Страница 6, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

Построй отрицания высказываний с помощью слов «Неверно, что», а затем перефразируй их в более простой форме. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.

1) Луна – спутник Земли.

2) В лесу растут мухоморы.

3) Мухомор – несъедобный гриб.

4) В Москве-реке водятся крокодилы.

5) Амазонка длиннее Нила.

6) Джомолунгма ниже Эвереста.

7) На Земле 7 или 8 материков.

8) Арбуз – это овощ или фрукт.

9) В среду по расписанию есть уроки математики и чтения.

10) В буфет не привезли ни булочек, ни коржиков.

11) Дроби 0,5 и $\frac{1}{2}$ не равны.

12) Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Задача состоит в том, чтобы для каждого высказывания построить его отрицание, используя конструкцию «Неверно, что», затем упростить это отрицание и убедиться в выполнении закона исключённого третьего. Закон исключённого третьего гласит, что из двух высказываний — исходного и его отрицания — одно обязательно является истинным, а другое ложным, и не существует третьего варианта.

1) Луна – спутник Земли.

Отрицание: Неверно, что Луна – спутник Земли.
Упрощённая форма: Луна – не спутник Земли.
Закон исключённого третьего: Исходное высказывание истинно. Его отрицание ложно. Одно из высказываний истинно, значит, закон выполняется.

Ответ: Неверно, что Луна – спутник Земли; Луна – не спутник Земли.

2) В лесу растут мухоморы.

Отрицание: Неверно, что в лесу растут мухоморы.
Упрощённая форма: В лесу не растут мухоморы.
Закон исключённого третьего: Исходное высказывание истинно (мухоморы действительно растут в лесах). Его отрицание ложно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что в лесу растут мухоморы; В лесу не растут мухоморы.

3) Мухомор – несъедобный гриб.

Отрицание: Неверно, что мухомор – несъедобный гриб.
Упрощённая форма: Мухомор – съедобный гриб.
Закон исключённого третьего: Исходное высказывание истинно (мухомор ядовит). Его отрицание ложно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что мухомор – несъедобный гриб; Мухомор – съедобный гриб.

4) В Москве-реке водятся крокодилы.

Отрицание: Неверно, что в Москве-реке водятся крокодилы.
Упрощённая форма: В Москве-реке не водятся крокодилы.
Закон исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Его отрицание истинно. Одно из высказываний истинно, значит, закон выполняется.

Ответ: Неверно, что в Москве-реке водятся крокодилы; В Москве-реке не водятся крокодилы.

5) Амазонка длиннее Нила.

Отрицание: Неверно, что Амазонка длиннее Нила.
Упрощённая форма: Амазонка не длиннее Нила (то есть короче или равна ему по длине).
Закон исключённого третьего: Либо Амазонка длиннее Нила, либо она не длиннее Нила. Третьего варианта быть не может. Одно из этих утверждений обязательно будет истинным. Закон выполняется. (По современным данным, исходное утверждение истинно).

Ответ: Неверно, что Амазонка длиннее Нила; Амазонка не длиннее Нила.

6) Джомолунгма ниже Эвереста.

Отрицание: Неверно, что Джомолунгма ниже Эвереста.
Упрощённая форма: Джомолунгма не ниже Эвереста (то есть выше или равна по высоте).
Закон исключённого третьего: Джомолунгма и Эверест — это два названия одной и той же горы, поэтому их высоты равны. Исходное высказывание «ниже» ложно, а его отрицание «не ниже» (что включает «равна по высоте») истинно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что Джомолунгма ниже Эвереста; Джомолунгма не ниже Эвереста.

7) На Земле 7 или 8 материков.

Отрицание: Неверно, что на Земле 7 или 8 материков.
Упрощённая форма: На Земле не 7 и не 8 материков.
Закон исключённого третьего: В большинстве географических моделей принято считать, что на Земле 7 материков. Поэтому исходное высказывание (содержащее истинную часть «7 материков») истинно, а его отрицание ложно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что на Земле 7 или 8 материков; На Земле не 7 и не 8 материков.

8) Арбуз – это овощ или фрукт.

Отрицание: Неверно, что арбуз – это овощ или фрукт.
Упрощённая форма: Арбуз – это не овощ и не фрукт.
Закон исключённого третьего: С точки зрения ботаники, арбуз — это ягода (тип плода, что близко к понятию «фрукт»). Таким образом, исходное утверждение истинно, а его отрицание ложно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что арбуз – это овощ или фрукт; Арбуз – это не овощ и не фрукт.

9) В среду по расписанию есть уроки математики и чтения.

Отрицание: Неверно, что в среду по расписанию есть уроки математики и чтения.
Упрощённая форма: В среду по расписанию нет урока математики или нет урока чтения.
Закон исключённого третьего: Для любого конкретного расписания либо оба эти урока есть в среду (исходное высказывание истинно), либо хотя бы одного из них нет (отрицание истинно). Третий вариант невозможен. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что в среду по расписанию есть уроки математики и чтения; В среду по расписанию нет урока математики или нет урока чтения.

10) В буфет не привезли ни булочек, ни коржиков.

Отрицание: Неверно, что в буфет не привезли ни булочек, ни коржиков.
Упрощённая форма: В буфет привезли булочки или коржики (или и то, и другое).
Закон исключённого третьего: Либо в буфет ничего из перечисленного не привезли (исходное утверждение истинно), либо привезли хотя бы что-то одно (отрицание истинно). Третьего не дано. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что в буфет не привезли ни булочек, ни коржиков; В буфет привезли булочки или коржики.

11) Дроби 0,5 и $\frac{1}{2}$ не равны.

Отрицание: Неверно, что дроби 0,5 и $\frac{1}{2}$ не равны.
Упрощённая форма: Дроби 0,5 и $\frac{1}{2}$ равны.
Закон исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как $0,5 = \frac{1}{2}$. Его отрицание истинно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что дроби 0,5 и $\frac{1}{2}$ не равны; Дроби 0,5 и $\frac{1}{2}$ равны.

12) Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Отрицание: Неверно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
Упрощённая форма: Площадь прямоугольника не равна произведению его длины и ширины.
Закон исключённого третьего: Исходное высказывание является математической формулой и истинно. Его отрицание ложно. Закон выполняется.

Ответ: Неверно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины; Площадь прямоугольника не равна произведению его длины и ширины.

1 Построй отрицания высказываний с помощью слов "Неверно, что", а затем перефразируй их в более простой форме. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.

1) Луна – спутник Земли.

2) В лесу растут мухоморы.

3) Мухомор – несъедобный гриб.

4) В Москве-реке водятся крокодилы.

5) Амазонка длиннее Нила.

6) Джомолунгма ниже Эвереста.

7) На Земле 7 или 8 материков.

8) Арбуз – это овощ или фрукт.

9) В среду по расписанию есть уроки математики и чтения.

10) В буфет не привезли ни булочек, ни коржиков.

11) Дроби 0, 5 и $\frac{1}{2}$ не равны.

12) Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

2 Докажи, что высказывание является ложным, и построй его отрицание.

1) Число 0 является натуральным.

2) Число 1 – простое.

3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.

4) Сумма $18 \cdot 947 + 456$ кратна 9.

5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.

6) Корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

7) Дробь 8,9 больше или равна 9.

8) Неправильная дробь меньше единицы.

1) Число 0 является натуральным.

Доказательство ложности: По определению, натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов (1, 2, 3, ...). Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Число 0 не входит в это множество (оно относится к множеству целых чисел $\mathbb{Z}$). Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием данного высказывания является утверждение о том, что число 0 не относится к натуральным числам.

Ответ: Число 0 не является натуральным.

2) Число 1 – простое.

Доказательство ложности: Простым называется натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Число 1 имеет только один натуральный делитель — это само число 1. Так как количество делителей не равно двум, число 1 не является простым. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием будет утверждение, что число 1 не является простым.

Ответ: Число 1 не является простым (или: число 1 – не простое).

3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.

Доказательство ложности: Это утверждение было бы верным, если бы рассматривались только целые числа. Однако в множестве рациональных или действительных чисел между любыми двумя различными числами существует бесконечно много других чисел. Например, число 2,5 находится между 2 и 3, так как $2 < 2,5 < 3$. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием утверждения "нет чего-либо" является утверждение "существует что-либо".

Ответ: Между числами 2 и 3 есть другие числа.

4) Сумма 18 · 947 + 456 кратна 9.

