Номер 23, страница 9, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 1. Понятие отношения - номер 23, страница 9.

Условие 2023.

23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника, приведённым на с. 7, найди тангенс угла $A$ в треугольниках $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$, выполнив необходимые измерения. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?

Решение 2 (2023).

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Чтобы найти тангенс угла $A$ в треугольниках $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$ и $AB_3C_3$, необходимо измерить длины противолежащих и прилежащих катетов для каждого треугольника и найти их отношение. Измерения, выполненные по рисунку, могут иметь небольшую погрешность.

Для треугольника $ABC$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $BC \approx 1,5$ см, прилежащий катет $AC \approx 3,0$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{BC}{AC} \approx \frac{1,5}{3,0} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Для треугольника $AB_1C_1$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $B_1C_1 \approx 2,0$ см, прилежащий катет $AC_1 \approx 4,0$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{B_1C_1}{AC_1} \approx \frac{2,0}{4,0} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Для треугольника $AB_2C_2$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $B_2C_2 \approx 2,7$ см, прилежащий катет $AC_2 \approx 5,4$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{B_2C_2}{AC_2} \approx \frac{2,7}{5,4} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Для треугольника $AB_3C_3$:
Измерим длины катетов: противолежащий катет $B_3C_3 \approx 3,3$ см, прилежащий катет $AC_3 \approx 6,6$ см.
Вычислим тангенс угла $A$:
$ \tan A = \frac{B_3C_3}{AC_3} \approx \frac{3,3}{6,6} = 0,5 $
Ответ: $ \tan A \approx 0,5 $.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что, несмотря на разные размеры треугольников, значения тангенса угла $A$, вычисленные для каждого из них, оказались одинаковыми (с учётом погрешности измерений).
Ответ: Значение тангенса угла $A$ во всех треугольниках одинаково.

Сформулируй гипотезу.
Тангенс острого угла зависит только от величины (градусной меры) этого угла и не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.
Ответ: Гипотеза: тангенс острого угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника.

Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?
Да, эта гипотеза верна всегда. Это следует из подобия треугольников.
Рассмотрим треугольники $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$ и $AB_3C_3$. Все они являются прямоугольными (по построению $BC \perp AC$, $B_1C_1 \perp AC$, и т.д.) и имеют общий острый угол $A$.
По признаку подобия по двум углам (в данном случае — по прямому углу и общему острому углу $A$), все эти треугольники подобны друг другу: $ \triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2 \sim \triangle AB_3C_3 $.
В подобных треугольниках отношения длин соответственных сторон равны. Для угла $A$ соответственными сторонами являются противолежащие катеты ($BC, B_1C_1, \dots$) и прилежащие катеты ($AC, AC_1, \dots$). Следовательно, их отношения равны: $ \frac{BC}{AC} = \frac{B_1C_1}{AC_1} = \frac{B_2C_2}{AC_2} = \frac{B_3C_3}{AC_3} $
Так как это отношение и есть тангенс угла $A$, его значение постоянно для данного угла, независимо от размеров треугольника.
Ответ: Да, гипотеза верна всегда. Это объясняется тем, что все прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом подобны друг другу. А у подобных треугольников отношение соответственных катетов, которое и определяет тангенс, является постоянной величиной.

Условие 2010-2022.

23 Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника, приведенным на стр. 7, найди тангенс угла $A$ в треугольниках $ABC$, $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$, выполнив необходимые измерения. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).