Страница 31, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

109 Найди множество натуральных решений уравнения методом проб и ошибок.

1) $a(a-4)=21;$

2) $(b+2)(b-8)=0;$

3) $c^2+5=14;$

4) $18-d^3=10;$

5) $x^2+2x+10=45;$

6) $y^3+y^2+2=82.$

Метод проб и ошибок заключается в последовательной подстановке натуральных чисел (1, 2, 3, ...) в уравнение вместо неизвестной переменной, пока не будет найдено значение, при котором уравнение обращается в верное равенство.

1) $a(a-4) = 21$

Мы ищем натуральное число a. Поскольку произведение $a(a-4)$ положительно и a — натуральное, то множитель $(a-4)$ также должен быть положительным. Отсюда следует, что $a-4 > 0$, то есть $a > 4$. Будем подбирать значения a, начиная с 5.

• Пробуем $a = 5$: $5 \cdot (5-4) = 5 \cdot 1 = 5$. Это не равно 21.
• Пробуем $a = 6$: $6 \cdot (6-4) = 6 \cdot 2 = 12$. Это не равно 21.
• Пробуем $a = 7$: $7 \cdot (7-4) = 7 \cdot 3 = 21$. Равенство верно.

Таким образом, $a = 7$ является решением. Если мы продолжим увеличивать a, то и результат произведения будет увеличиваться ($8 \cdot (8-4) = 32 > 21$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{7\}$

2) $(b+2)(b-8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $b+2 = 0 \implies b = -2$. Это число не является натуральным.

2. $b-8 = 0 \implies b = 8$. Это натуральное число.

Применим метод проб и ошибок.

• Пробуем $b=1$: $(1+2)(1-8) = 3 \cdot (-7) = -21 \neq 0$.
• ...
• Пробуем $b=8$: $(8+2)(8-8) = 10 \cdot 0 = 0$. Равенство верно.

При $b < 8$ второй множитель отрицателен, а при $b > 8$ оба множителя положительны, поэтому их произведение не будет равно нулю. Единственное натуральное решение — это 8.

Ответ: $\{8\}$

3) $c^2 + 5 = 14$

Сначала упростим уравнение, перенеся 5 в правую часть: $c^2 = 14 - 5$ $c^2 = 9$

Теперь подберём натуральное число c, квадрат которого равен 9.

• Пробуем $c = 1$: $1^2 = 1 \neq 9$.
• Пробуем $c = 2$: $2^2 = 4 \neq 9$.
• Пробуем $c = 3$: $3^2 = 9$. Равенство верно.

Поскольку при увеличении c его квадрат также увеличивается ($4^2=16>9$), других натуральных решений нет.

Ответ: $\{3\}$

4) $18 - d^3 = 10$

Упростим уравнение: $d^3 = 18 - 10$ $d^3 = 8$

Подберём натуральное число d, куб которого равен 8.

• Пробуем $d = 1$: $1^3 = 1 \neq 8$.
• Пробуем $d = 2$: $2^3 = 8$. Равенство верно.

При $d = 3$ куб числа уже будет больше 8 ($3^3=27>8$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{2\}$

5) $x^2 + 2x + 10 = 45$

Упростим уравнение: $x^2 + 2x = 45 - 10$ $x^2 + 2x = 35$ $x(x+2) = 35$

Подберём натуральное число x.

• Пробуем $x = 1$: $1(1+2) = 3 \neq 35$.
• Пробуем $x = 2$: $2(2+2) = 8 \neq 35$.
• Пробуем $x = 3$: $3(3+2) = 15 \neq 35$.
• Пробуем $x = 4$: $4(4+2) = 24 \neq 35$.
• Пробуем $x = 5$: $5(5+2) = 5 \cdot 7 = 35$. Равенство верно.

При увеличении x значение выражения $x(x+2)$ также будет увеличиваться ($6(6+2)=48 > 35$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{5\}$

6) $y^3 + y^2 + 2 = 82$

Упростим уравнение: $y^3 + y^2 = 82 - 2$ $y^3 + y^2 = 80$ $y^2(y+1) = 80$

Подберём натуральное число y.

• Пробуем $y = 1$: $1^2(1+1) = 1 \cdot 2 = 2 \neq 80$.
• Пробуем $y = 2$: $2^2(2+1) = 4 \cdot 3 = 12 \neq 80$.
• Пробуем $y = 3$: $3^2(3+1) = 9 \cdot 4 = 36 \neq 80$.
• Пробуем $y = 4$: $4^2(4+1) = 16 \cdot 5 = 80$. Равенство верно.

При $y=5$ значение выражения уже будет больше 80 ($5^2(5+1)=25 \cdot 6=150>80$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{4\}$

109 Найди множество натуральных решений уравнения методом проб и ошибок:

1) $a(a-4)=21$;

2) $(b+2)(b-8)=0$;

3) $c^2+5=14$;

4) $18-d^3=10$;

5) $x^2+2x+10=45$;

6) $y^3+y^2+2=82$.

1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Пара чисел $a$ и $b$, где $a$ – первое число, а $b$ – второе число, называется упорядоченной парой чисел и обозначается $(a; b)$. При этом $(a, b) = (c, d)$, если $a = c$, $a b = d$.

2) Найди методом перебора все пары $(x; y)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

а) $x + 2y = 9$;

б) $x + y^2 = 9$;

в) $0 < x(10 - 3y) \leq 2$;

г) $0 < x(10 - y^3) \leq 2$;

д) $15 < 2x + 3y \leq 16$;

е) $15 < x^2 + y^3 \leq 16$.

110 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Пара чисел $a$ и $b$, где $a$ – первое число, а $b$ – второе число, называется упорядоченной парой чисел и обозначается $(a; b)$. При этом $(a, b) = (c, d)$, если $a = c$, а $b = d$.

2) Найди методом перебора все пары $(x; y)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

а) $x + 2y = 9$;

б) $x + y^2 = 9$;

в) $0 < x(10 - 3y) \le 2$;

г) $0 < x(10 - y^3) \le 2$;

д) $15 < 2x + 3y \le 16$;

е) $15 < x^2 + y^3 \le 16$.

D 111 Прочитай предложения и подставь в них данные значения перемен-ных. Найди предложения, которые при этой подстановке превра-щаются в высказывания, и из соответствующих им букв составь название месяца. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название животного.

Е Квадрат числа $a$ больше 16 ($a = 3\frac{3}{4}$);

Ф Квадрат числа $b$ меньше числа $c$ ($b = 7,5$);

К Дробь $\frac{p}{q}$ является правильной ($p = 6; q = 11$);

Н Произведение чисел $m$ и $n$ делится на число $k$ ($m = 5; n = 8$);

Д Сумма числа $x$ и утроенного числа $y$ равна 1 ($x = 0,4; y = 0,02$);

А Разность кубов чисел $c$ и $d$ равна 26 ($c = 3; d = 1$);

Л $a - b = 3,5$ ($a = 3\frac{1}{2}$);

В $c + 2d > n^2$ ($c = 15; d = 3$);

Б $5,4 \le x - 2y < 7,2$ ($x = 6; y = 0,8$);

Я $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$ ($a = 5; b = 2$);

Р $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ($a = 5; b = 2$);

Б $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ($a = 5; b = 2$).

