Страница 28, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

Среди различных записей найди предложения с переменными, прочитай их и присвой им имена:

1) Москва – столица России.

2) В слове $x$ пять букв.

3) Число $n$ – составное.

4) Прямые $a$ и $b$ параллельны.

5) $a - 9 > 12$.

6) $4c^2 + d - 7$.

7) $2x + 5y = 25z$.

8) $(a - b)c = ac - bc$.

Образец записи: $A(x; y) \Leftrightarrow x + y = 5$.

Предложениями с переменными являются записи, истинность которых зависит от значения входящих в них переменных. Таковыми в данном задании являются записи под номерами 2, 3, 4, 5, 7 и 8. Запись 1) является истинным высказыванием (предложением без переменных), а запись 6) — это математическое выражение, которое не является предложением.

2) Запись «В слове $x$ пять букв» является предложением с одной переменной $x$. Его истинность зависит от того, какое слово подставить вместо $x$. Присвоим ему имя $A(x)$.

Ответ: $A(x) \Leftrightarrow$ «В слове $x$ пять букв».

3) Запись «Число $n$ – составное» является предложением с одной переменной $n$. Его истинность зависит от значения натурального числа $n$. Присвоим ему имя $B(n)$.

Ответ: $B(n) \Leftrightarrow$ «Число $n$ – составное».

4) Запись «Прямые $a$ и $b$ параллельны» является предложением с двумя переменными $a$ и $b$. Его истинность зависит от взаимного расположения прямых $a$ и $b$. Присвоим ему имя $C(a, b)$.

Ответ: $C(a, b) \Leftrightarrow$ «Прямые $a$ и $b$ параллельны».

5) Неравенство $a - 9 > 12$ является предложением с одной переменной $a$. Оно обращается в истинное или ложное высказывание в зависимости от значения $a$. Присвоим ему имя $D(a)$.

Ответ: $D(a) \Leftrightarrow a - 9 > 12$.

7) Уравнение $2x + 5y = 25z$ является предложением с тремя переменными $x, y, z$. Оно становится истинным или ложным в зависимости от значений этих переменных. Присвоим ему имя $E(x, y, z)$.

Ответ: $E(x, y, z) \Leftrightarrow 2x + 5y = 25z$.

8) Равенство $(a - b)c = ac - bc$ является предложением с тремя переменными $a, b, c$. Данное предложение истинно для любых числовых значений переменных $a, b, c$ (является тождеством). Присвоим ему имя $F(a, b, c)$.

Ответ: $F(a, b, c) \Leftrightarrow (a - b)c = ac - bc$.

К 98 Среди различных записей найди предложения с переменными, прочитай их и присвой им имена:

1) Москва – столица России.

2) В слове $x$ пять букв.

3) Число $n$ – составное.

4) Прямые $a$ и $b$ параллельны.

5) $a - 9 > 12$.

6) $4c^2 + d - 7$.

7) $2x + 5y = 25z$.

8) $(a - b)c = ac - bc$.

Образец записи:

$A(x; y) \Leftrightarrow x + y = 5$

99 Подставь в предложения данные значения переменных. Определи истинность или ложность полученных высказываний. Какие предложения истинны при всех натуральных значениях переменных? Какие, наоборот, ложны?

1) $a^2 + 1 = 0$ $(a = 6)$

2) $5b + c^2 = 56$ $(b = 8; c = 4)$

3) $2d^3 - 16 > 20$ $(d = 3)$

4) $8,2 \le x + y < 9,4$ $(x = 2,5; y = 5,7)$

5) число $3m$ делится на 3 $(m = 28)$

6) число $7n + 2$ кратно семи $(n = 5)$

7) дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима $(k = 14)$

8) дробь $\frac{9}{5p}$ - правильная $(p = 2)$

9) $a - (b + c) = a - b - c$ $(a = 9; b = 3,8; c = 1,6)$

10) $a - (b + c) = a - b + c$ $(a = 9; b = 3,8; c = 1,6)$

1) a² + 1 = 0 (a = 6)

Подставляем значение $a = 6$ в левую часть уравнения: $6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$. Получаем равенство $37 = 0$, которое не является верным. Следовательно, высказывание ложно. Ответ: ложно

2) 5b + c² = 56 (b = 8; c = 4)

Подставляем значения $b = 8$ и $c = 4$ в левую часть уравнения: $5 \cdot 8 + 4^2 = 40 + 16 = 56$. Получаем равенство $56 = 56$, которое является верным. Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

3) 2d³ – 16 > 20 (d = 3)

Подставляем значение $d = 3$ в левую часть неравенства: $2 \cdot 3^3 - 16 = 2 \cdot 27 - 16 = 54 - 16 = 38$. Получаем неравенство $38 > 20$, которое является верным. Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

4) 8,2 ≤ x + y < 9,4 (x = 2,5; y = 5,7)

Подставляем значения $x = 2,5$ и $y = 5,7$: $x + y = 2,5 + 5,7 = 8,2$. Получаем двойное неравенство $8,2 \le 8,2 < 9,4$. Оно истинно, так как оба условия выполняются: $8,2 \le 8,2$ (верно) и $8,2 < 9,4$ (верно). Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

5) число 3m делится на 3 (m = 28)

Подставляем $m = 28$ и получаем число $3 \cdot 28 = 84$. Число 84 делится на 3 без остатка ($84 : 3 = 28$). Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

6) число 7n + 2 кратно семи (n = 5)

Подставляем $n = 5$ и получаем число $7 \cdot 5 + 2 = 35 + 2 = 37$. Число 37 не делится на 7 без остатка ($37 = 7 \cdot 5 + 2$). Следовательно, высказывание ложно. Ответ: ложно

7) дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима (k = 14)

Подставляем $k = 14$ и получаем дробь $\frac{14}{14+1} = \frac{14}{15}$. Числитель (14) и знаменатель (15) не имеют общих делителей, кроме 1, то есть они взаимно просты. Значит, дробь несократима. Высказывание истинно. Ответ: истинно

8) дробь $\frac{9}{5p}$ — правильная (p = 2)

Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Подставляем $p = 2$ и получаем дробь $\frac{9}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10}$. Так как числитель $9$ меньше знаменателя $10$, дробь является правильной. Высказывание истинно. Ответ: истинно

9) a – (b + c) = a – b – c (a = 9; b = 3,8; c = 1,6)

Вычисляем левую часть: $9 - (3,8 + 1,6) = 9 - 5,4 = 3,6$. Вычисляем правую часть: $9 - 3,8 - 1,6 = 5,2 - 1,6 = 3,6$. Так как левая и правая части равны ($3,6=3,6$), высказывание истинно. Ответ: истинно

10) a – (b + c) = a – b + c (a = 9; b = 3,8; c = 1,6)

Вычисляем левую часть: $9 - (3,8 + 1,6) = 9 - 5,4 = 3,6$. Вычисляем правую часть: $9 - 3,8 + 1,6 = 5,2 + 1,6 = 6,8$. Так как левая и правая части не равны ($3,6 \ne 6,8$), высказывание ложно. Ответ: ложно

Анализ истинности высказываний для всех натуральных значений переменных

Предложения, истинные при всех натуральных значениях переменных:

• 5) число 3m делится на 3. Это утверждение истинно, так как $3m$ по определению является произведением 3 и натурального числа $m$, а значит, всегда делится на 3.
• 7) дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима. Это утверждение истинно, так как числитель $k$ и знаменатель $k+1$ являются последовательными натуральными числами, которые всегда взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1).
• 9) a – (b + c) = a – b – c. Это равенство является алгебраическим тождеством (правило вычитания суммы из числа) и верно для любых чисел, включая все натуральные.

Предложения, ложные при всех натуральных значениях переменных:

• 1) a² + 1 = 0. Ложно, так как для любого натурального числа $a \ge 1$, значение $a^2 \ge 1$, следовательно $a^2 + 1 \ge 2$. Выражение никогда не может быть равно нулю.
• 6) число 7n + 2 кратно семи. Ложно, так как для любого натурального $n$, число $7n$ делится на 7. Значит, $7n + 2$ при делении на 7 всегда будет давать остаток 2, и никогда не будет кратно 7.
• 10) a – (b + c) = a – b + c. Ложно, так как это равенство равносильно $-c = c$, что верно только при $c=0$. Поскольку по условию рассматриваются натуральные числа, а 0 не является натуральным, равенство всегда ложно.

99 Подставь в предложения данные значения переменных. Определи истинность или ложность полученных высказываний. Какие предложения при всех натуральных значениях переменных истинны, а какие — ложны?

1) $a^2 + 1 = 0$ ($a = 6$);

2) $5b + c^2 = 56$ ($b = 8; c = 4$);

3) $2d^3 - 16 > 20$ ($d = 3$);

4) $8,2 \le x + y < 9,4$ ($x = 2,5; y = 5,7$);

5) Число $3m$ делится на $3$ ($m = 28$);

6) Число $7n + 2$ кратно семи ($n = 5$);

7) Дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима ($k = 14$);

8) Дробь $\frac{9}{5p}$ — правильная ($p = 2$);

9) $a - (b + c) = a - b - c$ ($a = 9; b = 3,8; c = 1,6$);

10) $a - (b + c) = a - b + c$ ($a = 9; b = 3,8; c = 1,6$).

100 Придумай предложение:

а) с одной переменной;

б) с двумя переменными;

в) с тремя переменными.

Подставь значения переменных так, чтобы получилось высказывание. Определи его истинность или ложность.

а) Предложение с одной переменной — это повествовательное предложение, которое содержит переменную и становится высказыванием (истинным или ложным) при подстановке вместо переменной её значения.
Придумаем предложение с одной переменной $x$: «$x + 8 > 20$».
Чтобы это предложение стало высказыванием, подставим вместо переменной $x$ конкретное число. Пусть $x = 15$.
Получим высказывание: «$15 + 8 > 20$».
Чтобы определить его истинность, вычислим левую часть: $15 + 8 = 23$. Получаем неравенство «$23 > 20$». Это верное числовое неравенство, следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Предложение: «$x + 8 > 20$». При $x = 15$ получается истинное высказывание «$23 > 20$».

б) Предложение с двумя переменными зависит от значений обеих переменных.
Придумаем предложение с двумя переменными $a$ и $b$: «$a^2 - b = 10$».
Подставим значения переменных, например, $a = 4$ и $b = 5$.
Получим высказывание: «$4^2 - 5 = 10$».
Определим его истинность. Вычислим левую часть: $16 - 5 = 11$. Получаем равенство «$11 = 10$». Это неверное числовое равенство, следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Предложение: «$a^2 - b = 10$». При $a = 4$ и $b = 5$ получается ложное высказывание «$11 = 10$».

в) Предложение с тремя переменными для превращения в высказывание требует подстановки значений для всех трех переменных.
Придумаем предложение с тремя переменными $x, y, z$: «$(x + y) \cdot z = 100$».
Подставим значения переменных, например, $x = 12$, $y = 8$ и $z = 5$.
Получим высказывание: «$(12 + 8) \cdot 5 = 100$».
Определим его истинность. Выполним вычисления в левой части: $(20) \cdot 5 = 100$. Получаем равенство «$100 = 100$». Это верное числовое равенство, следовательно, высказывание истинно.
Ответ: Предложение: «$(x + y) \cdot z = 100$». При $x = 12, y = 8$ и $z = 5$ получается истинное высказывание «$100 = 100$».

