Номер 56, страница 15, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 2. Масштаб изображения - номер 56, страница 15.

Условие 2023.

1) В квадрате размером $10 \times 10$ клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером $2 \times 2$ клетки? Обоснуй свой ответ.

2) Рассмотри теперь квадраты размером $3 \times 3$ клетки и найди в них группы из трёх чисел, суммы которых будут одинаковы.

Решение 2 (2023).

1)

Рассмотрим квадрат размером 2x2 клетки, выделенный на рисунке:

24	25
34	35

Сумма чисел на одной диагонали (главной): $24 + 35 = 59$.
Сумма чисел на другой диагонали (побочной): $25 + 34 = 59$.
Можно заметить, что эти суммы равны.

Проверим, будет ли это свойство выполняться для любого другого квадрата 2x2. Возьмем произвольный квадрат 2x2 и обозначим число в его левой верхней клетке за $x$.

Числа в таблице расположены так, что число справа от $x$ равно $x+1$, а число под $x$ равно $x+10$ (так как в строке 10 чисел). Тогда наш произвольный квадрат 2x2 будет выглядеть так:

$x$	$x+1$
$x+10$	$x+11$

Теперь найдем суммы чисел по его диагоналям:

• Сумма по главной диагонали: $x + (x + 11) = 2x + 11$
• Сумма по побочной диагонали: $(x + 1) + (x + 10) = 2x + 11$

Суммы оказались равны. Это доказывает, что в любом квадрате 2x2, выбранном в этой таблице, суммы чисел по диагоналям всегда будут одинаковыми.

Ответ: Суммы чисел по диагоналям в любом квадрате 2x2 равны.

2)

Рассмотрим произвольный квадрат размером 3x3 клетки. Оказывается, в нем можно найти четыре группы из трёх чисел, суммы которых будут одинаковы. Эти группы:

• Числа на главной диагонали.
• Числа на побочной диагонали.
• Числа в средней строке.
• Числа в среднем столбце.

Для доказательства обозначим центральный элемент квадрата 3x3 за $c$. Тогда, исходя из структуры таблицы, весь квадрат можно представить в следующем виде:

$c-11$	$c-10$	$c-9$
$c-1$	$c$	$c+1$
$c+9$	$c+10$	$c+11$

Теперь найдем суммы чисел в указанных группах:

• Сумма по главной диагонали: $(c - 11) + c + (c + 11) = 3c$
• Сумма по побочной диагонали: $(c - 9) + c + (c + 9) = 3c$
• Сумма по средней строке: $(c - 1) + c + (c + 1) = 3c$
• Сумма по среднему столбцу: $(c - 10) + c + (c + 10) = 3c$

Все четыре суммы равны утроенному центральному элементу квадрата. Например, для квадрата 3x3 с центром в клетке с числом 35 (как на рисунке):

• Главная диагональ: $24 + 35 + 46 = 105$
• Побочная диагональ: $26 + 35 + 44 = 105$
• Средняя строка: $34 + 35 + 36 = 105$
• Средний столбец: $25 + 35 + 45 = 105$

Действительно, все суммы равны $3 \cdot 35 = 105$.

Ответ: В любом квадрате 3x3 равны суммы чисел, стоящих на главной диагонали, на побочной диагонали, в среднем столбце и в средней строке.

Условие 2010-2022.

C 56 1) В квадрате размером $10 \times 10$ клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером $2 \times 2$ клетки? Обоснуй свой ответ.

2) Рассмотри теперь квадраты размером $3 \times 3$ клетки и найди в них группы из трех чисел, суммы которых будут одинаковы.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).