Чтобы решить задачу, необходимо проверить каждое утверждение. Если в предложении заданы значения всех переменных, оно становится высказыванием, которое может быть истинным или ложным. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, нужно составить название животного.

Е Квадрат числа $a$ больше 16 ($a = 3\frac{3}{4}$)

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $a = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.
Теперь возведем $a$ в квадрат: $a^2 = (\frac{15}{4})^2 = \frac{225}{16}$.
Чтобы сравнить это значение с 16, представим 16 как дробь со знаменателем 16: $16 = \frac{16 \cdot 16}{16} = \frac{256}{16}$.
Проверяем неравенство: $\frac{225}{16} > \frac{256}{16}$. Это неравенство неверно, так как $225 < 256$.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

Ф Квадрат числа $b$ меньше числа $c$ ($b=7,5$)

В этом предложении дано значение переменной $b$, но значение переменной $c$ не определено. Без значения $c$ невозможно проверить истинность или ложность утверждения. Таким образом, это предложение не становится высказыванием.
Ответ: Не является высказыванием.

К Дробь $\frac{p}{q}$ является правильной ($p = 6; q = 11$)

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. В данном случае $p=6$ и $q=11$.
Сравниваем числитель и знаменатель: $6 < 11$.
Неравенство верное, значит, дробь $\frac{6}{11}$ является правильной.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

Н Произведение чисел $m$ и $n$ делится на число $k$ ($m = 5; n = 8$)

Произведение чисел $m$ и $n$ равно $5 \cdot 8 = 40$. Утверждается, что 40 делится на $k$.
Однако значение переменной $k$ не задано. Поэтому проверить утверждение невозможно.
Следовательно, это предложение не становится высказыванием.
Ответ: Не является высказыванием.

Д Сумма числа $x$ и утроенного числа $y$ равна 1 ($x = 0,4; y = 0,02$)

Запишем утверждение в виде математического выражения: $x + 3y = 1$.
Подставим данные значения: $0,4 + 3 \cdot 0,02 = 1$.
Выполним вычисления: $0,4 + 0,06 = 0,46$.
Получаем равенство $0,46 = 1$, которое является неверным.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

А Разность кубов чисел $c$ и $d$ равна 26 ($c = 3; d = 1$)

Запишем утверждение в виде математического выражения: $c^3 - d^3 = 26$.
Подставим данные значения: $3^3 - 1^3 = 26$.
Выполним вычисления: $27 - 1 = 26$.
Получаем равенство $26 = 26$, которое является верным.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

Л $a - b = 3,5$ ($a = 3\frac{1}{2}$)

В этом предложении дано значение переменной $a = 3\frac{1}{2} = 3,5$, но значение переменной $b$ не определено. Без значения $b$ невозможно проверить истинность или ложность равенства.
Следовательно, это предложение не становится высказыванием.
Ответ: Не является высказыванием.

В $c + 2d > n^2$ ($c = 15; d = 3$)

В этом предложении даны значения переменных $c$ и $d$, но значение переменной $n$ не определено. Без значения $n$ невозможно проверить истинность или ложность неравенства.
Следовательно, это предложение не становится высказыванием.
Ответ: Не является высказыванием.

Б $5,4 \le x - 2y < 7,2$ ($x = 6; y = 0,8$)

Сначала вычислим значение выражения $x - 2y$.
$x - 2y = 6 - 2 \cdot 0,8 = 6 - 1,6 = 4,4$.
Теперь подставим это значение в двойное неравенство: $5,4 \le 4,4 < 7,2$.
Это неравенство неверно, так как его левая часть $5,4 \le 4,4$ ложна.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

Я $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$ ($a = 5; b = 2$)

В этом предложении даны значения переменных $a$ и $b$, но значение переменной $c$ не определено. Без значения $c$ невозможно проверить истинность или ложность равенства.
Следовательно, это предложение не становится высказыванием.
Ответ: Не является высказыванием.

Р $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ($a = 5; b = 2$)

Данное равенство является известной формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), которая верна для любых чисел $a$ и $b$. Проверим это с данными значениями.
Левая часть: $(5 + 2)^2 = 7^2 = 49$.
Правая часть: $5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 25 + 20 + 4 = 49$.
Так как $49 = 49$, равенство верно.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

Б $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ($a = 5; b = 2$)

Данное равенство является известной формулой сокращенного умножения (разность квадратов), которая верна для любых чисел $a$ и $b$. Проверим это с данными значениями.
Левая часть: $(5 + 2)(5 - 2) = 7 \cdot 3 = 21$.
Правая часть: $5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$.
Так как $21 = 21$, равенство верно.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

Мы нашли все истинные высказывания. Им соответствуют буквы К, А, Р, Б.

Из этих букв можно составить название животного.

Ответ: КРАБ.

D 111 Прочитай предложения и подставь в них данные значения переменных. Найди предложения, которые при этой подстановке превращаются в высказывания, и из соответствующих им букв составь название месяца. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название животного.

Е Квадрат числа a больше 16 ($a = 3\frac{3}{4}$)

Ф Квадрат числа b меньше числа c ($b=7,5$)

К Дробь $\frac{p}{q}$ является правильной ($p = 6; q = 11$)

Н Произведение чисел m и n делится на число k ($m = 5; n = 8$)

Д Сумма числа x и утроенного числа y равна 1 ($x = 0,4; y = 0,02$)

А Разность кубов чисел c и d равна 26 ($c = 3; d = 1$)

Л $a - b = 3,5$ ($a = 3\frac{1}{2}$)

В $c + 2d > n^2$ ($c = 15; d = 3$)

Б $5,4 \le x - 2y < 7,2$ ($x = 6; y = 0,8$)

Я $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$ ($a = 5; b = 2$)

Р $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ($a = 5; b = 2$)

Б $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ($a = 5; b = 2$)

123 Прочитай и упрости отношения:

а) $18 : 30$;

б) $7,2 : 0,64$;

в) $5\frac{1}{3} : 3,2$;

г) $\frac{2ab}{6a}$ $(a \neq 0)$.

а) 18 : 30

Отношение читается как «восемнадцать к тридцати». Чтобы упростить это отношение, необходимо разделить оба числа на их наибольший общий делитель (НОД).

Найдём НОД для 18 и 30.
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
НОД(18, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.

Теперь разделим каждое число в отношении на 6:
$18 \div 6 = 3$
$30 \div 6 = 5$

Таким образом, $18:30 = 3:5$.

Ответ: $3:5$.

б) 7,2 : 0,64

Отношение читается как «семь целых две десятых к нулю целых шестидесяти четырем сотым». Для упрощения отношения, содержащего десятичные дроби, сначала избавимся от запятых. Для этого умножим обе части отношения на 100 (поскольку у числа 0,64 два знака после запятой).

$7,2 \cdot 100 = 720$
$0,64 \cdot 100 = 64$

Теперь у нас есть отношение целых чисел $720 : 64$. Упростим его, разделив оба числа на их НОД. НОД(720, 64) = 16.