100 Придумай предложение:

a) с одной переменной;

б) с двумя переменными;

в) с тремя переменными. Подставь значения переменных так, чтобы получилось высказывание. Определи его истинность или ложность.

101 Найди все значения переменных, обращающие данные предложения в истинные равенства:

1) $3.3 - 0.3a = 0.33;$

2) $b : 8 - 0.88 = 8.8;$

3) $55 : c + 0.5 = 55.5;$

4) $6.666 : (6 - d) = 6.6;$

5) $7.77 \cdot (0.7 : x + 7) + 7.07 = 77;$

6) $9.99 - 0.99 : (99y - 9.9) = 9.09;$

7) $(0.2z - 22) : 2.2 + 2 = 20.2;$

8) $4.44 - (t : 4.04 - 40.4) : 4 = 0.04.$

Как иначе можно сформулировать это задание?

Что называется уравнением?

Корнем уравнения?

1) $3,3 - 0,3a = 0,33$

В данном уравнении $0,3a$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $3,3$ вычесть разность $0,33$.

$0,3a = 3,3 - 0,33$

$0,3a = 2,97$

Теперь $a$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $2,97$ разделить на известный множитель $0,3$.

$a = 2,97 : 0,3$

$a = 29,7 : 3$

$a = 9,9$

Ответ: $a=9,9$.

2) $b : 8 - 0,88 = 8,8$

Здесь $b : 8$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности $8,8$ прибавить вычитаемое $0,88$.

$b : 8 = 8,8 + 0,88$

$b : 8 = 9,68$

Теперь $b$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, нужно частное $9,68$ умножить на делитель $8$.

$b = 9,68 \cdot 8$

$b = 77,44$

Ответ: $b=77,44$.

3) $55 : c + 0,5 = 55,5$

Здесь $55 : c$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы $55,5$ вычесть известное слагаемое $0,5$.

$55 : c = 55,5 - 0,5$

$55 : c = 55$

Теперь $c$ — неизвестный делитель. Чтобы его найти, нужно делимое $55$ разделить на частное $55$.

$c = 55 : 55$

$c = 1$

Ответ: $c=1$.

4) $6,666 : (6 - d) = 6,6$

В этом уравнении выражение в скобках $(6 - d)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое $6,666$ разделить на частное $6,6$.

$6 - d = 6,666 : 6,6$

$6 - d = 1,01$

Теперь $d$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $6$ вычесть разность $1,01$.

$d = 6 - 1,01$

$d = 4,99$

Ответ: $d=4,99$.

5) $7,77 \cdot (0,7 : x + 7) + 7,07 = 77$

Выражение $7,77 \cdot (0,7 : x + 7)$ является неизвестным слагаемым. Найдем его, вычтя из суммы $77$ известное слагаемое $7,07$.

$7,77 \cdot (0,7 : x + 7) = 77 - 7,07$

$7,77 \cdot (0,7 : x + 7) = 69,93$

Теперь выражение в скобках $(0,7 : x + 7)$ — неизвестный множитель. Найдем его, разделив произведение $69,93$ на известный множитель $7,77$.

$0,7 : x + 7 = 69,93 : 7,77$

$0,7 : x + 7 = 9$

Далее, $0,7 : x$ — неизвестное слагаемое.

$0,7 : x = 9 - 7$

$0,7 : x = 2$

Наконец, $x$ — неизвестный делитель.

$x = 0,7 : 2$

$x = 0,35$

Ответ: $x=0,35$.

6) $9,99 - 0,99 : (99y - 9,9) = 9,09$

Выражение $0,99 : (99y - 9,9)$ является неизвестным вычитаемым. Найдем его, вычтя из уменьшаемого $9,99$ разность $9,09$.

$0,99 : (99y - 9,9) = 9,99 - 9,09$

$0,99 : (99y - 9,9) = 0,9$

Теперь выражение в скобках $(99y - 9,9)$ — неизвестный делитель.

$99y - 9,9 = 0,99 : 0,9$

$99y - 9,9 = 1,1$

Далее, $99y$ — неизвестное уменьшаемое.

$99y = 1,1 + 9,9$

$99y = 11$

Наконец, $y$ — неизвестный множитель.

$y = 11 : 99$

$y = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}$

Ответ: $y=\frac{1}{9}$.

7) $(0,2z - 22) : 2,2 + 2 = 20,2$

Выражение $(0,2z - 22) : 2,2$ является неизвестным слагаемым.

$(0,2z - 22) : 2,2 = 20,2 - 2$

$(0,2z - 22) : 2,2 = 18,2$

Теперь выражение в скобках $(0,2z - 22)$ — неизвестное делимое.

$0,2z - 22 = 18,2 \cdot 2,2$

$0,2z - 22 = 40,04$

Далее, $0,2z$ — неизвестное уменьшаемое.

$0,2z = 40,04 + 22$

$0,2z = 62,04$

Наконец, $z$ — неизвестный множитель.

$z = 62,04 : 0,2$

$z = 310,2$

Ответ: $z=310,2$.

8) $4,44 - (t : 4,04 - 40,4) : 4 = 0,04$

Выражение $(t : 4,04 - 40,4) : 4$ является неизвестным вычитаемым.

$(t : 4,04 - 40,4) : 4 = 4,44 - 0,04$

$(t : 4,04 - 40,4) : 4 = 4,4$

Теперь выражение в скобках $(t : 4,04 - 40,4)$ — неизвестное делимое.

