Страница 24, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

83 Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди число:

1) $\frac{3}{7}$ которого составляют $1\frac{1}{14}$;

2) 1,6 которого составляют 8;

3) $45 \%$ которого составляют 99;

4) $120 \%$ которого составляют 8,4.

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть (известное значение) разделить на дробь, которая выражает эту часть. То есть, если нам известно, что число $b$ составляет дробь (или десятичное число, или процент) $p$ от искомого числа $a$, то для нахождения $a$ нужно выполнить деление: $a = b \div p$.

1) $\frac{3}{7}$ которого составляют $1\frac{1}{14}$

Пусть искомое число – это $x$. Согласно условию, $\frac{3}{7}$ от числа $x$ равны $1\frac{1}{14}$. Составим уравнение:

$x \cdot \frac{3}{7} = 1\frac{1}{14}$

Чтобы найти $x$, нужно значение части ($1\frac{1}{14}$) разделить на саму часть ($\frac{3}{7}$):

$x = 1\frac{1}{14} \div \frac{3}{7}$

Переведем смешанное число $1\frac{1}{14}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

Теперь выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$x = \frac{15}{14} \div \frac{3}{7} = \frac{15}{14} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15 \cdot 7}{14 \cdot 3}$

Сократим числитель и знаменатель: $15$ и $3$ на $3$, а $14$ и $7$ на $7$.

$x = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5.

2) 1,6 которого составляют 8

Пусть искомое число – это $x$. По условию, $1,6$ от $x$ равны $8$. Составим уравнение:

$x \cdot 1,6 = 8$

Чтобы найти $x$, разделим $8$ на $1,6$:

$x = 8 \div 1,6$

Для удобства вычислений, умножим делимое и делитель на $10$, чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе:

$x = 80 \div 16 = 5$

Ответ: 5.

3) 45 % которого составляют 99

Пусть искомое число – это $x$. По условию, $45\%$ от $x$ равны $99$.

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби:

$45\% = \frac{45}{100} = 0,45$

Теперь задача сводится к нахождению числа, $0,45$ которого составляют $99$. Составим уравнение:

$x \cdot 0,45 = 99$

Найдем $x$:

$x = 99 \div 0,45$

Умножим делимое и делитель на $100$:

$x = 9900 \div 45 = 220$

Ответ: 220.

4) 120 % которого составляют 8,4

Пусть искомое число – это $x$. По условию, $120\%$ от $x$ равны $8,4$.

Представим проценты в виде десятичной дроби:

$120\% = \frac{120}{100} = 1,2$

Составим уравнение:

$x \cdot 1,2 = 8,4$

Найдем $x$:

$x = 8,4 \div 1,2$

Умножим делимое и делитель на $10$:

$x = 84 \div 12 = 7$

Ответ: 7.

83 Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди число:

1) $ \frac{3}{7} $ которого составляют $ 1\frac{1}{14} $;

2) 1,6 которого составляют 8;

3) 45% которого составляют 99;

4) 120% которого составляют 8,4.

84 Как найти часть, которую одно число составляет от другого? Какую часть:

1) число 24 составляет от числа 60;

2) число $2\frac{1}{6}$ составляет от числа $8\frac{2}{3}$;

3) число 1,5 составляет от числа 3;

4) число 0,4 составляет от числа $\frac{8}{9}$?

Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число (которое составляет часть) разделить на второе число (целое).

1) число 24 составляет от числа 60;

Чтобы найти, какую часть число 24 составляет от числа 60, необходимо разделить 24 на 60. Запишем это в виде дроби:

$ \frac{24}{60} $

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 24 и 60 равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12:

$ \frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2) число $2\frac{1}{6}$ составляет от числа $8\frac{2}{3}$;

Для решения необходимо сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби:

$ 2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} $

$ 8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3} $

Теперь разделим первую дробь на вторую. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{13}{6} \div \frac{26}{3} = \frac{13}{6} \cdot \frac{3}{26} $

Прежде чем перемножить дроби, сократим их:

$ \frac{13 \cdot 3}{6 \cdot 26} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

3) число 1,5 составляет от числа 3;

Чтобы найти, какую часть число 1,5 составляет от числа 3, разделим 1,5 на 3:

$ \frac{1,5}{3} $

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем сократить:

$ \frac{1,5 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} $

Также можно представить 1,5 как $ \frac{3}{2} $ и выполнить деление:

$ \frac{3}{2} \div 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) число 0,4 составляет от числа $\frac{8}{9}$?

Сначала представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби:

$ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Теперь разделим полученную дробь на $ \frac{8}{9} $. Для этого умножим $ \frac{2}{5} $ на дробь, обратную $ \frac{8}{9} $, то есть на $ \frac{9}{8} $:

$ \frac{2}{5} \div \frac{8}{9} = \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{8} $

Сократим дроби перед умножением:

$ \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20} $

Ответ: $ \frac{9}{20} $.

84 Как найти часть, которую одно число составляет от другого? Какую часть:

1) число 24 составляет от числа 60; 3) число 1,5 составляет от числа 3;

2) число $2\frac{1}{6}$ составляет от числа $8\frac{2}{3}$; 4) число 0,4 составляет от числа $\frac{8}{9}$?

85 Переведи на математический язык.

1) Сумма числа a и утроенного числа b. $a + 3b$

2) Утроенная сумма чисел a и b. $3(a+b)$

3) Частное квадратов чисел c и d. $\frac{c^2}{d^2}$

4) Квадрат частного чисел c и d. $(\frac{c}{d})^2$

5) Утроенный квадрат числа k. $3k^2$

6) Квадрат утроенного числа k. $(3k)^2$

7) Куб суммы удвоенного числа x и числа y. $(2x+y)^3$

8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y. $(2x)^3 + y^3$

1) Сумма числа a и утроенного числа b.

"Сумма" означает операцию сложения (+). Первое слагаемое — это "число a". Второе слагаемое — "утроенное число b", что означает число b, умноженное на 3, то есть $3b$. Таким образом, мы складываем $a$ и $3b$.
Ответ: $a + 3b$

2) Утроенная сумма чисел a и b.

Сначала находим "сумму чисел a и b", которая записывается как $(a + b)$. Слово "утроенная" указывает на то, что всю эту сумму необходимо умножить на 3. Скобки в данном случае обязательны, так как умножается результат сложения, а не одно из слагаемых.
Ответ: $3(a + b)$

3) Частное квадратов чисел c и d.

"Частное" — это результат деления. "Квадраты чисел c и d" — это $c^2$ и $d^2$ соответственно. Фраза целиком означает, что нужно разделить квадрат первого числа на квадрат второго.
Ответ: $\frac{c^2}{d^2}$

4) Квадрат частного чисел c и d.

Здесь порядок действий обратный. Сначала вычисляется "частное чисел c и d", то есть результат деления $c$ на $d$ ($\frac{c}{d}$). Затем полученный результат возводится в "квадрат" (во вторую степень).
Ответ: $(\frac{c}{d})^2$

5) Утроенный квадрат числа k.

"Квадрат числа k" записывается как $k^2$. "Утроенный" означает умножение этого выражения на 3.
Ответ: $3k^2$

6) Квадрат утроенного числа k.

В этом выражении сначала нужно "утроить число k", то есть умножить его на 3, получив $3k$. Затем это "утроенное число" возводится в "квадрат".
Ответ: $(3k)^2$

7) Куб суммы удвоенного числа x и числа y.

