Страница 59, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

228 Пароход плывёт по течению реки со скоростью $x$ км/ч, а против течения – со скоростью $y$ км/ч. Какова собственная скорость парохода и скорость течения реки? Составь выражение и найди его значение, если:

1) $x = 42,6$ км/ч, $y = 34,2$ км/ч;

2) $x = 35,6$ км/ч, $y = 28$ км/ч.

Для решения задачи составим выражения для нахождения собственной скорости парохода ($v_{соб}$) и скорости течения реки ($v_{теч}$).
Скорость парохода по течению реки ($x$) — это сумма его собственной скорости и скорости течения: $x = v_{соб} + v_{теч}$.
Скорость парохода против течения ($y$) — это разность его собственной скорости и скорости течения: $y = v_{соб} - v_{теч}$.

Сложив эти два уравнения, получим выражение для собственной скорости парохода:
$x + y = (v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 2v_{соб}$
$v_{соб} = \frac{x + y}{2}$

Вычтя второе уравнение из первого, получим выражение для скорости течения реки:
$x - y = (v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 2v_{теч}$
$v_{теч} = \frac{x - y}{2}$

Теперь найдём значения этих выражений для данных условий.

1) Если $x = 42,6$ км/ч, $y = 34,2$ км/ч:
Собственная скорость парохода: $v_{соб} = \frac{42,6 + 34,2}{2} = \frac{76,8}{2} = 38,4$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = \frac{42,6 - 34,2}{2} = \frac{8,4}{2} = 4,2$ км/ч.
Ответ: собственная скорость парохода 38,4 км/ч, скорость течения реки 4,2 км/ч.

2) Если $x = 35,6$ км/ч, $y = 28$ км/ч:
Собственная скорость парохода: $v_{соб} = \frac{35,6 + 28}{2} = \frac{63,6}{2} = 31,8$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = \frac{35,6 - 28}{2} = \frac{7,6}{2} = 3,8$ км/ч.
Ответ: собственная скорость парохода 31,8 км/ч, скорость течения реки 3,8 км/ч.

228 Пароход плывет по течению реки со скоростью $x$ км/ч, а против течения – со скоростью $y$ км/ч. Какова собственная скорость парохода и скорость течения реки? Составь выражение и найди его значение, если:

1) $x = 42.6$ км/ч, $y = 34.2$ км/ч;

2) $x = 35.6$ км/ч, $y = 28$ км/ч.

229 1) Лодка шла по течению реки со скоростью 10,5 км/ч, а против течения – 6,7 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

2) Катер прошёл 48,6 км по течению реки за 3 ч и 52,2 км против течения реки за 4,5 ч. За сколько времени он проплывёт по озеру 55,6 км, если собственная скорость катера не изменится?

1)

Обозначим собственную скорость лодки как $v_{соб}$, а скорость течения реки как $v_{теч}$.
Скорость лодки по течению реки ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$.
Скорость лодки против течения реки ($v_{против}$) равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$.

По условию задачи даны скорости: $v_{по} = 10,5$ км/ч и $v_{против} = 6,7$ км/ч.
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:
$v_{соб} + v_{теч} = 10,5$
$v_{соб} - v_{теч} = 6,7$

Чтобы найти собственную скорость лодки, сложим эти два уравнения:
$(v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 10,5 + 6,7$
$2 \cdot v_{соб} = 17,2$
$v_{соб} = 17,2 / 2 = 8,6$ км/ч.

Чтобы найти скорость течения, вычтем второе уравнение из первого:
$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 10,5 - 6,7$
$2 \cdot v_{теч} = 3,8$
$v_{теч} = 3,8 / 2 = 1,9$ км/ч.

Проверка:
Собственная скорость 8,6 км/ч, скорость течения 1,9 км/ч.
Скорость по течению: $8,6 + 1,9 = 10,5$ км/ч (верно).
Скорость против течения: $8,6 - 1,9 = 6,7$ км/ч (верно).

Ответ: скорость течения 1,9 км/ч, собственная скорость лодки 8,6 км/ч.

2)

1. Найдём скорость катера по течению и против течения, используя формулу скорости $v = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

Скорость катера по течению реки:
$v_{по} = 48,6 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 16,2$ км/ч.

Скорость катера против течения реки:
$v_{против} = 52,2 \text{ км} / 4,5 \text{ ч} = 11,6$ км/ч.

2. Найдём собственную скорость катера ($v_{соб}$). В озере течение отсутствует, поэтому скорость катера в озере равна его собственной скорости. Для нахождения собственной скорости можно использовать формулу: $v_{соб} = (v_{по} + v_{против}) / 2$.
$v_{соб} = (16,2 + 11,6) / 2 = 27,8 / 2 = 13,9$ км/ч.

3. Теперь найдём, за какое время катер проплывёт по озеру 55,6 км со своей собственной скоростью 13,9 км/ч.
$t = S / v = 55,6 \text{ км} / 13,9 \text{ км/ч} = 4$ ч.

Ответ: за 4 часа.