Доказательство ложности: Для того чтобы сумма была кратна 9, каждое слагаемое должно быть кратно 9, или их сумма остатков от деления на 9 должна быть кратна 9. Рассмотрим каждое слагаемое: 1. Произведение $18 \cdot 947$ кратно 9, так как один из множителей (18) делится на 9 ($18 : 9 = 2$). 2. Число 456 не кратно 9, так как сумма его цифр $4+5+6=15$, а 15 не делится на 9. Сумма числа, кратного 9, и числа, не кратного 9, не может быть кратной 9. Таким образом, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием будет утверждение, что данная сумма не кратна 9.

Ответ: Сумма $18 \cdot 947 + 456$ не кратна 9.

5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.

Доказательство ложности: Логическое высказывание "A или B" является ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B ложны. 1. Проверим делимость на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 53 535 353 равна $5+3+5+3+5+3+5+3 = 32$. Число 32 не делится на 3. 2. Проверим делимость на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Последняя цифра числа 53 535 353 – это 3. Поскольку число не делится ни на 3, ни на 5, исходное высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием для "A или B" является "не A и не B".

Ответ: Число 53 535 353 не делится на 3 и не делится на 5.

6) Корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

Доказательство ложности: Решим данное уравнение: $x^2 + 2 = 18$ $x^2 = 18 - 2$ $x^2 = 16$ $x_1 = 4, x_2 = -4$ Корни уравнения — это 4 и -4. Утверждение, что корнями являются 0 и 4, неверно, так как 0 не является корнем ($0^2 + 2 = 2 \neq 18$) и упущен корень -4. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием будет утверждение, что набор чисел {0, 4} не является набором корней данного уравнения.

Ответ: Неверно, что корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

7) Дробь 8,9 больше или равна 9.

Доказательство ложности: Высказывание "$8,9 \geq 9$" означает, что выполняется хотя бы одно из двух условий: $8,9 > 9$ или $8,9 = 9$. Сравнивая числа, видим, что $8,9 < 9$. Таким образом, оба условия не выполняются, и высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием для неравенства "больше или равно" ($\geq$) является неравенство "строго меньше" ($<$).

Ответ: Дробь 8,9 меньше 9.

8) Неправильная дробь меньше единицы.

Доказательство ложности: Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{a}{b}$ где $a \geq b > 0$). Если числитель равен знаменателю, дробь равна 1 (например, $\frac{5}{5}=1$). Если числитель больше знаменателя, дробь больше 1 (например, $\frac{7}{5}=1,4 > 1$). В любом случае неправильная дробь не может быть меньше единицы. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием для "меньше" ($<$) является "больше или равно" ($\geq$).

Ответ: Неправильная дробь больше или равна единице.

2 Докажи, что высказывание является ложным, и построй его отрицание:

1) Число 0 является натуральным.

2) Число 1 – простое.

3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.

4) Сумма $18 \cdot 947 + 456$ кратна 9.

5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.

6) Корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

7) Дробь 8,9 больше или равна 9.

8) Неправильная дробь меньше единицы.

3 Запиши отрицание высказываний на математическом языке. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.

а) $87\,504 < 87\,504;$

б) $9036 > 12\,035;$

в) $\frac{5}{16} \le \frac{7}{16};$

г) $\frac{3}{11} \ge \frac{3}{5};$

д) $2,5 + 0,25 = 2,75;$

е) $0,4 : 0,01 \ne 40;$

ж) $2 - \frac{1}{6} < 1\frac{5}{6};$

з) $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} \le 1,5.$

Закон исключённого третьего гласит, что из двух высказываний — «А» и «не А» — одно обязательно является истинным. Для каждого пункта запишем отрицание и проверим истинность исходного высказывания и его отрицания.

а) Исходное высказывание: $87504 < 87504$.
Отрицанием для знака «меньше» ($<$) является знак «больше или равно» ($\geq$).
Отрицание: $87504 \geq 87504$.
Проверка: Исходное высказывание ложно, так как число не может быть меньше самого себя. Отрицание истинно, так как $87504 = 87504$. Поскольку одно из высказываний истинно, а другое ложно, закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $87504 \geq 87504$.

б) Исходное высказывание: $9036 > 12035$.
Отрицанием для знака «больше» ($>$) является знак «меньше или равно» ($\leq$).
Отрицание: $9036 \leq 12035$.
Проверка: Исходное высказывание ложно. Отрицание истинно, так как 9036 действительно меньше 12035. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $9036 \leq 12035$.

в) Исходное высказывание: $\frac{5}{16} \leq \frac{7}{16}$.
Отрицанием для знака «меньше или равно» ($\leq$) является знак «больше» ($>$).
Отрицание: $\frac{5}{16} > \frac{7}{16}$.
Проверка: Исходное высказывание истинно, так как при одинаковых знаменателях дробь с меньшим числителем меньше. Отрицание ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $\frac{5}{16} > \frac{7}{16}$.

г) Исходное высказывание: $\frac{3}{11} \geq \frac{3}{5}$.
Отрицанием для знака «больше или равно» ($\geq$) является знак «меньше» ($<$).
Отрицание: $\frac{3}{11} < \frac{3}{5}$.
Проверка: Приведём дроби к общему знаменателю 55: $\frac{3}{11} = \frac{15}{55}$ и $\frac{3}{5} = \frac{33}{55}$. Исходное высказывание $\frac{15}{55} \geq \frac{33}{55}$ ложно. Отрицание $\frac{15}{55} < \frac{33}{55}$ истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $\frac{3}{11} < \frac{3}{5}$.

д) Исходное высказывание: $2,5 + 0,25 = 2,75$.
Отрицанием для знака «равно» ($=$) является знак «не равно» ($\neq$).
Отрицание: $2,5 + 0,25 \neq 2,75$.
Проверка: Вычислим сумму: $2,5 + 0,25 = 2,75$. Исходное высказывание истинно. Отрицание ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $2,5 + 0,25 \neq 2,75$.

е) Исходное высказывание: $0,4 : 0,01 \neq 40$.
Отрицанием для знака «не равно» ($\neq$) является знак «равно» ($=$).
Отрицание: $0,4 : 0,01 = 40$.
Проверка: Вычислим частное: $0,4 : 0,01 = 40$. Исходное высказывание ложно. Отрицание истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $0,4 : 0,01 = 40$.

ж) Исходное высказывание: $2 - \frac{1}{6} < 1\frac{5}{6}$.
Отрицанием для знака «меньше» ($<$) является знак «больше или равно» ($\geq$).
Отрицание: $2 - \frac{1}{6} \geq 1\frac{5}{6}$.
Проверка: Вычислим разность: $2 - \frac{1}{6} = 1\frac{6}{6} - \frac{1}{6} = 1\frac{5}{6}$. Исходное высказывание $1\frac{5}{6} < 1\frac{5}{6}$ ложно. Отрицание $1\frac{5}{6} \geq 1\frac{5}{6}$ истинно, так как они равны. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $2 - \frac{1}{6} \geq 1\frac{5}{6}$.

з) Исходное высказывание: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} \leq 1,5$.
Отрицанием для знака «меньше или равно» ($\leq$) является знак «больше» ($>$).
Отрицание: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} > 1,5$.
Проверка: Вычислим произведение: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$. Исходное высказывание $1,5 \leq 1,5$ истинно, так как они равны. Отрицание $1,5 > 1,5$ ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} > 1,5$.

3 Запиши отрицание высказываний на математическом языке. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.

а) $87 504 < 87 504;$

б) $9036 > 12 035;$

в) $\frac{5}{16} \le \frac{7}{16};$

г) $\frac{3}{11} \gg \frac{3}{5};$

д) $2,5 + 0,25 = 2,75;$

е) $0,4 : 0,01 \ne 40;$

ж) $2 - \frac{1}{6} < 1\frac{5}{6};$

з) $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} \le 1,5.$

4 Придумай высказывание, выражающее свойство прямоугольника, и построй его отрицание. Убедись на этом примере в выполнении закона исключённого третьего.

Высказывание, выражающее свойство прямоугольника

Сформулируем высказывание, которое описывает одно из ключевых свойств прямоугольника. Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Из этого определения и свойств параллелограмма следует, что его диагонали равны. Обозначим это высказывание буквой $A$.

Высказывание $A$: «Диагонали любого прямоугольника равны между собой».

