Страница 9, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

Найди ложные высказывания и построй их отрицания (если требуется, воспользуйся для этого энциклопедией или справочником).

1) Джордано Бруно был последователем учения Птолемея.

2) Пальмы – самые высокие деревья в мире.

3) В атмосфере Земли кислорода по массе содержится не меньше, чем азота.

4) Площадь Германии больше площади Франции.

5) Санкт-Петербург был основан в 1704 или 1705 году.

6) Кенгуру живут не то в Австралии, не то в Антарктиде.

1) Данное высказывание ложно. Джордано Бруно был активным сторонником гелиоцентрической системы мира Николая Коперника, которая противоречила геоцентрическому учению Птолемея, где Земля считалась центром вселенной. Бруно шёл дальше Коперника, утверждая бесконечность Вселенной и наличие множества миров.
Отрицанием исходного высказывания является: «Джордано Бруно не был последователем учения Птолемея».
Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: Джордано Бруно не был последователем учения Птолемея.

2) Данное высказывание ложно. Самыми высокими деревьями в мире являются секвойи вечнозелёные (Sequoia sempervirens), произрастающие в Северной Америке. Рекордсменом является секвойя «Гиперион», высота которой превышает 115 метров. Пальмы, даже самые высокие их виды, значительно уступают секвойям.
Отрицанием исходного высказывания является: «Пальмы – не самые высокие деревья в мире».
Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: Пальмы – не самые высокие деревья в мире.

3) Данное высказывание ложно. Фраза «не меньше» математически означает «больше или равно» ($ \ge $). Атмосфера Земли по массе состоит приблизительно из 75,5% азота и 23,1% кислорода. Таким образом, масса азота в атмосфере существенно больше массы кислорода.
Отрицанием исходного высказывания (отрицанием $A \ge B$ является $A < B$) будет: «В атмосфере Земли кислорода по массе содержится меньше, чем азота».
Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: В атмосфере Земли кислорода по массе содержится меньше, чем азота.

4) Данное высказывание ложно. Площадь Германии составляет около 357 588 км², в то время как площадь европейской части Франции (метрополии) — около 551 695 км². Следовательно, площадь Германии меньше площади Франции.
Отрицанием исходного высказывания (отрицанием $A > B$ является $A \le B$) будет: «Площадь Германии не больше площади Франции».
Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: Площадь Германии не больше площади Франции.

5) Данное высказывание ложно. Оно представляет собой дизъюнкцию (логическое «ИЛИ») двух утверждений: «Санкт-Петербург был основан в 1704 году» и «Санкт-Петербург был основан в 1705 году». Оба эти утверждения ложны, так как город был основан 27 мая 1703 года. Дизъюнкция двух ложных высказываний также является ложной.
Отрицанием дизъюнкции ($A$ или $B$) является конъюнкция отрицаний (не $A$ и не $B$): «Санкт-Петербург не был основан в 1704 году и не был основан в 1705 году».
Ответ: Высказывание ложное. Отрицание: Санкт-Петербург не был основан в 1704 году и не был основан в 1705 году.

6) Данное высказывание истинно. Оно является дизъюнкцией (логическое «ИЛИ»): «Кенгуру живут в Австралии или кенгуру живут в Антарктиде». Так как первая часть этого высказывания («Кенгуру живут в Австралии») истинна, то и всё высказывание целиком является истинным. Поэтому оно не входит в число ложных высказываний, которые требовалось найти.

19 Найди ложные высказывания и построй их отрицания (если потребуется, воспользуйся для этого энциклопедией или справочником).

1) Джордано Бруно был последователем учения Птолемея.

2) Пальмы – самые высокие деревья в мире.

3) В атмосфере Земли кислорода по массе содержится не меньше, чем азота.

4) Площадь Германии больше площади Франции.

5) Санкт-Петербург был основан в 1704 или 1705 году.

6) Кенгуру живут не то в Австралии, не то в Антарктиде.

20 Запиши предложение на математическом языке и построй его отрицание.

1) Число x меньше пяти девятых.

Математическая запись: $x < \frac{5}{9}$

Отрицание: $x \ge \frac{5}{9}$

2) Число y больше или равно трём целым четырём тысячным.

Математическая запись: $y \ge 3.004$

Отрицание: $y < 3.004$

3) Разность чисел a и b равна числу c.

Математическая запись: $a - b = c$

Отрицание: $a - b \ne c$

4) Квадрат числа n не равен 16.

Математическая запись: $n^2 \ne 16$

Отрицание: $n^2 = 16$

5) Число x больше своего квадрата.

Математическая запись: $x > x^2$

Отрицание: $x \le x^2$

6) Число x меньше своего квадрата на 1.

Математическая запись: $x = x^2 - 1$

Отрицание: $x \ne x^2 - 1$

1)

Предложение "Число x меньше пяти девятых" на математическом языке записывается в виде неравенства. Пять девятых это дробь $\frac{5}{9}$. "Меньше" обозначается знаком <. Таким образом, получаем неравенство: $x < \frac{5}{9}$.

Отрицанием для утверждения "меньше" является "не меньше", что то же самое, что "больше или равно" ($\ge$). Следовательно, отрицание звучит как "Число x больше или равно пяти девятым". Математическая запись отрицания: $x \ge \frac{5}{9}$.

Ответ: $x < \frac{5}{9}$; отрицание: $x \ge \frac{5}{9}$.

2)

Предложение "Число y больше или равно трём целым четырём тысячным" записывается в виде неравенства. Три целых четыре тысячных в виде десятичной дроби — это $3.004$. Знак "больше или равно" — это $\ge$. Таким образом, получаем: $y \ge 3.004$.

Отрицанием для "больше или равно" является "строго меньше" (<). Отрицание звучит как "Число y меньше трёх целых четырёх тысячных". Математическая запись отрицания: $y < 3.004$.

Ответ: $y \ge 3.004$; отрицание: $y < 3.004$.

3)

Предложение "Разность чисел a и b равна числу c" на математическом языке записывается как равенство. Разность чисел a и b — это $a - b$. Таким образом, получаем: $a - b = c$.

Отрицанием для утверждения "равно" (=) является "не равно" ($\ne$). Отрицание звучит как "Разность чисел a и b не равна числу c". Математическая запись отрицания: $a - b \ne c$.

Ответ: $a - b = c$; отрицание: $a - b \ne c$.

4)

Предложение "Квадрат числа n не равен 16" записывается с использованием знака неравенства. Квадрат числа n — это $n^2$. Знак "не равен" — это $\ne$. Таким образом, получаем: $n^2 \ne 16$.

Отрицанием для "не равно" ($\ne$) является "равно" (=). Отрицание звучит как "Квадрат числа n равен 16". Математическая запись отрицания: $n^2 = 16$.

Ответ: $n^2 \ne 16$; отрицание: $n^2 = 16$.

5)

Предложение "Число x больше своего квадрата" записывается в виде неравенства. Квадрат числа x — это $x^2$. Знак "больше" — это >. Таким образом, получаем: $x > x^2$.

Отрицанием для "больше" (>) является "не больше", то есть "меньше или равно" ($\le$). Отрицание звучит как "Число x меньше или равно своему квадрату". Математическая запись отрицания: $x \le x^2$.

Ответ: $x > x^2$; отрицание: $x \le x^2$.

6)

Предложение "Число x меньше своего квадрата на 1" означает, что если из квадрата числа x вычесть само число x, получится 1. Квадрат числа x — это $x^2$. Таким образом, получаем равенство: $x^2 - x = 1$ (или, что то же самое, $x = x^2 - 1$).

