Страница 66, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

257 1) Найди среднее арифметическое чисел 2 и 8. Изобрази эти числа и их среднее арифметическое на числовой прямой. Что ты замечаешь?

2) Изобрази на числовой прямой два произвольных числа и их среднее арифметическое. Сравни полученный результат с результатом предыдущего задания. Сформулируй гипотезу.

1)

Среднее арифметическое двух чисел — это сумма этих чисел, деленная на их количество (т.е. на 2).
Найдем среднее арифметическое чисел 2 и 8. Обозначим его $m$.

$m = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь изобразим числа 2 и 8, а также их среднее арифметическое 5 на числовой прямой. Числа 2 и 8 отмечены синим цветом, а их среднее арифметическое 5 — красным.

Можно заметить, что точка 5 находится ровно посередине между точками 2 и 8. Проверим это, вычислив расстояние от среднего арифметического до каждого из чисел:

• Расстояние от 5 до 2: $5 - 2 = 3$
• Расстояние от 8 до 5: $8 - 5 = 3$

Расстояния равны. Это значит, что точка, соответствующая среднему арифметическому, является центром отрезка, соединяющего точки, соответствующие исходным числам.

Ответ: Среднее арифметическое чисел 2 и 8 равно 5. На числовой прямой точка 5 расположена ровно посередине между точками 2 и 8, то есть является серединой отрезка [2, 8].

2)

Изобразим на числовой прямой два других произвольных числа, например, 1 и 7, и их среднее арифметическое.

Сначала найдем среднее арифметическое чисел 1 и 7:

$m = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Изобразим числа 1, 7 и их среднее арифметическое 4 на числовой прямой. Числа 1 и 7 отмечены синим цветом, а их среднее арифметическое 4 — красным.

Сравним полученный результат с результатом предыдущего задания. В обоих случаях точка, соответствующая среднему арифметическому, является серединой отрезка между двумя исходными числами. Проверим расстояния для чисел 1 и 7:

• Расстояние от 4 до 1: $4 - 1 = 3$
• Расстояние от 7 до 4: $7 - 4 = 3$

Расстояния снова равны. На основе этих наблюдений можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза: Точка на числовой прямой, соответствующая среднему арифметическому двух чисел, находится на равном расстоянии от точек, соответствующих этим числам, то есть является серединой отрезка, соединяющего эти точки.

Ответ: Гипотеза: среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ — это число, которое на числовой прямой находится ровно посередине между $a$ и $b$.

K 257 1) Найди среднее арифметическое чисел 2 и 8. Изобрази эти числа и их среднее арифметическое на числовой прямой. Что ты замечаешь?

2) Изобрази на числовой прямой два произвольных числа и их среднее арифметическое. Сравни полученный результат с результатом предыдущего задания. Сформулируй гипотезу.

258 Найди среднее арифметическое чисел:

1) $a$ и $b$;

2) $a$, $b$ и $c$;

3) $a$, $b$, $c$ и $d$;

4) $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_k$.

Среднее арифметическое набора чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество. Применим это определение для решения каждого пункта задачи.

1) a и b;

В данном случае у нас есть два числа: a и b. Их количество равно 2. Сначала находим их сумму: $a + b$. Затем делим сумму на количество чисел:

$\frac{a+b}{2}$

Ответ: $\frac{a+b}{2}$.

2) a, b и c;

Здесь у нас три числа: a, b и c. Их количество равно 3. Находим их сумму: $a + b + c$. Делим сумму на количество:

$\frac{a+b+c}{3}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{3}$.

3) a, b, c и d;

Для четырех чисел a, b, c и d их количество равно 4. Сумма чисел составляет $a + b + c + d$. Среднее арифметическое равно:

$\frac{a+b+c+d}{4}$

Ответ: $\frac{a+b+c+d}{4}$.

4) a₁, a₂, a₃, ..., aₖ.

В общем случае для набора из k чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_k$, их количество равно k. Сумма этих чисел равна $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k$. Среднее арифметическое находится по формуле:

$\frac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_k}{k}$

Ответ: $\frac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_k}{k}$.

258 Найди среднее арифметическое чисел:

1) $a$ и $b$;

2) $a, b$ и $c$;

3) $a, b, c$ и $d$;

4) $a_1, a_2, a_3, \dots, a_k$:

259 Отметь на координатном луче произвольные числа $x$ и $y$. Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой прямой среднее арифметическое чисел $\frac{x+y}{2}$.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Сначала мы выберем два произвольных числа и изобразим их на координатном луче. Затем мы вычислим их среднее арифметическое и также отметим его на луче. Наконец, мы покажем, как найти это значение с помощью измерений на самом луче.