Это высказывание является истинным, так как это доказанная теорема в евклидовой геометрии.

Ответ: Высказывание $A$: «Диагонали любого прямоугольника равны между собой».

Построение отрицания

Отрицанием высказывания $A$ является высказывание $\neg A$ (читается «не А»), которое истинно, когда $A$ ложно, и ложно, когда $A$ истинно.

Отрицание для нашего высказывания $A$ будет звучать так:

Высказывание $\neg A$: «Неверно, что диагонали любого прямоугольника равны между собой».

Эту фразу можно переформулировать более конструктивно. Если неверно, что у любого прямоугольника диагонали равны, значит, существует хотя бы один прямоугольник, у которого они не равны.

Высказывание $\neg A$: «Существует прямоугольник, диагонали которого не равны между собой».

Поскольку исходное высказывание $A$ истинно, его отрицание $\neg A$ является ложным.

Ответ: Отрицание $\neg A$: «Существует прямоугольник, диагонали которого не равны между собой».

Проверка выполнения закона исключённого третьего

Закон исключённого третьего — это один из основных законов логики, который утверждает, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, и третьего не дано. Формально это записывается как $A \lor \neg A$ (читается «А или не А»). Это означает, что из двух высказываний — утверждения и его отрицания — одно обязательно является истинным.

Применим этот закон к нашему примеру. Составим сложное высказывание, объединив $A$ и $\neg A$ с помощью логического союза «ИЛИ»:

«Диагонали любого прямоугольника равны между собой, ИЛИ существует прямоугольник, диагонали которого не равны между собой».

Проанализируем истинность этого составного высказывания:

• Первая часть («Диагонали любого прямоугольника равны между собой») — это наше высказывание $A$, и оно истинно.
• Вторая часть («существует прямоугольник, диагонали которого не равны») — это высказывание $\neg A$, и оно ложно.

Логическая операция «ИЛИ» (дизъюнкция, $ \lor $) даёт истинный результат, если хотя бы один из её операндов истинен. В нашем случае мы имеем выражение $ИСТИНА \lor ЛОЖЬ$, результат которого — ИСТИНА.

Таким образом, составное высказывание $A \lor \neg A$ является истинным. Это подтверждает, что для любого прямоугольника не может быть третьей возможности: его диагонали либо равны, либо не равны. Закон исключённого третьего выполняется.

Ответ: Составное высказывание «$A \lor \neg A$» истинно, так как истинна одна из его частей (высказывание $A$), что демонстрирует выполнение закона исключённого третьего на данном примере.

4 Придумай высказывание, выражающее свойство прямоугольника, и построй его отрицание. Убедись на этом примере в выполнении закона исключенного третьего.

1. Много или мало составляют:

а) 5 уроков математики в день и в месяц;

б) увеличение в весе в 1 г для муравья и для слона?

Придумай свои примеры, когда одно и то же значение величины даёт разную качественную оценку некоторой ситуации.

а) 5 уроков математики в день и в месяц;

Чтобы определить, много это или мало, нужно сравнить это количество с обычной нормой.
В день: В обычном школьном расписании 6-7 уроков по разным предметам. Пять уроков математики в один день — это почти полная учебная нагрузка, посвященная одному предмету. Это очень много и утомительно для ученика.
В месяц: В учебном месяце около 20-22 учебных дней. При стандартной программе математика бывает 3-5 раз в неделю, что составляет 12-20 уроков в месяц. На этом фоне 5 уроков в месяц — это очень мало, примерно один урок в неделю, чего недостаточно для системного изучения предмета.
Ответ: 5 уроков математики в день — это много, а 5 уроков математики в месяц — это мало.

б) увеличение в весе в 1 г для муравья и для слона?

Оценка здесь зависит от относительной величины, то есть от соотношения прибавки в весе к общему весу.
Для муравья: Вес среднего муравья составляет всего несколько миллиграммов (например, $5$ мг). В одном грамме $1000$ миллиграммов. Увеличение веса на $1$ г ($1000$ мг) для муравья будет означать, что его масса увеличится в $1000 \div 5 = 200$ раз. Это колоссальная, невозможная прибавка. Следовательно, $1$ г для муравья — это очень много.
Для слона: Взрослый африканский слон весит около 6 тонн. Переведем это в граммы: $6 \text{ т} = 6000 \text{ кг} = 6 \ 000 \ 000 \text{ г}$. Увеличение веса на $1$ г для слона — это абсолютно незаметная величина, составляющая лишь $1/6 \ 000 \ 000$ от его общей массы. Следовательно, $1$ г для слона — это очень мало.
Ответ: Увеличение в весе на 1 г для муравья — это очень много, а для слона — очень мало.

Придумай свои примеры, когда одно и то же значение величины даёт разную качественную оценку некоторой ситуации.

1. Величина: расстояние в 1 километр.
Ситуация 1: Для пешехода, идущего на работу, 1 км — это мало, это расстояние можно пройти за 10-15 минут.
Ситуация 2: Для улитки, ползущей по листу, 1 км — это очень много, практически недостижимое расстояние.

2. Величина: время в 15 минут.
Ситуация 1: Ожидание зеленого сигнала светофора. 15 минут — это очень много, так как обычно цикл светофора длится 1-2 минуты.
Ситуация 2: Межконтинентальный перелет на самолете. Задержка рейса на 15 минут — это мало и несущественно на фоне 10-часового полета.

3. Величина: сумма в 500 рублей.
Ситуация 1: Цена за чашку кофе. 500 рублей — это много, такая цена считается высокой.
Ситуация 2: Ежемесячная плата за аренду квартиры. 500 рублей в месяц за аренду — это очень мало, нереалистично низкая цена.
Ответ: Приведены примеры с расстоянием, временем и денежной суммой, где одна и та же величина оценивается по-разному в зависимости от контекста ситуации.

Много или мало составляют:

а) 5 уроков математики в день и в месяц;

б) увеличение в весе в 1 г для муравья и для слона?

Придумай свои примеры, когда одно и то же значение величины дает разную качественную оценку некоторой ситуации.

2 Кобра живёт около 15 лет, а крокодил – около 90 лет. Как можно сравнить продолжительность их жизни? Рассмотри все возможные варианты.

Дано: продолжительность жизни кобры — около 15 лет, продолжительность жизни крокодила — около 90 лет. Сравнить эти два значения можно двумя основными способами: найти разницу между ними (разностное сравнение) или найти их отношение (кратное сравнение).

Вариант 1. Разностное сравнение

Этот способ позволяет определить, на сколько лет одно животное живет дольше или меньше другого. Для этого необходимо найти разность их возрастов.

Вычтем из продолжительности жизни крокодила продолжительность жизни кобры:

$90 - 15 = 75$ (лет).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что крокодил живет на 75 лет дольше кобры. И наоборот, кобра живет на 75 лет меньше крокодила.

Ответ: Крокодил живет на 75 лет дольше, чем кобра.

Вариант 2. Кратное сравнение

Этот способ позволяет определить, во сколько раз продолжительность жизни одного животного больше или меньше, чем у другого. Для этого нужно найти частное от деления их возрастов.

Разделим продолжительность жизни крокодила на продолжительность жизни кобры:

$90 / 15 = 6$ (раз).

Из этого следует, что крокодил живет в 6 раз дольше, чем кобра. Также можно сказать, что кобра живет в 6 раз меньше, чем крокодил.

Кроме того, можно определить, какую часть составляет жизнь кобры от жизни крокодила:

$15 / 90 = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ (часть).

Это означает, что продолжительность жизни кобры составляет одну шестую часть от продолжительности жизни крокодила.

Ответ: Крокодил живет в 6 раз дольше, чем кобра.

2 Кобра живет около 15 лет, а крокодил – около 90 лет. Как можно сравнить продолжительность их жизни? Рассмотри все возможные варианты.

3 Прочитай и упрости отношения. Какое свойство отношений при этом используется? Какими ещё свойствами обладают отношения?

а) $15:30;$
б) $\frac{48}{112};$
в) $2,5:3;$
г) $4:\frac{1}{3};$
д) $\frac{0,34}{1,7};$
е) $3\frac{1}{9}:4\frac{2}{3};$
ж) $\frac{15abc}{5a^2b},$ где $a \ne 0, b \ne 0;$
з) $(4x^2):(20xy),$ где $x \ne 0, y \ne 0.$

При упрощении отношений используется основное свойство отношения: значение отношения не изменится, если его члены (или числитель и знаменатель дроби) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Математически это можно записать так: $a : b = (a \cdot k) : (b \cdot k)$ или $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ при $k \neq 0$.