$t : 4,04 - 40,4 = 4,4 \cdot 4$

$t : 4,04 - 40,4 = 17,6$

Далее, $t : 4,04$ — неизвестное уменьшаемое.

$t : 4,04 = 17,6 + 40,4$

$t : 4,04 = 58$

Наконец, $t$ — неизвестное делимое.

$t = 58 \cdot 4,04$

$t = 234,32$

Ответ: $t=234,32$.

Как иначе можно сформулировать это задание?
Это задание можно сформулировать проще: «Решите уравнения».

Что называется уравнением?
Уравнением называется равенство, содержащее переменную (букву), значение которой нужно найти.

Корнем уравнения?
Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.

101 Найди все значения переменных, обращающие данные предложения в истинные равенства.

1) $3.3 - 0.3a = 0.33;$

2) $b \div 8 - 0.88 = 8.8;$

3) $55 \div c + 0.5 = 55.5;$

4) $6.666 \div (6 - d) = 6.6;$

5) $7.77 \cdot (0.7 \div x + 7) + 7.07 = 77;$

6) $9.99 - 0.99 \div (99y - 9.9) = 9.09;$

7) $(0.2z - 22) \div 2.2 + 2 = 20.2;$

8) $4.44 - (t \div 4.04 - 40.4) \div 4 = 0.04.$

104. Поставь вместо звёздочек знаки действий так, чтобы получились верные высказывания:

а) $0.4 * \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$;

б) $3 * 2 \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{3}$;

в) $1 \frac{1}{5} * \frac{5}{8} = 0.75$;

г) $2 \frac{1}{6} * 0.5 = 1 \frac{2}{3}$.

а) $0,4 * \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$

Чтобы найти правильный знак действия, нужно проверить все четыре арифметических действия. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{2}{5} * \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$.

Проверим сложение:

$\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$

Полученное значение совпадает с правой частью равенства, следовательно, пропущенный знак — это «+».

Ответ: $0,4 + \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$

б) $3 * 2\frac{1}{4} = 1\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, чтобы упростить вычисления.

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Выражение принимает вид: $3 * \frac{9}{4} = \frac{4}{3}$.

Проверим деление:

$3 \div \frac{9}{4} = 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 4}{9} = \frac{12}{9}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3}$

Результат совпал с правой частью равенства, значит, верный знак — это «÷».

Ответ: $3 \div 2\frac{1}{4} = 1\frac{1}{3}$

в) $1\frac{1}{5} * \frac{5}{8} = 0,75$

Приведем все числа к одному виду — обыкновенным дробям.

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Выражение принимает вид: $\frac{6}{5} * \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$.

Проверим умножение:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{30}{40}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4}$

Полученное значение равно правой части равенства, поэтому пропущенный знак — это «·».

Ответ: $1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} = 0,75$

г) $2\frac{1}{6} * 0,5 = 1\frac{2}{3}$

Преобразуем все числа в неправильные дроби для выполнения действий.

$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{13}{6} * \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$.

Проверим вычитание:

$\frac{13}{6} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{13}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{13}{6} - \frac{3}{6} = \frac{13 - 3}{6} = \frac{10}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{10 \div 2}{6 \div 2} = \frac{5}{3}$

Результат совпадает с правой частью равенства. Следовательно, искомый знак — это «-».

Ответ: $2\frac{1}{6} - 0,5 = 1\frac{2}{3}$

104 Поставь вместо звездочек знаки действий так, чтобы получились верные высказывания:

а) $0,4 * \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$;

б) $3 * 2\frac{1}{4} = 1\frac{1}{3}$;

в) $1\frac{1}{5} * \frac{5}{8} = 0,75$;

г) $2\frac{1}{6} * 0,5 = 1\frac{2}{3}$.

105 (Устно.) Найди неизвестные члены пропорций:

1) $\frac{5}{8} = \frac{15}{a}$;

2) $\frac{b}{7} = \frac{5}{3}$;

3) $2 : c = 5 : 7$;

4) $0,3 : 2 = d : 8$;

5) $\frac{k}{0,5} = 4 : 11$;

6) $9 : 2 = \frac{n}{5}$;

7) $\frac{1}{3} : 4 = \frac{x}{6}$;

8) $\frac{0,8}{y} = 2 : \frac{3}{4}$.

1) Дана пропорция $\frac{5}{8} = \frac{15}{a}$. Можно заметить, что числитель второй дроби (15) в 3 раза больше числителя первой дроби (5). Так как дроби равны, знаменатель второй дроби $a$ также должен быть в 3 раза больше знаменателя первой (8). Следовательно, $a = 8 \cdot 3 = 24$. Для проверки можно использовать основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. $5 \cdot a = 8 \cdot 15$, откуда $5a = 120$, и $a = \frac{120}{5} = 24$.
Ответ: $24$.

2) В пропорции $\frac{b}{7} = \frac{5}{3}$ применим основное свойство: произведение крайних членов ($b$ и $3$) равно произведению средних членов ($7$ и $5$). Получаем уравнение: $b \cdot 3 = 7 \cdot 5$, или $3b = 35$. Отсюда находим $b$: $b = \frac{35}{3}$. Переведем неправильную дробь в смешанное число: $b = 11\frac{2}{3}$.
Ответ: $11\frac{2}{3}$.

3) Запишем отношение $2 : c = 5 : 7$ в виде пропорции дробей: $\frac{2}{c} = \frac{5}{7}$. По основному свойству пропорции: $2 \cdot 7 = c \cdot 5$. Получаем $14 = 5c$. Отсюда $c = \frac{14}{5}$. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $c = 2.8$.
Ответ: $2.8$.