1. Построение и выбор чисел.Начертим координатный луч с началом в точке O (соответствует числу 0) и выберем единичный отрезок. В качестве произвольных чисел возьмем, к примеру, $x = 2$ и $y = 8$. Отметим на луче точки, соответствующие этим числам. Точка $x$ будет находиться на расстоянии 2 единичных отрезков от начала, а точка $y$ — на расстоянии 8 единичных отрезков.

2. Вычисление среднего арифметического.Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на 2. Обозначим среднее арифметическое буквой $m$.Формула для вычисления:$m = \frac{x + y}{2}$Подставим наши значения $x=2$ и $y=8$:$m = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$Таким образом, среднее арифметическое чисел 2 и 8 равно 5.

3. Изображение и измерения на луче.Теперь отметим точку $m=5$ на нашем координатном луче. Она будет находиться на расстоянии 5 единичных отрезков от начала.Геометрически среднее арифметическое двух чисел является координатой середины отрезка, соединяющего эти два числа. "Необходимые измерения" — это и есть нахождение середины этого отрезка.

• Измерим расстояние между точками $x$ и $y$ на луче: $8 - 2 = 6$ единичных отрезков.
• Разделим это расстояние пополам: $6 \div 2 = 3$ единичных отрезка.
• Это означает, что середина отрезка находится на расстоянии 3 единичных отрезков от каждой из точек ($x$ и $y$).
• Отсчитав 3 единичных отрезка от точки $x=2$ вправо, получим точку $2 + 3 = 5$.
• Отсчитав 3 единичных отрезка от точки $y=8$ влево, также получим точку $8 - 3 = 5$.

Результат измерений совпадает с результатом вычислений. Точка $m=5$ является серединой отрезка между $x=2$ и $y=8$.

Ниже представлен итоговый координатный луч с отмеченными точками $x=2$, $y=8$ и их средним арифметическим $m=5$.

Ответ: Среднее арифметическое чисел $x$ и $y$ на координатном луче — это точка, которая является серединой отрезка, соединяющего точки, соответствующие числам $x$ и $y$.

259 Отметь на координатном луче произвольные числа $x$ и $y$. Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой прямой среднее арифметическое чисел $x$ и $y$.

260 Найди среднее арифметическое чисел:

1) 1,5 и $2\frac{1}{4}$;

2) $7\frac{1}{2}$ и 4,1;

3) $5\frac{1}{6}$; 1,25 и 3,5;

4) 0,54; $1\frac{4}{5}$ и 2,46;

5) 2,108; $4\frac{9}{25}$; 8,1 и 1,44;

6) 0,01; 0,03; 0,05; 0,07; 0,09.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, разделенная на их количество.

1) Даны числа 1,5 и $2\frac{1}{4}$.

Для нахождения среднего арифметического сначала приведем все числа к одному виду, например, к десятичным дробям.

$2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2 + 0,25 = 2,25$.

Теперь найдем сумму чисел: $1,5 + 2,25 = 3,75$.

Разделим сумму на количество чисел (их 2): $3,75 \div 2 = 1,875$.

Ответ: 1,875.

2) Даны числа $7\frac{1}{2}$ и 4,1.

Приведем числа к виду десятичных дробей.

$7\frac{1}{2} = 7,5$.

Найдем сумму чисел: $7,5 + 4,1 = 11,6$.

Разделим сумму на количество чисел (их 2): $11,6 \div 2 = 5,8$.

Ответ: 5,8.

3) Даны числа $5\frac{1}{6}$, 1,25 и 3,5.

Поскольку $5\frac{1}{6}$ является бесконечной периодической десятичной дробью, удобнее вести расчеты в обыкновенных дробях.

Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4}$; $3,5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2}$.

Найдем сумму чисел: $5\frac{1}{6} + 1\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2}$.

Приведем дробные части к общему знаменателю 12: $5\frac{2}{12} + 1\frac{3}{12} + 3\frac{6}{12}$.

Сложим целые и дробные части: $(5 + 1 + 3) + (\frac{2}{12} + \frac{3}{12} + \frac{6}{12}) = 9 + \frac{11}{12} = 9\frac{11}{12}$.

Разделим сумму на количество чисел (их 3): $9\frac{11}{12} \div 3$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $9\frac{11}{12} = \frac{9 \times 12 + 11}{12} = \frac{119}{12}$.

Выполним деление: $\frac{119}{12} \div 3 = \frac{119}{12 \times 3} = \frac{119}{36}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{119}{36} = 3\frac{11}{36}$.

Ответ: $3\frac{11}{36}$.

4) Даны числа 0,54; $1\frac{4}{5}$ и 2,46.

Приведем все числа к виду десятичных дробей.