Находим "сумму" двух слагаемых. Первое слагаемое — "удвоенное число x", то есть $2x$. Второе слагаемое — "число y". Их сумма — $(2x + y)$. "Куб" означает, что всю эту сумму нужно возвести в третью степень.
Ответ: $(2x + y)^3$

8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y.

Здесь "сумма" — это сложение двух кубов. Первый член суммы — "куб удвоенного числа x". Находим "удвоенное число x" ($2x$) и возводим его в куб — $(2x)^3$. Второй член суммы — "куб числа y", то есть $y^3$. Затем складываем полученные результаты.
Ответ: $(2x)^3 + y^3$

85 Переведи на математический язык:

1) Сумма числа a и утроенного числа b. $a + 3b$

2) Утроенная сумма чисел a и b. $3(a + b)$

3) Частное квадратов чисел c и d. $\frac{c^2}{d^2}$

4) Квадрат частного чисел c и d. $(\frac{c}{d})^2$

5) Утроенный квадрат числа k. $3k^2$

6) Квадрат утроенного числа k. $(3k)^2$

7) Куб суммы удвоенного числа x и числа y. $(2x + y)^3$

8) Сумма кубов удвоенного числа x и числа y. $(2x)^3 + y^3$

9) Произведение разности чисел m и n и квадрата числа k. $(m - n)k^2$

10) Разность произведения чисел m и n и квадрата числа k. $mn - k^2$

86 1) Найди дроби, которые можно перевести в конечные десятичные. Представь их в виде конечных десятичных дробей, расположи в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Что означает получившееся слово?

$ \frac{7}{18} $, $ \frac{3}{6} $, $ \frac{12}{25} $, $ \frac{5}{14} $, $ \frac{21}{50} $, $ \frac{9}{16} $, $ \frac{11}{24} $, $ \frac{17}{20} $, $ \frac{9}{36} $, $ \frac{25}{48} $, $ \frac{15}{13} $, $ \frac{27}{40} $, $ \frac{12}{61} $, $ \frac{2}{45} $.

М О Р И А К Д О Б Е Л К У В

2) Найди наибольшую из оставшихся дробей. Замени её конечной десятичной дробью, округлив с точностью до десятых, сотых, тысячных.

1)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель несократимой дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.

Проанализируем каждую дробь:

• $ \frac{7}{18} $ (М): знаменатель $ 18 = 2 \cdot 3^2 $. Содержит множитель 3, нельзя перевести.
• $ \frac{3}{6} $ (О): сокращаем до $ \frac{1}{2} $. Знаменатель 2. Можно перевести: $ \frac{1}{2} = 0.5 $.
• $ \frac{12}{25} $ (Р): знаменатель $ 25 = 5^2 $. Можно перевести: $ \frac{12}{25} = \frac{48}{100} = 0.48 $.
• $ \frac{5}{14} $ (И): знаменатель $ 14 = 2 \cdot 7 $. Содержит множитель 7, нельзя перевести.
• $ \frac{21}{50} $ (А): знаменатель $ 50 = 2 \cdot 5^2 $. Можно перевести: $ \frac{21}{50} = \frac{42}{100} = 0.42 $.
• $ \frac{9}{16} $ (К): знаменатель $ 16 = 2^4 $. Можно перевести: $ \frac{9}{16} = 0.5625 $.
• $ \frac{11}{24} $ (Д): знаменатель $ 24 = 2^3 \cdot 3 $. Содержит множитель 3, нельзя перевести.
• $ \frac{17}{20} $ (О): знаменатель $ 20 = 2^2 \cdot 5 $. Можно перевести: $ \frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 0.85 $.
• $ \frac{9}{36} $ (Б): сокращаем до $ \frac{1}{4} $. Знаменатель $ 4 = 2^2 $. Можно перевести: $ \frac{1}{4} = 0.25 $.
• $ \frac{25}{48} $ (Е): знаменатель $ 48 = 2^4 \cdot 3 $. Содержит множитель 3, нельзя перевести.
• $ \frac{15}{13} $ (Л): знаменатель 13. Содержит множитель 13, нельзя перевести.
• $ \frac{27}{40} $ (К): знаменатель $ 40 = 2^3 \cdot 5 $. Можно перевести: $ \frac{27}{40} = \frac{675}{1000} = 0.675 $.
• $ \frac{12}{61} $ (У): знаменатель 61. Содержит множитель 61, нельзя перевести.
• $ \frac{2}{45} $ (В): знаменатель $ 45 = 3^2 \cdot 5 $. Содержит множитель 3, нельзя перевести.

Дроби, которые можно перевести в конечные десятичные:

• Б: $ \frac{9}{36} = 0.25 $
• А: $ \frac{21}{50} = 0.42 $
• Р: $ \frac{12}{25} = 0.48 $
• О: $ \frac{3}{6} = 0.5 $
• К: $ \frac{9}{16} = 0.5625 $
• К: $ \frac{27}{40} = 0.675 $
• О: $ \frac{17}{20} = 0.85 $

Расположим эти десятичные дроби в порядке возрастания и сопоставим им буквы:

0.25 (Б), 0.42 (А), 0.48 (Р), 0.5 (О), 0.5625 (К), 0.675 (К), 0.85 (О).

Получившееся слово: БАРОККО.

Барокко — это художественный стиль в европейском искусстве и архитектуре конца XVI — середины XVIII веков, для которого характерны пышность, динамичность и драматизм.

Ответ: Получилось слово БАРОККО, которое означает художественный стиль в искусстве.

2)

Оставшиеся дроби: $ \frac{7}{18}, \frac{5}{14}, \frac{11}{24}, \frac{25}{48}, \frac{15}{13}, \frac{12}{61}, \frac{2}{45} $.

Чтобы найти наибольшую из этих дробей, сравним их. Все дроби, кроме $ \frac{15}{13} $, являются правильными (числитель меньше знаменателя), а значит, их значение меньше 1. Дробь $ \frac{15}{13} $ — неправильная (числитель больше знаменателя), её значение больше 1. Следовательно, $ \frac{15}{13} $ является наибольшей из оставшихся дробей.

Переведем дробь $ \frac{15}{13} $ в десятичную, выполнив деление:

$ 15 \div 13 = 1.153846... $

Теперь округлим полученное число с заданной точностью:

• с точностью до десятых: $ 1.1538... \approx 1.2 $ (так как следующая за разрядом десятых цифра 5)
• с точностью до сотых: $ 1.1538... \approx 1.15 $ (так как следующая за разрядом сотых цифра 3, что меньше 5)
• с точностью до тысячных: $ 1.1538... \approx 1.154 $ (так как следующая за разрядом тысячных цифра 8, что больше 5)

Ответ: Наибольшая дробь — $ \frac{15}{13} $. Её округленные значения: $ \approx 1.2 $ (до десятых), $ \approx 1.15 $ (до сотых), $ \approx 1.154 $ (до тысячных).

86 Найди дроби, которые можно перевести в конечные десятичные. Представь их в виде конечных десятичных дробей, расположи в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Что означает получившееся слово?