4) В пропорции $0.3 : 2 = d : 8$ можно заметить, что второй член второго отношения (8) в 4 раза больше второго члена первого отношения (2). Следовательно, первый член второго отношения $d$ должен быть в 4 раза больше первого члена первого отношения (0.3). Получаем $d = 0.3 \cdot 4 = 1.2$. Проверим по основному свойству пропорции: $0.3 \cdot 8 = 2 \cdot d$, откуда $2.4 = 2d$, и $d = \frac{2.4}{2} = 1.2$.
Ответ: $1.2$.

5) Запишем пропорцию $\frac{k}{0.5} = 4 : 11$ в виде равенства дробей: $\frac{k}{0.5} = \frac{4}{11}$. Используя основное свойство пропорции, получаем: $k \cdot 11 = 0.5 \cdot 4$. Выполняем вычисления: $11k = 2$. Находим $k$: $k = \frac{2}{11}$.
Ответ: $\frac{2}{11}$.

6) Запишем левую часть $9 : 2$ в виде дроби, чтобы получить пропорцию: $\frac{9}{2} = \frac{n}{5}$. По основному свойству пропорции: $9 \cdot 5 = 2 \cdot n$. Вычисляем: $45 = 2n$. Отсюда $n = \frac{45}{2}$, что равно $22.5$.
Ответ: $22.5$.

7) Сначала упростим левую часть равенства $\frac{1}{3} : 4 = \frac{x}{6}$. Деление на 4 равносильно умножению на $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{3} : 4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. Теперь наше уравнение выглядит как пропорция: $\frac{1}{12} = \frac{x}{6}$. Применяя основное свойство пропорции, имеем $1 \cdot 6 = 12 \cdot x$, или $6 = 12x$. Отсюда $x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ или $0.5$.
Ответ: $0.5$.

8) В пропорции $\frac{0.8}{y} = 2 : \frac{3}{4}$ упростим правую часть: $2 : \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$. Пропорция принимает вид: $\frac{0.8}{y} = \frac{8}{3}$. Заметим, что числитель правой дроби (8) в 10 раз больше числителя левой дроби (0.8). Значит, знаменатель правой дроби (3) также должен быть в 10 раз больше знаменателя левой дроби ($y$). То есть $3 = 10y$, откуда $y = \frac{3}{10} = 0.3$.
Ответ: $0.3$.

105 (Устно.) Найди неизвестные члены пропорций:

1) $ \frac{5}{8} = \frac{15}{a} $;

2) $ \frac{b}{7} = \frac{5}{3} $;

3) $ 2 : c = 5 : 7 $;

4) $ 0,3 : 2 = d : 8 $;

5) $ \frac{k}{0,5} = 4 : 11 $;

6) $ 9 : 2 = \frac{n}{5} $;

7) $ \frac{1}{3} : 4 = \frac{x}{6} $;

8) $ \frac{0,8}{y} = 2 : \frac{3}{4} $.

106 Реши уравнения:

1) $2\frac{1}{7} : (1,5a) = \frac{5}{14} : 0,8;$

2) $\frac{4,8}{1\frac{7}{9}} = (1,2b) : 6\frac{2}{3};$

3) $3,8 : (4c + 3) = 2 : \frac{2}{19};$

4) $\frac{0,3d - 1,5}{3\frac{1}{3}} = 0,84 : \frac{7}{15};$

5) $\frac{3x - 1}{5} = \frac{x + 1}{3};$

6) $\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = \frac{y + 3}{8}.$

1) $2\frac{1}{7} : (1,5a) = \frac{5}{14} : 0,8$
Данное уравнение является пропорцией. Для начала преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:
$2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$; $1,5 = \frac{3}{2}$; $0,8 = \frac{4}{5}$
Подставим полученные значения в уравнение:
$\frac{15}{7} : (\frac{3}{2}a) = \frac{5}{14} : \frac{4}{5}$
Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$\frac{15}{7} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{2}a \cdot \frac{5}{14}$
Упростим обе части уравнения:
$\frac{15 \cdot 4}{7 \cdot 5} = \frac{12}{7}$
$\frac{3a \cdot 5}{2 \cdot 14} = \frac{15a}{28}$
Получаем уравнение:
$\frac{12}{7} = \frac{15a}{28}$
Выразим $a$:
$a = \frac{12}{7} : \frac{15}{28} = \frac{12}{7} \cdot \frac{28}{15} = \frac{12 \cdot 28}{7 \cdot 15} = \frac{4 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{16}{5} = 3,2$
Ответ: $3,2$

2) $\frac{4,8}{1\frac{7}{9}} = (1,2b) : 6\frac{2}{3}$
Запишем уравнение в виде пропорции: $4,8 : 1\frac{7}{9} = (1,2b) : 6\frac{2}{3}$
Преобразуем все числа в дроби:
$4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$; $1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}$; $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$; $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$
Подставим дроби в пропорцию:
$\frac{24}{5} : \frac{16}{9} = \frac{6}{5}b : \frac{20}{3}$
Используем основное свойство пропорции:
$\frac{24}{5} \cdot \frac{20}{3} = \frac{16}{9} \cdot \frac{6}{5}b$
Упростим левую часть: $\frac{24 \cdot 20}{5 \cdot 3} = 8 \cdot 4 = 32$
Упростим правую часть: $\frac{16 \cdot 6}{9 \cdot 5}b = \frac{16 \cdot 2}{3 \cdot 5}b = \frac{32}{15}b$
Получаем уравнение:
$32 = \frac{32}{15}b$
Найдем $b$:
$b = 32 : \frac{32}{15} = 32 \cdot \frac{15}{32} = 15$
Ответ: $15$