$1\frac{4}{5} = 1 + \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = 1 + \frac{8}{10} = 1,8$.

Найдем сумму чисел: $0,54 + 1,8 + 2,46 = (0,54 + 2,46) + 1,8 = 3 + 1,8 = 4,8$.

Разделим сумму на количество чисел (их 3): $4,8 \div 3 = 1,6$.

Ответ: 1,6.

5) Даны числа 2,108; $4\frac{9}{25}$; 8,1 и 1,44.

Приведем все числа к виду десятичных дробей.

$4\frac{9}{25} = 4 + \frac{9 \times 4}{25 \times 4} = 4 + \frac{36}{100} = 4,36$.

Найдем сумму чисел: $2,108 + 4,36 + 8,1 + 1,44 = 16,008$.

Разделим сумму на количество чисел (их 4): $16,008 \div 4 = 4,002$.

Ответ: 4,002.

6) Даны числа 0,01; 0,03; 0,05; 0,07; 0,09.

Найдем сумму чисел: $0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,07 + 0,09 = 0,25$.

Разделим сумму на количество чисел (их 5): $0,25 \div 5 = 0,05$.

Ответ: 0,05.

260 Найди среднее арифметическое чисел:

1) 1,5 и $2\frac{1}{4}$;

2) $7\frac{1}{2}$ и 4,1;

3) $5\frac{1}{6}$; 1,25 и 3,5;

4) 0,54; $1\frac{4}{5}$ и 2,46;

5) 2,108; $4\frac{9}{25}$; 8,1 и 1,44;

6) 0,01; 0,03; 0,05; 0,07; 0,09.

261 Найди сумму:

а) двух чисел, если их среднее арифметическое равно 45 837;

б) трёх чисел, если их среднее арифметическое равно 17 296;

в) пяти чисел, если их среднее арифметическое равно 0,28;

г) восьми чисел, если их среднее арифметическое равно $10\frac{3}{5}$.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество. Чтобы найти сумму чисел, зная их среднее арифметическое, необходимо умножить среднее арифметическое на количество этих чисел.

Формула для нахождения суммы: $Сумма = Среднее \: арифметическое \times Количество \: чисел$.

а)

Дано два числа, их среднее арифметическое равно 45 837. Чтобы найти их сумму, умножим среднее арифметическое на количество чисел, то есть на 2.
$45 \: 837 \times 2 = 91 \: 674$.
Ответ: 91 674.

б)

Дано три числа, их среднее арифметическое равно 17 296. Их сумма равна произведению среднего арифметического на количество чисел (3).
$17 \: 296 \times 3 = 51 \: 888$.
Ответ: 51 888.

в)

Дано пять чисел, их среднее арифметическое равно 0,28. Найдём их сумму, умножив 0,28 на 5.
$0,28 \times 5 = 1,4$.
Ответ: 1,4.

г)

Дано восемь чисел, их среднее арифметическое равно $10\frac{3}{5}$. Чтобы найти их сумму, умножим среднее арифметическое на количество чисел (8).
Сначала преобразуем смешанное число в десятичную дробь для удобства вычислений:
$10\frac{3}{5} = 10 + \frac{3}{5} = 10 + 0,6 = 10,6$.
Теперь найдём сумму:
$10,6 \times 8 = 84,8$.
Ответ: 84,8.

261 Найди сумму:

а) двух чисел, если их среднее арифметическое равно $4,5$;

б) трех чисел, если их среднее арифметическое равно $1\frac{5}{6}$;

в) пяти чисел, если их среднее арифметическое равно $0,28$;

г) восьми чисел, если их среднее арифметическое равно $10\frac{3}{5}$.

262 1) В волейбольной секции школы занимается 24 человека. Их средний возраст 15,5 лет. После того как в секцию записался новый игрок, средний возраст её участников стал 15,4 лет. Сколько лет новому игроку?

2) В 5 «А» классе 30 учащихся. Их средний возраст $10 \frac{1}{3}$ лет, а вместе с учителем математики их средний возраст 11 лет. Сколько лет учителю математики?

1)

Чтобы найти возраст нового игрока, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти суммарный возраст всех игроков до прихода новичка. Для этого умножим количество игроков на их средний возраст:

$24 \times 15,5 = 372$ года.

2. После прихода нового игрока количество участников в секции стало $24 + 1 = 25$ человек. Их новый средний возраст составил 15,4 лет. Найдем новый суммарный возраст всех участников:

$25 \times 15,4 = 385$ лет.

3. Возраст нового игрока — это разница между новым суммарным возрастом и первоначальным:

$385 - 372 = 13$ лет.

Ответ: 13 лет.