$720 \div 16 = 45$
$64 \div 16 = 4$

Следовательно, $7,2 : 0,64 = 720 : 64 = 45 : 4$.

Ответ: $45:4$.

в) $5\frac{1}{3} : 3,2$

Отношение читается как «пять целых одна третья к трем целым двум десятым». Чтобы упростить это отношение, представим оба числа в виде обыкновенных дробей.

Смешанное число $5\frac{1}{3}$ переведем в неправильную дробь:
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Десятичную дробь 3,2 представим в виде обыкновенной дроби и сократим:
$3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$

Теперь найдем отношение дробей. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:
$\frac{16}{3} : \frac{16}{5} = \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{16} = \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 16}$

Сократив 16 в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{5}{3}$

Отношение равно $5:3$.

Ответ: $5:3$.

г) $\frac{2ab}{6a}$ ($a \ne 0$)

Отношение читается как «отношение двух абэ к шести а». Оно уже записано в виде дроби. Упростим эту алгебраическую дробь, сократив общие множители в числителе и знаменателе.

$\frac{2ab}{6a} = \frac{2 \cdot a \cdot b}{6 \cdot a}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Сократим переменную $a$ (это возможно, так как по условию $a \ne 0$): $\frac{a}{a} = 1$.

$\frac{2ab}{6a} = \frac{1 \cdot 1 \cdot b}{3} = \frac{b}{3}$

Упрощенное отношение можно записать как $b:3$.

Ответ: $\frac{b}{3}$ или $b:3$.

123 Прочитай и упрости отношения:

а) $18 : 30$;

б) $7,2 : 0,64$;

в) $5\frac{1}{3} : 3,2$;

г) $\frac{2ab}{6a} (a \ne 0)$.

124. Найди процентное отношение:

а) 3 к 4;

б) 0,15 к $\frac{3}{8}$;

в) 7 м к 5 м;

г) 9 см$^2$ к 0,2 дм$^2$.

Чтобы найти процентное отношение одного числа к другому, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

а) 3 к 4

Сначала найдем отношение числа 3 к числу 4:
$3 : 4 = \frac{3}{4} = 0,75$
Теперь умножим полученное отношение на 100%, чтобы выразить его в процентах:
$0,75 \cdot 100\% = 75\%$
Ответ: 75%.

б) 0,15 к 3/8

Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей.
Переведем дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную:
$\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0,375$
Теперь найдем отношение 0,15 к 0,375:
$0,15 : 0,375 = \frac{0,15}{0,375} = \frac{150}{375} = \frac{2 \cdot 75}{5 \cdot 75} = \frac{2}{5} = 0,4$
Выразим результат в процентах:
$0,4 \cdot 100\% = 40\%$
Ответ: 40%.

в) 7 м к 5 м

Так как величины даны в одинаковых единицах измерения (метрах), мы можем найти процентное отношение непосредственно чисел 7 и 5.
Найдем отношение 7 к 5:
$7 : 5 = \frac{7}{5} = 1,4$
Выразим результат в процентах:
$1,4 \cdot 100\% = 140\%$
Ответ: 140%.

г) 9 см² к 0,2 дм²

Прежде чем находить отношение, необходимо привести величины к одной единице измерения. Переведем квадратные дециметры в квадратные сантиметры.
В одном дециметре 10 сантиметров, значит в одном квадратном дециметре:
$1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$
Теперь переведем 0,2 дм² в см²:
$0,2 \text{ дм}^2 = 0,2 \cdot 100 \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$
Теперь найдем процентное отношение $9 \text{ см}^2$ к $20 \text{ см}^2$:
$9 : 20 = \frac{9}{20} = 0,45$
Выразим результат в процентах:
$0,45 \cdot 100\% = 45\%$
Ответ: 45%.

124 Найди процентное отношение:

а) 3 к 4;

б) 0,15 к $ \frac{3}{8} $;

в) 7 м к 5 м;

г) 9 $ см^2 $ к 0,2 $ дм^2 $.

125 1) Расстояние между Москвой и Харьковом на карте равно 18,6 см, а в действительности – 744 км. Чему равен масштаб карты?

2) Расстояние от Москвы до Севастополя 1490 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой $1:10\,000\,000$?

3) На карте, масштаб которой равен $1:8\,000\,000$, расстояние от Москвы до Ростова-на-Дону 13,7 см. Какое расстояние между этими городами в действительности?

1) Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Чтобы найти масштаб, необходимо выразить оба расстояния в одинаковых единицах измерения, например, в сантиметрах.

Сначала переведем реальное расстояние из километров в сантиметры. Мы знаем, что 1 км = 1000 м, а 1 м = 100 см. Следовательно, 1 км = 100 000 см.

Реальное расстояние: $744 \text{ км} = 744 \times 100\ 000 \text{ см} = 74\ 400\ 000 \text{ см}$.

Теперь составим отношение расстояния на карте к реальному расстоянию:

$18,6 \text{ см} : 74\ 400\ 000 \text{ см}$

Для получения масштаба в стандартном виде $1:N$, разделим обе части отношения на 18,6:

$\frac{18,6}{18,6} : \frac{74\ 400\ 000}{18,6} \Rightarrow 1 : 4\ 000\ 000$

Таким образом, масштаб карты 1:4 000 000.

Ответ: 1:4 000 000.

2) Масштаб 1:10 000 000 означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 10 000 000 сантиметров в действительности. Чтобы найти расстояние на карте, нужно реальное расстояние, выраженное в сантиметрах, разделить на знаменатель масштаба.

Переведем реальное расстояние в сантиметры:

$1490 \text{ км} = 1490 \times 100\ 000 \text{ см} = 149\ 000\ 000 \text{ см}$.

Теперь найдем расстояние на карте:

Расстояние на карте = $\frac{149\ 000\ 000 \text{ см}}{10\ 000\ 000} = 14,9 \text{ см}$.

Ответ: 14,9 см.

3) Масштаб 1:8 000 000 показывает, что каждый сантиметр на карте соответствует 8 000 000 сантиметров на местности. Чтобы найти реальное расстояние, нужно умножить расстояние на карте на знаменатель масштаба.

Вычислим реальное расстояние в сантиметрах:

Реальное расстояние = $13,7 \text{ см} \times 8\ 000\ 000 = 109\ 600\ 000 \text{ см}$.

Как правило, большие расстояния выражают в километрах. Переведем сантиметры в километры, разделив на 100 000:

$\frac{109\ 600\ 000 \text{ см}}{100\ 000 \text{ см/км}} = 1096 \text{ км}$.

Ответ: 1096 км.

125 1) Расстояние между Москвой и Харьковом на карте равно 18,6 см, а в действительности – 744 км. Чему равен масштаб карты?

2) Расстояние от Москвы до Севастополя 1490 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой $1 : 10000000$?

3) На карте, масштаб которой равен $1 : 8000000$, расстояние от Москвы до Ростова-на-Дону 13,7 см. Какое расстояние между этими городами в действительности?