229 1) Лодка шла по течению реки со скоростью 10,5 км/ч, а против течения – 6,7 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

2) Катер прошел 48,6 км по течению реки за 3 ч и 52,2 км против течения реки за 4,5 ч. За сколько времени он проплывет по озеру 55,6 км, если собственная скорость катера не изменится?

230 Реши задачи и определи, какие данные в их условии лишние.

1) Лодка плывёт по течению реки. Её догоняет катер. Собственная скорость лодки $8,2 \text{ км/ч}$, а собственная скорость катера $15,8 \text{ км/ч}$. Сейчас между катером и лодкой расстояние $5,7 \text{ км}$. Через сколько времени катер догонит лодку, если скорость течения реки $3,5 \text{ км/ч}$?

2) Два теплохода движутся по реке навстречу друг другу. Первый теплоход имеет собственную скорость $25,6 \text{ км/ч}$ и плывёт по течению реки, а второй – собственную скорость $32 \text{ км/ч}$ и плывёт против течения реки. Сейчас между теплоходами $144 \text{ км}$. Какое расстояние будет между ними через $0,5 \text{ ч}$? Через сколько времени произойдёт встреча?

1)

Чтобы найти, через сколько времени катер догонит лодку, нужно найти их скорость сближения. Скорость сближения — это разница их скоростей, так как они движутся в одном направлении.

Скорость лодки по течению: $v_{лодки} = v_{собств. лодки} + v_{течения} = 8,2 + 3,5 = 11,7$ км/ч.
Скорость катера по течению: $v_{катера} = v_{собств. катера} + v_{течения} = 15,8 + 3,5 = 19,3$ км/ч.
Скорость сближения: $v_{сближения} = v_{катера} - v_{лодки} = 19,3 - 11,7 = 7,6$ км/ч.

Обратите внимание, что скорость течения прибавляется к скорости обоих объектов, поэтому при вычислении скорости сближения она сокращается:
$v_{сближения} = (v_{собств. катера} + v_{течения}) - (v_{собств. лодки} + v_{течения}) = v_{собств. катера} - v_{собств. лодки}$.
Поэтому скорость течения реки ($3,5$ км/ч) является лишним данным в этой задаче.

Вычислим скорость сближения через собственные скорости:
$v_{сближения} = 15,8 - 8,2 = 7,6$ км/ч.

Теперь найдём время, за которое катер покроет расстояние в $5,7$ км с этой скоростью сближения:
$t = S / v_{сближения} = 5,7 / 7,6 = 0,75$ часа.
$0,75$ часа = $0,75 \times 60 = 45$ минут.

Ответ: катер догонит лодку через $0,75$ часа (или 45 минут). Лишние данные: скорость течения реки.

2)

Два теплохода движутся навстречу друг другу. Чтобы найти, как быстро они сближаются, нужно сложить их скорости. Первый теплоход плывёт по течению, второй — против течения.

Скорость первого теплохода: $v_1 = v_{собств. 1} + v_{течения} = 25,6 + v_{течения}$.
Скорость второго теплохода: $v_2 = v_{собств. 2} - v_{течения} = 32 - v_{течения}$.

Скорость сближения — это сумма их скоростей:
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = (25,6 + v_{течения}) + (32 - v_{течения}) = 25,6 + 32 = 57,6$ км/ч.

Как видно из расчётов, скорость течения реки не влияет на скорость сближения, так как она сокращается. В этой задаче скорость течения не дана, и для решения она не требуется. Все указанные в условии данные (собственные скорости теплоходов и начальное расстояние) необходимы для решения. Следовательно, в этой задаче лишних данных нет.

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) Какое расстояние будет между ними через $0,5$ ч?
За $0,5$ часа теплоходы сблизятся на расстояние:
$S_1 = v_{сближения} \times t = 57,6 \times 0,5 = 28,8$ км.
Новое расстояние между ними будет:
$S_2 = S_{начальное} - S_1 = 144 - 28,8 = 115,2$ км.

б) Через сколько времени произойдёт встреча?
Время до встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения:
$t_{встречи} = S_{начальное} / v_{сближения} = 144 / 57,6 = 2,5$ часа.

Ответ: через $0,5$ ч между теплоходами будет $115,2$ км; встреча произойдёт через $2,5$ часа. Лишних данных в задаче нет.

230 Реши задачи и определи, какие данные в их условии лишние:

1) Лодка плывет по течению реки. Ее догоняет катер. Собственная скорость лодки $8,2 \text{ км/ч}$, а собственная скорость катера $15,8 \text{ км/ч}$. Сейчас между катером и лодкой расстояние $5,7 \text{ км}$. Через сколько времени катер догонит лодку, если скорость течения реки $3,5 \text{ км/ч}$?

2) Два теплохода движутся по реке навстречу друг другу. Первый теплоход имеет собственную скорость $25,6 \text{ км/ч}$ и плывет по течению реки, а второй – собственную скорость $32 \text{ км/ч}$ и плывет против течения реки. Сейчас между теплоходами $144 \text{ км}$. Какое расстояние будет между ними через $0,5 \text{ ч}$? Через сколько времени произойдет встреча?