Отрицанием этого равенства будет утверждение, что разность между квадратом числа x и самим числом x не равна 1. Математическая запись отрицания: $x^2 - x \ne 1$.

Ответ: $x^2 - x = 1$; отрицание: $x^2 - x \ne 1$.

20 Запиши предложения на математическом языке и построй их отрицания:

1) Число x меньше пяти девятых.

Утверждение: $x < \frac{5}{9}$

Отрицание: $x \ge \frac{5}{9}$

2) Число y больше или равно трем целым четырем тысячным.

Утверждение: $y \ge 3.004$

Отрицание: $y < 3.004$

3) Разность чисел a и b равна числу c.

Утверждение: $a - b = c$

Отрицание: $a - b \ne c$

4) Квадрат числа n не равен 16.

Утверждение: $n^2 \ne 16$

Отрицание: $n^2 = 16$

5) Число x больше своего квадрата.

Утверждение: $x > x^2$

Отрицание: $x \le x^2$

6) Число x меньше своего квадрата на 1.

Утверждение: $x = x^2 - 1$

Отрицание: $x \ne x^2 - 1$

21 Построй отрицание высказывания «Все реки впадают в Каспийское море». Убедись в выполнении для него закона исключённого третьего.

Построение отрицания высказывания

Исходное высказывание: «Все реки впадают в Каспийское море». Это высказывание является общим, так как в нём используется квантор всеобщности (слово «все»). В логике предикатов его можно записать в виде формулы $(\forall x) P(x)$, где $x$ — это произвольный объект из множества всех рек, а $P(x)$ — это утверждение «река $x$ впадает в Каспийское море».

Отрицание высказывания с квантором всеобщности строится по правилу: $\neg ((\forall x) P(x)) \equiv (\exists x) \neg P(x)$. Это означает, что отрицанием утверждения «для всех $x$ верно $P(x)$» является утверждение «существует такой $x$, для которого $P(x)$ неверно».

Применяя это правило к нашему высказыванию, мы заменяем квантор «все» на квантор существования «существует» ($\exists$) и отрицаем сам предикат. Предикат «впадает в Каспийское море» превращается в «не впадает в Каспийское море». Таким образом, отрицанием исходного высказывания будет: «Существует река, которая не впадает в Каспийское море».

Ответ: Отрицание высказывания: «Существует река, которая не впадает в Каспийское море».

Проверка выполнения закона исключённого третьего

Закон исключённого третьего — один из основных законов классической логики, который гласит, что для любого высказывания $A$ составное высказывание $A \lor \neg A$ (читается как «$A$ или не $A$») всегда является истинным. Это означает, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, и третьего варианта быть не может.

Для проверки нам нужно определить истинность исходного высказывания ($A$) и его отрицания ($\neg A$).

• $A$: «Все реки впадают в Каспийское море». Это утверждение является ложным. Для его опровержения достаточно одного контрпримера. Например, река Нил впадает в Средиземное море, а не в Каспийское.
• $\neg A$: «Существует река, которая не впадает в Каспийское море». Это утверждение является истинным, так как мы можем привести пример такой реки (тот же Нил, Амазонка, Янцзы и многие другие).

Теперь построим дизъюнкцию (логическое «ИЛИ») этих двух высказываний: «(Все реки впадают в Каспийское море) ИЛИ (Существует река, которая не впадает в Каспийское море)».

Подставим значения истинности в формулу закона исключённого третьего $A \lor \neg A$: $Ложь \lor Истина$. Согласно правилам логики, дизъюнкция истинна, если хотя бы один из её членов истинен. В нашем случае второй член («Существует река...») истинен, поэтому всё высказывание целиком также истинно. $Ложь \lor Истина = Истина$.

Так как в результате мы получили «Истину», закон исключённого третьего для данного высказывания выполняется.

Ответ: Закон исключённого третьего выполняется, так как исходное высказывание ложно, его отрицание истинно, а их дизъюнкция ($A \lor \neg A$) даёт истинное утверждение.

21 Построй отрицание высказывания “Все реки впадают в Каспийское море”. Убедись в выполнении для него закона исключенного третьего.

22 Найди истинные высказывания. Расположи соответствующие им ответы в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй астрономический термин. Примеры, в которых допущены ошибки, реши правильно и запиши в тетрадь.

Р $0,4 + 3 = 3,4$

У $6 + 0,12 = 0,18$

Н $0,25 + 0,5 = 0,3$

О $3,28 + 1,3 = 4,58$

Е $2,6 - 0,01 = 2,59$

Д $9,1 - 1,05 = 8,05$

Г $0,854 - 0,85 = 0,04$

Б $0,5 \cdot 3 = 0,15$

И $4 \cdot 1,7 = 6,8$

Ж $17,2 \cdot 10 = 1,72$

А $0,8 \cdot 0,04 = 0,032$

К $5 : 1000 = 0,05$

Т $3,6 : 9 = 0,4$

Я $12,3 : 5 = 24,6$

С $0,056 : 0,7 = 0,08$

Для решения задачи необходимо выполнить три шага:

1. Проверить все математические равенства и найти среди них истинные (верные).
2. Расположить ответы истинных высказываний в порядке возрастания.
3. Сопоставить упорядоченные ответы с соответствующими им буквами и составить слово.

1. Проверка высказываний:

• Р: $0,4 + 3 = 3,4$ - Истинно
• У: $6 + 0,12 = 6,12$ (а не 0,18) - Ложно
• Н: $0,25 + 0,5 = 0,75$ (а не 0,3) - Ложно
• О: $3,28 + 1,3 = 4,58$ - Истинно
• Е: $2,6 - 0,01 = 2,59$ - Истинно
• Д: $9,1 - 1,05 = 8,05$ - Истинно
• Г: $0,854 - 0,85 = 0,004$ (а не 0,04) - Ложно
• Б: $0,5 \cdot 3 = 1,5$ (а не 0,15) - Ложно
• И: $4 \cdot 1,7 = 6,8$ - Истинно
• Ж: $17,2 \cdot 10 = 172$ (а не 1,72) - Ложно
• А: $0,8 \cdot 0,04 = 0,032$ - Истинно
• К: $5 : 1000 = 0,005$ (а не 0,05) - Ложно
• Т: $3,6 : 9 = 0,4$ - Истинно
• Я: $12,3 : 5 = 2,46$ (а не 24,6) - Ложно
• С: $0,056 : 0,7 = 0,08$ - Истинно

2. Упорядочивание ответов истинных высказываний:

Выпишем ответы истинных высказываний:

А: 0,032; С: 0,08; Т: 0,4; Е: 2,59; Р: 3,4; О: 4,58; И: 6,8; Д: 8,05.

Расположим эти числа в порядке возрастания:

$0,032 < 0,08 < 0,4 < 2,59 < 3,4 < 4,58 < 6,8 < 8,05$

3. Расшифровка термина:

Сопоставим упорядоченные числа с их буквами:

А С Т Е Р О И Д

Ответ: Расшифрованный астрономический термин - АСТЕРОИД.

Решение примеров, в которых допущены ошибки:

У

$6 + 0,12 = 6,12$

Ответ: 6,12

Н

$0,25 + 0,5 = 0,75$

Ответ: 0,75

Г

$0,854 - 0,85 = 0,854 - 0,850 = 0,004$

Ответ: 0,004

Б

$0,5 \cdot 3 = 1,5$

Ответ: 1,5

Ж

$17,2 \cdot 10 = 172$

Ответ: 172

К

$5 : 1000 = 0,005$

Ответ: 0,005

Я

$12,3 : 5 = 2,46$

Ответ: 2,46

22 Найди истинные высказывания. Расположи соответствующие им ответы в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй астрономический термин. Примеры, в которых допущены ошибки, реши правильно и запиши в тетрадь.

