Номер 18, страница 8, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 1. Понятие отношения - номер 18, страница 8.

Условие 2023.

18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза - $c$. На сторонах этого треугольника построены квадраты. Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке.

$a^2 + b^2 = c^2$

Решение 2 (2023).

Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Рассмотрим второй (в центре) и третий (справа) рисунки. На обоих изображен большой квадрат, сторона которого равна сумме катетов исходного прямоугольного треугольника, то есть $a+b$. Следовательно, площади этих больших квадратов равны.

Площадь большого квадрата на втором рисунке можно представить как сумму площадей его составляющих: квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрата со стороной $b$ (площадь $b^2$) и четырех одинаковых прямоугольных треугольников (закрашены розовым), площадь каждого из которых равна $\frac{1}{2}ab$. Таким образом, общая площадь $S$ равна: $S = a^2 + b^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + 2ab$.

Площадь большого квадрата на третьем рисунке также можно представить как сумму площадей его составляющих: внутреннего квадрата со стороной $c$ (площадь $c^2$) и тех же самых четырех прямоугольных треугольников. Таким образом, общая площадь $S$ равна: $S = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$.

Поскольку площади больших квадратов равны, мы можем приравнять полученные выражения: $a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$.

Вычтем из обеих частей равенства $2ab$, получим: $a^2 + b^2 = c^2$.

Это равенство доказывает, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах ($a^2$ и $b^2$), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе ($c^2$).

Ответ: Сравнивая два способа вычисления площади большого квадрата со стороной $a+b$, мы получаем равенство $a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$, из которого следует, что $a^2 + b^2 = c^2$.

Запиши это равенство на математическом языке.

Равенство, доказывающее, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, называется теоремой Пифагора и на математическом языке записывается в виде формулы.

Ответ: $a^2 + b^2 = c^2$.

Условие 2010-2022.

18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. На сторонах этого треугольника построены квадраты. Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе:

Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке.

$a^2 + b^2 = c^2$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).