231 1) Катер проплывает одно и то же расстояние по озеру за 7 ч, а по течению реки за 6 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние?

2) Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

1)

Обозначим расстояние как $S$, собственную скорость катера (скорость в стоячей воде, как в озере) как $V_к$, а скорость течения реки как $V_т$.

По озеру катер плывет со своей собственной скоростью. По условию, он проходит расстояние $S$ за 7 часов. Отсюда можно выразить его скорость:

$V_к = S / 7$

По течению реки скорость катера складывается из его собственной скорости и скорости течения: $V_{по \ теч} = V_к + V_т$. Это же расстояние он проходит за 6 часов. Значит:

$V_к + V_т = S / 6$

Теперь мы можем найти скорость течения $V_т$. Подставим выражение для $V_к$ из первого уравнения во второе:

$S/7 + V_т = S/6$

$V_т = S/6 - S/7$

Приведем дроби к общему знаменателю 42:

$V_т = (7S)/42 - (6S)/42 = S/42$

Плот движется со скоростью течения реки, то есть $V_{плота} = V_т$. Нам нужно найти, сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть расстояние $S$.

$t_{плота} = S / V_{плота} = S / V_т = S / (S/42) = S \cdot (42/S) = 42$ часа.

Ответ: 42 часа.

2)

Обозначим расстояние как $S$, собственную скорость лодки как $V_л$, а скорость течения реки как $V_т$.

Лодка проплыла расстояние по озеру за 4 часа. Скорость движения по озеру равна собственной скорости лодки. Таким образом:

$V_л = S / 4$

Плот проплывает то же расстояние по реке за 12 часов. Скорость плота равна скорости течения реки. Таким образом:

$V_т = S / 12$

Теперь мы можем рассчитать время, которое затратит лодка на тот же путь по течению и против течения реки.

а) по течению реки;

Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $V_{по \ теч} = V_л + V_т$.

$V_{по \ теч} = S/4 + S/12 = (3S)/12 + S/12 = (4S)/12 = S/3$

Время движения по течению найдем по формуле $t = S / V$:

$t_{по \ теч} = S / V_{по \ теч} = S / (S/3) = S \cdot (3/S) = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

б) против течения реки?

Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $V_{против \ теч} = V_л - V_т$.

$V_{против \ теч} = S/4 - S/12 = (3S)/12 - S/12 = (2S)/12 = S/6$

Время движения против течения:

$t_{против \ теч} = S / V_{против \ теч} = S / (S/6) = S \cdot (6/S) = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

231 1) Катер проплывает одно и то же расстояние по озеру за 7 ч, а по течению реки за 6 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние?

2) Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь:
а) по течению реки;
б) против течения реки?

232 1) Из пункта $A$ в пункт $B$ по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретил плот, если катер прошёл всё расстояние между $A$ и $B$ за $6$ ч, а плот – за $30$ ч?

2) Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли плот и катер. Катер встретил плот через $4$ ч после выхода, а ещё через $20$ мин прибыл в пункт $A$. Сколько времени плыл плот из $A$ в $B$?

1) Пусть $S$ — это расстояние между пунктами А и В. Плот плывет из А в В по течению, а катер — из В в А против течения.
Скорость плота ($v_{п}$) равна скорости течения реки. Плот проходит расстояние $S$ за 30 часов, следовательно, его скорость составляет $v_{п} = \frac{S}{30}$.
Катер проходит то же расстояние $S$ против течения за 6 часов. Его скорость против течения ($v_{к}$) составляет $v_{к} = \frac{S}{6}$.
Поскольку плот и катер движутся навстречу друг другу, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_{п} + v_{к} = \frac{S}{30} + \frac{S}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$v_{сбл} = \frac{S}{30} + \frac{5S}{30} = \frac{6S}{30} = \frac{S}{5}$
Чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно разделить общее расстояние $S$ на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{S}{S/5} = S \cdot \frac{5}{S} = 5$ часов.
Ответ: 5 часов.

2) Пусть $v_{п}$ — скорость плота, а $v_{к}$ — скорость катера против течения.
Плот и катер встретились через 4 часа. За это время плот, двигаясь из пункта А, проплыл расстояние $S_1 = v_{п} \cdot 4$.
Катер за те же 4 часа, двигаясь из пункта В, проплыл расстояние $S_2 = v_{к} \cdot 4$.
После встречи катеру, чтобы достичь пункта А, осталось проплыть расстояние $S_1$. По условию, он затратил на это 20 минут.
Переведем 20 минут в часы: 20 мин = $\frac{20}{60}$ ч = $\frac{1}{3}$ ч.
Значит, расстояние $S_1$ катер прошел за $\frac{1}{3}$ часа: $S_1 = v_{к} \cdot \frac{1}{3}$.
Теперь мы имеем два выражения для расстояния $S_1$:
$S_1 = 4v_{п}$ и $S_1 = \frac{1}{3}v_{к}$.
Приравняем правые части этих уравнений:
$4v_{п} = \frac{1}{3}v_{к}$
Из этого соотношения выразим скорость катера через скорость плота:
$v_{к} = 4v_{п} \cdot 3 = 12v_{п}$.
Общее расстояние между пунктами А и В ($S$) равно сумме расстояний, которые плот и катер прошли до встречи:
$S = S_1 + S_2 = 4v_{п} + 4v_{к}$.
Подставим в эту формулу найденное соотношение $v_{к} = 12v_{п}$:
$S = 4v_{п} + 4(12v_{п}) = 4v_{п} + 48v_{п} = 52v_{п}$.
Чтобы найти общее время ($T$), которое потребовалось плоту, чтобы проплыть все расстояние от А до В, разделим общее расстояние $S$ на скорость плота $v_{п}$:
$T = \frac{S}{v_{п}} = \frac{52v_{п}}{v_{п}} = 52$ часа.
Ответ: 52 часа.