126. Найди неизвестный член пропорции:

1) $\frac{a}{8} = \frac{9}{4};$

2) $5 : b = 15 : 12;$

3) $\frac{7}{3,6} = \frac{c}{1,44};$

4) $0,5 : 3 = 1\frac{1}{3} : d.$

1) Дана пропорция $\frac{a}{8} = \frac{9}{4}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции $a$, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это $a$ и $4$, а средние — $8$ и $9$.

Запишем равенство:

$a \cdot 4 = 8 \cdot 9$

$4a = 72$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 4:

$a = \frac{72}{4}$

$a = 18$

Ответ: 18.

2) Дана пропорция $5 : b = 15 : 12$.

Запишем эту пропорцию в виде дробей: $\frac{5}{b} = \frac{15}{12}$.

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов (5 и 12) равно произведению средних членов ($b$ и 15).

$5 \cdot 12 = b \cdot 15$

$60 = 15b$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на 15:

$b = \frac{60}{15}$

$b = 4$

Ответ: 4.

3) Дана пропорция $\frac{7}{3,6} = \frac{c}{1,44}$.

Используя основное свойство пропорции, приравняем произведение крайних членов (7 и 1,44) к произведению средних членов (3,6 и $c$).

$7 \cdot 1,44 = 3,6 \cdot c$

$10,08 = 3,6c$

Выразим $c$, разделив обе части уравнения на 3,6:

$c = \frac{10,08}{3,6}$

Для удобства вычислений можно выразить $c$ изначальной пропорции и сократить:

$c = \frac{7 \cdot 1,44}{3,6} = \frac{7 \cdot 14,4}{36} = \frac{7 \cdot 144}{360}$

Так как $144 = 36 \cdot 4$, то:

$c = \frac{7 \cdot (36 \cdot 4)}{36 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 4}{10} = \frac{28}{10} = 2,8$

Ответ: 2,8.

4) Дана пропорция $0,5 : 3 = 1\frac{1}{3} : d$.

Для решения переведем все числа в один формат. Удобнее всего работать с обыкновенными дробями.

$0,5 = \frac{1}{2}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{1}{2} : 3 = \frac{4}{3} : d$

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($\frac{1}{2}$ и $d$) равно произведению средних членов (3 и $\frac{4}{3}$).

$\frac{1}{2} \cdot d = 3 \cdot \frac{4}{3}$

$\frac{1}{2}d = \frac{3 \cdot 4}{3}$

$\frac{1}{2}d = 4$

Чтобы найти $d$, умножим обе части уравнения на 2:

$d = 4 \cdot 2$

$d = 8$

Ответ: 8.

126 Найди неизвестный член пропорции:

1) $\frac{a}{8} = \frac{9}{4};$

2) $5 : b = 15 : 12;$

3) $\frac{7}{3.6} = \frac{c}{1.44};$

4) $0.5 : 3 = 1\frac{1}{3} : d.$

127 Реши уравнения:

1) $\frac{18}{5+x} = \frac{3}{2};$

2) $(4y) : 1.2 = \frac{1}{6} : 0.1;$

3) $\frac{7}{3} = \frac{2z-11}{9}.$

1) $\frac{18}{5+x} = \frac{3}{2}$

Это уравнение представляет собой пропорцию. Воспользуемся основным свойством пропорции (правилом креста): произведение крайних членов равно произведению средних.

$18 \cdot 2 = 3 \cdot (5+x)$

Выполним умножение:

$36 = 15 + 3x$

Теперь найдем $3x$, вычитая 15 из 36:

$3x = 36 - 15$

$3x = 21$

Найдем $x$, разделив 21 на 3:

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Ответ: 7.

2) $(4y) : 1,2 = \frac{1}{6} : 0,1$

Это также пропорция. Запишем ее в виде дробей:

$\frac{4y}{1,2} = \frac{\frac{1}{6}}{0,1}$

Применим основное свойство пропорции:

$4y \cdot 0,1 = 1,2 \cdot \frac{1}{6}$

Вычислим произведения в обеих частях уравнения:

$0,4y = \frac{1,2}{6}$

$0,4y = 0,2$

Теперь найдем $y$, разделив 0,2 на 0,4:

$y = \frac{0,2}{0,4}$

$y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y = 0,5$

Ответ: 0,5.

3) $\frac{7}{3} = \frac{2z-11}{9}$

Используем основное свойство пропорции:

$7 \cdot 9 = 3 \cdot (2z-11)$

Выполним умножение:

$63 = 6z - 33$

Перенесем -33 в левую часть, изменив знак:

$63 + 33 = 6z$

$96 = 6z$

Найдем $z$, разделив 96 на 6:

$z = \frac{96}{6}$

$z = 16$

Ответ: 16.

127 Реши уравнения:

1) $\frac{18}{5 + x} = \frac{3}{2};$

2) $(4y) : 1.2 = \frac{1}{6} : 0.1;$

3) $\frac{7}{3} = \frac{2z - 11}{9}.$

128 Сделай все возможные перестановки членов пропорции $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$, не нарушающие пропорцию.

Исходная пропорция: $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$.

Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение ее крайних членов равно произведению средних членов. Для данной пропорции крайними членами являются $a$ и $y$, а средними — $x$ и $b$. Таким образом, основное свойство записывается в виде равенства:

$ay = xb$

Любая перестановка членов исходной пропорции, которая сохраняет это равенство, будет являться верной пропорцией. Это означает, что в новой пропорции произведение новых крайних членов должно быть равно произведению новых средних членов.

Чтобы равенство $ay = xb$ сохранилось, пары членов с одинаковым произведением должны оставаться либо крайними, либо средними членами. Все верные пропорции можно найти, рассмотрев два случая расстановки членов $a, x, b, y$.

Случай 1: Крайние члены — $a$ и $y$; средние члены — $x$ и $b$.

В этом случае произведение крайних членов равно $ay$, а средних — $xb$. Так как по условию $ay=xb$, пропорция будет верной. Возможные варианты записи:

• $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$
• $\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$
• $\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$
• $\frac{y}{b} = \frac{x}{a}$

Случай 2: Крайние члены — $x$ и $b$; средние члены — $a$ и $y$.

В этом случае произведение крайних членов равно $xb$, а средних — $ay$. Так как по условию $xb=ay$, пропорция также будет верной. Возможные варианты записи:

• $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$
• $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$
• $\frac{b}{a} = \frac{y}{x}$
• $\frac{b}{y} = \frac{a}{x}$

Объединив оба случая, мы получаем все 8 возможных верных пропорций, образованных перестановкой членов исходной.

Ответ:

Все возможные пропорции, которые можно получить путем перестановки членов исходной пропорции $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$, следующие:

1. $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$
2. $\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$
3. $\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$
4. $\frac{y}{b} = \frac{x}{a}$
5. $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$
6. $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$
7. $\frac{b}{a} = \frac{y}{x}$
8. $\frac{b}{y} = \frac{a}{x}$

128 Сделай все возможные перестановки членов пропорции $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$, не нарушающие пропорцию.

129 Реши уравнения, используя правило «весов»:

1) $1,5a - 3 = a + 7,5;$

2) $1,8b = 3(b - 0,12).$

1)

Решим уравнение $1.5a - 3 = a + 7.5$.