Другие свойства отношений:

• Отношение показывает, во сколько раз одна величина больше другой, или какую часть одна величина составляет от другой.
• Отношение величин одного наименования (например, длины к длине) является безразмерной величиной.
• Отношение, обратное отношению $a:b$, есть отношение $b:a$.
• Равенство двух отношений называется пропорцией. Основное свойство пропорции $a:b = c:d$ заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$.

а) Отношение 15 к 30. Для упрощения разделим оба члена отношения на их наибольший общий делитель, который равен 15.
$15 : 15 = 1$
$30 : 15 = 2$
Получаем отношение 1 : 2.
Ответ: 1 : 2.

б) Отношение 48 к 112. Для упрощения разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 16.
$\frac{48}{112} = \frac{48 \div 16}{112 \div 16} = \frac{3}{7}$
Ответ: $\frac{3}{7}$.

в) Отношение 2,5 к 3. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим оба члена отношения на 10.
$2,5 \cdot 10 = 25$
$3 \cdot 10 = 30$
Получаем отношение 25 : 30. Теперь сократим его, разделив оба члена на 5.
$25 : 5 = 5$
$30 : 5 = 6$
Получаем отношение 5 : 6.
Ответ: 5 : 6.

г) Отношение 4 к $\frac{1}{3}$. Чтобы избавиться от дроби, умножим оба члена отношения на знаменатель, то есть на 3.
$4 \cdot 3 = 12$
$\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$
Получаем отношение 12 : 1.
Ответ: 12 : 1.

д) Отношение 0,34 к 1,7. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100.
$\frac{0,34}{1,7} = \frac{0,34 \cdot 100}{1,7 \cdot 100} = \frac{34}{170}$
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 34.
$\frac{34 \div 34}{170 \div 34} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.

е) Отношение $3\frac{1}{9}$ к $4\frac{2}{3}$. Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
Теперь найдем их отношение, которое равно их частному:
$\frac{28}{9} : \frac{14}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{28 \cdot 3}{9 \cdot 14} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

ж) Отношение $15abc$ к $5a^2b$. Запишем отношение в виде дроби и сократим её.
$\frac{15abc}{5a^2b} = \frac{15}{5} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b}{b} \cdot c = 3 \cdot \frac{1}{a} \cdot 1 \cdot c = \frac{3c}{a}$
Ответ: $\frac{3c}{a}$.

з) Отношение $4x^2$ к $20xy$. Запишем отношение в виде дроби и сократим её.
$\frac{4x^2}{20xy} = \frac{4}{20} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{5y}$
Ответ: $\frac{x}{5y}$.

3 Прочитай и упрости отношения. Какое свойство отношений при этом используется? Какими еще свойствами обладают отношения?

а) $15 : 30;$

в) $2,5 : 3;$

д) $\frac{0,34}{1,7};$

ж) $\frac{15abc}{5a^2b}$, где $a \neq 0, b \neq 0;$

б) $\frac{48}{112};$

г) $4 : \frac{1}{3};$

е) $3\frac{1}{9} : 4\frac{2}{3};$

з) $(4x^2) : (20xy)$, где $x \neq 0, y \neq 0.$

4. На клумбе 6 белых и 12 красных роз. Что показывают отношения:

$6 : 12$; $12 : 6$; $6 : 18$; $18 : 12$?

Какие ещё отношения можно составить к данному условию задачи?

В условии задачи даны следующие величины:

• Количество белых роз: 6
• Количество красных роз: 12

Из этих данных можно найти общее количество роз на клумбе:

$6 \text{ (белых)} + 12 \text{ (красных)} = 18 \text{ (роз)}$

Теперь разберем, что показывает каждое из предложенных отношений.

6 : 12;

Это отношение количества белых роз (6) к количеству красных роз (12). Оно показывает, какую часть составляют белые розы от красных, или во сколько раз белых роз меньше, чем красных.

$6 : 12 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Значение отношения показывает, что белых роз в 2 раза меньше, чем красных.

Ответ: Отношение количества белых роз к количеству красных роз.

12 : 6;

Это отношение количества красных роз (12) к количеству белых роз (6). Оно показывает, во сколько раз красных роз больше, чем белых.

$12 : 6 = 2$

Значение отношения показывает, что красных роз в 2 раза больше, чем белых.

Ответ: Отношение количества красных роз к количеству белых роз.

6 : 18;

Это отношение количества белых роз (6) к общему количеству роз на клумбе (18). Оно показывает, какую часть от всех роз составляют белые розы.

$6 : 18 = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Значение отношения показывает, что белые розы составляют третью часть всех роз.

Ответ: Отношение количества белых роз к общему количеству роз.

18 : 12?

Это отношение общего количества роз (18) к количеству красных роз (12). Оно показывает, во сколько раз всех роз больше, чем красных.

$18 : 12 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5$

Значение отношения показывает, что общее количество роз в 1,5 раза больше, чем количество красных роз.

Ответ: Отношение общего количества роз к количеству красных роз.

Какие ещё отношения можно составить к данному условию задачи?

Используя имеющиеся величины (6 белых роз, 12 красных роз, 18 роз всего), можно составить еще два отношения:

1. Отношение количества красных роз к общему количеству роз: $12 : 18$. Оно показывает, какую часть от всех роз составляют красные розы ($12 : 18 = \frac{2}{3}$).
2. Отношение общего количества роз к количеству белых роз: $18 : 6$. Оно показывает, во сколько раз общее количество роз больше, чем количество белых роз ($18 : 6 = 3$).

Ответ: Можно составить отношение количества красных роз к общему количеству ($12:18$) и отношение общего количества роз к количеству белых роз ($18:6$).

4 На клумбе 6 белых и 12 красных роз. Что показывают отношения:

$6:12$; $12:6$; $6:18$; $18:12$?

Какие еще отношения можно составить к данному условию задачи?

5 По данному условию составь какие-нибудь отношения и объясни их смысл.

Упрости, если возможно, полученные отношения.

а) В классе 10 мальчиков и 15 девочек.

Отношение количества мальчиков к количеству девочек: $10:15 = 2:3$. Это означает, что на каждые 2 мальчика приходится 3 девочки.

Отношение количества девочек к количеству мальчиков: $15:10 = 3:2$. Это означает, что на каждые 3 девочки приходится 2 мальчика.

Отношение количества мальчиков ко всему классу: $10:(10+15) = 10:25 = 2:5$. Это означает, что мальчики составляют $\frac{2}{5}$ от общего числа учеников.

Отношение количества девочек ко всему классу: $15:(10+15) = 15:25 = 3:5$. Это означает, что девочки составляют $\frac{3}{5}$ от общего числа учеников.

б) В тетради 12 листов, из них 4 исписано.

Отношение количества исписанных листов к общему количеству листов: $4:12 = 1:3$. Это означает, что $\frac{1}{3}$ тетради исписана.

Отношение количества исписанных листов к количеству неисписанных листов: $4:(12-4) = 4:8 = 1:2$. Это означает, что на каждый исписанный лист приходится 2 неисписанных.

Отношение количества неисписанных листов к общему количеству листов: $(12-4):12 = 8:12 = 2:3$. Это означает, что $\frac{2}{3}$ тетради не исписана.

в) Биатлонист сделал 5 выстрелов и 2 раза промахнулся.

Отношение количества промахов к общему количеству выстрелов: $2:5$. Это означает, что биатлонист промахнулся в $\frac{2}{5}$ выстрелов.

Отношение количества попаданий к общему количеству выстрелов: $(5-2):5 = 3:5$. Это означает, что биатлонист попал в $\frac{3}{5}$ выстрелов.

Отношение количества промахов к количеству попаданий: $2:(5-2) = 2:3$. Это означает, что на каждые 2 промаха приходится 3 попадания.

г) Из 200 участников викторины 50 стали победителями.

Отношение количества победителей к общему количеству участников: $50:200 = 1:4$. Это означает, что каждый четвертый участник стал победителем.

Отношение количества участников, не ставших победителями, к общему количеству участников: $(200-50):200 = 150:200 = 3:4$. Это означает, что $\frac{3}{4}$ участников не стали победителями.

Отношение количества победителей к количеству участников, не ставших победителями: $50:(200-50) = 50:150 = 1:3$. Это означает, что на каждого победителя приходится 3 участника, не ставших победителями.