3) $3,8 : (4c + 3) = 2 : 2\frac{2}{19}$
Преобразуем числа в дроби:
$3,8 = \frac{38}{10} = \frac{19}{5}$; $2\frac{2}{19} = \frac{2 \cdot 19 + 2}{19} = \frac{40}{19}$
Подставим в пропорцию:
$\frac{19}{5} : (4c + 3) = 2 : \frac{40}{19}$
По основному свойству пропорции:
$\frac{19}{5} \cdot \frac{40}{19} = 2 \cdot (4c + 3)$
Упростим левую часть: $\frac{19 \cdot 40}{5 \cdot 19} = \frac{40}{5} = 8$
Получаем уравнение:
$8 = 2(4c+3)$
Разделим обе части на 2:
$4 = 4c + 3$
$4 - 3 = 4c$
$1 = 4c$
$c = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: $0,25$

4) $\frac{0,3d - 1,5}{3\frac{1}{3}} = 0,84 : \frac{7}{15}$
Сначала вычислим значение выражения в правой части уравнения:
$0,84 : \frac{7}{15} = \frac{84}{100} : \frac{7}{15} = \frac{21}{25} \cdot \frac{15}{7} = \frac{21 \cdot 15}{25 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{0,3d - 1,5}{3\frac{1}{3}} = \frac{9}{5}$
Преобразуем знаменатель левой части: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
Запишем левую часть как деление:
$(0,3d - 1,5) : \frac{10}{3} = \frac{9}{5}$
Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель:
$0,3d - 1,5 = \frac{9}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{9 \cdot 10}{5 \cdot 3} = 3 \cdot 2 = 6$
Получаем простое линейное уравнение:
$0,3d - 1,5 = 6$
$0,3d = 6 + 1,5$
$0,3d = 7,5$
$d = 7,5 : 0,3 = 75 : 3 = 25$
Ответ: $25$

5) $\frac{3x - 1}{5} = \frac{x + 1}{3}$
Это пропорция. Используем правило перекрестного умножения:
$3(3x - 1) = 5(x + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$9x - 3 = 5x + 5$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные — в правой:
$9x - 5x = 5 + 3$
$4x = 8$
Найдем $x$:
$x = \frac{8}{4} = 2$
Ответ: $2$

6) $\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = \frac{y + 3}{8}$
Упростим левую часть уравнения. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = 0,5y \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{2}y \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}y$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{9y}{8} = \frac{y + 3}{8}$
Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:
$9y = y + 3$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть:
$9y - y = 3$
$8y = 3$
Найдем $y$:
$y = \frac{3}{8}$
Ответ: $\frac{3}{8}$

106 Реши уравнения:

1) $2\frac{1}{7} : (1,5a) = \frac{5}{14} : 0,8;$

2) $\frac{4,8}{1\frac{1}{9}} = (1,2b) : 6\frac{2}{3};$

3) $3,8 : (4c + 3) = 2 : 2\frac{2}{19};$

4) $\frac{0,3d - 1,5}{\frac{1}{3}} = 0,84 : \frac{7}{15};$

5) $\frac{3x - 1}{5} = \frac{x + 1}{3};$

6) $\frac{0,5y}{\frac{4}{9}} = \frac{y + 3}{8}.$

107 Составь уравнения и реши их, используя правило «весов».

1) Задуманное число увеличили в 5 раз, затем уменьшили на 3 и полученную разность уменьшили вдвое. В результате получили число на 0,3 меньше задуманного. Какое число задумали?

$\frac{5x - 3}{2} = x - 0.3$

2) Задуманное число утроили, затем результат вычли из 10, полученную разность увеличили в 2 раза, а потом ещё на 2. Число, полученное в результате всех преобразований, оказалось в 5 раз больше задуманного. Какое число задумали?

$2(10 - 3x) + 2 = 5x$

1)

Обозначим задуманное число переменной $x$.
Следуя условиям задачи, составим уравнение шаг за шагом:
1. Задуманное число увеличили в 5 раз: $5x$
2. Затем уменьшили на 3: $5x - 3$
3. Полученную разность уменьшили вдвое: $\frac{5x - 3}{2}$
Результат оказался на 0,3 меньше задуманного числа, то есть равен $x - 0,3$.
Теперь приравняем полученное выражение к результату, как чаши весов:

$\frac{5x - 3}{2} = x - 0,3$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \frac{5x - 3}{2} = 2 \cdot (x - 0,3)$

$5x - 3 = 2x - 0,6$

Теперь перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим 3 к обеим частям:

$5x - 2x - 3 + 3 = 2x - 2x - 0,6 + 3$

$3x = 2,4$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2,4}{3}$

$x = 0,8$

Ответ: 0,8

2)

Пусть задуманное число — это $y$.
Составим уравнение по условиям задачи:
1. Задуманное число утроили: $3y$
2. Результат вычли из 10: $10 - 3y$
3. Полученную разность увеличили в 2 раза: $2 \cdot (10 - 3y)$
4. А потом ещё на 2: $2 \cdot (10 - 3y) + 2$
Итоговое число оказалось в 5 раз больше задуманного, то есть равно $5y$.
Составим и решим уравнение:

$2 \cdot (10 - 3y) + 2 = 5y$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$20 - 6y + 2 = 5y$

Сложим числа в левой части:

$22 - 6y = 5y$

Чтобы "собрать" все слагаемые с $y$ в одной части, прибавим $6y$ к обеим частям уравнения:

$22 - 6y + 6y = 5y + 6y$

$22 = 11y$

Теперь разделим обе части на 11, чтобы найти $y$:

$y = \frac{22}{11}$

$y = 2$

Ответ: 2

107 Составь уравнения и реши их, используя правило "весов":

1) Задуманное число увеличили в 5 раз, затем уменьшили на 3 и полученную разность уменьшили вдвое. В результате получили число на 0,3 меньше задуманного. Какое число задумали?