P $0,4 + 3 = 3,4$

Д $9,1 - 1,05 = 8,05$

А $0,8 \cdot 0,04 = 0,032$

У $6 + 0,12 = 0,18$

Г $0,854 - 0,85 = 0,04$

К $5 : 1000 = 0,05$

Н $0,25 + 0,5 = 0,3$

Б $0,5 \cdot 3 = 0,15$

Т $3,6 : 9 = 0,4$

О $3,28 + 1,3 = 4,58$

И $4 \cdot 1,7 = 6,8$

Я $12,3 : 5 = 24,6$

Е $2,6 - 0,01 = 2,59$

Ж $17,2 \cdot 10 = 1,72$

С $0,056 : 0,7 = 0,08$

23 Выполни действия:

a) $ (3.75 \cdot 6.8 - 7.32) : (1.08 + 0.72) \cdot 5.2 - 4.2 : (51.7 - 580 \cdot 0.089) $;

б) $ 164 - (2262 : 3 + 20827 : 59) : 9 $.

а) $(3,75 \cdot 6,8 - 7,32) : (1,08 + 0,72) \cdot 5,2 - 4,2 : (51,7 - 580 \cdot 0,089)$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Вычислим значение первого выражения в скобках: $3,75 \cdot 6,8 - 7,32$.
Сначала умножение: $3,75 \cdot 6,8 = 25,5$.
Затем вычитание: $25,5 - 7,32 = 18,18$.

2. Вычислим значение второго выражения в скобках: $1,08 + 0,72$.
$1,08 + 0,72 = 1,8$.

3. Вычислим значение третьего выражения в скобках: $51,7 - 580 \cdot 0,089$.
Сначала умножение: $580 \cdot 0,089 = 51,62$.
Затем вычитание: $51,7 - 51,62 = 0,08$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$18,18 : 1,8 \cdot 5,2 - 4,2 : 0,08$.

5. Выполним деление и умножение в порядке их следования (слева направо):
$18,18 : 1,8 = 10,1$.
$10,1 \cdot 5,2 = 52,52$.
$4,2 : 0,08 = 52,5$.

6. Подставим результаты и выполним последнее действие — вычитание:
$52,52 - 52,5 = 0,02$.

Ответ: 0,02

б) $164 - (2262 : 3 + 20827 : 59) : 9$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок.

1. Выполним действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняются деления, затем сложение.
$2262 : 3 = 754$.
$20827 : 59 = 353$.

2. Теперь выполним сложение в скобках:
$754 + 353 = 1107$.

3. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$164 - 1107 : 9$.

4. Согласно порядку действий, сначала выполним деление:
$1107 : 9 = 123$.

5. Теперь выполним вычитание:
$164 - 123 = 41$.

Ответ: 41

23 Выполни действия:

а) $(3,75 \cdot 6,8 - 7,32) : (1,08 + 0,72) \cdot 5,2 - 4,2 : (51,7 - 580 \cdot 0,089);$

б) $164 - (22,62 : 3 + 208,27 : 29,5) \cdot 8,05.$

24 У дачника было три улья. С первого улья он получил 24,8 кг мёда, со второго — на 6,4 кг меньше, чем с первого, а с третьего — половину того, что собрал с первых двух ульев вместе. Весь мёд он разложил поровну в 18 банок. По скольку килограммов мёда было в каждой банке?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Вычислим количество мёда, полученного со второго улья.

Известно, что с первого улья собрали $24,8$ кг мёда, а со второго — на $6,4$ кг меньше. Следовательно, со второго улья собрали:
$24,8 - 6,4 = 18,4$ (кг).

2. Найдем общее количество мёда с первых двух ульев.

Для этого сложим количество мёда, собранного с первого и второго ульев:
$24,8 + 18,4 = 43,2$ (кг).

3. Вычислим количество мёда, полученного с третьего улья.

По условию, с третьего улья собрали половину того, что с первых двух ульев вместе. Разделим результат предыдущего шага на 2:
$43,2 \div 2 = 21,6$ (кг).

4. Найдем общее количество мёда со всех трех ульев.

Сложим количество мёда с первых двух ульев и мёда с третьего улья:
$43,2 + 21,6 = 64,8$ (кг).

5. Определим, сколько килограммов мёда было в каждой банке.

Весь мёд ($64,8$ кг) разложили поровну в $18$ банок. Для нахождения массы мёда в одной банке нужно общее количество мёда разделить на количество банок:
$64,8 \div 18 = 3,6$ (кг).

Ответ: $3,6$ кг.

24 У дачника было три улья. С первого улья он получил $24,8$ кг меда, со второго – на $6,4$ кг меньше, чем с первого, а с третьего – половину того, что собрал с первых двух ульев вместе. Весь мед он разложил поровну в $18$ банок. По сколько килограммов меда было в каждой банке?

C 25* Расшифруй ребус, где одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные.

1) $ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЁТ$

2) $ПЧЁЛКА \times 7 = ЖЖЖЖЖЖЖ$

1) ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЁТ

Запишем этот ребус как математическое равенство: $2 \times \text{ЛЕТО} = \text{ПОЛЁТ}$.

Поскольку при умножении четырёхзначного числа (ЛЕТО) на 2 получилось пятизначное число (ПОЛЁТ), старшая цифра результата (П) может быть только 1. Итак, П = 1.

Чтобы в результате получилось пятизначное число, первая цифра исходного числа (Л) должна быть не меньше 5, так как $2 \times 4999 = 9998$, а $2 \times 5000 = 10000$.

Рассмотрим ребус, записанный в столбик:

$+\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & Л & Е & Т & О \\ & Л & Е & Т & О \\ \hline П & О & Л & Ё & Т \end{array}$

Из разряда тысяч имеем: $2 \times Л + (\text{перенос из сотен}) = 1О$. Перенос из сотен может быть равен 0 или 1.

Из разряда сотен: $2 \times Е + (\text{перенос из десятков}) = Л$ или $10+Л$.

Из разряда единиц: последняя цифра числа $2 \times О$ равна Т.

Начнём подбирать значения для Л, начиная с 5. Проверим Л=6.

1. Если Л=6, то в разряде тысяч $2 \times 6 + (\text{перенос}) = 12 + (\text{перенос})$. Чтобы получилось $1О$, перенос из сотен должен быть равен 0, и тогда О=2.
2. Если переноса в тысячи не было, то в разряде сотен $2 \times Е + (\text{перенос из десятков}) = Л = 6$. Если предположить, что переноса из десятков тоже не было, то $2 \times Е = 6$, откуда Е=3.
3. В разряде единиц $2 \times О = 2 \times 2 = 4$. Значит, Т=4. Переноса в десятки нет, что совпадает с нашим предположением на предыдущем шаге.
4. В разряде десятков $2 \times Т + (\text{перенос из единиц}) = Ё$. Так как переноса не было, $2 \times 4 = 8$. Значит, Ё=8.
5. Мы нашли значения для всех букв: П=1, О=2, Л=6, Ё=8, Е=3, Т=4. Все цифры различны, что соответствует условию.

Проверим найденное решение: $6342 + 6342 = 12684$.

Ответ: $6342 + 6342 = 12684$.

2) ПЧЁЛКА × 7 = ЖЖЖЖЖЖ

Число вида ЖЖЖЖЖЖ можно представить в виде произведения $Ж \times 111111$. Таким образом, уравнение принимает вид: $\text{ПЧЁЛКА} \times 7 = Ж \times 111111$.

Разделим обе части уравнения на 7: $\text{ПЧЁЛКА} = \frac{Ж \times 111111}{7}$.