$\frac{7}{18}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{12}{25}$, $\frac{5}{14}$, $\frac{21}{50}$, $\frac{9}{16}$, $\frac{11}{24}$, $\frac{17}{20}$, $\frac{9}{36}$, $\frac{25}{48}$, $\frac{13}{15}$, $\frac{27}{40}$, $\frac{12}{61}$, $\frac{2}{45}$.

М О Р И А К Д О Б Е Л К У В

87 Докажи, что обыкновенные дроби в данных примерах нельзя перевести в конечные десятичные. Переведи десятичные дроби в обыкновенные и выполни действия в обыкновенных дробях.

1) $0,2 + \frac{1}{3};$

2) $2\frac{2}{7} + 0,5;$

3) $\frac{4}{9} - 0,4;$

4) $3\frac{5}{6} - 2,6;$

5) $\frac{1}{6} \cdot 0,15;$

6) $3,2 \cdot 1\frac{1}{24};$

7) $4,2 : 1\frac{13}{15};$

8) $13\frac{1}{3} : 1,25.$

Несократимую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную только в том случае, если в разложении её знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5. В данных примерах все обыкновенные дроби ($\frac{1}{3}$, $2\frac{2}{7}$, $\frac{4}{9}$, $3\frac{5}{6}$, $\frac{1}{6}$, $1\frac{1}{24}$, $1\frac{13}{15}$ и $13\frac{1}{3}$) имеют в знаменателях простые множители, отличные от 2 и 5 (соответственно: 3; 7; 3; 3; 3; 3; 3; 3). Следовательно, их нельзя перевести в конечные десятичные дроби.

1) $0,2 + \frac{1}{3}$
Переведем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь выполним сложение: $\frac{1}{5} + \frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

2) $2\frac{2}{7} + 0,5$
Переведем $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Выполним сложение: $2\frac{2}{7} + \frac{1}{2}$. Общий знаменатель для дробных частей равен 14:
$2\frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = 2\frac{4}{14} + \frac{7}{14} = 2\frac{4+7}{14} = 2\frac{11}{14}$.
Ответ: $2\frac{11}{14}$.

3) $\frac{4}{9} - 0,4$
Переведем $0,4$ в обыкновенную дробь: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Выполним вычитание: $\frac{4}{9} - \frac{2}{5}$. Общий знаменатель равен 45:
$\frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{20}{45} - \frac{18}{45} = \frac{20-18}{45} = \frac{2}{45}$.
Ответ: $\frac{2}{45}$.

4) $3\frac{5}{6} - 2,6$
Переведем $2,6$ в обыкновенную дробь: $2,6 = 2\frac{6}{10} = 2\frac{3}{5}$.
Выполним вычитание: $3\frac{5}{6} - 2\frac{3}{5}$. Общий знаменатель для дробных частей равен 30:
$3\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - 2\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = 3\frac{25}{30} - 2\frac{18}{30} = (3-2) + (\frac{25}{30} - \frac{18}{30}) = 1 + \frac{7}{30} = 1\frac{7}{30}$.
Ответ: $1\frac{7}{30}$.

5) $\frac{1}{6} \cdot 0,15$
Переведем $0,15$ в обыкновенную дробь: $0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$.
Выполним умножение: $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{20} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 20} = \frac{3}{120}$. Сократим дробь на 3:
$\frac{3 \div 3}{120 \div 3} = \frac{1}{40}$.
Ответ: $\frac{1}{40}$.

6) $3,2 \cdot 1\frac{1}{24}$
Переведем $3,2$ в обыкновенную дробь: $3,2 = 3\frac{2}{10} = 3\frac{1}{5}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{5} = \frac{16}{5}$, $1\frac{1}{24} = \frac{25}{24}$.
Выполним умножение: $\frac{16}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 24} = \frac{\cancel{16}^2 \cdot \cancel{25}^5}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{24}_3} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
Ответ: $3\frac{1}{3}$.

7) $4,2 : 1\frac{13}{15}$
Переведем $4,2$ в обыкновенную дробь: $4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$, $1\frac{13}{15} = \frac{28}{15}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{21}{5} : \frac{28}{15} = \frac{21}{5} \cdot \frac{15}{28} = \frac{21 \cdot 15}{5 \cdot 28} = \frac{\cancel{21}^3 \cdot \cancel{15}^3}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{28}_4} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$.

8) $13\frac{1}{3} : 1,25$
Переведем $1,25$ в обыкновенную дробь: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $13\frac{1}{3} = \frac{40}{3}$, $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Выполним деление: $\frac{40}{3} : \frac{5}{4} = \frac{40}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{40 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{\cancel{40}^8 \cdot 4}{3 \cdot \cancel{5}_1} = \frac{8 \cdot 4}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Ответ: $10\frac{2}{3}$.

87 Докажи, что обыкновенные дроби в данных примерах нельзя перевести в конечные десятичные. Переведи десятичные дроби в обыкновенные и выполни действия в обыкновенных дробях.

1) $0,2 + \frac{1}{3};$

2) $2\frac{2}{7} + 0,5;$

3) $\frac{4}{9} - 0,4;$

4) $3\frac{5}{6} - 2,6;$

5) $\frac{1}{6} \cdot 0,15;$

6) $3,2 \cdot 1\frac{1}{24};$

7) $4,2 : 1\frac{13}{15};$

8) $13\frac{1}{3} : 1,25.$

88 Докажи, что данные обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные. Запиши выражения, используя десятичные дроби, и выполни действия в десятичных дробях.

1) $0,8 + \frac{1}{5}$;

2) $\frac{1}{2} + 2,3$;

3) $3,75 - \frac{1}{4}$;

4) $5\frac{1}{8} - 3,125$;

5) $\frac{13}{25} \cdot 11,111$;

6) $2,002 \cdot \frac{1}{2^4}$;

7) $\frac{9}{25} : 0,036$;

8) $70,707 : \frac{7}{50}$.

Обыкновенную несократимую дробь можно перевести в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители содержатся только числа 2 и 5. Докажем, что все обыкновенные дроби в данных выражениях удовлетворяют этому условию.

Дроби из заданий: $\frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 5\frac{1}{8}, \frac{13}{25}, \frac{1}{2^4}, \frac{9}{25}, \frac{7}{50}$.

Рассмотрим знаменатели их дробных частей:

• Знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ равен 5. Разложение на простые множители: $5 = 5^1$.
• Знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ равен 2. Разложение на простые множители: $2 = 2^1$.
• Знаменатель дроби $\frac{1}{4}$ равен 4. Разложение на простые множители: $4 = 2^2$.
• Знаменатель дроби $5\frac{1}{8}$ равен 8. Разложение на простые множители: $8 = 2^3$.
• Знаменатель дроби $\frac{13}{25}$ равен 25. Разложение на простые множители: $25 = 5^2$.
• Знаменатель дроби $\frac{1}{2^4}$ равен 16. Разложение на простые множители: $16 = 2^4$.
• Знаменатель дроби $\frac{9}{25}$ равен 25. Разложение на простые множители: $25 = 5^2$.
• Знаменатель дроби $\frac{7}{50}$ равен 50. Разложение на простые множители: $50 = 2 \cdot 5^2$.

Так как все знаменатели в разложении на простые множители содержат только 2 и 5, все эти дроби можно перевести в конечные десятичные.

1) $0,8 + \frac{1}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Выполним сложение в десятичных дробях: $0,8 + 0,2 = 1$.

Ответ: 1.

2) $\frac{1}{2} + 2,3$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$.