$\frac{5x - 3}{2} = x - 0.3$

2) Задуманное число утроили, затем результат вычли из 10, полученную разность увеличили в 2 раза, а потом еще на 2. Число, полученное в результате всех преобразований, оказалось в 5 раз больше задуманного. Какое число задумали?

$2(10 - 3x) + 2 = 5x$

108 1) Один трактор вспахал 15 % всего поля и ещё 1,2 га, а второй – $\frac{3}{5}$ всего поля и остальные 0,3 га. Вместе они вспахали всё поле. Чему равна площадь поля?

2) Рабочий сделал 60 % всего задания и ещё 8 деталей, а его ученик – пятую часть всего задания и остальные 7 деталей. Вместе они сделали всё задание. Сколько всего деталей сделали вместе мастер и ученик?

1)

Обозначим общую площадь поля за $x$ гектаров (га).

Первый трактор вспахал $15~\%$ всего поля и ещё $1,2$ га. В виде выражения это можно записать как $0,15x + 1,2$ га.

Второй трактор вспахал $\frac{3}{5}$ всего поля и ещё $0,3$ га. В виде выражения это составляет $\frac{3}{5}x + 0,3$ га.

Поскольку вместе они вспахали всё поле, сумма работы двух тракторов равна общей площади поля. Составим и решим уравнение:

$(0,15x + 1,2) + (\frac{3}{5}x + 0,3) = x$

Для удобства вычислений представим дробь $\frac{3}{5}$ в виде десятичного числа: $\frac{3}{5} = 0,6$.

$0,15x + 1,2 + 0,6x + 0,3 = x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(0,15x + 0,6x) + (1,2 + 0,3) = x$

$0,75x + 1,5 = x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону уравнения:

$x - 0,75x = 1,5$

$0,25x = 1,5$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1,5}{0,25} = 6$

Следовательно, площадь всего поля равна $6$ га.

Ответ: $6$ га.

2)

Пусть общее количество деталей в задании равно $y$.

Рабочий сделал $60~\%$ всего задания и ещё $8$ деталей, что составляет $0,6y + 8$ деталей.

Его ученик сделал пятую часть (то есть $\frac{1}{5}$) всего задания и ещё $7$ деталей, что составляет $\frac{1}{5}y + 7$ деталей.

Так как вместе они выполнили всё задание, сумма сделанных ими деталей равна общему количеству деталей. Составим и решим уравнение:

$(0,6y + 8) + (\frac{1}{5}y + 7) = y$

Переведем дробь $\frac{1}{5}$ в десятичную форму: $\frac{1}{5} = 0,2$.

$0,6y + 8 + 0,2y + 7 = y$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(0,6y + 0,2y) + (8 + 7) = y$

$0,8y + 15 = y$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону:

$y - 0,8y = 15$

$0,2y = 15$

Найдем $y$:

$y = \frac{15}{0,2} = 75$

Таким образом, всё задание состояло из $75$ деталей. Это и есть общее количество деталей, которые сделали вместе мастер и ученик.

Ответ: $75$ деталей.

108 1) Один трактор вспахал 15% всего поля и еще 1,2 га, а второй – $\frac{3}{5}$ всего поля и остальные 0,3 га. Вместе они вспахали все поле. Чему равна площадь поля?

2) Рабочий сделал 60% всего задания и еще 8 деталей, а его ученик – пятую часть всего задания и остальные 7 деталей. Вместе они сделали все задание. Сколько всего деталей сделали вместе мастер и ученик?

109 В результате реконструкции на одном заводе выпуск автомобилей увеличился с 8 до 10 тыс. штук в год, а на другом – с 10 до 12 тыс. штук в год. На каком заводе увеличение выпуска продукции в процентном отношении больше?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо рассчитать процентное увеличение выпуска автомобилей для каждого завода. Процентное увеличение вычисляется по формуле:

$$ \text{Процентное увеличение} = \frac{\text{Абсолютное увеличение}}{\text{Начальное значение}} \times 100\% $$

где абсолютное увеличение - это разница между новым и начальным значением.

Первый завод

Начальный выпуск автомобилей составлял 8 тыс. штук, а после реконструкции - 10 тыс. штук.

1. Найдем абсолютное увеличение выпуска:

$10 \text{ тыс. шт.} - 8 \text{ тыс. шт.} = 2 \text{ тыс. шт.}$

2. Рассчитаем процентное увеличение, приняв за 100% начальный выпуск (8 тыс. шт.):

$$ \frac{2}{8} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\% $$

Таким образом, на первом заводе выпуск увеличился на 25%.

Второй завод

Начальный выпуск автомобилей составлял 10 тыс. штук, а после реконструкции - 12 тыс. штук.

1. Найдем абсолютное увеличение выпуска:

$12 \text{ тыс. шт.} - 10 \text{ тыс. шт.} = 2 \text{ тыс. шт.}$

2. Рассчитаем процентное увеличение, приняв за 100% начальный выпуск (10 тыс. шт.):

$$ \frac{2}{10} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\% $$

Таким образом, на втором заводе выпуск увеличился на 20%.

Сравнение результатов

Сравниваем процентные увеличения на двух заводах: $25\%$ на первом заводе и $20\%$ на втором.

$25\% > 20\%$

Следовательно, увеличение выпуска продукции в процентном отношении было больше на первом заводе.

Ответ: увеличение выпуска продукции в процентном отношении больше на первом заводе.

109 В результате реконструкции на одном заводе выпуск автомобилей увеличился с 8 до 10 тыс. штук в год, а на другом – с 10 до 12 тыс. штук в год. На каком заводе увеличение выпуска продукции в процентном отношении больше?