232 1) Из пункта $A$ в пункт $B$ по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретил плот, если катер прошел все расстояние между $A$ и $B$ за 6 ч, а плот – за 30 ч?

2) Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли плот и катер. Катер встретил плот через 4 ч после выхода, а еще через 20 мин прибыл в пункт $A$. Сколько времени плыл плот из $A$ в $B$?

233 Реши задачи и определи, есть ли в них лишние данные.

1) Собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки. Найти скорость теплохода против течения, если, двигаясь по течению, он прошёл 42 км за 1 ч 15 мин.

2) Скорость моторной лодки против течения в 4 раза больше скорости течения реки. Какое расстояние пройдёт лодка за 2 ч 48 мин, двигаясь по течению, если по озеру она проплывает за то же время 49 км?

233 Реши задачи и определи, есть ли в них лишние данные:

1) Собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки. Найти скорость теплохода против течения, если, двигаясь по течению, он прошел 42 км за 1 ч 15 мин.

2) Скорость моторной лодки против течения в 4 раза больше скорости течения реки. Какое расстояние пройдет лодка за 2 ч 48 мин, двигаясь по течению, если по озеру она проплывает за то же время 49 км?

К 258 Найди в предложении условие и заключение и построй утверждение, обратное данному.

а) Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9.

б) Если число кратно 3 и 5, то оно кратно 15.

в) Если дробь сократима, то её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.

г) Если дробь правильная, то числитель дроби меньше её знаменателя.

Общий принцип для всех утверждений: в условном предложении вида "Если A, то B", часть A является условием, а часть B – заключением. Обратное утверждение строится путем перемены мест условия и заключения, получая вид "Если B, то A".

а)

В утверждении "Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9":

Условие: "сумма цифр числа делится на 9".

Заключение: "число делится на 9".

Обратное утверждение: "Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9".

Ответ: Условие: "сумма цифр числа делится на 9"; заключение: "число делится на 9"; обратное утверждение: "Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9".

б)

В утверждении "Если число кратно 3 и 5, то оно кратно 15":

Условие: "число кратно 3 и 5".

Заключение: "оно кратно 15".

Обратное утверждение: "Если число кратно 15, то оно кратно 3 и 5".

Ответ: Условие: "число кратно 3 и 5"; заключение: "оно кратно 15"; обратное утверждение: "Если число кратно 15, то оно кратно 3 и 5".

в)

В утверждении "Если дробь сократима, то её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1":

Условие: "дробь сократима".

Заключение: "её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1".

Обратное утверждение: "Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, отличный от 1, то дробь сократима".

Ответ: Условие: "дробь сократима"; заключение: "её числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1"; обратное утверждение: "Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, отличный от 1, то дробь сократима".

г)

В утверждении "Если дробь правильная, то числитель дроби меньше её знаменателя":

Условие: "дробь правильная".

Заключение: "числитель дроби меньше её знаменателя".

Обратное утверждение: "Если числитель дроби меньше её знаменателя, то дробь правильная".

Ответ: Условие: "дробь правильная"; заключение: "числитель дроби меньше её знаменателя"; обратное утверждение: "Если числитель дроби меньше её знаменателя, то дробь правильная".

K 258 Найди в предложении условие и заключение и построй утверждение, обратное данному.

a) Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9.

б) Если число кратно 3 и 5, то оно кратно 15.

в) Если дробь сократима, то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.

г) Если дробь правильная, то числитель дроби меньше ее знаменателя.

259 Переведи высказывания с математического языка на русский. Запиши на математическом языке и прочитай обратные высказывания:

а) $n \le 5 \Rightarrow n < 6, n \in N$;

б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc (a, b, c, d \ne 0)$;

в) НОД $(a, b)=1 \Rightarrow$ НОК $(a, b)=ab$;

г) $a || b \Rightarrow b || a$;

д) $xy=0 \Rightarrow x=0$ или $y=0$;

е) $x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = 0 \Rightarrow x_1=0$, или $x_2=0$, или $\ldots$, или $x_n = 0$.