Выполним сложение в десятичных дробях: $0,5 + 2,3 = 2,8$.

Ответ: 2,8.

3) $3,75 - \frac{1}{4}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.

Выполним вычитание в десятичных дробях: $3,75 - 0,25 = 3,5$.

Ответ: 3,5.

4) $5\frac{1}{8} - 3,125$

Переведем смешанное число в десятичную дробь. Сначала дробную часть: $\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0,125$.

Тогда $5\frac{1}{8} = 5 + 0,125 = 5,125$.

Выполним вычитание в десятичных дробях: $5,125 - 3,125 = 2$.

Ответ: 2.

5) $\frac{13}{25} \cdot 11,111$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100} = 0,52$.

Выполним умножение в десятичных дробях: $0,52 \cdot 11,111 = 5,77772$.

Ответ: 5,77772.

6) $2,002 \cdot \frac{1}{2^4}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 625}{16 \cdot 625} = \frac{625}{10000} = 0,0625$.

Выполним умножение в десятичных дробях: $2,002 \cdot 0,0625 = 0,125125$.

Ответ: 0,125125.

7) $\frac{9}{25} : 0,036$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{9}{25} = \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{36}{100} = 0,36$.

Выполним деление в десятичных дробях: $0,36 : 0,036 = 360 : 36 = 10$.

Ответ: 10.

8) $70,707 : \frac{7}{50}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{7}{50} = \frac{7 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{14}{100} = 0,14$.

Выполним деление в десятичных дробях: $70,707 : 0,14 = 7070,7 : 14 = 505,05$.

Ответ: 505,05.

88 Докажи, что данные обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные. Запиши выражения, используя десятичные дроби, и выполни действия в десятичных дробях.

1) $0,8 + \frac{1}{5}$;

2) $\frac{1}{2} + 2,3$;

3) $3,75 - \frac{1}{4}$;

4) $5\frac{1}{8} - 3,125$;

5) $\frac{13}{25} \cdot 11,111$;

6) $2,002 \cdot \frac{1}{2^4}$;

7) $\frac{9}{25} : 0,036$;

8) $70,707 : \frac{7}{50}$.

95* Предстоят спортивные соревнования между четырьмя шестыми классами одной школы. В учительской живо обсуждаются возможные результаты и высказываются прогнозы.

— Первое место займёт 6 «А», а второе — 6 «Б»,— сказал учитель математики.

— Да что вы! — сказал учитель географии. — Я недавно ходил с ними в поход и знаю их возможности. 6 «А» займёт второе место, а 6 «Г» — только третье.

— А я думаю, что на втором месте будет 6 «В», а 6 «Г» будет на последнем месте.

Оказалось, что у каждого учителя один прогноз сбылся, а другой — нет. Какое место занял каждый класс?

В соревновании участвуют четыре класса: 6 «А», 6 «Б», 6 «В» и 6 «Г». Места, соответственно, с первого по четвертое. Три учителя высказали по два прогноза. По условию, у каждого учителя ровно один прогноз оказался верным, а другой — неверным.

Сформулируем все прогнозы:

• Учитель математики:
  1. 6 «А» займёт первое место.
  2. 6 «Б» займёт второе место.
• Учитель географии:
  1. 6 «А» займёт второе место.
  2. 6 «Г» займёт третье место.
• Третий учитель:
  1. 6 «В» займёт второе место.
  2. 6 «Г» займёт последнее (четвёртое) место.

Решение

Будем рассуждать методом исключения, рассматривая прогнозы учителей.

Шаг 1. Анализ прогнозов на второе место.

На второе место претендуют сразу три класса в прогнозах: 6 «Б» (учитель математики), 6 «А» (учитель географии) и 6 «В» (третий учитель). Поскольку второе место только одно, то только один из этих трёх прогнозов может быть верным. Два других обязательно будут ложными.

Рассмотрим возможные случаи, начав с прогнозов учителя математики.

Случай 1: Предположим, что первый прогноз учителя математики (1.1) верен.

Тогда 6 «А» занял 1-е место.

• Из этого следует, что второй прогноз учителя математики (1.2) должен быть ложным. Значит, 6 «Б» не на втором месте.
• Рассмотрим прогнозы учителя географии. Его первый прогноз (2.1), что 6 «А» займёт второе место, является ложным (ведь 6 «А» на первом). Следовательно, его второй прогноз (2.2) должен быть верным. Значит, 6 «Г» занял 3-е место.
• Теперь рассмотрим прогнозы третьего учителя. Его второй прогноз (3.2), что 6 «Г» займёт четвёртое место, является ложным (ведь 6 «Г» на третьем). Следовательно, его первый прогноз (3.1) должен быть верным. Значит, 6 «В» занял 2-е место.

Соберём полученные результаты:

• 1-е место: 6 «А»
• 2-е место: 6 «В»
• 3-е место: 6 «Г»

Для четвёртого места остаётся только один класс — 6 «Б». Таким образом, 6 «Б» занял 4-е место.

Проверка для Случая 1:

• Учитель математики: «6 «А» на 1-м» (Верно), «6 «Б» на 2-м» (Неверно). Условие (1 верный, 1 неверный) выполнено.
• Учитель географии: «6 «А» на 2-м» (Неверно), «6 «Г» на 3-м» (Верно). Условие выполнено.
• Третий учитель: «6 «В» на 2-м» (Верно), «6 «Г» на 4-м» (Неверно). Условие выполнено.

Все условия задачи выполняются. Это и есть решение. Для полноты картины можно убедиться, что второй случай приводит к противоречию.

Случай 2: Предположим, что первый прогноз учителя математики (1.1) ложный.

Тогда 6 «А» не на первом месте. Из этого следует, что второй прогноз учителя математики (1.2) должен быть верным. Значит, 6 «Б» занял 2-е место.

• Поскольку 6 «Б» занял 2-е место, прогнозы других учителей о втором месте (2.1: «6 «А» на 2-м» и 3.1: «6 «В» на 2-м») автоматически становятся ложными.
• Так как прогноз 2.1 учителя географии ложный, его прогноз 2.2 должен быть верным. Значит, 6 «Г» занял 3-е место.
• Так как прогноз 3.1 третьего учителя ложный, его прогноз 3.2 должен быть верным. Значит, 6 «Г» занял 4-е место.

Возникло противоречие: класс 6 «Г» не может одновременно занимать 3-е и 4-е места. Следовательно, наше первоначальное предположение в этом случае было неверным.

Таким образом, единственно верным является результат, полученный в первом случае.

Итоговое распределение мест:

• 1 место — 6 «А»
• 2 место — 6 «В»
• 3 место — 6 «Г»
• 4 место — 6 «Б»

Ответ: 6 «А» занял первое место, 6 «В» — второе, 6 «Г» — третье, а 6 «Б» — четвёртое.

95 Предстоят спортивные соревнования между четырьмя шестыми классами одной школы. В учительской живо обсуждаются возможные результаты и высказываются прогнозы.

- Первое место займет 6 "А", а второе – 6 "Б",

сказал учитель математики.

- Да что вы! – сказал учитель географии. – Я недавно ходил с ними в поход и знаю их возможности. 6 "А" займет второе место, а 6 "Г"– только третье.

- А я думаю, что на втором месте будет 6 "В", а 6 "Г" будет на последнем месте.