Вычислим частное: $111111 \div 7 = 15873$.

Теперь уравнение выглядит так: $\text{ПЧЁЛКА} = Ж \times 15873$.

ПЧЁЛКА — это шестизначное число, поэтому произведение $Ж \times 15873$ должно быть шестизначным. Это возможно, если $Ж \geq 7$, так как $6 \times 15873 = 95238$ (пятизначное), а $7 \times 15873 = 111111$ (шестизначное).

По условию, разным буквам соответствуют разные цифры. Переберём возможные значения Ж:

- Если $Ж = 7$, то ПЧЁЛКА = $7 \times 15873 = 111111$. В этом случае цифры в слове ПЧЁЛКА не являются разными, что противоречит условию.
- Если $Ж = 8$, то ПЧЁЛКА = $8 \times 15873 = 126984$. Здесь цифры: П=1, Ч=2, Ё=6, Л=9, К=8, А=4. Но буква К и буква Ж обе соответствуют цифре 8, что недопустимо.
- Если $Ж = 9$, то ПЧЁЛКА = $9 \times 15873 = 142857$.

Проверим этот вариант. - П=1, Ч=4, Ё=2, Л=8, К=5, А=7. - Ж=9. - Все цифры (1, 4, 2, 8, 5, 7, 9), соответствующие буквам П, Ч, Ё, Л, К, А, Ж, — различны. Это решение подходит.

Проверим исходное равенство: $142857 \times 7 = 999999$.

Ответ: $142857 \times 7 = 999999$.

25 Расшифруй ребус, где одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные:

1) $ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ$;

2) $ПЧЕЛКА \times 7 = ЖЖЖЖЖЖЖ.$

20 Построй математическую модель задачи и найди ответ.

1) В первом вагоне трамвая ехало в 1,5 раза больше пассажиров, чем во втором. После того как из первого вагона вышли 5 пассажиров, а во второй вошли 3 пассажира, в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне первоначально?

2) В бидоне было в 2 раза больше молока, чем в банке. После того как из банки отлили 2 л, а из бидона — 3 л, в банке осталось молока в 4,5 раз меньше, чем в бидоне. Сколько литров молока было в бидоне и в банке вместе?

1)

Для построения математической модели введем переменную. Пусть $x$ — количество пассажиров во втором вагоне трамвая первоначально. Тогда, согласно условию, в первом вагоне было $1,5x$ пассажиров.

После того как из первого вагона вышли 5 пассажиров, в нем стало $(1,5x - 5)$ пассажиров. После того как во второй вагон вошли 3 пассажира, в нем стало $(x + 3)$ пассажиров.

По условию задачи, после этих изменений количество пассажиров в обоих вагонах стало равным. Составим и решим уравнение:

$1,5x - 5 = x + 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$1,5x - x = 3 + 5$

$0,5x = 8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,5:

$x = \frac{8}{0,5}$

$x = 16$

Следовательно, первоначально во втором вагоне было 16 пассажиров. Теперь найдем, сколько пассажиров было в первом вагоне:

$1,5 \cdot 16 = 24$

Таким образом, первоначально в первом вагоне было 24 пассажира, а во втором — 16.

Ответ: первоначально в первом вагоне было 24 пассажира, а во втором — 16 пассажиров.

2)

Составим математическую модель. Пусть $y$ литров молока было в банке первоначально. Так как в бидоне было в 2 раза больше молока, то в бидоне было $2y$ литров молока.

После того как из банки отлили 2 л, в ней осталось $(y - 2)$ л молока. После того как из бидона отлили 3 л, в нем осталось $(2y - 3)$ л молока.

Из условия известно, что в банке осталось молока в 4,5 раза меньше, чем в бидоне. Это равносильно тому, что в бидоне осталось в 4,5 раза больше молока, чем в банке. Составим и решим уравнение:

$(2y - 3) = 4,5 \cdot (y - 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2y - 3 = 4,5y - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$9 - 3 = 4,5y - 2y$

$6 = 2,5y$

Найдем $y$:

$y = \frac{6}{2,5}$

$y = 2,4$

Значит, первоначально в банке было 2,4 л молока. Найдем, сколько молока было в бидоне:

$2 \cdot 2,4 = 4,8$ (л)

Вопрос задачи — сколько литров молока было в бидоне и в банке вместе. Для этого сложим первоначальные объемы:

$2,4 + 4,8 = 7,2$ (л)

Ответ: в бидоне и в банке вместе было 7,2 л молока.

20 Построй математическую модель задачи и найди ответ:

1) В первом вагоне трамвая ехало в 1,5 раза больше пассажиров, чем во втором. После того как из первого вагона вышли 5 пассажиров, а во второй вошли 3 пассажира, в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне первоначально?

2) В бидоне было в 2 раза больше молока, чем в банке. После того как из банки отлили 2 л, а из бидона — 3 л, в банке осталось молока в 4,5 раз меньше, чем в бидоне. Сколько литров молока было в бидоне и в банке вместе?

D 21 Найди процентное отношение чисел и величин:

а) 0,56 : 0,7;

в) 3,6 : $2\frac{4}{7}$;

д) 2,8 см к 4 дм;

ж) 5 ц к 400 кг;

б) $\frac{3}{22} : 1\frac{4}{11}$;

г) $8\frac{1}{3} : 25$;

е) 3 ч к 1 сут.;

з) 180 м к 3 км.

а) Чтобы найти процентное отношение числа 0,56 к числу 0,7, нужно разделить первое число на второе и умножить результат на 100%.
$ \frac{0,56}{0,7} \cdot 100\% = 0,8 \cdot 100\% = 80\% $.
Ответ: 80%.

б) Сначала представим смешанное число $1\frac{4}{11}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{4}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{15}{11}$.
Теперь найдем отношение дробей и умножим на 100%:
$ \frac{3}{22} : \frac{15}{11} \cdot 100\% = \frac{3}{22} \cdot \frac{11}{15} \cdot 100\% = \frac{3 \cdot 11}{22 \cdot 15} \cdot 100\% = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 100\% = \frac{1}{10} \cdot 100\% = 10\% $.
Ответ: 10%.

в) Представим смешанное число $2\frac{4}{7}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$.
Представим десятичное число 3,6 в виде обыкновенной дроби: $3,6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$.
Найдем их процентное отношение:
$ \frac{18}{5} : \frac{18}{7} \cdot 100\% = \frac{18}{5} \cdot \frac{7}{18} \cdot 100\% = \frac{7}{5} \cdot 100\% = 1,4 \cdot 100\% = 140\% $.
Ответ: 140%.

г) Представим смешанное число $8\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$.
Найдем процентное отношение этого числа к 25:
$ \frac{25}{3} : 25 \cdot 100\% = \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{25} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33\frac{1}{3}\% $.
Ответ: $33\frac{1}{3}\%$.

д) Для нахождения процентного отношения величин необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, следовательно, $4 \text{ дм} = 4 \cdot 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.
Теперь найдем процентное отношение 2,8 см к 40 см:
$ \frac{2,8 \text{ см}}{40 \text{ см}} \cdot 100\% = \frac{2,8}{40} \cdot 100\% = 0,07 \cdot 100\% = 7\% $.
Ответ: 7%.

е) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем сутки в часы.
$1 \text{ сут.} = 24 \text{ ч}$.
Найдем процентное отношение 3 ч к 24 ч:
$ \frac{3 \text{ ч}}{24 \text{ ч}} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 0,125 \cdot 100\% = 12,5\% $.
Ответ: 12,5%.