Используя правило «весов», сгруппируем члены с переменной $a$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Для этого сначала вычтем $a$ из обеих частей уравнения:

$1.5a - 3 - a = a + 7.5 - a$

$0.5a - 3 = 7.5$

Теперь прибавим $3$ к обеим частям уравнения, чтобы перенести свободный член в правую часть:

$0.5a - 3 + 3 = 7.5 + 3$

$0.5a = 10.5$

Наконец, чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на коэффициент $0.5$:

$a = \frac{10.5}{0.5}$

$a = 21$

Ответ: $a = 21$.

2)

Решим уравнение $1.8b = 3(b - 0.12)$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $3$ на каждый член внутри скобок:

$1.8b = 3 \cdot b - 3 \cdot 0.12$

$1.8b = 3b - 0.36$

Теперь, используя правило «весов», сгруппируем члены с переменной $b$. Вычтем $1.8b$ из обеих частей уравнения:

$1.8b - 1.8b = 3b - 1.8b - 0.36$

$0 = 1.2b - 0.36$

Теперь прибавим $0.36$ к обеим частям, чтобы изолировать член с переменной:

$0 + 0.36 = 1.2b - 0.36 + 0.36$

$0.36 = 1.2b$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на коэффициент $1.2$:

$b = \frac{0.36}{1.2}$

$b = 0.3$

Ответ: $b = 0.3$.

129 Реши уравнения, используя правило "весов":

1) $1.5a - 3 = a + 7.5$

2) $1.8b = 3(b - 0.12)$

130 Составь выражение и, если можно, упрости его.

1) Аэросани прошли $a$ км, что составляет $20\%$ всего пути. Чему равен весь путь?

2) На печать отправили документ, в котором $b$ страниц. В первую минуту принтер напечатал $30\%$ всего документа, а во вторую – $25\%$ всего документа. Сколько страниц ещё осталось напечатать?

3) Пылесос стоил $c$ р. Его цена увеличилась на $d$ р. На сколько процентов увеличилась цена пылесоса?

4) В соревновании участвовало $x$ человек. Из них $10\%$ стали призёрами соревнований. Среди призёров $40\%$ составили женщины. Сколько женщин получили призы?

1) Пусть весь путь равен $S$ км. По условию, пройденное расстояние $a$ км составляет 20% от всего пути. Чтобы найти целое по его части, нужно значение части разделить на долю, которую эта часть составляет. Переведем проценты в десятичную дробь: $20\% = 0,2$.
Составим выражение для нахождения всего пути: $a / 0,2$.
Упростим его: $a / 0,2 = a / (20/100) = a \cdot (100/20) = 5a$.
Ответ: $5a$ км.

2) Всего в документе $b$ страниц. За первые две минуты принтер напечатал $30\% + 25\% = 55\%$ всего документа.
Следовательно, осталось напечатать $100\% - 55\% = 45\%$ документа.
Переведем проценты в десятичную дробь: $45\% = 0,45$.
Найдем количество страниц, которые осталось напечатать, умножив общее количество страниц на долю оставшейся части: $b \cdot 0,45 = 0,45b$.
Или можно составить выражение: $b - (0,3b + 0,25b) = b - 0,55b = 0,45b$.
Ответ: $0,45b$ страниц.

3) Первоначальная цена пылесоса составляла $c$ рублей. Это 100%. Цена увеличилась на $d$ рублей. Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась цена, нужно величину изменения цены ($d$) разделить на первоначальную цену ($c$) и умножить на 100.
Составим выражение: $(d/c) \cdot 100$.
Это выражение уже является упрощенным.
Ответ: на $(100d/c)\%$.

4) Всего в соревновании участвовало $x$ человек.
Количество призёров составляет 10% от общего числа участников, то есть $0,1x$ человек.
Среди призёров женщины составляют 40%. Чтобы найти количество женщин-призёров, нужно найти 40% от числа всех призёров ($0,1x$).
Составим выражение: $0,4 \cdot (0,1x)$.
Упростим его: $0,4 \cdot 0,1x = 0,04x$.
Ответ: $0,04x$ женщин.

130 Составь выражение и, если можно, упрости его:

1) Аэросани прошли $a$ км, что составляет 20% всего пути. Чему равен весь путь?

2) Машинистке надо напечатать $b$ страниц рукописи. В первый день она напечатала 30% всей рукописи, а во второй – 25% всей рукописи. Сколько страниц ей еще осталось напечатать?

3) Пылесос стоил $c$ р. Его цена увеличилась на $d$ р. На сколько процентов увеличилась цена пылесоса?

4) В соревновании участвовало $x$ человек. Из них 10% стали призерами соревнований. Среди призеров 40% составили женщины. Сколько женщин получили призы?

131 Найди значения выражений:

1) $27.21 + (3\frac{2}{5} - 1.141) : 0.45 \cdot 14.5;$

2) $[7.8 : (4\frac{3}{7} - 1\frac{9}{14}) + 0.312] : 0.02 - 3.89 \cdot 40.$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем деление и умножение слева направо, и в конце сложение).

1. Выполним вычитание в скобках. Для удобства преобразуем смешанную дробь $3\frac{2}{5}$ в десятичную:
$3\frac{2}{5} = 3 + \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 3 + \frac{4}{10} = 3,4$
Теперь вычитаем: $3,4 - 1,141 = 2,259$.

2. Далее по порядку слева направо идет деление. Выполним деление результата из скобок на $0,45$:
$2,259 : 0,45 = 5,02$.

3. Теперь выполним умножение:
$5,02 \cdot 14,5 = 72,79$.

4. Последнее действие — сложение:
$27,21 + 72,79 = 100$.

Ответ: 100

Решим данное выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Первым действием выполним вычитание в круглых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $14$:
$4\frac{3}{7} - 1\frac{9}{14} = 4\frac{6}{14} - 1\frac{9}{14}$
Так как дробная часть уменьшаемого ($6/14$) меньше дробной части вычитаемого ($9/14$), "займем" единицу у целой части:
$4\frac{6}{14} = 3 + 1 + \frac{6}{14} = 3 + \frac{14}{14} + \frac{6}{14} = 3\frac{20}{14}$
Теперь вычитаем: $3\frac{20}{14} - 1\frac{9}{14} = (3-1) + (\frac{20-9}{14}) = 2\frac{11}{14}$.

2. Следующее действие — деление в квадратных скобках. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби для удобства вычисления:
$7,8 = 7\frac{8}{10} = 7\frac{4}{5} = \frac{39}{5}$
$2\frac{11}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 11}{14} = \frac{39}{14}$
Выполним деление: $7,8 : 2\frac{11}{14} = \frac{39}{5} : \frac{39}{14} = \frac{39}{5} \cdot \frac{14}{39} = \frac{14}{5}$.
Преобразуем результат обратно в десятичную дробь: $\frac{14}{5} = \frac{28}{10} = 2,8$.

3. Теперь выполним сложение в квадратных скобках:
$2,8 + 0,312 = 3,112$.

4. По порядку операций далее идут деление и умножение. Сначала делим результат из квадратных скобок на $0,02$:
$3,112 : 0,02 = 155,6$.

