Номер 106, страница 28, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Свойства и преобразование пропорций. Параграф 3. Отношения. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 106, страница 28.

Условие 2023.

106 Реши уравнения:

1) $2\frac{1}{7} : (1,5a) = \frac{5}{14} : 0,8;$

2) $\frac{4,8}{1\frac{7}{9}} = (1,2b) : 6\frac{2}{3};$

3) $3,8 : (4c + 3) = 2 : \frac{2}{19};$

4) $\frac{0,3d - 1,5}{3\frac{1}{3}} = 0,84 : \frac{7}{15};$

5) $\frac{3x - 1}{5} = \frac{x + 1}{3};$

6) $\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = \frac{y + 3}{8}.$

Решение 2 (2023).

1) $2\frac{1}{7} : (1,5a) = \frac{5}{14} : 0,8$
Данное уравнение является пропорцией. Для начала преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:
$2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$; $1,5 = \frac{3}{2}$; $0,8 = \frac{4}{5}$
Подставим полученные значения в уравнение:
$\frac{15}{7} : (\frac{3}{2}a) = \frac{5}{14} : \frac{4}{5}$
Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$\frac{15}{7} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{2}a \cdot \frac{5}{14}$
Упростим обе части уравнения:
$\frac{15 \cdot 4}{7 \cdot 5} = \frac{12}{7}$
$\frac{3a \cdot 5}{2 \cdot 14} = \frac{15a}{28}$
Получаем уравнение:
$\frac{12}{7} = \frac{15a}{28}$
Выразим $a$:
$a = \frac{12}{7} : \frac{15}{28} = \frac{12}{7} \cdot \frac{28}{15} = \frac{12 \cdot 28}{7 \cdot 15} = \frac{4 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{16}{5} = 3,2$
Ответ: $3,2$

2) $\frac{4,8}{1\frac{7}{9}} = (1,2b) : 6\frac{2}{3}$
Запишем уравнение в виде пропорции: $4,8 : 1\frac{7}{9} = (1,2b) : 6\frac{2}{3}$
Преобразуем все числа в дроби:
$4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$; $1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}$; $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$; $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$
Подставим дроби в пропорцию:
$\frac{24}{5} : \frac{16}{9} = \frac{6}{5}b : \frac{20}{3}$
Используем основное свойство пропорции:
$\frac{24}{5} \cdot \frac{20}{3} = \frac{16}{9} \cdot \frac{6}{5}b$
Упростим левую часть: $\frac{24 \cdot 20}{5 \cdot 3} = 8 \cdot 4 = 32$
Упростим правую часть: $\frac{16 \cdot 6}{9 \cdot 5}b = \frac{16 \cdot 2}{3 \cdot 5}b = \frac{32}{15}b$
Получаем уравнение:
$32 = \frac{32}{15}b$
Найдем $b$:
$b = 32 : \frac{32}{15} = 32 \cdot \frac{15}{32} = 15$
Ответ: $15$

3) $3,8 : (4c + 3) = 2 : 2\frac{2}{19}$
Преобразуем числа в дроби:
$3,8 = \frac{38}{10} = \frac{19}{5}$; $2\frac{2}{19} = \frac{2 \cdot 19 + 2}{19} = \frac{40}{19}$
Подставим в пропорцию:
$\frac{19}{5} : (4c + 3) = 2 : \frac{40}{19}$
По основному свойству пропорции:
$\frac{19}{5} \cdot \frac{40}{19} = 2 \cdot (4c + 3)$
Упростим левую часть: $\frac{19 \cdot 40}{5 \cdot 19} = \frac{40}{5} = 8$
Получаем уравнение:
$8 = 2(4c+3)$
Разделим обе части на 2:
$4 = 4c + 3$
$4 - 3 = 4c$
$1 = 4c$
$c = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: $0,25$

4) $\frac{0,3d - 1,5}{3\frac{1}{3}} = 0,84 : \frac{7}{15}$
Сначала вычислим значение выражения в правой части уравнения:
$0,84 : \frac{7}{15} = \frac{84}{100} : \frac{7}{15} = \frac{21}{25} \cdot \frac{15}{7} = \frac{21 \cdot 15}{25 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{0,3d - 1,5}{3\frac{1}{3}} = \frac{9}{5}$
Преобразуем знаменатель левой части: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
Запишем левую часть как деление:
$(0,3d - 1,5) : \frac{10}{3} = \frac{9}{5}$
Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель:
$0,3d - 1,5 = \frac{9}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{9 \cdot 10}{5 \cdot 3} = 3 \cdot 2 = 6$
Получаем простое линейное уравнение:
$0,3d - 1,5 = 6$
$0,3d = 6 + 1,5$
$0,3d = 7,5$
$d = 7,5 : 0,3 = 75 : 3 = 25$
Ответ: $25$

5) $\frac{3x - 1}{5} = \frac{x + 1}{3}$
Это пропорция. Используем правило перекрестного умножения:
$3(3x - 1) = 5(x + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$9x - 3 = 5x + 5$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные — в правой:
$9x - 5x = 5 + 3$
$4x = 8$
Найдем $x$:
$x = \frac{8}{4} = 2$
Ответ: $2$

6) $\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = \frac{y + 3}{8}$
Упростим левую часть уравнения. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = 0,5y \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{2}y \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}y$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{9y}{8} = \frac{y + 3}{8}$
Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:
$9y = y + 3$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть:
$9y - y = 3$
$8y = 3$
Найдем $y$:
$y = \frac{3}{8}$
Ответ: $\frac{3}{8}$

Условие 2010-2022.

106 Реши уравнения:

1) $2\frac{1}{7} : (1,5a) = \frac{5}{14} : 0,8;$

2) $\frac{4,8}{1\frac{1}{9}} = (1,2b) : 6\frac{2}{3};$

3) $3,8 : (4c + 3) = 2 : 2\frac{2}{19};$

4) $\frac{0,3d - 1,5}{\frac{1}{3}} = 0,84 : \frac{7}{15};$

5) $\frac{3x - 1}{5} = \frac{x + 1}{3};$

6) $\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = \frac{y + 3}{8}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).