Оказалось, что у каждого учителя один прогноз сбылся, а другой – нет. Какое место занял каждый класс?

97 В древнеегипетском папирусе (1700 лет до н.э.) содержится решение уравнения, которое на языке современной математики можно записать так:

$((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10$. Реши это уравнение.

Для решения уравнения $((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10$ выполним последовательные действия по его упрощению.

1. Первым шагом умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от множителя $\frac{1}{3}$ в левой части:

$(x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x) = 10 \cdot 3$

$(x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x) = 30$

2. В левой части уравнения можно заметить общий множитель $(x + \frac{2}{3}x)$. Вынесем его за скобки:

$(x + \frac{2}{3}x) \cdot (1 + \frac{1}{3}) = 30$

3. Теперь упростим выражения в каждой из скобок.

Выражение в первой скобке: $x + \frac{2}{3}x = \frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$

Выражение во второй скобке: $1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

4. Подставим полученные упрощенные выражения обратно в уравнение:

$\frac{5}{3}x \cdot \frac{4}{3} = 30$

5. Выполним умножение дробей в левой части уравнения:

$\frac{20}{9}x = 30$

6. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент $\frac{20}{9}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь $\frac{9}{20}$:

$x = 30 \cdot \frac{9}{20}$

7. Сократим и вычислим окончательное значение $x$:

$x = \frac{30 \cdot 9}{20} = \frac{3 \cdot 10 \cdot 9}{2 \cdot 10} = \frac{3 \cdot 9}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$

Ответ: 13,5

97 В древнеегипетском папирусе (1700 лет до н.э.) содержится решение уравнения, которое на языке современной математики можно записать так:

$((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10$

Реши это уравнение.

98 Вставь пропущенные числа.

5

$\cdot \frac{5}{6}$

$: 1\frac{2}{3}$

$\cdot (-0,2)$

$: 1,5$

$+ 2$

$\cdot 3$

-5

$\cdot 16$

$+ 8$

$: (-6)$

$\cdot 0,2$

$- 9$

$\cdot 1\frac{2}{3}$

Данная схема представляет собой замкнутый цикл вычислений. Чтобы найти пропущенные числа, будем последовательно выполнять указанные операции, двигаясь по стрелкам.

1. Начнем с числа 5 и двинемся по верхней ветке вправо:

- Первое пустое поле: $ 5 \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6} $.

- Второе пустое поле: $ \frac{25}{6} : 1\frac{2}{3} = \frac{25}{6} : \frac{5}{3} = \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{2} = 2,5 $.

2. Далее от числа 2,5 двигаемся по стрелке вниз, а затем по нижней ветке влево:

- Ячейка в правом нижнем углу: $ 2,5 \cdot (-0,2) = -0,5 $.

- Центральная ячейка внизу: $ -0,5 : 1,5 = -\frac{1}{2} : \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} $.

- Ячейка в левом нижнем углу: $ -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3} $.

3. Проверим замыкание цикла: из ячейки со значением $ \frac{5}{3} $ стрелка указывает на исходную ячейку 5 с операцией умножения на 3. Выполним проверку: $ \frac{5}{3} \cdot 3 = 5 $. Цикл замкнулся верно.

Ответ: Пропущенные числа в первой цепочке (сверху слева направо, затем снизу слева направо): $ \frac{25}{6} $, $ 2,5 $; $ \frac{5}{3} $, $ -\frac{1}{3} $, $ -0,5 $.

Эта цепочка также является замкнутым циклом. Выполним вычисления, двигаясь по стрелкам от известного числа -5 по часовой стрелке.

1. Ячейка под числом -5: $ -5 \cdot 16 = -80 $.

2. Ячейки в нижнем ряду, двигаясь вправо: сначала $ -80 + 8 = -72 $, затем $ -72 : (-6) = 12 $.

3. Ячейка под левой верхней ячейкой: $ 12 \cdot 0,2 = 2,4 $.

4. Левая верхняя ячейка: $ 2,4 \cdot 1\frac{2}{3} = \frac{24}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3} = 4 $.

5. Проверим замыкание цикла. Согласно схеме, результат из левой верхней ячейки (4) должен быть умножен на -9, чтобы получить число в розовой ячейке (-5).

Проверочное вычисление: $ 4 \cdot (-9) = -36 $.

Полученный результат $ -36 $ не совпадает с числом $ -5 $. Это указывает на наличие ошибки в условии задачи, так как цикл вычислений не замыкается.

Несмотря на противоречие, если заполнить ячейки, следуя указанной последовательности, получатся следующие значения.

Ответ: Пропущенные числа во второй цепочке (сверху, затем по часовой стрелке): $ 4 $; $ -80 $, $ -72 $, $ 12 $; $ 2,4 $. (Примечание: условие задачи содержит ошибку, приводящую к противоречию $ 4 \cdot (-9) \neq -5 $).

Π 98

Вставь пропущенные числа:

5

$\cdot \frac{5}{6}$

$:1 \frac{2}{3}$

$\cdot (-0,2)$

$:1,5$

$+2$

$\cdot 3$

-5

$-9$

$\cdot 1 \frac{2}{3}$

$\cdot 0,2$

$:(-6)$

$+8$

$\cdot 16$

99 Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое? Найди x:

а) $x + 0.9 = 1.5$;

б) $2 - x = 0.3$;

в) $x - 3.8 = 1.4$;

г) $-0.5 + x = 3.4$;

д) $0.8 - x = 1.3$;

е) $x - 3.6 = -5$.

Сначала вспомним правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Теперь решим уравнения:

а) $x + 0,9 = 1,5$

В этом уравнении $x$ – неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы ($1,5$) вычесть известное слагаемое ($0,9$).

$x = 1,5 - 0,9$

$x = 0,6$

Ответ: $0,6$.

б) $2 - x = 0,3$

В этом уравнении $x$ – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого ($2$) вычесть разность ($0,3$).

$x = 2 - 0,3$

$x = 1,7$

Ответ: $1,7$.

в) $x - 3,8 = 1,4$

В этом уравнении $x$ – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно к разности ($1,4$) прибавить вычитаемое ($3,8$).

$x = 1,4 + 3,8$

$x = 5,2$

Ответ: $5,2$.

г) $-0,5 + x = 3,4$

В этом уравнении $x$ – неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы ($3,4$) вычесть известное слагаемое ($-0,5$).

$x = 3,4 - (-0,5)$

$x = 3,4 + 0,5$

$x = 3,9$

Ответ: $3,9$.

д) $0,8 - x = 1,3$

В этом уравнении $x$ – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого ($0,8$) вычесть разность ($1,3$).

$x = 0,8 - 1,3$

$x = -0,5$

Ответ: $-0,5$.

е) $x - 3,6 = -5$

В этом уравнении $x$ – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно к разности ($-5$) прибавить вычитаемое ($3,6$).

$x = -5 + 3,6$

$x = -1,4$

Ответ: $-1,4$.

99 Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое? Найди $x$:

а) $x + 0,9 = 1,5;$
б) $2 - x = 0,3;$
в) $x - 3,8 = 1,4;$
г) $-0,5 + x = 3,4;$
д) $0,8 - x = 1,3;$
е) $x - 3,6 = -5.$

100 Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель? Найди x:

а) $3x = 0.24$;

б) $x \div 0.9 = 0.5$;

в) $6 \div x = 0.4$;

г) $-5x = 0.3$;

д) $x \div (-1.2) = -0.3$;

е) $-0.8 \div x = 0.01$.