а) Перевод высказывания $n \le 5 \Rightarrow n < 6, n \in N$ на русский язык: "Если натуральное число $n$ не больше пяти, то оно меньше шести".
Обратное высказывание на математическом языке: $n < 6, n \in N \Rightarrow n \le 5$.
Чтение обратного высказывания: "Если натуральное число $n$ меньше шести, то оно не больше пяти".
Ответ: Перевод: "Если натуральное число $n$ не больше пяти, то оно меньше шести". Обратное высказывание: $n < 6, n \in N \Rightarrow n \le 5$ (читается: "Если натуральное число $n$ меньше шести, то оно не больше пяти").

б) Перевод высказывания $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$ (где $a, b, c, d \neq 0$) на русский язык: "Если дробь $\frac{a}{b}$ равна дроби $\frac{c}{d}$, то произведение $ad$ равно произведению $bc$".
Обратное высказывание на математическом языке: $ad = bc \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (где $a, b, c, d \neq 0$).
Чтение обратного высказывания: "Если произведение $ad$ равно произведению $bc$ (при условии, что все числа не равны нулю), то дробь $\frac{a}{b}$ равна дроби $\frac{c}{d}$".
Ответ: Перевод: "Если дробь $\frac{a}{b}$ равна дроби $\frac{c}{d}$, то произведение $ad$ равно произведению $bc$". Обратное высказывание: $ad = bc \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (где $a, b, c, d \neq 0$), читается: "Если произведение $ad$ равно произведению $bc$ (при условии, что все числа не равны нулю), то дробь $\frac{a}{b}$ равна дроби $\frac{c}{d}$".

в) Перевод высказывания НОД$(a, b) = 1 \Rightarrow$ НОК$(a, b) = ab$ на русский язык: "Если наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен единице, то их наименьшее общее кратное равно их произведению".
Обратное высказывание на математическом языке: НОК$(a, b) = ab \Rightarrow$ НОД$(a, b) = 1$.
Чтение обратного высказывания: "Если наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно их произведению, то их наибольший общий делитель равен единице".
Ответ: Перевод: "Если наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен 1, то их наименьшее общее кратное равно их произведению". Обратное высказывание: НОК$(a, b) = ab \Rightarrow$ НОД$(a, b) = 1$, читается: "Если наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно их произведению, то их наибольший общий делитель равен 1".

г) Перевод высказывания $a \parallel b \Rightarrow b \parallel a$ на русский язык: "Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, то прямая $b$ параллельна прямой $a$".
Обратное высказывание на математическом языке: $b \parallel a \Rightarrow a \parallel b$.
Чтение обратного высказывания: "Если прямая $b$ параллельна прямой $a$, то прямая $a$ параллельна прямой $b$".
Ответ: Перевод: "Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, то прямая $b$ параллельна прямой $a$". Обратное высказывание: $b \parallel a \Rightarrow a \parallel b$, читается: "Если прямая $b$ параллельна прямой $a$, то прямая $a$ параллельна прямой $b$".

д) Перевод высказывания $xy = 0 \Rightarrow x = 0$ или $y = 0$ на русский язык: "Если произведение чисел $x$ и $y$ равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю".
Обратное высказывание на математическом языке: $x = 0$ или $y = 0 \Rightarrow xy = 0$.
Чтение обратного высказывания: "Если хотя бы одно из чисел $x$ или $y$ равно нулю, то их произведение равно нулю".
Ответ: Перевод: "Если произведение $xy$ равно нулю, то $x=0$ или $y=0$". Обратное высказывание: $x = 0$ или $y = 0 \Rightarrow xy = 0$, читается: "Если $x=0$ или $y=0$, то их произведение равно нулю".

е) Перевод высказывания $x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 0 \Rightarrow x_1 = 0$, или $x_2 = 0$, или $\dots$, или $x_n = 0$ на русский язык: "Если произведение $n$ чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю".
Обратное высказывание на математическом языке: $x_1 = 0$, или $x_2 = 0$, или $\dots$, или $x_n = 0 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 0$.
Чтение обратного высказывания: "Если хотя бы одно из $n$ чисел ($x_1, x_2, \dots, x_n$) равно нулю, то их произведение равно нулю".
Ответ: Перевод: "Если произведение $n$ чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю". Обратное высказывание: $x_1 = 0$, или $x_2 = 0$, или $\dots$, или $x_n = 0 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 0$, читается: "Если хотя бы одно из $n$ чисел равно нулю, то их произведение равно нулю".

259 Переведи высказывания с математического языка на русский. Запиши на математическом языке и прочитай обратные высказывания:

а) $n \le 5 \Rightarrow n < 6, n \in N;$

б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc (a, b, c, d \ne 0);$

в) НОД (a, b) = 1 $\Rightarrow$ НОК (a, b) = ab;

г) $a \parallel b \Rightarrow b \parallel a;$

д) $xy = 0 \Rightarrow x = 0$ или $y = 0;$

е) $x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = 0 \Rightarrow x_1 = 0$, или $x_2 = 0$, или ..., или $x_n = 0.$

260 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания.

a) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6. ($x \le 5 \implies x < 6$)

б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10. ($40|x \implies (4|x \land 10|x)$)

в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел. ($a=b \implies a^2=b^2$)

г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел. ($a=b \implies |a|=|b|$)

д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. ($l_1 \parallel l_2 \implies \exists \Pi : l_1 \subset \Pi \land l_2 \subset \Pi$)

е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку. ($l_1 \perp l_2 \implies l_1 \cap l_2 \ne \emptyset$)

а) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6.