2)

Чтобы найти возраст учителя, воспользуемся тем же подходом, что и в первой задаче:

1. Найти суммарный возраст всех учащихся в классе. В классе 30 учеников, и их средний возраст составляет $10\frac{1}{3}$ лет. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$10\frac{1}{3} = \frac{10 \times 3 + 1}{3} = \frac{31}{3}$

Теперь вычислим суммарный возраст учеников:

$30 \times \frac{31}{3} = 10 \times 31 = 310$ лет.

2. Вместе с учителем в группе стало $30 + 1 = 31$ человек. Их средний возраст стал 11 лет. Найдем их суммарный возраст:

$31 \times 11 = 341$ год.

3. Возраст учителя — это разница между суммарным возрастом группы с учителем и суммарным возрастом только учеников:

$341 - 310 = 31$ год.

Ответ: 31 год.

262 1) В волейбольной секции школы занимается 24 человека. Их средний возраст 15,5 лет. После того как в секцию записался новый игрок, средний возраст ее участников стал 15,4 лет. Сколько лет новому игроку?

2) В 5 "А" классе 30 учащихся. Их средний возраст $10 \frac{1}{3}$ лет, а вместе с учителем математики их средний возраст 11 лет. Сколько лет учителю математики?

263 1) Чему равна средняя температура воздуха в полдень в первую неделю мая, если термометр показывал в эти дни 4°, 6°, 10°, 12°, 16°, 18°, 10°? Ответ округли с точностью до целых.

2) На городских соревнованиях по фигурному катанию одной из участниц, чтобы попасть в десятку сильнейших, требовалось набрать в произвольных упражнениях не менее 5,4 балла. Судьи ей выставили оценки: 5,2; 5,6; 5,4; 5,5; 5,3; 5,4; 5,6; 5,6. Справилась ли фигуристка со своей задачей?

1) Чтобы найти среднюю температуру воздуха, необходимо сложить все зафиксированные температурные показатели и разделить полученную сумму на количество дней. В первой неделе мая 7 дней.

1. Найдем сумму всех температур:
$4 + 6 + 10 + 12 + 16 + 18 + 10 = 76$ (°C)

2. Разделим сумму на количество дней (7), чтобы найти среднее значение:
$T_{ср} = \frac{76}{7} \approx 10,857...$ (°C)

3. Округлим полученный результат до целых. Поскольку первая цифра после запятой (8) больше 5, округляем в большую сторону.

Ответ: 11 °C.

2) Чтобы узнать, справилась ли фигуристка с задачей, нужно рассчитать ее средний балл и сравнить его с требуемым минимумом в 5,4 балла. Средний балл — это сумма всех оценок, деленная на их количество.

1. Найдем сумму всех оценок, которые выставили судьи:
$5,2 + 5,6 + 5,4 + 5,5 + 5,3 + 5,4 + 5,6 + 5,6 = 43,6$

2. Найдем средний балл, разделив сумму на количество оценок (8):
$Средний\ балл = \frac{43,6}{8} = 5,45$

3. Сравним полученный средний балл с требуемым. Условие было набрать "не менее 5,4 балла", что означает 5,4 или больше.
$5,45 > 5,4$

Средний балл фигуристки оказался выше требуемого минимума, следовательно, она справилась со своей задачей.

Ответ: да, справилась.

263 1) Чему равна средняя температура воздуха в полдень в первую неделю мая, если термометр показывал в эти дни $4^\circ$, $6^\circ$, $10^\circ$, $12^\circ$, $16^\circ$, $18^\circ$, $10^\circ$? Ответ округли с точностью до целых.

2) На городских соревнованиях по фигурному катанию одной из участниц, чтобы попасть в десятку сильнейших, требовалось набрать в произвольных упражнениях не менее $5,4$ балла. Судьи ей выставили оценки: $5,2$; $5,6$; $5,4$; $5,5$; $5,3$; $5,4$; $5,6$; $5,6$. Справилась ли фигуристка со своей задачей?

279 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a = 88, a_1 : a_2 = 1 : 2$ и $a_2 : a_3 = 4 : 5;$

2) $a = 12,4, a_1 : a_2 = 9 : 7,2$ и $a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125.$

1)

Дано: $ a = 88 $, $ a_1 : a_2 = 1 : 2 $ и $ a_2 : a_3 = 4 : 5 $.

Чтобы разделить число $ a $ на три части $ a_1, a_2, a_3 $, необходимо найти их общее отношение $ a_1 : a_2 : a_3 $. У нас есть два отношения, в которых общим членом является $ a_2 $. В первом отношении $ a_1 : a_2 = 1 : 2 $, члену $ a_2 $ соответствует число 2. Во втором отношении $ a_2 : a_3 = 4 : 5 $, члену $ a_2 $ соответствует число 4.