ж) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем центнеры в килограммы.
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, следовательно, $5 \text{ ц} = 5 \cdot 100 \text{ кг} = 500 \text{ кг}$.
Найдем процентное отношение 500 кг к 400 кг:
$ \frac{500 \text{ кг}}{400 \text{ кг}} \cdot 100\% = \frac{5}{4} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\% $.
Ответ: 125%.

з) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем километры в метры.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, следовательно, $3 \text{ км} = 3 \cdot 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$.
Найдем процентное отношение 180 м к 3000 м:
$ \frac{180 \text{ м}}{3000 \text{ м}} \cdot 100\% = \frac{180}{3000} \cdot 100\% = \frac{18}{300} \cdot 100\% = 0,06 \cdot 100\% = 6\% $.
Ответ: 6%.

21 Найди процентное отношение чисел и величин:

а) $0,56 : 0,7;$

б) $\frac{3}{22} : 1\frac{4}{11};$

в) $3,6 : 2\frac{4}{7};$

г) $8\frac{1}{3} : 25;$

д) $2,8 \text{ см к } 4 \text{ дм};$

е) $3 \text{ ч к } 1 \text{ сут};$

ж) $5 \text{ ц к } 400 \text{ кг};$

з) $180 \text{ м к } 3 \text{ км}.$

22 Смешали три раствора соли с концентрацией соответственно $10 \%$, $15 \%$ и $30 \%$. Масса первого раствора равна $180 \text{ г}$, масса второго раствора в 2 раза больше массы первого, а масса третьего раствора на $100 \text{ г}$ больше массы второго. Чему равна концентрация полученной смеси?

Для того чтобы найти концентрацию полученной смеси, необходимо последовательно выполнить несколько шагов: определить массу каждого из трех исходных растворов, рассчитать массу соли в каждом из них, найти общую массу смеси и общую массу соли, и, наконец, вычислить итоговую концентрацию.

1. Найдем массу каждого раствора.

Масса первого раствора известна из условия: $m_1 = 180$ г.

Масса второго раствора в 2 раза больше массы первого:

$m_2 = m_1 \cdot 2 = 180 \text{ г} \cdot 2 = 360$ г.

Масса третьего раствора на 100 г больше массы второго:

$m_3 = m_2 + 100 \text{ г} = 360 \text{ г} + 100 \text{ г} = 460$ г.

2. Найдем массу соли в каждом растворе.

Масса соли ($m_{соли}$) в растворе вычисляется как произведение массы раствора ($m_{раствора}$) на его концентрацию ($C$), выраженную в долях.

Масса соли в первом 10%-м растворе:

$m_{соли1} = m_1 \cdot C_1 = 180 \cdot 0.10 = 18$ г.

Масса соли во втором 15%-м растворе:

$m_{соли2} = m_2 \cdot C_2 = 360 \cdot 0.15 = 54$ г.

Масса соли в третьем 30%-м растворе:

$m_{соли3} = m_3 \cdot C_3 = 460 \cdot 0.30 = 138$ г.

3. Найдем общую массу смеси и общую массу соли.

Общая масса полученной смеси — это сумма масс трех исходных растворов:

$m_{смеси} = m_1 + m_2 + m_3 = 180 + 360 + 460 = 1000$ г.

Общая масса соли в смеси — это сумма масс соли из трех растворов:

$m_{соли\_общ} = m_{соли1} + m_{соли2} + m_{соли3} = 18 + 54 + 138 = 210$ г.

4. Найдем концентрацию полученной смеси.

Концентрация смеси ($C_{смеси}$) вычисляется по формуле:

$C_{смеси} = \frac{m_{соли\_общ}}{m_{смеси}} \cdot 100\%$

Подставим найденные значения:

$C_{смеси} = \frac{210 \text{ г}}{1000 \text{ г}} \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$

Ответ: 21%.

22 Смешали три раствора соли с концентрацией соответственно 10%, 15% и 30%. Масса первого раствора равна 180 г, масса второго раствора в 2 раза больше массы первого, а масса третьего раствора на 100 г больше массы второго. Чему равна концентрация полученной смеси?

23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника, приведённым на с. 7, найди тангенс угла $A$ в треугольниках $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$, выполнив необходимые измерения. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Чтобы найти тангенс угла $A$ в треугольниках $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$ и $AB_3C_3$, необходимо измерить длины противолежащих и прилежащих катетов для каждого треугольника и найти их отношение. Измерения, выполненные по рисунку, могут иметь небольшую погрешность.

Для треугольника $ABC$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $BC \approx 1,5$ см, прилежащий катет $AC \approx 3,0$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{BC}{AC} \approx \frac{1,5}{3,0} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Для треугольника $AB_1C_1$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $B_1C_1 \approx 2,0$ см, прилежащий катет $AC_1 \approx 4,0$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{B_1C_1}{AC_1} \approx \frac{2,0}{4,0} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Для треугольника $AB_2C_2$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $B_2C_2 \approx 2,7$ см, прилежащий катет $AC_2 \approx 5,4$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{B_2C_2}{AC_2} \approx \frac{2,7}{5,4} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Для треугольника $AB_3C_3$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $B_3C_3 \approx 3,3$ см, прилежащий катет $AC_3 \approx 6,6$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{B_3C_3}{AC_3} \approx \frac{3,3}{6,6} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что, несмотря на разные размеры треугольников, значения тангенса угла $A$, вычисленные для каждого из них, оказались одинаковыми (с учётом погрешности измерений).
Ответ: Значение тангенса угла $A$ во всех треугольниках одинаково.

Сформулируй гипотезу.
Тангенс острого угла зависит только от величины (градусной меры) этого угла и не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.
Ответ: Гипотеза: тангенс острого угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника.

Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?
Да, эта гипотеза верна всегда. Это следует из подобия треугольников.
Рассмотрим треугольники $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$ и $AB_3C_3$. Все они являются прямоугольными (по построению $BC \perp AC$, $B_1C_1 \perp AC$, и т.д.) и имеют общий острый угол $A$.
По признаку подобия по двум углам (в данном случае — по прямому углу и общему острому углу $A$), все эти треугольники подобны друг другу: $ \triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2 \sim \triangle AB_3C_3 $.
В подобных треугольниках отношения длин соответственных сторон равны. Для угла $A$ соответственными сторонами являются противолежащие катеты ($BC, B_1C_1, \dots$) и прилежащие катеты ($AC, AC_1, \dots$). Следовательно, их отношения равны: $ \frac{BC}{AC} = \frac{B_1C_1}{AC_1} = \frac{B_2C_2}{AC_2} = \frac{B_3C_3}{AC_3} $
Так как это отношение и есть тангенс угла $A$, его значение постоянно для данного угла, независимо от размеров треугольника.
Ответ: Да, гипотеза верна всегда. Это объясняется тем, что все прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом подобны друг другу. А у подобных треугольников отношение соответственных катетов, которое и определяет тангенс, является постоянной величиной.

23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника, приведенным на стр. 7, найди тангенс угла $A$ в треугольниках $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$, выполнив необходимые измерения. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?

Реши уравнения, используя правило «весов»:

a) $12x - 39 = 8x + 5;$

б) $6(y - 1,4) = 3,5y + 1,6.$

а) $12x - 39 = 8x + 5$

Правило «весов» заключается в том, что если к обеим частям уравнения применить одно и то же действие (сложение, вычитание, умножение или деление на одно и то же число, не равное нулю), то равенство останется верным. Наша цель — оставить переменную в одной части уравнения, а числа — в другой.

1. Чтобы собрать все слагаемые с переменной $x$ в левой части, вычтем из обеих частей уравнения $8x$.