5. Выполним умножение:
$3,89 \cdot 40 = 155,6$.

6. Последнее действие — вычитание:
$155,6 - 155,6 = 0$.

Ответ: 0

131 Найди значения выражений:

1) $27,21 + \left(3\frac{2}{5} - 1,141\right) : 0,45 \cdot 14,5;$

2) $\left[7,8 : \left(4\frac{3}{7} - 1\frac{9}{14}\right) + 0,312\right] : 0,02 - 3,89 \cdot 40.$

127 a) Смешали сухие листья зверобоя и мяты, причём мята составила $40\%$ смеси. Если в эту смесь добавить ещё 80 г мяты, то она будет составлять половину смеси. Сколько смешали первоначально граммов зверобоя и сколько – мяты?

б) В $5\%$-й раствор соли добавили ещё 50 г соли, и концентрация соли в нём увеличилась до $24\%$. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

а)

Давайте решим эту задачу, введя переменные. Пусть $z$ — это первоначальная масса зверобоя в граммах, а $m$ — первоначальная масса мяты в граммах.

Из условия известно, что мята составляла 40% смеси. Это означает, что зверобой составлял оставшиеся $100\% - 40\% = 60\%$ смеси. Мы можем составить соотношение масс:
$\frac{m}{z} = \frac{40\%}{60\%} = \frac{2}{3}$
Отсюда мы можем выразить массу зверобоя через массу мяты:
$z = \frac{3}{2}m = 1.5m$

Далее, в смесь добавили 80 г мяты. Новая масса мяты стала $m + 80$ г. Масса зверобоя не изменилась и осталась равной $z$ г. Новая общая масса смеси стала $z + m + 80$ г.

По новому условию, мята стала составлять половину (50%) смеси. Это означает, что вторая половина (оставшиеся 50%) — это зверобой. Следовательно, масса зверобоя стала равна новой массе мяты:
$z = m + 80$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $z = 1.5m$
2) $z = m + 80$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$1.5m = m + 80$
$1.5m - m = 80$
$0.5m = 80$
$m = \frac{80}{0.5} = 160$
Итак, первоначальная масса мяты составляла 160 г.

Теперь найдём первоначальную массу зверобоя, используя одно из уравнений, например, второе:
$z = m + 80 = 160 + 80 = 240$
Итак, первоначальная масса зверобоя составляла 240 г.

Ответ: первоначально смешали 240 граммов зверобоя и 160 граммов мяты.

б)

Пусть $M$ — это первоначальная масса всего раствора в граммах.

Поскольку концентрация соли в нём была 5%, масса соли в растворе составляла $0.05M$ граммов.

В раствор добавили ещё 50 г соли.
Новая масса соли в растворе стала: $0.05M + 50$ г.
Новая общая масса раствора стала: $M + 50$ г.

По условию, концентрация соли в новом растворе увеличилась до 24%. Концентрация — это отношение массы вещества к массе всего раствора. Составим уравнение:
$\frac{\text{новая масса соли}}{\text{новая масса раствора}} = 0.24$
$\frac{0.05M + 50}{M + 50} = 0.24$

Решим это уравнение относительно $M$:
$0.05M + 50 = 0.24(M + 50)$
$0.05M + 50 = 0.24M + 0.24 \cdot 50$
$0.05M + 50 = 0.24M + 12$
$50 - 12 = 0.24M - 0.05M$
$38 = 0.19M$
$M = \frac{38}{0.19} = \frac{3800}{19} = 200$
Таким образом, первоначальная масса всего раствора была 200 г.

Вопрос задачи — сколько граммов соли было в растворе первоначально. Найдём это значение:
Масса соли = $0.05M = 0.05 \cdot 200 = 10$ г.

Ответ: в растворе первоначально было 10 граммов соли.

127 a) Смешали сухие листья зверобоя и мяты, причем мята составила $40\%$ смеси. Если в эту смесь добавить еще 80 г мяты, то она будет составлять половину смеси. Сколько смешали первоначально граммов зверобоя и сколько – мяты?

б) В $5\%$-й раствор соли добавили еще 50 г соли, и концентрация соли в нем увеличилась до $24\%$. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

128 a) Первая сторона треугольника составляет $\frac{4}{9}$ его периметра, вторая – на 10 % меньше первой, а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника.

б) Периметр четырёхугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй, третья – на 25 % меньше суммы первых двух, а четвёртая – на 7 см больше первой. Чему равна длина каждой стороны?

а)

Пусть $P$ — периметр треугольника. Обозначим его стороны как $a_1$, $a_2$ и $a_3$.
По условию задачи:
1. Первая сторона составляет $\frac{4}{9}$ его периметра: $a_1 = \frac{4}{9}P$.
2. Вторая сторона на 10% меньше первой, значит она составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первой стороны.
$a_2 = 0.9 \cdot a_1 = 0.9 \cdot \frac{4}{9}P = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{9}P = \frac{4}{10}P = \frac{2}{5}P$.
3. Третья сторона равна 14 см: $a_3 = 14$ см.

Периметр — это сумма длин всех сторон: $P = a_1 + a_2 + a_3$.
Подставим известные выражения для сторон в эту формулу:
$P = \frac{4}{9}P + \frac{2}{5}P + 14$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $P$. Перенесём все слагаемые, содержащие $P$, в левую часть уравнения:
$P - \frac{4}{9}P - \frac{2}{5}P = 14$
Вынесем $P$ за скобки и приведём дроби в скобках к общему знаменателю, который равен 45:
$P \cdot (1 - \frac{4}{9} - \frac{2}{5}) = 14$
$P \cdot (\frac{45}{45} - \frac{4 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 9}{45}) = 14$
$P \cdot (\frac{45 - 20 - 18}{45}) = 14$
$P \cdot \frac{7}{45} = 14$
Чтобы найти $P$, разделим обе части уравнения на $\frac{7}{45}$:
$P = 14 \div \frac{7}{45} = 14 \cdot \frac{45}{7} = \frac{14 \cdot 45}{7} = 2 \cdot 45 = 90$ см.

Ответ: 90 см.

б)

Периметр четырехугольника равен 58 см. Обозначим его стороны как $s_1$, $s_2$, $s_3$ и $s_4$.
$s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 58$
Для решения задачи выразим все стороны через одну переменную. Удобнее всего выразить все стороны через вторую сторону $s_2$. Пусть $s_2 = x$ см.

1. Первая сторона составляет 60% от второй:
$s_1 = 0.6 \cdot s_2 = 0.6x$.
2. Третья сторона на 25% меньше суммы первых двух. Сначала найдем сумму первых двух сторон:
$s_1 + s_2 = 0.6x + x = 1.6x$.
Третья сторона составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от этой суммы:
$s_3 = 0.75 \cdot (s_1 + s_2) = 0.75 \cdot 1.6x = 1.2x$.
3. Четвертая сторона на 7 см больше первой:
$s_4 = s_1 + 7 = 0.6x + 7$.