Для нахождения неизвестных компонентов в уравнениях используются следующие правила:

• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Решим представленные уравнения:

а) В уравнении $3x = 0,24$ переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение ($0,24$) на известный множитель ($3$).
$x = 0,24 : 3$
$x = 0,08$
Ответ: $0,08$.

б) В уравнении $x : 0,9 = 0,5$ переменная $x$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, умножим частное ($0,5$) на делитель ($0,9$).
$x = 0,5 \cdot 0,9$
$x = 0,45$
Ответ: $0,45$.

в) В уравнении $6 : x = 0,4$ переменная $x$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, разделим делимое ($6$) на частное ($0,4$).
$x = 6 : 0,4$
$x = 60 : 4$
$x = 15$
Ответ: $15$.

г) В уравнении $-5x = 0,3$ переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение ($0,3$) на известный множитель ($-5$).
$x = 0,3 : (-5)$
$x = -0,06$
Ответ: $-0,06$.

д) В уравнении $x : (-1,2) = -0,3$ переменная $x$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, умножим частное ($-0,3$) на делитель ($-1,2$). Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$x = (-0,3) \cdot (-1,2)$
$x = 0,36$
Ответ: $0,36$.

е) В уравнении $-0,8 : x = 0,01$ переменная $x$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, разделим делимое ($-0,8$) на частное ($0,01$).
$x = -0,8 : 0,01$
$x = -80 : 1$
$x = -80$
Ответ: $-80$.

100 Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель? Найди x:

а) $3x=0.24$;

б) $x \div 0.9 = 0.5$;

в) $6 \div x = 0.4$;

г) $-5x = 0.3$;

д) $x \div (-1.2) = -0.3$;

е) $-0.8 \div x = 0.01$.

101 Вычисли, используя рисунки.

Сложение

Входы: $- \frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $-1\frac{1}{4}$

Операция: $+$

Выходы: $0,5$, $-0,25$, $-\frac{1}{6}$

Вычитание

Входы: $2$, $0$, $\frac{1}{2}$

Операция: $-$

Выходы: $\frac{1}{3}$, $0,5$, $1\frac{1}{4}$

Умножение

Входы: $-\frac{1}{3}$, $0,5$, $-1$

Операция: $\cdot$

Выходы: $-3$, $0$, $1,5$

Деление

Входы: $-1$, $\frac{2}{3}$, $-2\frac{1}{2}$

Операция: $:$

Выходы: $-0,5$, $\frac{5}{6}$, $-4$

В задании представлены четыре блока вычислений, обозначенные знаками арифметических операций. В каждом блоке необходимо выполнить три вычисления, используя попарно числа из верхнего и нижнего рядов (первое с первым, второе со вторым, третье с третьим).

+

В первом блоке выполняются три операции сложения.

1. Складываем первое число сверху ($-\frac{1}{2}$) и первое число снизу ($0,5$):

$(- \frac{1}{2}) + 0,5 = -0,5 + 0,5 = 0$

Ответ: $0$

2. Складываем второе число сверху ($\frac{1}{3}$) и второе число снизу ($-0,25$):

$\frac{1}{3} + (-0,25) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

3. Складываем третье число сверху ($-1\frac{1}{4}$) и третье число снизу ($-\frac{1}{6}$):

$(-1\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{6}) = -\frac{5}{4} - \frac{1}{6} = -\frac{15}{12} - \frac{2}{12} = -\frac{17}{12} = -1\frac{5}{12}$

Ответ: $-1\frac{5}{12}$

-

Во втором блоке выполняются три операции вычитания.

1. Из первого числа сверху ($2$) вычитаем первое число снизу ($-\frac{1}{3}$):

$2 - (-\frac{1}{3}) = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3}$

2. Из второго числа сверху ($0$) вычитаем второе число снизу ($0,5$):

$0 - 0,5 = -0,5$

Ответ: $-0,5$

3. Из третьего числа сверху ($\frac{1}{2}$) вычитаем третье число снизу ($1\frac{1}{4}$):

$\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

·

В третьем блоке выполняются три операции умножения.

1. Умножаем первое число сверху ($-\frac{1}{3}$) на первое число снизу ($-3$):

$(-\frac{1}{3}) \cdot (-3) = 1$

Ответ: $1$

2. Умножаем второе число сверху ($0,5$) на второе число снизу ($0$):

$0,5 \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

3. Умножаем третье число сверху ($-1$) на третье число снизу ($1,5$):

$(-1) \cdot 1,5 = -1,5$

Ответ: $-1,5$

:

В четвертом блоке выполняются три операции деления.

1. Делим первое число сверху ($-1$) на первое число снизу ($-0,5$):

$(-1) \div (-0,5) = (-1) \div (-\frac{1}{2}) = (-1) \cdot (-2) = 2$

Ответ: $2$

2. Делим второе число сверху ($\frac{2}{3}$) на второе число снизу ($\frac{5}{6}$):

$\frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

3. Делим третье число сверху ($-2\frac{1}{2}$) на третье число снизу ($-4$):

$(-2\frac{1}{2}) \div (-4) = (-\frac{5}{2}) \div (-4) = (-\frac{5}{2}) \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$

101 Вычисли, используя рисунки:

Операция сложения:

Входы: $- \frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $- \frac{1}{4}$

Оператор: $+$

Выходы: 0,5, -0,25, $- \frac{1}{6}$

Операция вычитания:

Входы: 2, 0, $\frac{1}{2}$

Оператор: $-$

Выходы: $\frac{1}{3}$, 0,5, $1 \frac{1}{4}$

Операция умножения:

Входы: $- \frac{1}{3}$, 0,5, -1

Оператор: $\cdot$

Выходы: -3, 0, 1,5

Операция деления:

Входы: -1, $\frac{2}{3}$, $-2 \frac{1}{2}$

Оператор: $:$

Выходы: -0,5, $\frac{5}{6}$, -4

102 а) Миша придумал схему для правила перевода смешанной дроби в неправильную дробь (рис. 1). Расшифруй его схему.

б) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность. Выдели из найденных чисел целую часть.

$1\frac{1}{3}, 1\frac{3}{5}, 2\frac{2}{7}, 3\frac{5}{9} \dots$

Рис. 1

а)

На схеме показано правило перевода смешанного числа в неправильную дробь. Чтобы получить числитель неправильной дроби, нужно знаменатель дробной части умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Знаменатель неправильной дроби остается таким же, как и у дробной части смешанного числа.

На примере числа $2\frac{1}{3}$, показанного на схеме:

1. Умножаем знаменатель (3) на целую часть (2): $3 \cdot 2 = 6$.

2. К результату прибавляем числитель (1): $6 + 1 = 7$.

3. Полученное число (7) становится новым числителем, а знаменатель (3) остается без изменений.

Таким образом, $2\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить прежним.

б)

Сначала представим все числа из заданного ряда в виде неправильных дробей:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

$3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$

Получился ряд неправильных дробей: $\frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{16}{7}, \frac{32}{9}, \dots$

Найдем закономерность. Числители дробей образуют последовательность, где каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего: $4, 8, 16, 32, \dots$ Знаменатели образуют последовательность нечетных чисел, начиная с 3, где каждое следующее число на 2 больше предыдущего: $3, 5, 7, 9, \dots$

Продолжим ряд на три числа, сохраняя эту закономерность:

- Следующий числитель: $32 \cdot 2 = 64$. Следующий знаменатель: $9 + 2 = 11$. Дробь: $\frac{64}{11}$.