Исходное высказывание имеет вид импликации $A \implies B$, где $A$ — «число $x \le 5$», а $B$ — «число $x < 6$».
Запись на математическом языке: $\forall x \in \mathbb{R} : (x \le 5 \implies x < 6)$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если число меньше 6, то оно меньше или равно 5». Это высказывание ложно. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести один контрпример. Возьмем число $x = 5,5$. Условие «число меньше 6» для него выполняется ($5,5 < 6$), но заключение «оно меньше или равно 5» — нет ($5,5 > 5$).
Отрицание исходного высказывания ($\neg(A \implies B) \iff A \land \neg B$): «Существует число, которое меньше или равно 5 и при этом не меньше 6 (то есть больше или равно 6)».

Ответ: Запись: $\forall x : (x \le 5 \implies x < 6)$. Обратное высказывание «Если число меньше 6, то оно меньше или равно 5» ложно (контрпример: $x=5,5$). Отрицание: «Существует число $x$ такое, что $x \le 5$ и $x \ge 6$».

б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10.

Исходное высказывание: $A \implies B$, где $A$ — «число $n$ кратно 40», а $B$ — «число $n$ кратно 4 и 10».
Запись на математическом языке: $\forall n \in \mathbb{Z} : (n \vdots 40 \implies (n \vdots 4 \land n \vdots 10))$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если число кратно 4 и 10, то оно кратно 40». Это высказывание ложно. Контрпример: число $n = 20$. Оно кратно 4 ($20 = 4 \cdot 5$) и кратно 10 ($20 = 10 \cdot 2$), но не кратно 40.
Отрицание исходного высказывания ($A \land \neg B$): «Существует число, которое кратно 40, но при этом оно не кратно 4 или не кратно 10».

Ответ: Запись: $\forall n \in \mathbb{Z} : (n \vdots 40 \implies (n \vdots 4 \land n \vdots 10))$. Обратное высказывание «Если число кратно 4 и 10, то оно кратно 40» ложно (контрпример: $n=20$). Отрицание: «Существует число $n$ такое, что $n \vdots 40$ и ($n$ не кратно 4 или $n$ не кратно 10)».

в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел.

Исходное высказывание: $A \implies B$, где $A$ — «числа $a$ и $b$ равны ($a=b$)», а $B$ — «квадраты чисел $a$ и $b$ равны ($a^2=b^2$)».
Запись на математическом языке: $\forall a,b \in \mathbb{R} : (a = b \implies a^2 = b^2)$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если квадраты чисел равны, то равны и сами числа». Это высказывание ложно. Контрпример: $a = 2$, $b = -2$. Их квадраты равны ($2^2 = (-2)^2 = 4$), но сами числа не равны ($2 \neq -2$).
Отрицание исходного высказывания ($A \land \neg B$): «Существуют два равных числа, квадраты которых не равны».

Ответ: Запись: $\forall a,b: (a = b \implies a^2 = b^2)$. Обратное высказывание «Если $a^2 = b^2$, то $a=b$» ложно (контрпример: $a=2, b=-2$). Отрицание: «Существуют числа $a$ и $b$ такие, что $a = b$ и $a^2 \neq b^2$».

г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел.

Исходное высказывание: $A \implies B$, где $A$ — «числа $a$ и $b$ равны ($a=b$)», а $B$ — «модули чисел $a$ и $b$ равны ($|a|=|b|$)».
Запись на математическом языке: $\forall a,b \in \mathbb{R} : (a = b \implies |a| = |b|)$.
Обратное высказывание ($B \implies A$): «Если модули чисел равны, то равны и сами числа». Это высказывание ложно. Контрпример: $a = 2$, $b = -2$. Их модули равны ($|2| = |-2| = 2$), но сами числа не равны ($2 \neq -2$).
Отрицание исходного высказывания ($A \land \neg B$): «Существуют два равных числа, модули которых не равны».

Ответ: Запись: $\forall a,b: (a = b \implies |a| = |b|)$. Обратное высказывание «Если $|a| = |b|$, то $a=b$» ложно (контрпример: $a=2, b=-2$). Отрицание: «Существуют числа $a$ и $b$ такие, что $a = b$ и $|a| \neq |b|$».

д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Исходное высказывание является определением параллельных прямых в пространстве.
Запись на математическом языке: Пусть $l_1, l_2$ — прямые. Тогда $l_1 \parallel l_2 \implies (\exists \alpha : l_1 \subset \alpha \land l_2 \subset \alpha)$.
Обратное высказывание: «Если две прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны». Это высказывание ложно. Две прямые в одной плоскости могут пересекаться. Например, оси координат $Ox$ и $Oy$ лежат в одной плоскости $Oxy$, но они пересекаются, а не параллельны.
Отрицание исходного высказывания: «Существуют две параллельные прямые, которые не лежат в одной плоскости».