$12x - 39 - 8x = 8x + 5 - 8x$

Приводим подобные слагаемые в каждой части:

$4x - 39 = 5$

2. Теперь перенесем все числа в правую часть. Для этого прибавим к обеим частям уравнения 39.

$4x - 39 + 39 = 5 + 39$

$4x = 44$

3. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4.

$\frac{4x}{4} = \frac{44}{4}$

$x = 11$

Ответ: $x = 11$.

б) $6(y - 1,4) = 3,5y + 1,6$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 6 на каждый член в скобках.

$6 \cdot y - 6 \cdot 1,4 = 3,5y + 1,6$

$6y - 8,4 = 3,5y + 1,6$

1. Теперь, используя правило «весов», соберем все слагаемые с переменной $y$ в левой части. Для этого вычтем из обеих частей $3,5y$.

$6y - 8,4 - 3,5y = 3,5y + 1,6 - 3,5y$

$2,5y - 8,4 = 1,6$

2. Перенесем числа в правую часть, прибавив к обеим частям 8,4.

$2,5y - 8,4 + 8,4 = 1,6 + 8,4$

$2,5y = 10$

3. Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 2,5.

$y = \frac{10}{2,5}$

$y = 4$

Ответ: $y = 4$.

24 Реши уравнения, используя правило “весов”:

а) $12x - 39 = 8x + 5$;

б) $6(y - 1.4) = 3.5y + 1.6$.

25 Построй математическую модель задачи и найди ответ.

На первой полке на 18 книг меньше, чем на второй. После того как число книг на первой полке удвоили, оно составило 80 % от числа книг на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Построение математической модели

Пусть $x$ — первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

Согласно первому условию, "На первой полке на 18 книг меньше, чем на второй". Это можно записать в виде уравнения:
$x = y - 18$

После того как число книг на первой полке удвоили, оно стало равно $2x$. Согласно второму условию, это новое количество составило 80% от числа книг на второй полке. Представим 80% в виде десятичной дроби: $80\% = 0.8$. Это можно записать в виде второго уравнения:
$2x = 0.8y$

Таким образом, математическая модель задачи представляет собой систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x = y - 18 \\ 2x = 0.8y \end{cases} $

Нахождение ответа

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$2(y - 18) = 0.8y$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:
$2y - 36 = 0.8y$
$2y - 0.8y = 36$
$1.2y = 36$
$y = \frac{36}{1.2}$
$y = 30$

Следовательно, на второй полке первоначально было 30 книг. Теперь найдем количество книг на первой полке, подставив значение $y$ в первое уравнение системы:
$x = y - 18$
$x = 30 - 18$
$x = 12$

Таким образом, на первой полке первоначально было 12 книг.

Ответ: первоначально на первой полке было 12 книг, а на второй — 30 книг.

25 Построй математическую модель задачи и найди ответ:

На первой полке на 18 книг меньше, чем на второй. После того как число книг на первой полке удвоили, оно составило 80% от числа книг на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Математическая модель:

$y - x = 18$

$2x = 0.8y$

К 27

Назови коэффициенты выражений. Какое из этих выражений может быть «лишним»? Почему?

а) $2xy$;

б) $k^5$;

в) $-3ab^4$;

г) $-\frac{5}{6}m^3n^2$;

д) $7c^4d \cdot (-2)$.

Коэффициент – это числовой множитель в алгебраическом выражении (одночлене), записанном в стандартном виде. Найдем коэффициенты для каждого из данных выражений.

а) В выражении $2xy$ числовой множитель равен 2.
Ответ: 2.

б) Выражение $k^5$ можно представить в виде $1 \cdot k^5$. Числовой множитель равен 1.
Ответ: 1.

в) В выражении $-3ab^4$ числовой множитель равен -3.
Ответ: -3.

г) В выражении $-\frac{5}{6}m^3n^2$ числовой множитель равен $-\frac{5}{6}$.
Ответ: $-\frac{5}{6}$.

д) Выражение $7c^4d \cdot (-2)$ не записано в стандартном виде. Для нахождения коэффициента необходимо сначала упростить его, перемножив числовые множители:
$7c^4d \cdot (-2) = (7 \cdot (-2)) \cdot c^4d = -14c^4d$.
Коэффициент полученного выражения равен -14.
Ответ: -14.

Чтобы определить, какое из выражений может быть «лишним», нужно найти признак, по которому одно из них отличается от всех остальных. Возможны несколько вариантов ответа.

Вариант 1: «Лишним» является выражение д) $7c^4d \cdot (-2)$.
Почему: Это единственное выражение, которое изначально представлено не в стандартном виде. Все остальные (а, б, в, г) являются одночленами стандартного вида.

Вариант 2: «Лишним» является выражение г) $-\frac{5}{6}m^3n^2$.
Почему: Это единственное выражение, коэффициент которого является дробным числом. Коэффициенты всех остальных выражений (2, 1, -3, -14) – целые числа.

Вариант 3: «Лишним» является выражение б) $k^5$.
Почему: Это единственное выражение, которое содержит только одну переменную ($k$). Все остальные выражения содержат по две переменные ($x$ и $y$; $a$ и $b$; $m$ и $n$; $c$ и $d$).

К 27 Назови коэффициенты выражений. Какое из этих выражений может быть «лишним»? Почему?

а) $2xy$;

б) $k^5$;

в) $-3ab^4$;

г) $-\frac{5}{6}m^3n^2$;

д) $7c^4d \cdot (-2)$.

28 Прочитай выражения. Чем они похожи и чем отличаются? Найди их коэффициенты и буквенные части:

а) $(-2x)^2$, $-2x^2$ и $(-2)^2x$;

б) $(-2m)^4$, $-2m^4$ и $(-2)^4m.

а)

Прочитаем выражения: "квадрат минус двух икс", "минус два икс в квадрате" и "минус два в квадрате, умноженное на икс".

Эти выражения похожи тем, что все они содержат число -2, переменную $x$ и операцию возведения во вторую степень. Отличаются они тем, что именно возводится в квадрат (основание степени), что влияет на итоговый коэффициент и буквенную часть.

Найдем коэффициенты и буквенные части, предварительно упростив выражения:

• Для выражения $(-2x)^2$: здесь в квадрат возводится всё, что находится в скобках.
  $(-2x)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 = 4x^2$.
  Коэффициент: 4.
  Буквенная часть: $x^2$.
• Для выражения $-2x^2$: здесь в квадрат возводится только переменная $x$.
  $-2x^2 = -2 \cdot x^2$.
  Коэффициент: -2.
  Буквенная часть: $x^2$.
• Для выражения $(-2)^2x$: здесь в квадрат возводится только число -2.
  $(-2)^2x = 4 \cdot x = 4x$.
  Коэффициент: 4.
  Буквенная часть: $x$.

Ответ: Для $(-2x)^2$ коэффициент 4, буквенная часть $x^2$; для $-2x^2$ коэффициент -2, буквенная часть $x^2$; для $(-2)^2x$ коэффициент 4, буквенная часть $x$.

б)

Прочитаем выражения: "минус два эм в четвертой степени", "минус два эм в четвертой степени" и "минус два в четвертой степени, умноженное на эм".

Эти выражения похожи тем, что все они содержат число -2, переменную $m$ и операцию возведения в четвертую степень. Отличаются они основанием степени, что приводит к разным результатам.