Приведем эти отношения к единому виду, уравняв части, соответствующие $ a_2 $. Для этого найдем наименьшее общее кратное чисел 2 и 4, которое равно 4. Первое отношение $ a_1 : a_2 = 1 : 2 $ домножим на 2, чтобы часть $ a_2 $ стала равна 4: $ a_1 : a_2 = (1 \cdot 2) : (2 \cdot 2) = 2 : 4 $.

Второе отношение $ a_2 : a_3 = 4 : 5 $ уже содержит 4 для члена $ a_2 $, поэтому его изменять не нужно. Теперь мы можем объединить отношения: $ a_1 : a_2 : a_3 = 2 : 4 : 5 $.

Это означает, что число $ a $ нужно разделить на части, пропорциональные числам 2, 4 и 5. Пусть $ x $ — коэффициент пропорциональности (величина одной части). Тогда $ a_1 = 2x $, $ a_2 = 4x $, $ a_3 = 5x $. Сумма всех частей равна $ a $: $ a_1 + a_2 + a_3 = 88 $
$ 2x + 4x + 5x = 88 $
$ 11x = 88 $
$ x = \frac{88}{11} = 8 $

Теперь вычислим значения каждой части:
$ a_1 = 2 \cdot 8 = 16 $
$ a_2 = 4 \cdot 8 = 32 $
$ a_3 = 5 \cdot 8 = 40 $

Проверка: $ 16 + 32 + 40 = 88 $.

Ответ: $ a_1 = 16, a_2 = 32, a_3 = 40 $.

2)

Дано: $ a = 12,4 $, $ a_1 : a_2 = 9 : 7,2 $ и $ a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125 $.

Сначала упростим данные отношения до отношений целых чисел.

Для отношения $ a_1 : a_2 = 9 : 7,2 $ умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби: $ 90 : 72 $. Сократим полученное отношение, найдя наибольший общий делитель для 90 и 72. НОД(90, 72) = 18. $ a_1 : a_2 = \frac{90}{18} : \frac{72}{18} = 5 : 4 $.

Для отношения $ a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125 $ представим $ 0,125 $ в виде обыкновенной дроби: $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $. Тогда отношение будет $ a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : \frac{1}{8} $. Умножим обе части на 8: $ a_2 : a_3 = 3 : 1 $.

Теперь у нас есть упрощенные отношения: $ a_1 : a_2 = 5 : 4 $ и $ a_2 : a_3 = 3 : 1 $. Приведем их к общему виду $ a_1 : a_2 : a_3 $. Общий член $ a_2 $ соответствует числам 4 и 3. Наименьшее общее кратное для 4 и 3 равно 12.

Домножим первое отношение на 3: $ a_1 : a_2 = (5 \cdot 3) : (4 \cdot 3) = 15 : 12 $.
Домножим второе отношение на 4: $ a_2 : a_3 = (3 \cdot 4) : (1 \cdot 4) = 12 : 4 $.

Объединяем и получаем общее отношение: $ a_1 : a_2 : a_3 = 15 : 12 : 4 $.

Пусть $ x $ — коэффициент пропорциональности. Тогда $ a_1 = 15x $, $ a_2 = 12x $, $ a_3 = 4x $. Сумма всех частей равна $ a $: $ 15x + 12x + 4x = 12,4 $
$ 31x = 12,4 $
$ x = \frac{12,4}{31} = 0,4 $

Теперь вычислим значения каждой части:
$ a_1 = 15 \cdot 0,4 = 6 $
$ a_2 = 12 \cdot 0,4 = 4,8 $
$ a_3 = 4 \cdot 0,4 = 1,6 $

Проверка: $ 6 + 4,8 + 1,6 = 12,4 $.

Ответ: $ a_1 = 6, a_2 = 4,8, a_3 = 1,6 $.

279 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a=88$, $a_1:a_2=1:2$ и $a_2:a_3=4:5$;

2) $a=12,4$, $a_1:a_2=9:7,2$ и $a_2:a_3=\frac{3}{8}:0,125$.

279 Раздели число a на три части $a_1$, $a_2$ и $a_3$, если:

1) $a = 88$, $a_1 : a_2 = 1 : 2$ и $a_2 : a_3 = 4 : 5$;

2) $a = 12,4$, $a_1 : a_2 = 9 : 7,2$ и $a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125$.

280 Три кладоискателя нашли клад, в котором оказалось 5600 одинаковых старинных монет. Государству принадлежит 75 % всех монет, а 30 % оставшейся части составили налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так, что доли первого и второго относились как $2 : 3$, а доли второго и третьего – как $5 : 8$. Сколько монет получил каждый кладоискатель?

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем количество монет, которое принадлежит государству.

