Номер 468, страница 108, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 4. Сложный процентный рост - номер 468, страница 108.

Условие 2023.

468 Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3 месяца – $4\%$; 6 месяцев – $8.5\%$; 12 месяцев – $18\%$.

1) Какую сумму должен выплатить банк по вкладу, равному 2000 р., если договор заключён: а) на 3 месяца; б) на 6 месяцев; в) на 12 месяцев?

2) Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца? Ответ округли до единиц.

Решение 2 (2023).

1)

Для расчета итоговой суммы по вкладу в конце срока используется формула простых процентов, так как проценты начисляются однократно по окончании договора. Формула имеет вид:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100} \cdot \frac{t}{12})$

где:

• $S$ – итоговая сумма к выплате,
• $P$ – первоначальная сумма вклада (2000 р.),
• $r$ – годовая процентная ставка в процентах,
• $t$ – срок вклада в месяцах.

а) на 3 месяца

Для вклада на 3 месяца годовая ставка составляет 4%.

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{4}{100} \cdot \frac{3}{12}) = 2000 \cdot (1 + 0.04 \cdot 0.25) = 2000 \cdot (1 + 0.01) = 2000 \cdot 1.01 = 2020$ р.

Ответ: 2020 р.

б) на 6 месяцев

Для вклада на 6 месяцев годовая ставка составляет 8,5%.

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{8.5}{100} \cdot \frac{6}{12}) = 2000 \cdot (1 + 0.085 \cdot 0.5) = 2000 \cdot (1 + 0.0425) = 2000 \cdot 1.0425 = 2085$ р.

Ответ: 2085 р.

в) на 12 месяцев

Для вклада на 12 месяцев годовая ставка составляет 18%.

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{18}{100} \cdot \frac{12}{12}) = 2000 \cdot (1 + 0.18 \cdot 1) = 2000 \cdot 1.18 = 2360$ р.

Ответ: 2360 р.

2)

В этом сценарии проценты начисляются и прибавляются к основной сумме вклада каждые 3 месяца (происходит капитализация процентов). Годовая ставка для 3-месячного вклада равна 4%. Так как в году 4 периода по 3 месяца ($12 / 3 = 4$), то начисление процентов будет происходить 4 раза.

Ставка за один 3-месячный период (квартал) составит: $4\% / 4 = 1\%$, или 0.01 в десятичной форме.

Для расчета итоговой суммы через год используется формула сложных процентов:

$S_n = P \cdot (1 + i)^n$

где:

• $S_n$ – итоговая сумма через $n$ периодов,
• $P$ – первоначальная сумма вклада,
• $i$ – процентная ставка за один период (0.01),
• $n$ – количество периодов (4).

Через год сумма на вкладе составит:

$S_4 = P \cdot (1 + 0.01)^4 = P \cdot (1.01)^4 = P \cdot 1.04060401$

Общий доход за год равен разнице между итоговой и первоначальной суммой:

Доход = $S_4 - P = P \cdot 1.04060401 - P = P \cdot 0.04060401$

Чтобы найти годовой процент дохода (эффективную годовую ставку), нужно отношение дохода к первоначальной сумме умножить на 100%:

Годовой процент = $\frac{P \cdot 0.04060401}{P} \cdot 100\% = 0.04060401 \cdot 100\% = 4.060401\%$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до единиц (до целого числа).

$4.060401\% \approx 4\%$

Ответ: 4%.

Условие 2010-2022.

468 Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3 месяца – $4\%$; 6 месяцев – $8.5\%$; 12 месяцев – $18\%$.

1) Какую сумму должен выплатить банк по вкладу, равному 2000 р., если договор заключен:

а) на 3 месяца;

б) на 6 месяцев;

в) на 12 месяцев?

2) Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца? Ответ округли до единиц.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).