Номер 61, страница 18, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции - номер 61, страница 18.

Условие 2023.

61 Проверь двумя способами, является ли равенство пропорцией. Какой из способов проверки удобнее применить в каждом случае?

а) $4 : 1\frac{1}{5} = 5 : 1,5;$

б) $\frac{9}{10} = \frac{0,9}{0,01};$

в) $7 : 14 = 2\frac{1}{3} : 4\frac{2}{3};$

г) $\frac{3}{2,5} = \frac{4}{3\frac{1}{3}}.$

Решение 2 (2023).

Проверить, является ли равенство пропорцией, можно двумя основными способами.

1. Используя основное свойство пропорции. Пропорция $a:b = c:d$ верна, если произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$), то есть $a \cdot d = b \cdot c$.
2. Сравнивая значения отношений. Пропорция $a:b = c:d$ верна, если частное от деления $a$ на $b$ равно частному от деления $c$ на $d$.

а) $4 : 1\frac{1}{5} = 5 : 1,5$

Сначала преобразуем числа к одному виду, например, к десятичным дробям: $1\frac{1}{5} = 1,2$. Равенство примет вид: $4 : 1,2 = 5 : 1,5$.

Способ 1 (основное свойство пропорции). Проверим равенство произведений крайних и средних членов. Крайние члены — 4 и 1,5. Средние члены — 1,2 и 5.
Произведение крайних членов: $4 \cdot 1,5 = 6$.
Произведение средних членов: $1,2 \cdot 5 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, равенство является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждого отношения.
Первое отношение: $4 : 1\frac{1}{5} = 4 : \frac{6}{5} = 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Второе отношение: $5 : 1,5 = 5 : \frac{3}{2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
Значения отношений равны, значит, равенство является пропорцией.

В данном случае удобнее применить первый способ, предварительно преобразовав числа в десятичные дроби. Умножение десятичных дробей ($4 \cdot 1,5$ и $1,2 \cdot 5$) здесь проще, чем деление и работа со смешанными дробями.

Ответ: является пропорцией.

б) $\frac{9}{10} = \frac{0,9}{0,01}$

Способ 1 (основное свойство пропорции). Равенство можно записать как $9 : 10 = 0,9 : 0,01$. Крайние члены — 9 и 0,01. Средние члены — 10 и 0,9.
Произведение крайних членов: $9 \cdot 0,01 = 0,09$.
Произведение средних членов: $10 \cdot 0,9 = 9$.
Поскольку $0,09 \neq 9$, равенство не является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждой дроби.
Первое отношение: $\frac{9}{10} = 0,9$.
Второе отношение: $\frac{0,9}{0,01} = \frac{0,9 \cdot 100}{0,01 \cdot 100} = \frac{90}{1} = 90$.
Поскольку $0,9 \neq 90$, равенство не является пропорцией.

Оба способа достаточно просты. Однако второй способ (сравнение отношений) в данном случае несколько нагляднее, так как сразу показывает большую разницу в значениях ($0,9$ и $90$).

Ответ: не является пропорцией.

в) $7 : 14 = 2\frac{1}{3} : 4\frac{2}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Способ 1 (основное свойство пропорции). Крайние члены — 7 и $\frac{14}{3}$. Средние члены — 14 и $\frac{7}{3}$.
Произведение крайних членов: $7 \cdot \frac{14}{3} = \frac{98}{3}$.
Произведение средних членов: $14 \cdot \frac{7}{3} = \frac{98}{3}$.
Произведения равны, следовательно, равенство является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждого отношения.
Первое отношение: $7 : 14 = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Второе отношение: $2\frac{1}{3} : 4\frac{2}{3} = \frac{7}{3} : \frac{14}{3} = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Значения отношений равны, значит, равенство является пропорцией.

В этом случае значительно удобнее второй способ. Вычисления при нахождении значений отношений проще, так как дроби легко сокращаются до $\frac{1}{2}$, в то время как первый способ приводит к более громоздким числам.

Ответ: является пропорцией.

г) $\frac{3}{2,5} = \frac{4}{3\frac{1}{3}}$

Преобразуем числа в неправильные дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$; $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Равенство можно записать как $3 : \frac{5}{2} = 4 : \frac{10}{3}$.

Способ 1 (основное свойство пропорции). Крайние члены — 3 и $\frac{10}{3}$. Средние члены — $\frac{5}{2}$ и 4.
Произведение крайних членов: $3 \cdot \frac{10}{3} = 10$.
Произведение средних членов: $\frac{5}{2} \cdot 4 = 10$.
Поскольку $10 = 10$, равенство является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждого отношения.
Первое отношение: $\frac{3}{2,5} = \frac{3}{5/2} = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Второе отношение: $\frac{4}{3\frac{1}{3}} = \frac{4}{10/3} = 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Значения отношений равны, следовательно, равенство является пропорцией.

Здесь удобнее применить первый способ. При перемножении по основному свойству пропорции дроби удачно сокращаются, и в результате получаются целые числа ($10=10$), что делает проверку очень простой.

Ответ: является пропорцией.

Условие 2010-2022.

61 Проверь двумя способами, является ли равенство пропорцией. Какой из способов проверки удобнее применить в каждом случае?

а) $4 : 1 \frac{1}{5} = 5 : 1,5;$

б) $\frac{9}{10} = \frac{0,9}{0,01};$

в) $7 : 14 = 2 \frac{1}{3} : 4 \frac{2}{3};$

г) $\frac{3}{2,5} = \frac{4}{3 \frac{1}{3}}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).