Общее количество найденных монет — 5600. Государству принадлежит 75% от этого количества. Чтобы найти 75% от числа, нужно умножить это число на 0,75.
$5600 \cdot \frac{75}{100} = 5600 \cdot 0,75 = 4200$ монет.

2. Определим, сколько монет осталось после передачи доли государству.

Для этого вычтем долю государства из общего количества монет.
$5600 - 4200 = 1400$ монет.

3. Рассчитаем сумму налога.

Налоги составляют 30% от оставшейся части (1400 монет).
$1400 \cdot \frac{30}{100} = 1400 \cdot 0,3 = 420$ монет.

4. Найдем количество монет, которое кладоискатели разделят между собой.

Это количество монет, оставшееся после уплаты налогов из той части, что не отошла государству.
$1400 - 420 = 980$ монет.

5. Определим соотношение долей всех трех кладоискателей.

Пусть $k_1$, $k_2$ и $k_3$ — доли первого, второго и третьего кладоискателя соответственно.
По условию, $k_1 : k_2 = 2 : 3$ и $k_2 : k_3 = 5 : 8$.
Чтобы объединить эти два отношения в одно ($k_1 : k_2 : k_3$), нужно привести долю второго кладоискателя ($k_2$) к общему значению в обоих отношениях. Наименьшее общее кратное для 3 и 5 это 15.
Умножим обе части первого отношения на 5: $k_1 : k_2 = (2 \cdot 5) : (3 \cdot 5) = 10 : 15$.
Умножим обе части второго отношения на 3: $k_2 : k_3 = (5 \cdot 3) : (8 \cdot 3) = 15 : 24$.
Теперь мы можем записать общее отношение долей: $k_1 : k_2 : k_3 = 10 : 15 : 24$.

6. Рассчитаем, сколько монет получил каждый кладоискатель.

Общее количество частей в итоговом отношении равно $10 + 15 + 24 = 49$.
Эти 49 частей составляют 980 монет. Найдем, сколько монет приходится на одну часть:
$980 / 49 = 20$ монет.
Теперь рассчитаем долю каждого кладоискателя, умножив количество его частей на стоимость одной части:
Первый кладоискатель: $10 \cdot 20 = 200$ монет.
Второй кладоискатель: $15 \cdot 20 = 300$ монет.
Третий кладоискатель: $24 \cdot 20 = 480$ монет.

Проверка: $200 + 300 + 480 = 980$ монет, что соответствует количеству монет, подлежащих разделу.

Ответ: первый кладоискатель получил 200 монет, второй — 300 монет, а третий — 480 монет.

280 Три кладоискателя нашли клад, в котором оказалось 5600 одинаковых старинных монет. Государству принадлежит 75% всех монет, а 30% оставшейся части составили налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так, что доли первого и второго относились как $2 : 3$, а доли второго и третьего – как $5 : 8$. Сколько монет получил каждый кладоискатель?

281 Реши задачи способом пропорций.

1) Поезд проехал 420 км, что составило $35 \%$ его пути. Чему равен путь поезда?

2) За 3,2 м ткани заплатили 284,8 р. Сколько рублей надо заплатить за отрез такой же ткани, в котором на 1,6 м больше, чем в первом?

1)

Пусть весь путь поезда составляет $x$ км, что соответствует 100%. По условию задачи, 420 км составляют 35% всего пути. Мы можем составить пропорцию, чтобы найти общую длину пути:

420 км — 35%

$x$ км — 100%

Составим уравнение на основе этой пропорции:

$\frac{420}{35} = \frac{x}{100}$

Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения:

$x = \frac{420 \cdot 100}{35}$

Выполним вычисления:

$x = 12 \cdot 100 = 1200$ км.

Ответ: Весь путь поезда равен 1200 км.

2)

Сначала определим длину второго отреза ткани. Она на 1,6 м больше, чем длина первого отреза (3,2 м):

$3,2 + 1,6 = 4,8$ м.

Теперь, зная стоимость первого отреза, можно составить пропорцию для нахождения стоимости второго отреза. Пусть стоимость второго отреза равна $y$ рублей. Так как цена за метр ткани одинакова, стоимость прямо пропорциональна длине.

3,2 м ткани — 284,8 р.

4,8 м ткани — $y$ р.

Составим пропорциональное соотношение:

$\frac{3,2}{4,8} = \frac{284,8}{y}$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$y = \frac{284,8 \cdot 4,8}{3,2}$

Упростим дробь $\frac{4,8}{3,2}$, разделив числитель и знаменатель на 1,6:

$\frac{4,8}{3,2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь найдем значение $y$:

$y = 284,8 \cdot 1,5 = 427,2$ р.