Ответ: Запись: $l_1 \parallel l_2 \implies l_1$ и $l_2$ копланарны. Обратное высказывание «Если две прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны» ложно (контрпример: две пересекающиеся прямые). Отрицание: «Существуют две параллельные прямые, которые не лежат в одной плоскости».

е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку.

Исходное высказывание следует из определения перпендикулярных прямых (это прямые, которые пересекаются под прямым углом).
Запись на математическом языке: Пусть $l_1, l_2$ — прямые. Тогда $l_1 \perp l_2 \implies l_1 \cap l_2 \neq \emptyset$.
Обратное высказывание: «Если две прямые имеют общую точку, то они перпендикулярны». Это высказывание ложно. Две прямые могут пересекаться под любым углом, не обязательно прямым ($90^\circ$). Например, две прямые, пересекающиеся под углом $45^\circ$, имеют общую точку, но не перпендикулярны.
Отрицание исходного высказывания: «Существуют две перпендикулярные прямые, которые не имеют общей точки».

Ответ: Запись: $l_1 \perp l_2 \implies l_1 \cap l_2 \neq \emptyset$. Обратное высказывание «Если две прямые имеют общую точку, то они перпендикулярны» ложно (контрпример: две прямые, пересекающиеся под углом $45^\circ$). Отрицание: «Существуют две перпендикулярные прямые, которые не имеют общей точки».

260 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания.

а) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6. ($x \le 5 \implies x < 6$)

б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10. ($x \equiv 0 \pmod{40} \implies (x \equiv 0 \pmod{4} \land x \equiv 0 \pmod{10})$)

в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел. ($a = b \implies a^2 = b^2$)

г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел. ($a = b \implies |a| = |b|$)

д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку.

261 Для данных общих высказываний построй обратные высказывания. Найди ложные высказывания, построй их отрицания и обоснуй истинность построенных отрицаний.

а) Любое натуральное число больше или равно $1$.

б) Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0.

в) Треугольник является многоугольником.

г) Квадрат является прямоугольником.

д) Сумма противоположных чисел равна $0$.

е) Произведение взаимно обратных чисел равно $1$.

а) Исходное высказывание: "Любое натуральное число больше или равно 1".

Обратное высказывание: "Если число больше или равно 1, то оно является натуральным".

Это обратное высказывание является ложным. Чтобы доказать ложность, достаточно привести один контрпример. Например, число 1,5 больше 1 ($1,5 > 1$), но оно не является натуральным числом.

Отрицание ложного обратного высказывания: "Существует число, которое больше или равно 1, но не является натуральным".

Обоснование истинности отрицания: Это утверждение истинно. Примером такого числа может служить любое дробное или иррациональное число, большее или равное 1, например, 2,7. Это число удовлетворяет условию $2,7 \ge 1$, но не принадлежит множеству натуральных чисел.

Ответ: Обратное высказывание "Если число больше или равно 1, то оно является натуральным" — ложно. Его отрицание "Существует число, которое больше или равно 1, но не является натуральным" — истинно.

б) Исходное высказывание: "Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0".

Обратное высказывание: "Если число оканчивается на 0, то оно кратно 10".

Это обратное высказывание является истинным. По признаку делимости на 10, число делится на 10 без остатка тогда и только тогда, когда его последняя цифра — ноль.

Ответ: Обратное высказывание "Если число оканчивается на 0, то оно кратно 10" — истинно.

в) Исходное высказывание: "Треугольник является многоугольником".

Обратное высказывание: "Если фигура является многоугольником, то она является треугольником".

Это обратное высказывание является ложным. Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Треугольник — это частный случай многоугольника с тремя сторонами.

Отрицание ложного обратного высказывания: "Существует многоугольник, который не является треугольником".

Обоснование истинности отрицания: Это утверждение истинно. Например, квадрат является многоугольником, так как у него 4 стороны, но он не является треугольником.

Ответ: Обратное высказывание "Если фигура является многоугольником, то она является треугольником" — ложно. Его отрицание "Существует многоугольник, который не является треугольником" — истинно.

г) Исходное высказывание: "Квадрат является прямоугольником".

Обратное высказывание: "Если фигура является прямоугольником, то она является квадратом".

Это обратное высказывание является ложным. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Отрицание ложного обратного высказывания: "Существует прямоугольник, который не является квадратом".

Обоснование истинности отрицания: Это утверждение истинно. Например, прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см является прямоугольником, но так как его смежные стороны не равны, он не является квадратом.

Ответ: Обратное высказывание "Если фигура является прямоугольником, то она является квадратом" — ложно. Его отрицание "Существует прямоугольник, который не является квадратом" — истинно.

д) Исходное высказывание: "Сумма противоположных чисел равна 0".

Обратное высказывание: "Если сумма двух чисел равна 0, то эти числа являются противоположными".

Это обратное высказывание является истинным. Если сумма чисел $a$ и $b$ равна нулю, то есть $a + b = 0$, то отсюда следует, что $a = -b$. Это и есть определение противоположных чисел.

Ответ: Обратное высказывание "Если сумма двух чисел равна 0, то эти числа являются противоположными" — истинно.