а) По данным можно составить несколько отношений.
1. Отношение числа мальчиков к числу девочек. Оно показывает, сколько мальчиков приходится на определенное количество девочек.
Отношение: $10 : 15$.
Для упрощения найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 10 и 15. НОД(10, 15) = 5. Разделим обе части отношения на 5:
$10 : 15 = (10 \div 5) : (15 \div 5) = 2 : 3$.
Это означает, что на каждых 2 мальчиков в классе приходится 3 девочки.
2. Отношение числа мальчиков к общему числу учеников в классе. Оно показывает, какую долю от всего класса составляют мальчики.
Всего учеников: $10 + 15 = 25$.
Отношение: $10 : 25$.
Упростим, разделив обе части на НОД(10, 25) = 5:
$10 : 25 = (10 \div 5) : (25 \div 5) = 2 : 5$.
Это означает, что мальчики составляют $2/5$ всех учеников класса.
Ответ: Отношение числа мальчиков к числу девочек $2:3$; отношение числа мальчиков ко всем ученикам $2:5$.

б) В тетради 12 листов, из них 4 исписано. Количество чистых листов: $12 - 4 = 8$.
1. Отношение числа исписанных листов к общему числу листов. Оно показывает, какая часть тетради использована.
Отношение: $4 : 12$.
Упростим, разделив обе части на НОД(4, 12) = 4:
$4 : 12 = (4 \div 4) : (12 \div 4) = 1 : 3$.
Это значит, что исписана одна треть тетради.
2. Отношение числа исписанных листов к числу чистых листов. Оно сравнивает использованную и неиспользованную части тетради.
Отношение: $4 : 8$.
Упростим, разделив обе части на НОД(4, 8) = 4:
$4 : 8 = (4 \div 4) : (8 \div 4) = 1 : 2$.
Это означает, что на каждый исписанный лист приходится 2 чистых листа.
Ответ: Отношение исписанных листов ко всем листам $1:3$; отношение исписанных листов к чистым $1:2$.

в) Биатлонист сделал 5 выстрелов, 2 раза промахнулся. Количество попаданий: $5 - 2 = 3$.
1. Отношение числа попаданий к общему числу выстрелов. Оно показывает точность или результативность стрельбы.
Отношение: $3 : 5$.
Это отношение упростить нельзя, так как числа 3 и 5 являются взаимно простыми. Смысл этого отношения в том, что 3 из 5 выстрелов были точными.
2. Отношение числа промахов к числу попаданий. Оно сравнивает количество удачных и неудачных попыток.
Отношение: $2 : 3$.
Это отношение также является несократимым. Оно показывает, что на каждые 2 промаха приходится 3 попадания.
Ответ: Отношение числа попаданий к общему числу выстрелов $3:5$; отношение числа промахов к числу попаданий $2:3$.

г) Из 200 участников викторины 50 стали победителями.
1. Отношение числа победителей к общему числу участников. Оно показывает, какая доля участников победила.
Отношение: $50 : 200$.
Упростим, разделив обе части на НОД(50, 200) = 50:
$50 : 200 = (50 \div 50) : (200 \div 50) = 1 : 4$.
Это означает, что победителем стал каждый четвертый участник.
2. Отношение числа победителей к числу участников, которые не победили.
Количество не-победителей: $200 - 50 = 150$.
Отношение: $50 : 150$.
Упростим, разделив обе части на НОД(50, 150) = 50:
$50 : 150 = (50 \div 50) : (150 \div 50) = 1 : 3$.
Это означает, что на каждого победителя приходится трое участников, которые не победили.
Ответ: Отношение числа победителей к общему числу участников $1:4$; отношение числа победителей к числу не-победителей $1:3$.

5 По данному условию составь какие-нибудь отношения и объясни их смысл.

Упрости, если возможно, полученные отношения.

а) В классе 10 мальчиков и 15 девочек.

б) В тетради 12 листов, из них 4 исписано.

в) Биатлонист сделал 5 выстрелов и 2 раза промахнулся.

г) Из 200 участников викторины 50 стали победителями.

6 Найди процентное отношение чисел:

а) $4 : 5$;

б) $\frac{9}{25}$;

в) $\frac{15}{3}$;

г) $77 : 28$;

д) $1,6 : 5\frac{1}{3}$;

е) $\frac{6,3}{70}$;

ж) $\frac{a}{4a}$, где $a \neq 0$;

з) $(8,4b) : (4\frac{1}{5}b)$, где $b \neq 0$.

а)

Чтобы найти процентное отношение числа 4 к числу 5, необходимо найти их отношение и умножить на 100%.

Отношение: $4:5 = \frac{4}{5} = 0,8$.

Процентное отношение: $0,8 \cdot 100\% = 80\%$.

Ответ: 80%.

б)

Чтобы выразить дробь $\frac{9}{25}$ в процентах, необходимо умножить её на 100%.

Процентное отношение: $\frac{9}{25} \cdot 100\% = \frac{9 \cdot 100}{25}\% = 9 \cdot 4\% = 36\%$.

Ответ: 36%.

в)

Сначала упростим данное отношение, которое представлено в виде дроби: $\frac{15}{3} = 5$.

Чтобы выразить полученное число 5 в процентах, умножим его на 100%.

Процентное отношение: $5 \cdot 100\% = 500\%$.

Ответ: 500%.

г)

Найдем процентное отношение числа 77 к числу 28. Для этого найдем их отношение и умножим на 100%.

Отношение: $77:28 = \frac{77}{28}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 7: $\frac{77 \div 7}{28 \div 7} = \frac{11}{4}$.

Процентное отношение: $\frac{11}{4} \cdot 100\% = 2,75 \cdot 100\% = 275\%$.

Ответ: 275%.

д)

Найдем процентное отношение числа 1,6 к числу $5\frac{1}{3}$. Сначала преобразуем оба числа в одинаковый формат, например, в обыкновенные дроби.

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь найдем отношение этих дробей: $\frac{8}{5} : \frac{16}{3} = \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$.

Выразим полученное отношение в процентах: $\frac{3}{10} \cdot 100\% = 0,3 \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: 30%.

е)

Данное отношение представлено в виде дроби $\frac{6,3}{70}$. Чтобы выразить его в процентах, умножим эту дробь на 100%.

Процентное отношение: $\frac{6,3}{70} \cdot 100\% = \frac{6,3 \cdot 100}{70}\% = \frac{630}{70}\% = 9\%$.

Ответ: 9%.

ж)

Найдем процентное отношение $\frac{a}{4a}$ при условии, что $a \neq 0$.

Сначала упростим дробь, сократив её на $a$: $\frac{a}{4a} = \frac{1}{4}$.

Теперь выразим полученное отношение в процентах: $\frac{1}{4} \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$.

Ответ: 25%.

з)

Найдем процентное отношение $(8,4b)$ к $(4\frac{1}{5}b)$ при условии, что $b \neq 0$.

Отношение можно записать в виде дроби: $\frac{8,4b}{4\frac{1}{5}b}$. Так как $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b$, что дает нам отношение чисел: $\frac{8,4}{4\frac{1}{5}}$.

Преобразуем числа в обыкновенные дроби: $8,4 = \frac{84}{10} = \frac{42}{5}$; $4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$.

Найдем их отношение: $\frac{42}{5} : \frac{21}{5} = \frac{42}{5} \cdot \frac{5}{21} = \frac{42}{21} = 2$.

Выразим полученное отношение в процентах: $2 \cdot 100\% = 200\%$.

Ответ: 200%.

6 Найди процентное отношение чисел:

а) $4 : 5$;

В) $\frac{15}{3}$;

Д) $1,6 : 5 \frac{1}{3}$;

ж) $\frac{a}{4a}$, где $a \ne 0$;

б) $\frac{9}{25}$;

г) $77 : 28$;

е) $\frac{6,3}{70}$;

з) $(8,4b) : (4 \frac{1}{5}b)$, где $b \ne 0$.

7 Имеет ли значение порядок членов отношения? Почему? Вырази в процентах данное и обратное отношение чисел:

а) $1:3$;

б) $12:15$;

в) $7,2:36$;

г) $\frac{9}{20}:0.75$.