110 Выпуск продукции в прошлом году снизился на 10 %, а в текущем – повысился на 20 %. (Выпуск продукции сравнивается каждый раз с предыдущим годом.) Как изменился процент выпуска продукции за два года?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальный объем выпуска продукции (два года назад).

В прошлом году выпуск продукции снизился на 10%. Это означает, что новый объем составил $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначального. Выразим это математически:

$x_{1} = x \cdot (1 - 0.10) = 0.9x$

В текущем году выпуск повысился на 20%. Важно отметить, что это повышение рассчитывается от объема продукции прошлого года ($x_{1}$), а не от первоначального. Увеличение на 20% означает, что новый объем составит $100\% + 20\% = 120\%$ от прошлогоднего. Рассчитаем конечный объем продукции ($x_{2}$):

$x_{2} = x_{1} \cdot (1 + 0.20) = (0.9x) \cdot 1.2 = 1.08x$

Теперь необходимо определить, как изменился выпуск продукции за весь период в два года. Для этого нужно сравнить конечный объем ($x_{2} = 1.08x$) с первоначальным объемом ($x$).

Найдем, какую долю составляет конечный объем от начального:

$\frac{x_{2}}{x} = \frac{1.08x}{x} = 1.08$

Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100%:

$1.08 \cdot 100\% = 108\%$

Это означает, что конечный объем продукции составляет 108% от первоначального. Чтобы найти процентное изменение, вычтем из этого значения 100%:

$108\% - 100\% = 8\%$

Поскольку результат является положительным числом, это означает, что за два года произошел рост выпуска продукции.

Ответ: за два года выпуск продукции увеличился на 8%.

110 Выпуск продукции в прошлом году снизился на 10%, а в текущем – повысился на 20%. (Выпуск продукции сравнивается каждый раз с предыдущим годом.) Как изменился процент выпуска продукции за два года?

111 Во время эпидемии резко – в $3.6$ раза по сравнению с обычным уровнем – возросло число заболеваний дифтерией. В результате лечебно-профилактических мероприятий число заболеваний снизилось на $75\%$. Когда заболеваемость была ниже – до эпидемии или после проведения профилактических мероприятий – и на сколько процентов?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это обычный (первоначальный) уровень заболеваемости дифтерией.

1. Во время эпидемии число заболеваний возросло в 3,6 раза по сравнению с обычным уровнем. Следовательно, новый уровень заболеваемости составил:
$x \cdot 3.6 = 3.6x$

2. В результате лечебно-профилактических мероприятий число заболеваний (которое было на уровне $3.6x$) снизилось на 75%. Это означает, что от пикового уровня осталось $100\% - 75\% = 25\%$, или 0,25. Вычислим итоговый уровень заболеваемости:
$(3.6x) \cdot 0.25 = 0.9x$

3. Теперь сравним первоначальный уровень заболеваемости ($x$) с уровнем после проведения мероприятий ($0.9x$).
Так как $0.9x < 1x$, то уровень заболеваемости после проведения профилактических мероприятий оказался ниже, чем до эпидемии.

4. Чтобы определить, на сколько процентов итоговый уровень ниже первоначального, найдем их разницу и выразим ее в процентах от первоначального уровня.
Разница составляет: $x - 0.9x = 0.1x$.
Теперь найдем, какую часть эта разница составляет от первоначального уровня $x$:
$\frac{0.1x}{x} \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: Заболеваемость была ниже после проведения профилактических мероприятий. Она оказалась на 10% ниже, чем до эпидемии.

111 Во время эпидемии резко – в 3,6 раза по сравнению с обычным уровнем – возросло число заболеваний дифтерией. В результате лечебно-профилактических мероприятий число заболеваний снизилось на 75%. Когда заболеваемость была ниже – до эпидемии или после проведения профилактических мероприятий – и на сколько процентов?

115 а) От начала суток прошло 20 % времени, которое осталось до конца суток. Который сейчас час?

б) До конца суток осталось $ \frac{3}{5} $ времени, прошедшего от начала суток. Который сейчас час?

а) В сутках 24 часа. Пусть $x$ — это время в часах, которое осталось до конца суток. Тогда время, которое прошло от начала суток, составляет $20\%$ от $x$, то есть $0.2x$. Сумма прошедшего и оставшегося времени равна 24 часам. Составим и решим уравнение:
$x + 0.2x = 24$
$1.2x = 24$
$x = \frac{24}{1.2}$
$x = 20$
Таким образом, до конца суток осталось 20 часов. Чтобы найти текущее время, нужно из общего времени в сутках вычесть оставшееся:
$24 - 20 = 4$ часа.
Следовательно, сейчас 4 часа утра.
Ответ: 4:00.

б) В сутках 24 часа. Пусть $x$ — это время в часах, которое прошло от начала суток. Тогда время, которое осталось до конца суток, составляет $\frac{3}{5}$ от прошедшего времени, то есть $\frac{3}{5}x$. Сумма прошедшего и оставшегося времени равна 24 часам. Составим и решим уравнение:
$x + \frac{3}{5}x = 24$
$\frac{5}{5}x + \frac{3}{5}x = 24$
$\frac{8}{5}x = 24$
$x = 24 \div \frac{8}{5}$
$x = 24 \cdot \frac{5}{8}$
$x = 3 \cdot 5 = 15$
Таким образом, от начала суток прошло 15 часов. Это и есть текущее время.
Ответ: 15:00.

115 a) От начала суток прошло 20% времени, которое осталось до конца суток. Который сейчас час?

б) До конца суток осталось $\frac{3}{5}$ времени, прошедшего от начала суток. Который сейчас час?