Теперь подставим все полученные выражения для сторон в формулу периметра:
$s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 58$
$(0.6x) + x + (1.2x) + (0.6x + 7) = 58$

Решим полученное линейное уравнение:
$0.6x + x + 1.2x + 0.6x + 7 = 58$
$(0.6 + 1 + 1.2 + 0.6)x + 7 = 58$
$3.4x + 7 = 58$
$3.4x = 58 - 7$
$3.4x = 51$
$x = \frac{51}{3.4} = \frac{510}{34} = 15$.
Таким образом, вторая сторона $s_2 = 15$ см.

Теперь, зная $x$, найдем длины остальных сторон:
Первая сторона: $s_1 = 0.6x = 0.6 \cdot 15 = 9$ см.
Третья сторона: $s_3 = 1.2x = 1.2 \cdot 15 = 18$ см.
Четвертая сторона: $s_4 = 0.6x + 7 = 0.6 \cdot 15 + 7 = 9 + 7 = 16$ см.

Ответ: первая сторона равна 9 см, вторая – 15 см, третья – 18 см, четвертая – 16 см.

128 a) Первая сторона треугольника составляет $\frac{4}{9}$ его периметра, вторая – на 10% меньше первой, а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника.

б) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60% второй, третья – на 25% меньше суммы первых двух, а четвертая – на 7 см больше первой. Чему равна длина каждой стороны?

129 а) Ширина прямоугольника на 48 % меньше длины, а его периметр равен 7,6 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?

б) Длина прямоугольника на 3,6 см больше ширины, а ширина составляет $\frac{1}{7}$ его периметра. Чему равна площадь прямоугольника?

а)

Пусть $l$ — длина прямоугольника, а $w$ — его ширина в сантиметрах.
Согласно условию, ширина на 48% меньше длины. Это означает, что ширина составляет $100\% - 48\% = 52\%$ от длины. Выразим это математически:
$w = l \cdot (1 - 0,48) = 0,52l$
Периметр прямоугольника $P$ равен 7,6 см. Формула периметра: $P = 2(l + w)$.
Подставим известные значения в формулу периметра:
$7,6 = 2(l + w)$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $w = 0,52l$
2) $7,6 = 2(l + w)$
Подставим выражение для $w$ из первого уравнения во второе:
$7,6 = 2(l + 0,52l)$
$7,6 = 2(1,52l)$
$7,6 = 3,04l$
Найдем длину $l$:
$l = \frac{7,6}{3,04} = 2,5$ см.
Теперь найдем ширину $w$:
$w = 0,52 \cdot l = 0,52 \cdot 2,5 = 1,3$ см.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.
$S = 2,5 \cdot 1,3 = 3,25$ см².
Ответ: 3,25 см².

б)

Пусть $l$ — длина прямоугольника, а $w$ — его ширина в сантиметрах.
По условию, длина на 3,6 см больше ширины, что можно записать как:
$l = w + 3,6$
Также известно, что ширина составляет $\frac{1}{7}$ его периметра $P$ :
$w = \frac{1}{7}P$
Из этого соотношения можно выразить периметр через ширину: $P = 7w$.
Общая формула периметра прямоугольника: $P = 2(l + w)$.
Приравняем два выражения для периметра:
$7w = 2(l + w)$
Теперь у нас есть система уравнений:
1) $l = w + 3,6$
2) $7w = 2(l + w)$
Подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе:
$7w = 2((w + 3,6) + w)$
$7w = 2(2w + 3,6)$
$7w = 4w + 7,2$
$7w - 4w = 7,2$
$3w = 7,2$
$w = \frac{7,2}{3} = 2,4$ см.
Теперь найдем длину $l$, используя первое уравнение:
$l = w + 3,6 = 2,4 + 3,6 = 6$ см.
Площадь прямоугольника $S$ равна произведению длины на ширину:
$S = l \cdot w = 6 \cdot 2,4 = 14,4$ см².
Ответ: 14,4 см².

129 а) Ширина прямоугольника на 48% меньше длины, а его периметр равен 7,6 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?

б) Длина прямоугольника на 3,6 см больше ширины, а ширина составляет $ \frac{1}{7} $ его периметра. Чему равна площадь прямоугольника?

130. a) Пароход, собственная скорость которого $22\text{ км/ч}$, прошёл за 1 ч 15 мин по течению реки такое же расстояние, как и за 1 ч 30 мин против течения. Чему равна скорость течения реки?

б) Моторная лодка за $2\text{ ч}$ против течения реки прошла расстояние, на $25\,\%$ меньшее, чем за то же время по течению. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна $2,5\text{ км/ч}$? Найди лишнее данное в условии этой задачи.

а) Пусть $v_{теч}$ — скорость течения реки в км/ч. Собственная скорость парохода $v_{соб} = 22$ км/ч. Тогда скорость парохода по течению реки равна $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = (22 + v_{теч})$ км/ч, а скорость против течения равна $v_{прот} = v_{соб} - v_{теч} = (22 - v_{теч})$ км/ч.
Переведем время движения в часы:
Время по течению $t_{по} = 1$ ч 15 мин = $1 + \frac{15}{60}$ ч = $1.25$ ч.
Время против течения $t_{прот} = 1$ ч 30 мин = $1 + \frac{30}{60}$ ч = $1.5$ ч.
Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. По условию, расстояние, пройденное по течению, равно расстоянию, пройденному против течения: $S_{по} = S_{прот}$.
Составим уравнение:
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{прот} \cdot t_{прот}$
$(22 + v_{теч}) \cdot 1.25 = (22 - v_{теч}) \cdot 1.5$
Раскроем скобки:
$22 \cdot 1.25 + 1.25 \cdot v_{теч} = 22 \cdot 1.5 - 1.5 \cdot v_{теч}$
$27.5 + 1.25 \cdot v_{теч} = 33 - 1.5 \cdot v_{теч}$
Перенесем слагаемые с $v_{теч}$ в левую часть, а числа — в правую:
$1.25 \cdot v_{теч} + 1.5 \cdot v_{теч} = 33 - 27.5$
$2.75 \cdot v_{теч} = 5.5$
$v_{теч} = \frac{5.5}{2.75}$
$v_{теч} = 2$
Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.

б) Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость моторной лодки в км/ч. Скорость течения реки $v_{теч} = 2.5$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $v_{по} = (v_{соб} + 2.5)$ км/ч, а скорость против течения равна $v_{прот} = (v_{соб} - 2.5)$ км/ч.
Время движения по течению и против течения одинаково и равно $t = 2$ ч.
Расстояние, пройденное по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t = (v_{соб} + 2.5) \cdot 2$ км.
Расстояние, пройденное против течения: $S_{прот} = v_{прот} \cdot t = (v_{соб} - 2.5) \cdot 2$ км.
По условию, расстояние против течения на 25% меньше, чем по течению. Это означает, что $S_{прот}$ составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от $S_{по}$, то есть $S_{прот} = 0.75 \cdot S_{по}$.
Составим уравнение:
$(v_{соб} - 2.5) \cdot 2 = 0.75 \cdot (v_{соб} + 2.5) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$v_{соб} - 2.5 = 0.75 \cdot (v_{соб} + 2.5)$
$v_{соб} - 2.5 = 0.75 \cdot v_{соб} + 0.75 \cdot 2.5$
$v_{соб} - 0.75 \cdot v_{соб} = 2.5 + 1.875$
$0.25 \cdot v_{соб} = 4.375$
$v_{соб} = \frac{4.375}{0.25}$
$v_{соб} = 17.5$
Собственная скорость лодки равна 17.5 км/ч.
Лишним данным в условии задачи является время движения, равное 2 часам. Поскольку в условии указано, что лодка двигалась «за то же время», конкретное значение этого времени не имеет значения для нахождения собственной скорости лодки, так как оно сокращается при решении уравнения. Важен лишь факт, что время движения по течению и против течения одинаково.
Ответ: собственная скорость лодки 17,5 км/ч; лишнее данное — время движения (2 ч).