Найдем коэффициенты и буквенные части, предварительно упростив выражения:

• Для выражения $(-2m)^4$: здесь в четвертую степень возводится всё, что находится в скобках.
  $(-2m)^4 = (-2)^4 \cdot m^4 = 16m^4$.
  Коэффициент: 16.
  Буквенная часть: $m^4$.
• Для выражения $-2m^4$: здесь в четвертую степень возводится только переменная $m$.
  $-2m^4 = -2 \cdot m^4$.
  Коэффициент: -2.
  Буквенная часть: $m^4$.
• Для выражения $(-2)^4m$: здесь в четвертую степень возводится только число -2.
  $(-2)^4m = 16 \cdot m = 16m$.
  Коэффициент: 16.
  Буквенная часть: $m$.

Ответ: Для $(-2m)^4$ коэффициент 16, буквенная часть $m^4$; для $-2m^4$ коэффициент -2, буквенная часть $m^4$; для $(-2)^4m$ коэффициент 16, буквенная часть $m$.

28 Прочитай выражения. Чем они похожи и чем отличаются? Найди их коэффициенты и буквенные части:

а) $(-2x)^2$, $-2x^2$ и $(-2)^2x;

б) $(-2m)^4$, $-2m^4$ и $(-2)^4m.

29 Определи коэффициент выражения (устно):

а) $-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot d;$

в) $(-c)^2 \cdot (-m)^3;$

д) $(-a)^5 \cdot (-b)^4;$

б) $-x \cdot (-y) \cdot (-n) \cdot (-m);$

г) $(-c^2) \cdot (-m^3);$

е) $(-a^5) \cdot (-b^4).$

а) $-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot d$
Коэффициент — это числовой множитель в алгебраическом выражении. Чтобы найти коэффициент данного произведения, нужно перемножить коэффициенты всех его сомножителей.
Множитель $-a$ имеет коэффициент $-1$.
Множитель $(-b)$ имеет коэффициент $-1$.
Множитель $(-c)$ имеет коэффициент $-1$.
Множитель $d$ имеет коэффициент $1$.
Произведение коэффициентов: $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 1$.
Так как у нас нечетное количество (три) отрицательных множителей, результат будет отрицательным: $1 \cdot (-1) \cdot 1 = -1$.
Таким образом, выражение равно $-abcd$.
Ответ: -1

б) $-x \cdot (-y) \cdot (-n) \cdot (-m)$
Найдем произведение коэффициентов каждого сомножителя в выражении.
Множитель $-x$ имеет коэффициент $-1$.
Множитель $(-y)$ имеет коэффициент $-1$.
Множитель $(-n)$ имеет коэффициент $-1$.
Множитель $(-m)$ имеет коэффициент $-1$.
Произведение коэффициентов: $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$.
Так как у нас четное количество (четыре) отрицательных множителей, результат будет положительным: $1 \cdot 1 = 1$.
Таким образом, выражение равно $xynm$.
Ответ: 1

в) $(-c)^2 \cdot (-m)^3$
Сначала упростим каждый множитель, возведя его в степень.
Первый множитель: $(-c)^2 = (-1 \cdot c)^2 = (-1)^2 \cdot c^2 = 1 \cdot c^2 = c^2$. Коэффициент этого множителя равен $1$.
Второй множитель: $(-m)^3 = (-1 \cdot m)^3 = (-1)^3 \cdot m^3 = -1 \cdot m^3 = -m^3$. Коэффициент этого множителя равен $-1$.
Теперь перемножим коэффициенты полученных выражений: $1 \cdot (-1) = -1$.
Таким образом, выражение равно $c^2 \cdot (-m^3) = -c^2m^3$.
Ответ: -1

г) $(-c^2) \cdot (-m^3)$
В этом выражении степень относится только к букве, а не к знаку минус.
Коэффициент первого множителя $(-c^2)$ равен $-1$.
Коэффициент второго множителя $(-m^3)$ равен $-1$.
Перемножим коэффициенты: $(-1) \cdot (-1) = 1$.
Таким образом, выражение равно $c^2m^3$.
Ответ: 1

д) $(-a)^5 \cdot (-b)^4$
Сначала упростим каждый множитель, возведя его в степень.
Первый множитель: $(-a)^5 = (-1 \cdot a)^5 = (-1)^5 \cdot a^5 = -1 \cdot a^5 = -a^5$. Коэффициент этого множителя равен $-1$.
Второй множитель: $(-b)^4 = (-1 \cdot b)^4 = (-1)^4 \cdot b^4 = 1 \cdot b^4 = b^4$. Коэффициент этого множителя равен $1$.
Перемножим коэффициенты полученных выражений: $(-1) \cdot 1 = -1$.
Таким образом, выражение равно $(-a^5) \cdot b^4 = -a^5b^4$.
Ответ: -1

е) $(-a^5) \cdot (-b^4)$
В данном выражении степень относится только к переменной, а не к знаку минус перед ней.
Коэффициент первого множителя $(-a^5)$ равен $-1$.
Коэффициент второго множителя $(-b^4)$ равен $-1$.
Найдем произведение коэффициентов: $(-1) \cdot (-1) = 1$.
Таким образом, выражение равно $a^5b^4$.
Ответ: 1

29 Определи коэффициент выражения (устно):

а) $-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot d;$

б) $-x \cdot (-y) \cdot (-n) \cdot (-m);$

В) $(-c)^2 \cdot (-m)^3;$

Г) $(-c^2) \cdot (-m^3);$

Д) $(-a)^5 \cdot (-b)^4;$

е) $(-a^5) \cdot (-b^4).$

30 Определи коэффициент и буквенную часть выражения (устно):

а) $2a \cdot 7;$

г) $4mn \cdot (-0,2);$

ж) $2c \cdot (-c) \cdot (-8);$

к) $(-5a)^2;$

б) $3b \cdot (-5c);$

д) $-x \cdot 2p \cdot (-0,5);$

з) $y \cdot 6y \cdot (-0,01y);$

л) $-5a^2;$

в) $-\frac{1}{2}x \cdot (-y);$

е) $-b \cdot (-3d) \cdot (-\frac{1}{3});$

и) $-0,25n \cdot (-4n^2);$

м) $(-5)^2a.$

а)

Чтобы определить коэффициент и буквенную часть выражения $2a \cdot 7$, нужно перемножить числовые множители.
$2a \cdot 7 = (2 \cdot 7)a = 14a$.
Коэффициент — это числовой множитель в выражении, а буквенная часть — это произведение переменных.
Коэффициент: $14$.
Буквенная часть: $a$.
Ответ: Коэффициент $14$, буквенная часть $a$.

б)

Упростим выражение $3b \cdot (-5c)$, перемножив числовые и буквенные множители по отдельности.
$3b \cdot (-5c) = (3 \cdot (-5)) \cdot (b \cdot c) = -15bc$.
Коэффициент: $-15$.
Буквенная часть: $bc$.
Ответ: Коэффициент $-15$, буквенная часть $bc$.

в)

Рассмотрим выражение $-\frac{1}{2}x \cdot (-y)$.
Выполним умножение: $(-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \cdot x \cdot y = \frac{1}{2}xy$.
Коэффициент: $\frac{1}{2}$.
Буквенная часть: $xy$.
Ответ: Коэффициент $\frac{1}{2}$, буквенная часть $xy$.

г)

Упростим выражение $4mn \cdot (-0,2)$.
$4mn \cdot (-0,2) = (4 \cdot (-0,2))mn = -0,8mn$.
Коэффициент: $-0,8$.
Буквенная часть: $mn$.
Ответ: Коэффициент $-0,8$, буквенная часть $mn$.

д)

Рассмотрим выражение $-x \cdot 2p \cdot (-0,5)$.
Выражение $-x$ можно записать как $-1 \cdot x$.
$(-1 \cdot x) \cdot 2p \cdot (-0,5) = (-1 \cdot 2 \cdot (-0,5)) \cdot (x \cdot p) = 1 \cdot xp = xp$.
Если коэффициент равен $1$, его обычно не пишут.
Коэффициент: $1$.
Буквенная часть: $xp$.
Ответ: Коэффициент $1$, буквенная часть $xp$.