Да, порядок членов отношения имеет значение. Отношение двух чисел $a$ к $b$ — это их частное $a:b$ или $\frac{a}{b}$, которое показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго. Если поменять члены отношения местами, получится обратное отношение $b:a$ или $\frac{b}{a}$, которое имеет другое значение (за исключением случая, когда $a=b$). Например, отношение $1:2$ означает, что первое число составляет половину от второго ($0,5$), а обратное отношение $2:1$ означает, что первое число в два раза больше второго ($2$).

а)
Данное отношение: $1:3$. Чтобы выразить его в процентах, нужно найти частное и умножить на 100%.
$1 : 3 = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33\frac{1}{3}\%$
Обратное отношение: $3:1$.
$3 : 1 = 3$
$3 \cdot 100\% = 300\%$
Ответ: данное отношение – $33\frac{1}{3}\%$; обратное – $300\%$.

б)
Данное отношение: $12:15$.
$12 : 15 = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$
$0,8 \cdot 100\% = 80\%$
Обратное отношение: $15:12$.
$15 : 12 = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25$
$1,25 \cdot 100\% = 125\%$
Ответ: данное отношение – $80\%$; обратное – $125\%$.

в)
Данное отношение: $7,2:36$.
$7,2 : 36 = \frac{7,2}{36} = \frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0,2$
$0,2 \cdot 100\% = 20\%$
Обратное отношение: $36:7,2$.
$36 : 7,2 = \frac{36}{7,2} = \frac{360}{72} = 5$
$5 \cdot 100\% = 500\%$
Ответ: данное отношение – $20\%$; обратное – $500\%$.

г)
Данное отношение: $\frac{9}{20} : 0,75$. Преобразуем оба числа в один формат, например, в десятичные дроби: $\frac{9}{20} = 0,45$.
Получаем отношение: $0,45:0,75$.
$0,45 : 0,75 = \frac{0,45}{0,75} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0,6$
$0,6 \cdot 100\% = 60\%$
Обратное отношение: $0,75 : \frac{9}{20}$ или $0,75 : 0,45$.
$0,75 : 0,45 = \frac{0,75}{0,45} = \frac{75}{45} = \frac{5}{3}$
$\frac{5}{3} \cdot 100\% = \frac{500}{3}\% = 166\frac{2}{3}\%$
Ответ: данное отношение – $60\%$; обратное – $166\frac{2}{3}\%$.

7 Имеет ли значение порядок членов отношения? Почему? Вырази в процентах данное и обратное отношение чисел:

а) $1 : 3$;

б) $12 : 15$;

в) $7,2 : 36$;

г) $\frac{9}{20} : 0,75$.

8 Вырази данные отношения величин в процентах:

а) 8 дм к 3,2 м;

б) 0,3 км к 500 м;

в) 12 ц к 4 т;

г) 0,034 ц к 20 кг;

д) 6 мин к 1 ч;

е) 2 ч 20 мин к 40 мин.

а) Чтобы выразить отношение 8 дм к 3,2 м в процентах, сначала необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Переведем метры в дециметры, зная, что в 1 метре 10 дециметров:

$3,2 \text{ м} = 3,2 \cdot 10 \text{ дм} = 32 \text{ дм}$

Теперь найдем отношение 8 дм к 32 дм и умножим его на 100%, чтобы перевести в проценты:

$\frac{8 \text{ дм}}{32 \text{ дм}} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.

б) Для выражения отношения 0,3 км к 500 м в процентах, приведем величины к метрам. В 1 километре 1000 метров:

$0,3 \text{ км} = 0,3 \cdot 1000 \text{ м} = 300 \text{ м}$

Теперь вычислим процентное отношение 300 м к 500 м:

$\frac{300 \text{ м}}{500 \text{ м}} \cdot 100\% = \frac{3}{5} \cdot 100\% = 0,6 \cdot 100\% = 60\%$

Ответ: 60%.

в) Чтобы найти отношение 12 ц к 4 т в процентах, приведем тонны в центнеры. В 1 тонне 10 центнеров:

$4 \text{ т} = 4 \cdot 10 \text{ ц} = 40 \text{ ц}$

Теперь найдем процентное отношение 12 ц к 40 ц:

$\frac{12 \text{ ц}}{40 \text{ ц}} \cdot 100\% = \frac{3}{10} \cdot 100\% = 0,3 \cdot 100\% = 30\%$

Ответ: 30%.

г) Для выражения отношения 0,034 ц к 20 кг в процентах, переведем центнеры в килограммы. В 1 центнере 100 килограммов:

$0,034 \text{ ц} = 0,034 \cdot 100 \text{ кг} = 3,4 \text{ кг}$

Теперь найдем процентное отношение 3,4 кг к 20 кг:

$\frac{3,4 \text{ кг}}{20 \text{ кг}} \cdot 100\% = 0,17 \cdot 100\% = 17\%$

Ответ: 17%.

д) Чтобы выразить отношение 6 мин к 1 ч в процентах, переведем часы в минуты. В 1 часе 60 минут:

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

Найдем процентное отношение 6 минут к 60 минутам:

$\frac{6 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} \cdot 100\% = \frac{1}{10} \cdot 100\% = 0,1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

е) Для нахождения процентного отношения 2 ч 20 мин к 40 мин, сначала преобразуем 2 ч 20 мин полностью в минуты. В 1 часе 60 минут, поэтому:

$2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2 \cdot 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 140 \text{ мин}$

Теперь вычислим отношение 140 минут к 40 минутам и выразим его в процентах:

$\frac{140 \text{ мин}}{40 \text{ мин}} \cdot 100\% = \frac{14}{4} \cdot 100\% = 3,5 \cdot 100\% = 350\%$

Ответ: 350%.

8 Вырази данные отношения величин в процентах:

а) 8 дм к 3,2 м;

б) 0,3 км к 500 м;

в) 12 ц к 4 т;

г) 0,034 ц к 20 кг;

д) 6 мин к 1 ч;

е) 2 ч 20 мин к 40 мин.

11 Раскрой скобки и упрости выражения:

а) $4x - (3x + (2x - 1));$

б) $y - (2y - (3y - 4));$

в) $z - (2z + (3z - (4z + 5))).$

а) Раскроем скобки в выражении $4x - (3x + (2x - 1))$ последовательно, начиная с внутренних.
Сначала раскрываем внутренние скобки $(2x - 1)$. Так как перед ними стоит знак «+», знаки слагаемых внутри не меняются:
$4x - (3x + 2x - 1)$
Теперь приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:
$3x + 2x = 5x$
Выражение принимает вид:
$4x - (5x - 1)$
Далее раскрываем оставшиеся скобки. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$4x - 5x + 1$
Приводим подобные слагаемые:
$4x - 5x = -x$
Окончательный вид выражения:
$-x + 1$
Ответ: $-x + 1$.

б) Раскроем скобки в выражении $y - (2y - (3y - 4))$ последовательно, начиная с внутренних.
Сначала раскрываем внутренние скобки $(3y - 4)$. Так как перед ними стоит знак «-», знаки слагаемых внутри меняются на противоположные:
$y - (2y - 3y + 4)$
Теперь приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:
$2y - 3y = -y$
Выражение принимает вид:
$y - (-y + 4)$
Далее раскрываем оставшиеся скобки. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$y + y - 4$
Приводим подобные слагаемые:
$y + y = 2y$
Окончательный вид выражения:
$2y - 4$
Ответ: $2y - 4$.

в) Раскроем скобки в выражении $z - (2z + (3z - (4z + 5)))$ последовательно, начиная с самых внутренних.
Раскрываем скобки $(4z + 5)$. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых меняются:
$z - (2z + (3z - 4z - 5))$
Упрощаем выражение в средних скобках, приводя подобные слагаемые:
$3z - 4z = -z$
Выражение принимает вид:
$z - (2z + (-z - 5))$
Раскрываем средние скобки. Перед ними стоит знак «+», поэтому знаки не меняются:
$z - (2z - z - 5)$
Упрощаем выражение во внешних скобках:
$2z - z = z$
Выражение принимает вид:
$z - (z - 5)$
Раскрываем последние скобки. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки меняются на противоположные:
$z - z + 5$
Приводим подобные слагаемые:
$z - z = 0$
Окончательный результат:
$5$
Ответ: $5$.

11 Раскрой скобки и упрости выражения:

a) $4x - (3x + (2x - 1))$

б) $y - (2y - (3y - 4))$

в) $z - (2z + (3z - (4z + 5)))$

12 a) Докажи, что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 даёт остаток, равный 1.

б) Докажи, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 даёт остаток, равный 6.

