1,2 = (\frac{4}{3} - 1)y$

$1,2 = \frac{1}{3}y$

$y = 1,2 \cdot 3$

$y = 3,6$

Ответ: $3,6$

Условие 2010-2022.

67 Реши уравнения:

1) $5,4 : a = 1,8 : 6,8;$

2) $b : \frac{6}{7} = 5\frac{4}{9} : 4\frac{2}{3};$

3) $\frac{720}{91,2} = \frac{c}{0,513};$

4) $\frac{4,2}{7\frac{5}{7}} = \frac{3\frac{1}{9}}{d};$

5) $2,4 : (0,5k) = 3,6 : 1\frac{2}{3};$

6) $7 : (\frac{4}{11}m) = 56 : 3,2;$

7) $\frac{8n}{9} = \frac{6,4}{0,45};$

8) $\frac{2,1}{27} = \frac{2\frac{1}{3}}{0,3p};$

9) $4 : (x - 3) = 2 : 3;$

10) $\frac{2y + 1,6}{0,8} = \frac{30}{2,5};$

11) $\frac{1,5}{4x - 1} = \frac{0,4}{x + 4};$

12) $\frac{5y}{1\frac{1}{3}} = \frac{y - 0,9}{0,2}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).