- Следующий числитель: $64 \cdot 2 = 128$. Следующий знаменатель: $11 + 2 = 13$. Дробь: $\frac{128}{13}$.

- Следующий числитель: $128 \cdot 2 = 256$. Следующий знаменатель: $13 + 2 = 15$. Дробь: $\frac{256}{15}$.

Таким образом, продолжение ряда в виде неправильных дробей: $\frac{64}{11}, \frac{128}{13}, \frac{256}{15}$.

Теперь выделим целую часть из найденных чисел:

$\frac{64}{11} = 5\frac{9}{11}$ (так как $64 = 5 \cdot 11 + 9$)

$\frac{128}{13} = 9\frac{11}{13}$ (так как $128 = 9 \cdot 13 + 11$)

$\frac{256}{15} = 17\frac{1}{15}$ (так как $256 = 17 \cdot 15 + 1$)

Ответ: Ряд, представленный в виде неправильных дробей: $\frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{16}{7}, \frac{32}{9}, \frac{64}{11}, \frac{128}{13}, \frac{256}{15}, \dots$ Целые части из трех найденных чисел: $5$, $9$, $17$.

102 a) Миша придумал схему для правила перевода смешанного числа в неправильную дробь (рис. 1). Расшифруй его схему.

б) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность. Выдели из найденных чисел целую часть.

$1\frac{1}{3}, 1\frac{3}{5}, 2\frac{2}{7}, 3\frac{5}{9} \dots$

Рис. 1

$(2 \odot 3) \oplus 1$

103 Найди значения выражений:

а) $-3,25 - 1\frac{5}{12}$;

б) $2\frac{7}{15} - 8,3$;

в) $4,125 \cdot \left(-3\frac{7}{11}\right)$;

г) $-3\frac{9}{25} : (-2,4)$;

д) $-2,7 \cdot 7\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{4}{11}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{9}\right) \cdot 0,625$;

е) $-4\frac{3}{7} \cdot 0,375 : 7,75 \cdot (-0,9) \cdot 1\frac{13}{15} : \left(-\frac{3}{5}\right)^2$.

а) Для вычисления значения выражения преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, а затем приведем дроби к общему знаменателю, чтобы выполнить вычитание.
$-3,25 - 1\frac{5}{12} = -3\frac{25}{100} - 1\frac{5}{12} = -3\frac{1}{4} - 1\frac{5}{12}$.
Общий знаменатель для 4 и 12 равен 12.
$-3\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 1\frac{5}{12} = -3\frac{3}{12} - 1\frac{5}{12}$.
Складываем два отрицательных числа, сложив их модули и поставив знак минус перед результатом.
$-(3\frac{3}{12} + 1\frac{5}{12}) = -((3+1) + (\frac{3+5}{12})) = -(4 + \frac{8}{12}) = -4\frac{8}{12}$.
Сокращаем дробную часть: $-4\frac{8:4}{12:4} = -4\frac{2}{3}$.

Ответ: $-4\frac{2}{3}$.

б) Преобразуем десятичную дробь в смешанное число и приведем дроби к общему знаменателю.
$2\frac{7}{15} - 8,3 = 2\frac{7}{15} - 8\frac{3}{10}$.
Наименьший общий знаменатель для 15 и 10 равен 30.
$2\frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} - 8\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 2\frac{14}{30} - 8\frac{9}{30}$.
Вычитаем из меньшего числа большее. Результат будет отрицательным.
$2\frac{14}{30} - 8\frac{9}{30} = -(8\frac{9}{30} - 2\frac{14}{30})$.
Чтобы вычесть дробные части, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$-(7\frac{30+9}{30} - 2\frac{14}{30}) = -(7\frac{39}{30} - 2\frac{14}{30}) = -((7-2) + (\frac{39-14}{30})) = -(5 + \frac{25}{30}) = -5\frac{25}{30}$.
Сокращаем дробь: $-5\frac{25:5}{30:5} = -5\frac{5}{6}$.

Ответ: $-5\frac{5}{6}$.

в) Преобразуем оба числа в неправильные дроби для удобства умножения.
$4,125 = 4\frac{125}{1000} = 4\frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}$.
$-3\frac{7}{11} = -(\frac{3 \cdot 11 + 7}{11}) = -\frac{40}{11}$.
Выполняем умножение. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно.
$\frac{33}{8} \cdot (-\frac{40}{11}) = -\frac{33 \cdot 40}{8 \cdot 11}$.
Сокращаем дробь перед умножением:
$-\frac{\cancel{33}^3 \cdot \cancel{40}^5}{\cancel{8}_1 \cdot \cancel{11}_1} = -\frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 1} = -15$.

Ответ: $-15$.

г) Преобразуем оба числа в неправильные дроби. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$-3\frac{9}{25} = -(\frac{3 \cdot 25 + 9}{25}) = -\frac{84}{25}$.
$-2,4 = -2\frac{4}{10} = -2\frac{2}{5} = -\frac{12}{5}$.
Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:
$(-\frac{84}{25}) : (-\frac{12}{5}) = \frac{84}{25} \cdot \frac{5}{12}$.
Сокращаем:
$\frac{\cancel{84}^7}{\cancel{25}_5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{12}_1} = \frac{7 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$.

Ответ: $1,4$.

д) Определим знак результата: в выражении три отрицательных множителя, значит, итоговый результат будет отрицательным. Переведем все числа в обыкновенные дроби и перемножим их модули.
$2,7 = \frac{27}{10}$; $7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$; $1\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$; $0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.
Выполним умножение:
$\frac{27}{10} \cdot \frac{22}{3} \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{10}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{27 \cdot 22 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 5}{10 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 8}$.
Сократим дробь, разложив числа на множители:
$\frac{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 4 \cdot 10 \cdot 5}{10 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{10} \cdot 5}{\cancel{10} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{4}} = 5$.
С учетом знака, результат равен $-5$.

Ответ: $-5$.

е) Определим знак выражения. В выражении два отрицательных множителя ($-4\frac{3}{7}$ и $-0,9$) и один делитель $(-\frac{3}{5})^2$, который положителен, так как возводится в четную степень. Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит, итоговый результат будет положительным. Преобразуем все числа в неправильные дроби и заменим деление умножением на обратные числа.
$4\frac{3}{7} = \frac{31}{7}$; $0,375 = \frac{3}{8}$; $7,75 = \frac{31}{4}$; $0,9 = \frac{9}{10}$; $1\frac{13}{15} = \frac{28}{15}$; $(-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.
Вычислим произведение модулей:
$\frac{31}{7} \cdot \frac{3}{8} : \frac{31}{4} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{28}{15} : \frac{9}{25} = \frac{31}{7} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{31} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{28}{15} \cdot \frac{25}{9}$.
Сократим множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{31} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cancel{9} \cdot 28 \cdot 25}{7 \cdot 8 \cdot \cancel{31} \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cancel{9}} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 28 \cdot 25}{7 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 15} = \frac{3 \cdot \cancel{4} \cdot (4 \cdot \cancel{7}) \cdot (5 \cdot 5)}{\cancel{7} \cdot (\cancel{4} \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: $1$.