Ответ: За второй отрез ткани надо заплатить 427,2 рубля.

281 Реши задачи способом пропорций:

1) Поезд проехал 420 км, что составило $35\%$ его пути. Чему равен путь поезда?

2) За 3,2 м ткани заплатили 284,8 р. Сколько рублей надо заплатить за отрез такой же ткани, в котором на 1,6 м больше, чем в первом?

282 Раздели число 21 на части пропорционально числам А и В:

А $(1200 - 1.2) : 0.74 \cdot 0.508 + 7.704 : 0.1 - (3.59 - 3.59) \cdot 8 \frac{9}{34};$

В $\frac{1.75 : 1.25 + 1.4 \cdot 1\frac{4}{7} + (2.88 + 1\frac{3}{25}) \cdot 0.1}{1 : \left[\left(2.5 : \frac{5}{18} - 0.9\right) : 0.09\right]}.$

Для того чтобы разделить число 21 на части, пропорциональные числам A и B, необходимо сначала вычислить значения этих чисел.

A

Вычислим значение выражения A, выполняя действия в соответствии с их приоритетом:

$A = (1200 - 1,2) : 0,74 \cdot 0,508 + 7,704 : 0,1 - (3,59 - 3,59) \cdot 8\frac{9}{34}$

1. Выполним вычитание в первых скобках: $1200 - 1,2 = 1198,8$.

2. Выполним вычитание во вторых скобках: $3,59 - 3,59 = 0$.

3. Выполним умножение результата вторых скобок на смешанную дробь: $0 \cdot 8\frac{9}{34} = 0$.

4. Теперь выражение выглядит так: $1198,8 : 0,74 \cdot 0,508 + 7,704 : 0,1 - 0$.

5. Выполним деление: $1198,8 : 0,74 = 1620$.

6. Выполним умножение: $1620 \cdot 0,508 = 822,96$.

7. Выполним второе деление: $7,704 : 0,1 = 77,04$.

8. Выполним сложение и вычитание: $822,96 + 77,04 - 0 = 900$.

Таким образом, значение $A = 900$.

B

Вычислим значение выражения B:

$B = \frac{1,75 : 1,25 + 1,4 \cdot 1\frac{4}{7} + (2,88 + 1\frac{3}{25}) \cdot 0,1}{1 : [(2,5 : \frac{5}{18} - 0,9) : 0,09]}$

Сначала вычислим значение числителя:

1. $1,75 : 1,25 = 1,4$.

2. $1,4 \cdot 1\frac{4}{7} = \frac{14}{10} \cdot \frac{11}{7} = \frac{2 \cdot 11}{10} = \frac{22}{10} = 2,2$.

3. $1\frac{3}{25} = 1\frac{12}{100} = 1,12$. Тогда $2,88 + 1,12 = 4$.

4. $4 \cdot 0,1 = 0,4$.

5. Сложим полученные результаты: $1,4 + 2,2 + 0,4 = 4$. Числитель равен 4.

Теперь вычислим значение знаменателя:

1. $2,5 : \frac{5}{18} = \frac{5}{2} \cdot \frac{18}{5} = 9$.

2. $9 - 0,9 = 8,1$.

3. $8,1 : 0,09 = 810 : 9 = 90$.

4. $1 : 90 = \frac{1}{90}$. Знаменатель равен $\frac{1}{90}$.

Найдем значение B, разделив числитель на знаменатель:

$B = \frac{4}{\frac{1}{90}} = 4 \cdot 90 = 360$.

Таким образом, значение $B = 360$.

Теперь разделим число 21 на части, пропорциональные полученным числам $A=900$ и $B=360$.

1. Найдем отношение $A : B$ и упростим его:

$A : B = 900 : 360 = 90 : 36 = 10 : 4 = 5 : 2$.

2. Это означает, что число 21 нужно разделить в отношении 5 к 2. Всего $5 + 2 = 7$ частей.

3. Найдем, чему равна одна часть:

$21 : 7 = 3$.

4. Найдем каждую из искомых частей:

Первая часть (пропорциональная A) составляет 5 частей: $5 \cdot 3 = 15$.

Вторая часть (пропорциональная B) составляет 2 части: $2 \cdot 3 = 6$.

Проверим: $15 + 6 = 21$.

Ответ: 15 и 6.