а)

Пусть $n$ – любое натуральное число. Число, предшествующее $n$, равно $n-1$. Число, следующее за $n$, равно $n+1$.

Составим выражение для суммы удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа. Обозначим эту сумму как $S$.

$S = 2(n-1) + 3(n+1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S = 2n - 2 + 3n + 3 = (2n + 3n) + (3 - 2) = 5n + 1$

Полученное выражение $5n + 1$ представляет собой стандартную форму записи числа, которое при делении на 5 даёт остаток 1. Слагаемое $5n$ по определению делится на 5 без остатка, так как $n$ является натуральным числом. Таким образом, остаток от деления всей суммы на 5 определяется вторым слагаемым и равен 1. Это справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: утверждение доказано, остаток при делении на 5 всегда равен 1.

б)

Натуральные числа, кратные 3, можно представить в виде $3k$, где $k$ – натуральное число ($k \ge 1$).

Возьмём четыре последовательных натуральных числа, кратных 3. Если первое из них равно $3k$, то следующие три будут $3(k+1)$, $3(k+2)$ и $3(k+3)$. То есть, числами будут:

$3k$, $3k+3$, $3k+6$, $3k+9$.

Найдём их сумму, обозначив её как $S$:

$S = 3k + (3k+3) + (3k+6) + (3k+9)$

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$S = (3k + 3k + 3k + 3k) + (3 + 6 + 9) = 12k + 18$

Чтобы определить остаток от деления суммы $S$ на 12, представим слагаемое 18 в виде суммы $12 + 6$:

$S = 12k + 12 + 6$

Вынесем общий множитель 12 за скобки:

$S = 12(k+1) + 6$

В полученном выражении слагаемое $12(k+1)$ делится на 12 без остатка. Следовательно, остаток от деления всей суммы на 12 равен 6, что и требовалось доказать.

Ответ: сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 даёт остаток, равный 6.

12 a) Докажи, что для любого натурального числа $n$ сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа ($2(n-1) + 3(n+1)$) при делении на 5 дает остаток, равный 1.

б) Докажи, что сумма четырех последовательных натуральных чисел, кратных 3 ($3k + 3(k+1) + 3(k+2) + 3(k+3)$), при делении на 12 дает остаток, равный 6.

13 Расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство:

a) $m - n - m + n = 2m - 2n$;

б) $m - n - m + n = 2m.$

Чтобы равенства стали верными, необходимо правильно расставить скобки, которые изменят порядок действий. Будем преобразовывать левую часть равенства, чтобы она стала равна правой.

Рассмотрим равенство $m - n - m + n = 2m - 2n$.

Нам нужно получить в правой части $2m - 2n$. Это значит, что нам нужно из $m$ вычесть какое-то выражение, чтобы в итоге получилось $2m - 2n$. Попробуем поставить скобки следующим образом: $m - (n - m + n)$.

Сначала упростим выражение в скобках:

$n - m + n = (n + n) - m = 2n - m$.

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в левую часть:

$m - (2n - m)$.

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак "минус", знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные:

$m - 2n + m$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(m + m) - 2n = 2m - 2n$.

Левая часть стала равна правой, значит, скобки расставлены верно.

Ответ: $m - (n - m + n) = 2m - 2n$.

Рассмотрим равенство $m - n - m + n = 2m$.

Нам нужно получить в правой части $2m$. Это значит, что переменная $n$ должна сократиться. Попробуем поставить скобки так, чтобы изменить знак перед $-m$ на "+". Для этого заключим в скобки выражение $n - m$: $m - (n - m) + n$.

Раскроем скобки. Знак "минус" перед скобками меняет знаки всех членов внутри них:

$m - n - (-m) + n = m - n + m + n$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(m + m) + (-n + n) = 2m + 0 = 2m$.

Левая часть стала равна правой. Равенство верное.

Ответ: $m - (n - m) + n = 2m$.

13 Расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство:

а) $m - n - m + n = 2m - 2n$;

б) $m - n - m + n = 2m$.

П 14 Вычисли устно:

a) $-7 - (-3);$ б) $-2,5 \cdot (-8);$ в) $|90| : |-0,3|;$ г) $0 : (-7,6);$

$0,4 - 0,9;$ $-\frac{3}{4} \cdot 1,6;$ $|-2,4| \cdot \frac{1}{3};$ $-1 \cdot (-1\frac{2}{9});$

$-1,2 + 5;$ $4,2 : (-0,7);$ $|-0,6| - |-4|;$ $4,5 : (-1);$

$-0,7 - 0,8;$ $(-0,125) : \frac{1}{8};$ $|-5,6| + |-0,2|;$ $(3,4 - 3\frac{2}{5}) \cdot 6,4.$

$-7 - (-3)$. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению противоположного ему положительного числа: $-7 - (-3) = -7 + 3 = -4$.
Ответ: $-4$

$0,4 - 0,9 = -0,5$.
Ответ: $-0,5$

$-1,2 + 5 = 5 - 1,2 = 3,8$.
Ответ: $3,8$

$-0,7 - 0,8$. Складываем два отрицательных числа, результат будет отрицательным: $-(0,7 + 0,8) = -1,5$.
Ответ: $-1,5$

$-2,5 \cdot (-8)$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $2,5 \cdot 8 = 20$.
Ответ: $20$

$-\frac{3}{4} \cdot 1,6$. Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Переведем $1,6$ в обыкновенную дробь: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$. Тогда $-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5} = -\frac{24}{20} = -\frac{6}{5} = -1,2$.
Ответ: $-1,2$

$4,2 : (-0,7)$. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным числом: $-(4,2 : 0,7) = -(42 : 7) = -6$.
Ответ: $-6$

$(-0,125) : \frac{1}{8}$. Переведем $-0,125$ в обыкновенную дробь: $-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$. Тогда $(-\frac{1}{8}) : \frac{1}{8} = -1$.
Ответ: $-1$

$|90| : |-0,3|$. Модуль (абсолютная величина) числа всегда неотрицателен. $|90| = 90$ и $|-0,3| = 0,3$. Тогда $90 : 0,3 = 900 : 3 = 300$.
Ответ: $300$

$|-2,4| \cdot |\frac{1}{3}|$. $|-2,4| = 2,4$ и $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$. Тогда $2,4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2,4}{3} = 0,8$.
Ответ: $0,8$

$|-0,6| - |-4|$. $|-0,6| = 0,6$ и $|-4| = 4$. Тогда $0,6 - 4 = -3,4$.
Ответ: $-3,4$

$|-5,6| + |-0,2|$. $|-5,6| = 5,6$ и $|-0,2| = 0,2$. Тогда $5,6 + 0,2 = 5,8$.
Ответ: $5,8$

$0 : (-7,6)$. Деление нуля на любое ненулевое число дает в результате ноль. $0 : (-7,6) = 0$.
Ответ: $0$

$-1 \cdot (-1\frac{2}{9})$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. $-1 \cdot (-1\frac{2}{9}) = 1\frac{2}{9}$.
Ответ: $1\frac{2}{9}$

$4,5 : (-1)$. Деление числа на $-1$ меняет его знак на противоположный: $4,5 : (-1) = -4,5$.
Ответ: $-4,5$

$(3,4 - 3\frac{2}{5}) \cdot 6,4$. Сначала выполним действие в скобках. Переведем $3\frac{2}{5}$ в десятичную дробь: $3\frac{2}{5} = 3\frac{4}{10} = 3,4$. Тогда $3,4 - 3,4 = 0$. В результате получаем $0 \cdot 6,4 = 0$.
Ответ: $0$

Вычисли устно:

a) $-7 - (-3)$;

$0,4 - 0,9$;

$-1,2 + 5$;

$-0,7 - 0,8$;

б) $-2,5 \cdot (-8)$;

$-\frac{3}{4} \cdot 1,6$;

$4,2 : (-0,7)$;

$(-0,125) : \frac{1}{8}$;

В) $|90| : |-0,3|$;

$|-2,4| \cdot |\frac{1}{3}|$;

$|-0,6| - |-4|$;

$|-5,6| + |-0,2|$;

г) $0 : (-7,6)$;

$-1 \cdot (-1 \frac{2}{9})$;

$4,5 : (-1)$;

$(3,4 - 3 \frac{2}{5}) \cdot 6,4$.