е)

Упростим выражение $-b \cdot (-3d) \cdot (-\frac{1}{3})$.
$(-1 \cdot b) \cdot (-3 \cdot d) \cdot (-\frac{1}{3}) = (-1 \cdot (-3) \cdot (-\frac{1}{3})) \cdot (b \cdot d) = -1 \cdot bd = -bd$.
Если коэффициент равен $-1$, обычно пишут только знак минус.
Коэффициент: $-1$.
Буквенная часть: $bd$.
Ответ: Коэффициент $-1$, буквенная часть $bd$.

ж)

Упростим выражение $2c \cdot (-c) \cdot (-8)$.
$2c \cdot (-1 \cdot c) \cdot (-8) = (2 \cdot (-1) \cdot (-8)) \cdot (c \cdot c) = 16c^2$.
Коэффициент: $16$.
Буквенная часть: $c^2$.
Ответ: Коэффициент $16$, буквенная часть $c^2$.

з)

Упростим выражение $y \cdot 6y \cdot (-0,01y)$.
$(1 \cdot y) \cdot (6 \cdot y) \cdot (-0,01 \cdot y) = (1 \cdot 6 \cdot (-0,01)) \cdot (y \cdot y \cdot y) = -0,06y^3$.
Коэффициент: $-0,06$.
Буквенная часть: $y^3$.
Ответ: Коэффициент $-0,06$, буквенная часть $y^3$.

и)

Упростим выражение $-0,25n \cdot (-4n^2)$.
$(-0,25 \cdot (-4)) \cdot (n \cdot n^2) = 1 \cdot n^{1+2} = 1n^3 = n^3$.
Коэффициент: $1$.
Буквенная часть: $n^3$.
Ответ: Коэффициент $1$, буквенная часть $n^3$.

к)

Упростим выражение $(-5a)^2$.
Возведение в квадрат произведения равно произведению квадратов множителей:
$(-5a)^2 = (-5)^2 \cdot a^2 = 25a^2$.
Коэффициент: $25$.
Буквенная часть: $a^2$.
Ответ: Коэффициент $25$, буквенная часть $a^2$.

л)

Выражение $-5a^2$ уже представлено в стандартном виде.
Коэффициент: $-5$.
Буквенная часть: $a^2$.
Ответ: Коэффициент $-5$, буквенная часть $a^2$.

м)

Упростим выражение $(-5)^2a$.
Сначала возведем в квадрат числовой множитель:
$(-5)^2a = 25a$.
Коэффициент: $25$.
Буквенная часть: $a$.
Ответ: Коэффициент $25$, буквенная часть $a$.

30 Определи коэффициент и буквенную часть выражения (устно):

а) $2a \cdot 7;$

б) $3b \cdot (-5c);$

в) $-\frac{1}{2}x \cdot (-y);$

г) $4mn \cdot (-0.2);$

д) $-x \cdot 2p \cdot (-0.5);$

е) $-b \cdot (-3d) \cdot (-\frac{1}{3});$

ж) $2c \cdot (-c) \cdot (-8);$

з) $y \cdot 6y \cdot (-0.01y);$

и) $-0.25n \cdot (-4n^2);$

к) $(-5a)^2;$

л) $-5a^2;$

м) $(-5)^2a.$

31 Упрости выражение и подчеркни его коэффициент:

a) $-3a \cdot (-2b)$;

б) $\frac{5}{12}x \cdot (-4y)$;

в) $-1,5a \cdot (-a) \cdot 2a$;

г) $c \cdot (-\frac{4}{9}c) \cdot 0,9$;

д) $0,8dy \cdot (-12,5y^2)$;

е) $-\frac{1}{3}m^2 \cdot (-15mb)$;

ж) $(-0,7n)^2$;

з) $-3x \cdot (-3x)^2$.

а) Чтобы упростить выражение $-3a \cdot (-2b)$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно. Произведение коэффициентов: $-3 \cdot (-2) = 6$. Произведение переменных: $a \cdot b = ab$. В результате получаем $6ab$. Коэффициентом этого выражения является число 6.

Ответ: 6$ab$.

б) Для упрощения выражения $\frac{5}{12}x \cdot (-4y)$ перемножим коэффициенты и переменные. Произведение коэффициентов: $\frac{5}{12} \cdot (-4) = -\frac{5 \cdot 4}{12} = -\frac{20}{12} = -\frac{5}{3}$. Произведение переменных: $x \cdot y = xy$. В результате получаем $-\frac{5}{3}xy$.

Ответ: $-\frac{5}{3}$$xy$.

в) Упростим выражение $-1,5a \cdot (-a) \cdot 2a$. Перемножим числовые коэффициенты: $-1,5 \cdot (-1) \cdot 2 = 1,5 \cdot 2 = 3$. Перемножим переменные: $a \cdot a \cdot a = a^3$. Результат упрощения: $3a^3$.

Ответ: 3$a^3$.

г) Упростим выражение $c \cdot (-\frac{4}{9}c) \cdot 0,9$. Перемножим коэффициенты: $1 \cdot (-\frac{4}{9}) \cdot 0,9 = -\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{10} = -\frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 10} = -\frac{4}{10} = -0,4$. Перемножим переменные: $c \cdot c = c^2$. Результат упрощения: $-0,4c^2$.

Ответ: -0,4$c^2$.

д) Для упрощения выражения $0,8dy \cdot (-12,5y^2)$ перемножим коэффициенты: $0,8 \cdot (-12,5) = -10$. Затем перемножим переменные, складывая степени у одинаковых оснований: $d \cdot y^1 \cdot y^2 = dy^{1+2} = dy^3$. Результат: $-10dy^3$.

Ответ: -10$dy^3$.

е) Упростим выражение $-\frac{1}{3}m^2 \cdot (-15mb)$. Перемножим коэффициенты: $-\frac{1}{3} \cdot (-15) = \frac{15}{3} = 5$. Перемножим переменные: $m^2 \cdot m \cdot b = m^{2+1}b = m^3b$. Результат: $5m^3b$.

Ответ: 5$m^3b$.

ж) Упростим выражение $(-0,7n)^2$. Возведение в квадрат означает умножение выражения на само себя: $(-0,7n) \cdot (-0,7n)$. Перемножим коэффициенты: $(-0,7) \cdot (-0,7) = 0,49$. Перемножим переменные: $n \cdot n = n^2$. Результат: $0,49n^2$.

Ответ: 0,49$n^2$.

з) Для упрощения выражения $-3x \cdot (-3x)^2$ сначала возведем в степень выражение в скобках: $(-3x)^2 = (-3)^2 \cdot x^2 = 9x^2$. Теперь выполним умножение: $-3x \cdot (9x^2)$. Перемножим коэффициенты: $-3 \cdot 9 = -27$. Перемножим переменные: $x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$. Результат: $-27x^3$.

Ответ: -27$x^3$.

31 Упрости выражение и подчеркни его коэффициент:

а) $-3a \cdot (-2b)$;

б) $\frac{5}{12}x \cdot (-4y)$;

в) $-1,5a \cdot (-a) \cdot 2a$;

г) $c \cdot (-\frac{4}{9}c) \cdot 0,9$;

д) $0,8dy \cdot (-12,5y^2)$;

е) $-\frac{1}{3}m^2 \cdot (-15mb)$;

ж) $(-0,7n)^2$;

з) $-3x \cdot (-3x)^2$.