Номер 3, страница 6, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 1. Понятие отношения - номер 3, страница 6.

Условие 2023.

3 Прочитай и упрости отношения. Какое свойство отношений при этом используется? Какими ещё свойствами обладают отношения?

а) $15:30;$
б) $\frac{48}{112};$
в) $2,5:3;$
г) $4:\frac{1}{3};$
д) $\frac{0,34}{1,7};$
е) $3\frac{1}{9}:4\frac{2}{3};$
ж) $\frac{15abc}{5a^2b},$ где $a \ne 0, b \ne 0;$
з) $(4x^2):(20xy),$ где $x \ne 0, y \ne 0.$

Решение 2 (2023).

При упрощении отношений используется основное свойство отношения: значение отношения не изменится, если его члены (или числитель и знаменатель дроби) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Математически это можно записать так: $a : b = (a \cdot k) : (b \cdot k)$ или $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ при $k \neq 0$.

Другие свойства отношений:

• Отношение показывает, во сколько раз одна величина больше другой, или какую часть одна величина составляет от другой.
• Отношение величин одного наименования (например, длины к длине) является безразмерной величиной.
• Отношение, обратное отношению $a:b$, есть отношение $b:a$.
• Равенство двух отношений называется пропорцией. Основное свойство пропорции $a:b = c:d$ заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$.

---

а) Отношение 15 к 30. Для упрощения разделим оба члена отношения на их наибольший общий делитель, который равен 15.
$15 : 15 = 1$
$30 : 15 = 2$
Получаем отношение 1 : 2.
Ответ: 1 : 2.

б) Отношение 48 к 112. Для упрощения разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 16.
$\frac{48}{112} = \frac{48 \div 16}{112 \div 16} = \frac{3}{7}$
Ответ: $\frac{3}{7}$.

в) Отношение 2,5 к 3. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим оба члена отношения на 10.
$2,5 \cdot 10 = 25$
$3 \cdot 10 = 30$
Получаем отношение 25 : 30. Теперь сократим его, разделив оба члена на 5.
$25 : 5 = 5$
$30 : 5 = 6$
Получаем отношение 5 : 6.
Ответ: 5 : 6.

г) Отношение 4 к $\frac{1}{3}$. Чтобы избавиться от дроби, умножим оба члена отношения на знаменатель, то есть на 3.
$4 \cdot 3 = 12$
$\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$
Получаем отношение 12 : 1.
Ответ: 12 : 1.

д) Отношение 0,34 к 1,7. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100.
$\frac{0,34}{1,7} = \frac{0,34 \cdot 100}{1,7 \cdot 100} = \frac{34}{170}$
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 34.
$\frac{34 \div 34}{170 \div 34} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.

е) Отношение $3\frac{1}{9}$ к $4\frac{2}{3}$. Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
Теперь найдем их отношение, которое равно их частному:
$\frac{28}{9} : \frac{14}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{28 \cdot 3}{9 \cdot 14} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

ж) Отношение $15abc$ к $5a^2b$. Запишем отношение в виде дроби и сократим её.
$\frac{15abc}{5a^2b} = \frac{15}{5} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b}{b} \cdot c = 3 \cdot \frac{1}{a} \cdot 1 \cdot c = \frac{3c}{a}$
Ответ: $\frac{3c}{a}$.

з) Отношение $4x^2$ к $20xy$. Запишем отношение в виде дроби и сократим её.
$\frac{4x^2}{20xy} = \frac{4}{20} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{5y}$
Ответ: $\frac{x}{5y}$.

Условие 2010-2022.

3 Прочитай и упрости отношения. Какое свойство отношений при этом используется? Какими еще свойствами обладают отношения?

а) $15 : 30;$

в) $2,5 : 3;$

д) $\frac{0,34}{1,7};$

ж) $\frac{15abc}{5a^2b}$, где $a \neq 0, b \neq 0;$

б) $\frac{48}{112};$

г) $4 : \frac{1}{3};$

е) $3\frac{1}{9} : 4\frac{2}{3};$

з) $(4x^2) : (20xy)$, где $x \neq 0, y \neq 0.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).