15 Вычисли устно, расположи ответы в порядке возрастания и сопоставь их соответствующим буквам. Зачеркни две буквы так, чтобы получилось название геометрической фигуры. Сможешь ли ты ее нарисовать? А дать определение?

28

$ \cdot 0,25 $

$ -0,6 $

$ : 1,6 $

$ : 0,1 $

Б

0,2

$ \cdot 0,3 $

$ +1,2 $

$ : 0,6 $

$ -0,9 $

У

1

$ : 0,25 $

$ -6 $

$ \cdot 3,5 $

$ +5,6 $

О

1,8

$ -5 $

$ +1,7 $

$ : 0,3 $

$ \cdot 0,9 $

Р

-6

$ \cdot 0,5 $

$ +2 $

$ -0,2 $

$ : 0,6 $

К

4

$ : 0,8 $

$ -2,6 $

$ : 0,03 $

$ \cdot 0,2 $

М

Для решения задачи выполним все вычисления по порядку для каждой буквы, затем расположим полученные результаты в порядке возрастания и составим слово.

Б

1) $28 \cdot 0,25 = 7$
2) $7 - 0,6 = 6,4$
3) $6,4 : 1,6 = 4$
4) $4 : 0,1 = 40$

Ответ: 40

У

1) $0,2 \cdot 0,3 = 0,06$
2) $0,06 + 1,2 = 1,26$
3) $1,26 : 0,6 = 2,1$
4) $2,1 - 0,9 = 1,2$

Ответ: 1,2

О

1) $1 : 0,25 = 4$
2) $4 - 6 = -2$
3) $-2 \cdot 3,5 = -7$
4) $-7 + 5,6 = -1,4$

Ответ: -1,4

Р

1) $1,8 - 5 = -3,2$
2) $-3,2 + 1,7 = -1,5$
3) $-1,5 : 0,3 = -5$
4) $-5 \cdot 0,9 = -4,5$

Ответ: -4,5

К

1) $-6 \cdot 0,5 = -3$
2) $-3 + 2 = -1$
3) $-1 - 0,2 = -1,2$
4) $-1,2 : 0,6 = -2$

Ответ: -2

М

1) $4 : 0,8 = 5$
2) $5 - 2,6 = 2,4$
3) $2,4 : 0,03 = 80$
4) $80 \cdot 0,2 = 16$

Ответ: 16

Расположение ответов и составление слова

Расположим полученные ответы в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

$-4,5$ (Р)
$-2$ (К)
$-1,4$ (О)
$1,2$ (У)
$16$ (М)
$40$ (Б)

Таким образом, получается последовательность букв: РКОУМБ.

Определение геометрической фигуры

В слове РКОУМБ нужно зачеркнуть две буквы, чтобы получилось название геометрической фигуры. Если зачеркнуть буквы К и У, то получится слово РОМБ.

РКОУМБ $\rightarrow$ РОМБ

Геометрическая фигура — ромб.

Рисунок и определение ромба

Да, можно нарисовать эту фигуру и дать ей определение.

Рисунок ромба:

Определение:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

15 Вычисли устно, расположи ответы в порядке возрастания и сопоставь их соответствующим буквам. Зачеркни две буквы так, чтобы получилось название геометрической фигуры. Сможешь ли ты ее нарисовать? А дать определение?

$28$

$\cdot 0,25$

$-0,6$

$: 1,6$

$: 0,1$

Б

$0,2$

$\cdot 0,3$

$+1,2$

$: 0,6$

$-0,9$

У

$1$

$: 0,25$

$-6$

$\cdot 3,5$

$+5,6$

О

$1,8$

$-5$

$+1,7$

$: 0,3$

$\cdot 0,9$

Р

$-6$

$\cdot 0,5$

$+2$

$-0,2$

$: 0,6$

К

$4$

$: 0,8$

$-2,6$

$: 0,03$

$\cdot 0,2$

М

16 БЛИЦтурнир

а) Автобус проехал за первый час $a$ км, за второй – $b$ км, а за третий – $c$ км. С какой средней скоростью он ехал?

б) Пешеход первые 5 мин шёл со скоростью $n$ м/мин, а следующие 15 мин – со скоростью $k$ м/мин. Найди среднюю скорость пешехода на этом участке.

в) Лодка прошла $d$ км по течению реки за 2 ч, а против течения – за 3 ч. Чему равна собственная скорость лодки? Чему равна скорость течения реки?

г) Катер и плот плывут по реке в одном направлении: катер – со скоростью $x$ км/ч, а плот – со скоростью реки, равной $y$ км/ч. Какое расстояние проплывёт катер за 4 ч против течения реки, если его собственная скорость не изменится?

а) Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
1. Найдём общий путь, который проехал автобус: $S = a + b + c$ км.
2. Найдём общее время в пути: $t = 1 + 1 + 1 = 3$ ч.
3. Найдём среднюю скорость: $V_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{a + b + c}{3}$ км/ч.
Ответ: $\frac{a + b + c}{3}$ км/ч.

б) Для нахождения средней скорости нужно общий путь разделить на общее время.
1. Найдём расстояние, пройденное за первые 5 минут: $S_1 = 5 \cdot n = 5n$ м.
2. Найдём расстояние, пройденное за следующие 15 минут: $S_2 = 15 \cdot k = 15k$ м.
3. Найдём общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 5n + 15k$ м.
4. Найдём общее время: $t_{общ} = 5 + 15 = 20$ мин.
5. Найдём среднюю скорость: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{5n + 15k}{20} = \frac{5(n + 3k)}{20} = \frac{n + 3k}{4}$ м/мин.
Ответ: $\frac{n + 3k}{4}$ м/мин.

в) Обозначим собственную скорость лодки как $V_{с}$, а скорость течения реки как $V_{т}$.
1. Скорость лодки по течению реки равна сумме её собственной скорости и скорости течения: $V_{по} = V_{с} + V_{т}$. Из условия, $V_{по} = \frac{d}{2}$ км/ч.
2. Скорость лодки против течения реки равна разности её собственной скорости и скорости течения: $V_{пр} = V_{с} - V_{т}$. Из условия, $V_{пр} = \frac{d}{3}$ км/ч.
3. Получаем систему уравнений:
$V_{с} + V_{т} = \frac{d}{2}$
$V_{с} - V_{т} = \frac{d}{3}$
4. Сложив два уравнения, получим: $2V_{с} = \frac{d}{2} + \frac{d}{3} = \frac{3d + 2d}{6} = \frac{5d}{6}$. Отсюда собственная скорость лодки: $V_{с} = \frac{5d}{12}$ км/ч.
5. Вычтя второе уравнение из первого, получим: $2V_{т} = \frac{d}{2} - \frac{d}{3} = \frac{3d - 2d}{6} = \frac{d}{6}$. Отсюда скорость течения реки: $V_{т} = \frac{d}{12}$ км/ч.
Ответ: собственная скорость лодки равна $\frac{5d}{12}$ км/ч, а скорость течения реки равна $\frac{d}{12}$ км/ч.

г) 1. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $V_{теч} = y$ км/ч.
2. Катер плыл по течению со скоростью $x$ км/ч. Эта скорость является суммой собственной скорости катера ($V_с$) и скорости течения: $x = V_с + V_{теч}$.
3. Найдём собственную скорость катера: $V_с = x - V_{теч} = x - y$ км/ч.
4. Теперь найдём скорость катера против течения. Она равна разности собственной скорости и скорости течения: $V_{пр} = V_с - V_{теч} = (x - y) - y = x - 2y$ км/ч.
5. Найдём расстояние, которое катер проплывёт за 4 часа против течения: $S = V_{пр} \cdot t = (x - 2y) \cdot 4 = 4(x - 2y)$ км.
Ответ: $4(x - 2y)$ км.

16 БЛИЦтурнир.

a) Автобус проехал за первый час $a$ км, за второй – $b$ км, а за третий – $c$ км. С какой средней скоростью он ехал?

б) Пешеход первые 5 мин шел со скорость $n$ м/мин, а следующие 15 мин – со скоростью $k$ м/мин. Найди среднюю скорость пешехода на этом участке.

в) Лодка прошла $d$ км по течению реки за 2 ч, а против течения – за 3 ч. Чему равна собственная скорость лодки? Чему равна скорость течения реки?

г) Катер и плот плывут по реке в одном направлении: катер – со скоростью $x$ км/ч, а плот – со скоростью реки, равной $y$ км/ч. Какое расстояние проплывет катер за 4 ч против течения реки, если его собственная скорость не изменится?