Номер 13, страница 7, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 1. Понятие отношения - номер 13, страница 7.

Условие 2023.

13 1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.

2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно $5 : 3$.

3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.

4) Начерти угол, равный $60^{\circ}$, и раздели его на 2 части, отношение которых равно $1 : 2$.

Решение 2 (2023).

1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.

Чтобы начертить два отрезка, длины которых находятся в отношении 2 к 3, необходимо выбрать единичный отрезок, то есть длину, которая будет соответствовать одной части. Пусть длина одной части равна $x$.
Тогда длина первого отрезка будет равна $2x$, а длина второго — $3x$.
Для примера выберем длину одной части равной 1.5 см. Тогда:
Длина первого отрезка: $2 \cdot 1.5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Длина второго отрезка: $3 \cdot 1.5 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$.
С помощью линейки чертим два отрезка: один длиной 3 см, другой — 4.5 см. Отношение их длин будет $3:4.5$, что равно $30:45$. Сократив на 15, получим искомое отношение $2:3$.
Ответ: Нужно выбрать единицу длины $x$ и начертить отрезки длиной $2x$ и $3x$, например, 3 см и 4.5 см.

2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно 5 : 3.

Отношение сторон прямоугольника $5:3$ означает, что его длина и ширина пропорциональны числам 5 и 3. Пусть одна часть составляет $x$. Тогда длина прямоугольника будет $5x$, а ширина — $3x$.
Выберем удобное значение, например, $x = 1$ см.
Длина: $5 \cdot 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ширина: $3 \cdot 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Для построения такого прямоугольника необходимо:
1. Начертить отрезок длиной 5 см.
2. Из его концов под прямым углом (с помощью угольника или транспортира) построить два отрезка длиной 3 см в одну сторону.
3. Соединить концы этих двух отрезков.
Ответ: Нужно начертить прямоугольник, стороны которого пропорциональны 5 и 3, например, со сторонами 5 см и 3 см.

3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.

1. Построение. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Их отношение $a:b = 3:4$. Это значит, что $a = 3x$ и $b = 4x$ для некоторой длины $x$. Выберем $x = 1.5$ см. Тогда катеты будут равны $a = 3 \cdot 1.5 = 4.5$ см и $b = 4 \cdot 1.5 = 6$ см. Чтобы начертить треугольник, строим прямой угол, откладываем на одной его стороне 4.5 см, а на другой — 6 см. Соединяем концы полученных отрезков — это будет гипотенуза $c$.
2. Нахождение гипотенузы. Длину гипотенузы можно измерить линейкой, а можно вычислить по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
Подставим общие выражения для катетов: $c^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$.
Отсюда $c = \sqrt{25x^2} = 5x$.
Для нашего примера ($x = 1.5$ см): $c = 5 \cdot 1.5 = 7.5$ см. Измерение гипотенузы на чертеже даст тот же результат.
3. Нахождение отношений. Теперь найдем отношение длины каждого катета к длине гипотенузы. Эти отношения не зависят от выбора $x$.
Отношение катета $a$ к гипотенузе $c$: $\frac{a}{c} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$. Отношение записывается как $3:5$.
Отношение катета $b$ к гипотенузе $c$: $\frac{b}{c} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$. Отношение записывается как $4:5$.
Ответ: Отношение длины первого катета к длине гипотенузы равно $3:5$, а отношение длины второго катета к длине гипотенузы — $4:5$.

4) Начерти угол, равный 60°, и раздели его на 2 части, отношение которых равно 1 : 2.

1. Построение. С помощью транспортира чертим угол, равный $60^\circ$.
2. Расчет. Этот угол нужно разделить на два меньших угла, так, чтобы их отношение было $1:2$. Это значит, что на один угол приходится 1 часть, а на другой — 2 части. Всего частей:
$1 + 2 = 3$ (части).
Найдем, сколько градусов составляет одна часть:
$60^\circ \div 3 = 20^\circ$.
Теперь найдем величину каждого из двух углов:
Первый угол (1 часть): $1 \cdot 20^\circ = 20^\circ$.
Второй угол (2 части): $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.
Проверим: $20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$ и $20:40 = 1:2$. Все верно.
3. Разделение угла. Чтобы разделить исходный угол, нужно от одной из его сторон отложить с помощью транспортира угол в $20^\circ$ и провести луч из вершины. Этот луч разделит угол $60^\circ$ на два искомых угла.
Ответ: Угол в $60^\circ$ нужно разделить на два угла: $20^\circ$ и $40^\circ$.

Условие 2010-2022.

13 1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.

2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно 5 : 3.

3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.

4) Начерти угол, равный $60^\circ$, и раздели его на 2 части, отношение которых равно 1 : 2.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).