103 Найти значения выражений:

а) $-3.25 - 1\frac{5}{12}$;

в) $4.125 \cdot \left(-3\frac{7}{11}\right)$;

д) $-2.7 \cdot 7\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{4}{11}\right) \cdot \left(-1\frac{1}{9}\right) \cdot 0.625$;

б) $2\frac{7}{15} - 8.3$;

г) $-3\frac{9}{25} : (-2.4)$;

е) $-4\frac{3}{7} \cdot 0.375 : 7.75 \cdot (-0.9) \cdot 1\frac{13}{15} : \left(-\frac{3}{5}\right)^2$.

104 Какие способы сравнения дробей ты знаешь? Сравни дроби:

а) $\frac{3}{17}$ и $\frac{8}{17}$;

б) $\frac{16}{37}$ и $\frac{16}{49}$;

в) $\frac{5}{3}$ и $\frac{18}{19}$;

г) $2\frac{1}{5}$ и $3\frac{2}{5}$;

д) $\frac{15}{16}$ и $\frac{17}{18}$;

е) $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$;

ж) $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{20}$;

з) $\frac{25}{6}$ и $\frac{17}{4}$.

Существует несколько способов сравнения дробей:

• Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
• Сравнение дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
• Приведение к общему знаменателю: если у дробей разные числители и знаменатели, их можно привести к общему знаменателю. Затем сравнить как дроби с одинаковыми знаменателями.
• Сравнение с единицей: если одна дробь правильная (меньше 1), а другая неправильная (больше или равна 1), то неправильная дробь всегда больше.
• Сравнение "дополнений" до единицы: для правильных дробей, близких к 1, можно сравнить, какой дроби "не хватает" до единицы. Больше будет та дробь, которой не хватает меньше.
• Перевод в десятичную дробь: можно перевести обыкновенные дроби в десятичные и сравнить их.
• Сравнение смешанных чисел: сначала сравнивают целые части. Больше то число, у которого целая часть больше. Если целые части равны, сравнивают дробные части.
• Перекрестное умножение: чтобы сравнить дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, можно сравнить произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$. Если $a \cdot d > b \cdot c$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.

а) Сравним дроби $\frac{3}{17}$ и $\frac{8}{17}$.
У этих дробей одинаковые знаменатели (17). Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Сравниваем числители: $3 < 8$.
Следовательно, $\frac{3}{17} < \frac{8}{17}$.
Ответ: $\frac{3}{17} < \frac{8}{17}$.

б) Сравним дроби $\frac{16}{37}$ и $\frac{16}{49}$.
У этих дробей одинаковые числители (16). Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.
Сравниваем знаменатели: $37 < 49$.
Следовательно, $\frac{16}{37} > \frac{16}{49}$.
Ответ: $\frac{16}{37} > \frac{16}{49}$.

в) Сравним дроби $\frac{5}{3}$ и $\frac{18}{19}$.
Используем метод сравнения с единицей.
Дробь $\frac{5}{3}$ является неправильной, так как числитель $5$ больше знаменателя $3$. Значит, $\frac{5}{3} > 1$.
Дробь $\frac{18}{19}$ является правильной, так как числитель $18$ меньше знаменателя $19$. Значит, $\frac{18}{19} < 1$.
Поскольку $\frac{5}{3} > 1$, а $\frac{18}{19} < 1$, то $\frac{5}{3} > \frac{18}{19}$.
Ответ: $\frac{5}{3} > \frac{18}{19}$.

г) Сравним смешанные числа $2\frac{1}{5}$ и $3\frac{2}{5}$.
При сравнении смешанных чисел сначала сравниваем их целые части.
Сравниваем целые части: $2 < 3$.
Поскольку целая часть первого числа меньше целой части второго числа, то и само первое число меньше второго.
Следовательно, $2\frac{1}{5} < 3\frac{2}{5}$.
Ответ: $2\frac{1}{5} < 3\frac{2}{5}$.

д) Сравним дроби $\frac{15}{16}$ и $\frac{17}{18}$.
Обе дроби правильные и близки к единице. Сравним, сколько каждой дроби не хватает до 1.
Для первой дроби: $1 - \frac{15}{16} = \frac{16}{16} - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
Для второй дроби: $1 - \frac{17}{18} = \frac{18}{18} - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$.
Теперь сравним "недостающие" части: $\frac{1}{16}$ и $\frac{1}{18}$. У них одинаковые числители, значит больше та дробь, у которой знаменатель меньше. $16 < 18$, следовательно $\frac{1}{16} > \frac{1}{18}$.
Так как от единицы в первом случае отнимается большая часть, то результат будет меньше.
Следовательно, $\frac{15}{16} < \frac{17}{18}$.
Ответ: $\frac{15}{16} < \frac{17}{18}$.

е) Сравним дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$.
У дробей разные числители и знаменатели. Приведем их к общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель для 9 и 11 это их произведение: $9 \cdot 11 = 99$.
Приведем первую дробь к знаменателю 99: $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 99: $\frac{6}{11} = \frac{6 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{54}{99}$.
Теперь сравним дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{44}{99}$ и $\frac{54}{99}$.
Сравниваем числители: $44 < 54$.
Следовательно, $\frac{44}{99} < \frac{54}{99}$, а значит $\frac{4}{9} < \frac{6}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{9} < \frac{6}{11}$.

ж) Сравним дроби $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $13 \cdot 20 = 260$.
$\frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 20}{13 \cdot 20} = \frac{100}{260}$.
$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 13}{20 \cdot 13} = \frac{91}{260}$.
Сравним полученные дроби: $\frac{100}{260}$ и $\frac{91}{260}$.
Так как $100 > 91$, то $\frac{100}{260} > \frac{91}{260}$.
Следовательно, $\frac{5}{13} > \frac{7}{20}$.
Ответ: $\frac{5}{13} > \frac{7}{20}$.

з) Сравним дроби $\frac{25}{6}$ и $\frac{17}{4}$.
Обе дроби неправильные. Преобразуем их в смешанные числа.
$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$ (так как $25 = 4 \cdot 6 + 1$).
$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$ (так как $17 = 4 \cdot 4 + 1$).
Целые части у смешанных чисел одинаковы (равны 4). Теперь нужно сравнить их дробные части: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{4}$.
У этих дробей одинаковые числители (1). Больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Сравниваем знаменатели: $6 > 4$.
Следовательно, $\frac{1}{6} < \frac{1}{4}$.
А значит, $4\frac{1}{6} < 4\frac{1}{4}$.
Таким образом, $\frac{25}{6} < \frac{17}{4}$.
Ответ: $\frac{25}{6} < \frac{17}{4}$.

104 Какие способы сравнения дробей ты знаешь? Сравни дроби:

а) $\frac{3}{17}$ и $\frac{8}{17}$;

б) $\frac{16}{37}$ и $\frac{16}{49}$;

в) $\frac{5}{3}$ и $\frac{18}{19}$;

г) $2\frac{1}{5}$ и $3\frac{2}{5}$;

д) $\frac{15}{16}$ и $\frac{17}{18}$;

е) $\frac{4}{9}$ и $\frac{6}{11}$;

ж) $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{20}$;

з) $\frac{25}{6}$ и $\frac{17}{4}$.