Номер 64, страница 19, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции - номер 64, страница 19.

Условие 2023.

64 Составь различные пропорции из равенства $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$. Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9? Какие свойства чисел при этом используются?

Решение 2 (2023).

Составь различные пропорции из равенства 3 · 6 = 2 · 9.
Проверим исходное равенство: $3 \cdot 6 = 18$ и $2 \cdot 9 = 18$. Равенство $18 = 18$ является верным. Данное равенство представляет собой основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Из равенства вида $a \cdot d = b \cdot c$ можно составить несколько пропорций, где одна пара чисел ($a, d$) будет крайними членами, а другая ($b, c$) — средними, или наоборот.
Пусть 3 и 6 — крайние члены, а 2 и 9 — средние. Тогда можно составить пропорции:
1) $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$
2) $\frac{3}{9} = \frac{2}{6}$
Пусть 2 и 9 — крайние члены, а 3 и 6 — средние. Тогда можно составить пропорции:
3) $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$
4) $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$
Также, используя свойство пропорции, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то и $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$, можно получить еще 4 "перевернутые" пропорции:
5) $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ (из пропорции 3) или $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ (из пропорции 1)
6) $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$ (из пропорции 2)
7) $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$ (из пропорции 3) или $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (из пропорции 4)
8) $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$ (из пропорции 4)
Всего получается 8 различных по записи пропорций.
Ответ: $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$; $\frac{3}{9} = \frac{2}{6}$; $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$; $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$; $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$; $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$; $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$; $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9?
Как было показано в решении предыдущего вопроса, из равенства $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$ можно составить 8 различных (по форме записи) пропорций. Это достигается путем различных комбинаций расстановки чисел на места крайних и средних членов пропорции, а также путем перестановки левой и правой частей равенства.
Ответ: 8.

Какие свойства чисел при этом используются?
При составлении пропорций из равенства произведений используются следующие свойства:
1. Основное свойство пропорции (в обратную сторону): если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел ($a \cdot d = b \cdot c$), то из этих четырех чисел можно составить верную пропорцию ($\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$).
2. Свойства числовых равенств: равенство остается верным, если обе его части разделить на одно и то же число, не равное нулю. Именно это позволяет перейти от равенства произведений $a \cdot d = b \cdot c$ к равенству отношений $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (путем деления на $b \cdot d$).
3. Переместительное свойство умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$). Это свойство позволяет рассматривать равенство $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$ также и как $6 \cdot 3 = 9 \cdot 2$, что дает дополнительные варианты для составления пропорций.
Ответ: Основное свойство пропорции, свойства числовых равенств (в частности, деление обеих частей на одно и то же число), переместительное свойство умножения.

Условие 2010-2022.

64 Составь различные пропорции из равенства $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$. Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9? Какие свойства чисел при этом используются?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).