130 а) Пароход, собственная скорость которого 22 км/ч, прошел за 1 ч 15 мин по течению реки такое же расстояние, как и за 1 ч 30 мин против течения. Чему равна скорость течения реки?

б) Моторная лодка за 2 ч против течения реки прошла расстояние, на 25% меньшее, чем за то же время по течению. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 2,5 км/ч? Найди лишнее данное в условии этой задачи.

131 Составь задачи и найди скорости движения автомобилей по схемам.

a) $(x+15)$ км/ч

$x$ км/ч

243 км

$t_{\text{встр.}} = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин}$

б) $x$ км/ч

$(x+32)$ км/ч

52 км

$t = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

$d_t = 304 \text{ км}$

в) $x$ км/ч

$1,4x$ км/ч

30 км

$t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$

$d_t = 162 \text{ км}$

г) $x$ км/ч

$0,7x$ км/ч

24 км

$t_{\text{встр.}} = 40 \text{ мин}$

($d_t$ – расстояние между автомобилями в указанный момент времени $t$.)

а)

Задача: Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 243 км. Скорость первого автомобиля на 15 км/ч больше скорости второго. Они встретились через 1 час 48 минут. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

1. Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость первого автомобиля равна $(x + 15)$ км/ч.

2. Так как автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = x + (x + 15) = (2x + 15)$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 1 + \frac{48}{60} \text{ ч} = 1 + 0,8 \text{ ч} = 1,8 \text{ ч}$.

4. Расстояние, которое они проехали вместе до встречи, равно произведению скорости сближения на время. Составим уравнение:

$(2x + 15) \cdot 1,8 = 243$

Решим это уравнение:

$2x + 15 = \frac{243}{1,8}$

$2x + 15 = 135$

$2x = 135 - 15$

$2x = 120$

$x = 60$

Таким образом, скорость второго автомобиля равна 60 км/ч.

5. Скорость первого автомобиля: $60 + 15 = 75$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 75 км/ч, скорость второго автомобиля — 60 км/ч.

б)

Задача: Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 52 км друг от друга, одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость второго автомобиля на 32 км/ч больше скорости первого. Через 1 час 30 минут расстояние между ними стало 304 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

1. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $(x + 32)$ км/ч.

2. Автомобили движутся в противоположных направлениях, поэтому их скорость удаления равна сумме скоростей: $v_{уд} = x + (x + 32) = (2x + 32)$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1,5 \text{ ч}$.

4. За это время расстояние между автомобилями увеличилось на $v_{уд} \cdot t$. Конечное расстояние $d_t$ равно начальному расстоянию $S_0$ плюс расстояние, на которое они удалились: $d_t = S_0 + v_{уд} \cdot t$.

5. Составим и решим уравнение:

$304 = 52 + (2x + 32) \cdot 1,5$

$304 - 52 = (2x + 32) \cdot 1,5$

$252 = (2x + 32) \cdot 1,5$

$2x + 32 = \frac{252}{1,5}$

$2x + 32 = 168$

$2x = 168 - 32$

$2x = 136$

$x = 68$

Таким образом, скорость первого автомобиля равна 68 км/ч.

6. Скорость второго автомобиля: $68 + 32 = 100$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 68 км/ч, скорость второго автомобиля — 100 км/ч.

в)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость автомобиля, едущего впереди, в 1,4 раза больше скорости автомобиля, едущего сзади. Через 2 часа 15 минут расстояние между ними стало 162 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

1. Пусть скорость автомобиля, едущего сзади, равна $x$ км/ч, тогда скорость автомобиля, едущего впереди, равна $1,4x$ км/ч.

2. Так как автомобили движутся в одном направлении и скорость переднего больше, расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности их скоростей: $v_{уд} = 1,4x - x = 0,4x$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2,25 \text{ ч}$.

4. Увеличение расстояния между автомобилями равно $v_{уд} \cdot t$. Это увеличение равно разности конечного и начального расстояний: $162 - 30 = 132$ км.

5. Составим и решим уравнение:

$0,4x \cdot 2,25 = 132$

$0,9x = 132$

$x = \frac{132}{0,9} = \frac{1320}{9} = \frac{440}{3} = 146\frac{2}{3}$

Таким образом, скорость автомобиля, едущего сзади, равна $146\frac{2}{3}$ км/ч.

6. Скорость автомобиля, едущего впереди: $1,4 \cdot \frac{440}{3} = \frac{14}{10} \cdot \frac{440}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{440}{3} = \frac{7 \cdot 88}{3} = \frac{616}{3} = 205\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля, едущего сзади, — $146\frac{2}{3}$ км/ч, скорость автомобиля, едущего впереди, — $205\frac{1}{3}$ км/ч.

г)

Задача: Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км. Скорость второго автомобиля составляет 0,7 от скорости первого. Они встретились через 40 минут. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

1. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $0,7x$ км/ч.

2. Автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = x + 0,7x = 1,7x$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

4. Расстояние равно произведению скорости сближения на время. Составим уравнение:

$1,7x \cdot \frac{2}{3} = 24$

Решим это уравнение:

$1,7x = \frac{24 \cdot 3}{2}$

$1,7x = 36$

$x = \frac{36}{1,7} = \frac{360}{17} = 21\frac{3}{17}$

Таким образом, скорость первого автомобиля равна $21\frac{3}{17}$ км/ч.

5. Скорость второго автомобиля: $0,7 \cdot \frac{360}{17} = \frac{7}{10} \cdot \frac{360}{17} = \frac{7 \cdot 36}{17} = \frac{252}{17} = 14\frac{14}{17}$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — $21\frac{3}{17}$ км/ч, скорость второго автомобиля — $14\frac{14}{17}$ км/ч.

131 Составь задачи и найди скорости движения автомобилей по схемам:

a) $(x + 15) \text{ км/ч}$ $x \text{ км/ч}$

$243 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин}$

б) $x \text{ км/ч}$ $(x + 32) \text{ км/ч}$

$52 \text{ км}$

$t = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

$d_t = 304 \text{ км}$

в) $x \text{ км/ч}$ $1,4x \text{ км/ч}$

$30 \text{ км}$

$t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$

$d_t = 162 \text{ км}$

г) $x \text{ км/ч}$ $0,7x \text{ км/ч}$

$24 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 40 \text{ мин}$

($d_t$ – расстояние между автомобилями в указанный момент времени $t$.)