е) Исходное высказывание: "Произведение взаимно обратных чисел равно 1".

Обратное высказывание: "Если произведение двух чисел равно 1, то эти числа являются взаимно обратными".

Это обратное высказывание является истинным (для чисел, отличных от нуля). Если произведение чисел $a$ и $b$ равно 1, то есть $a \cdot b = 1$, то отсюда следует, что $b = 1/a$. Это является определением взаимно обратных чисел.

Ответ: Обратное высказывание "Если произведение двух чисел равно 1, то эти числа являются взаимно обратными" — истинно.

261 Для данных общих высказываний построй обратные высказывания. Найди ложные высказывания, построй их отрицания и обоснуй истинность построенных отрицаний.

а) Любое натуральное число больше или равно 1.

б) Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0.

в) Треугольник является многоугольником.

г) Квадрат является прямоугольником.

д) Сумма противоположных чисел равна $0$.

е) Произведение взаимно обратных чисел равно $1$.

262 Придумай общее высказывание и построй для него обратное.

Общее высказывание — это утверждение в форме "Если А, то В", где А — это условие, а В — заключение. В логической записи это выглядит как $A \implies B$. Обратное высказывание строится путем перемены местами условия и заключения: "Если В, то А", или $B \implies A$. Истинность прямого высказывания не означает истинность обратного.

Общее высказывание

Придумаем общее высказывание из арифметики: "Если натуральное число оканчивается на 0, то оно делится на 5". В данном случае, условие (А): "натуральное число оканчивается на 0", а заключение (В): "оно делится на 5". Это высказывание является истинным. Любое число, оканчивающееся на 0, можно представить в виде $10 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Так как $10 = 2 \cdot 5$, то число можно записать как $5 \cdot (2k)$, что доказывает его делимость на 5.

Обратное высказывание

Построим для него обратное, поменяв местами условие и заключение: "Если натуральное число делится на 5, то оно оканчивается на 0". Теперь условие (В): "натуральное число делится на 5", а заключение (А): "оно оканчивается на 0". Это высказывание является ложным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример. Например, число 25 делится на 5, но оканчивается на 5, а не на 0. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Общее высказывание: "Если натуральное число оканчивается на 0, то оно делится на 5". Обратное высказывание: "Если натуральное число делится на 5, то оно оканчивается на 0".

262 Придумай общее высказывание и построй для него обратное.

263 Найди взаимно обратные высказывания. С помощью каких союзов можно объединить их в одно предложение?

а) $a^2 = b^2 \Rightarrow |a| = |b|$;

б) $a^3 = b^3 \Rightarrow a = b$;

В) $|a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2$;

Г) $a = b \Rightarrow a^3 = b^3$.

Взаимно обратными называются два утверждения, в которых условие (посылка) и заключение (следствие) меняются местами. Если одно утверждение имеет вид «если А, то В» ($A \Rightarrow B$), то обратное ему имеет вид «если В, то А» ($B \Rightarrow A$).

Рассмотрим пару высказываний:

а) $a^2 = b^2 \Rightarrow |a| = |b|$

в) $|a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2$

В высказывании (а) условием является $a^2 = b^2$, а заключением — $|a| = |b|$. В высказывании (в) наоборот: условием является $|a| = |b|$, а заключением — $a^2 = b^2$.

Поскольку условие и заключение в этих высказываниях поменялись местами, они являются взаимно обратными.

Ответ: Высказывания а) и в) являются взаимно обратными.

Рассмотрим пару высказываний:

б) $a^3 = b^3 \Rightarrow a = b$

г) $a = b \Rightarrow a^3 = b^3$

В высказывании (б) условием является $a^3 = b^3$, а заключением — $a = b$. В высказывании (г) условие и заключение меняются местами: условием является $a = b$, а заключением — $a^3 = b^3$.

Следовательно, эти высказывания также являются взаимно обратными.

Ответ: Высказывания б) и г) являются взаимно обратными.

Два взаимно обратных высказывания, если оба они истинны, можно объединить в одно предложение, выражающее их равносильность (эквивалентность). Для этого используются специальные союзы и речевые обороты, такие как:

• «тогда и только тогда, когда»
• «если и только если»
• «в том и только в том случае, если»

В математике для этого используется знак равносильности $ \Leftrightarrow $. Объединим найденные пары:

• Для пары а) и в): «Равенство $a^2=b^2$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $|a|=|b|$». В виде формулы: $a^2=b^2 \Leftrightarrow |a|=|b|$.
• Для пары б) и г): «Равенство $a^3=b^3$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $a=b$». В виде формулы: $a^3=b^3 \Leftrightarrow a=b$.

Ответ: Взаимно обратные высказывания можно объединить в одно предложение с помощью союзов «тогда и только тогда, когда» или «если и только если».

263. Найди взаимно обратные высказывания. С помощью каких союзов можно объединить их в одно предложение?

а) $a^2 = b^2 \Rightarrow |a| = |b|;$

б) $a^3 = b^3 \Rightarrow a = b;$

в) $|a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2;$

г) $a = b \Rightarrow a^3 = b^3.$