282 Раздели число 21 на части пропорционально числам А и В:

A $(1200 - 1,2) : 0,74 \cdot 0,508 + 7,704 : 0,1 - (3,59 - 3,59) \cdot 8\frac{9}{34};$

B $\frac{1,75 : 1,25 + 1,4 \cdot 1\frac{4}{7} + (2,88 + 1\frac{3}{25}) \cdot 0,1}{1 : \left[\left(2,5 : \frac{5}{18} - 0,9\right) : 0,09\right]}.$

Сделай один ступенчатый разрез фигуры, изображённой на рисунке, так, чтобы из двух получившихся частей можно было сложить квадрат.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить площадь исходной фигуры, чтобы узнать размеры итогового квадрата. Затем нужно найти такой ступенчатый разрез, который разделит фигуру на две части, из которых можно будет сложить этот квадрат.

1. Определение площади и размеров квадрата

Фигура нарисована на сетке. Примем сторону одной клетки за единицу длины. Фигуру можно разбить на два прямоугольника для удобства подсчета площади:

• Верхний прямоугольник размером $6 \times 2$ (от $y=3$ до $y=5$). Его площадь $S_1 = 6 \times 2 = 12$ квадратных единиц.
• Нижний прямоугольник размером $8 \times 3$ (от $y=0$ до $y=3$). Его площадь $S_2 = 8 \times 3 = 24$ квадратные единицы.

Общая площадь фигуры: $S = S_1 + S_2 = 12 + 24 = 36$ квадратных единиц.

Из этих частей нужно сложить квадрат. Площадь квадрата будет равна площади исходной фигуры, то есть 36. Сторона такого квадрата $a$ вычисляется как корень из площади:

$a = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6$ единиц.

Таким образом, нам нужно получить квадрат размером $6 \times 6$.

2. Выполнение ступенчатого разреза

Чтобы превратить фигуру с максимальной шириной 8 и высотой 5 в квадрат $6 \times 6$, необходимо "переместить" часть фигуры с одной стороны на другую. Разрез должен быть выполнен таким образом, чтобы одна из получившихся частей могла быть перемещена (сдвинута без поворота) и идеально подошла к другой, образуя квадрат.

Введем систему координат с началом в левом нижнем углу фигуры. Ступенчатый разрез нужно провести по линиям сетки следующим образом:

1. Начать разрез на верхней границе фигуры в точке с координатами (2, 5).
2. Провести линию разреза вертикально вниз на 2 клетки до точки (2, 3).
3. От точки (2, 3) провести линию горизонтально вправо на 2 клетки до точки (4, 3).
4. От точки (4, 3) провести линию вертикально вниз на 3 клетки до точки (4, 0) на нижней границе фигуры.

Этот разрез делит исходную фигуру на две части, которые мы условно назовем Левой и Правой.

3. Сборка квадрата

Теперь необходимо перекомпоновать полученные части.

1. Оставляем Правую часть на месте.
2. Берем Левую часть и перемещаем ее, сдвигая на 4 клетки вправо и на 1 клетку вверх.

В результате такого перемещения Левая часть идеально пристыковывается к Правой, заполняя ее вогнутые участки и формируя вместе с ней идеальный квадрат со стороной 6 клеток.

Ответ: Необходимо сделать ступенчатый разрез, начинающийся на верхней границе фигуры в 2 клетках от левого края, идущий на 2 клетки вниз, затем на 2 клетки вправо и затем на 3 клетки вниз до нижней границы фигуры. После этого левую из двух получившихся частей следует переместить на 4 клетки вправо и на 1 клетку вверх, чтобы вместе со второй частью образовать квадрат $6 \times 6$.

283 Сделай один ступенчатый разрез фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы из двух получившихся частей можно было сложить квадрат.

284 Разрежь три одинаковых треугольника по разным медианам, показанным на рисунке, и сложи из полученных кусков один треугольник.

Решение

Для решения этой задачи необходимо мысленно или физически разрезать три одинаковых треугольника и сложить из шести полученных частей один большой треугольник. Обозначим вершины исходного треугольника как $A$, $B$, $C$, а середины противоположных им сторон — как $M_a$, $M_b$ и $M_c$ соответственно. Медианы, по которым производятся разрезы, это $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$.

В результате разрезания трёх одинаковых треугольников по трём разным медианам мы получаем шесть меньших треугольников:

1. Из первого треугольника, разрезанного по медиане $AM_a$: $\triangle ABM_a$ и $\triangle ACM_a$.
2. Из второго треугольника, разрезанного по медиане $BM_b$: $\triangle ABM_b$ и $\triangle CBM_b$.
3. Из третьего треугольника, разрезанного по медиане $CM_c$: $\triangle ACM_c$ и $\triangle BCM_c$.

Сборку нового, большого треугольника можно выполнить следующим образом:

Шаг 1: Формирование «внешней оболочки»
Возьмём три части: $\triangle BAM_a$ (из первого разреза), $\triangle CBM_b$ (из второго разреза) и $\triangle ACM_c$ (из третьего разреза). Расположим их так, чтобы их вершины $A$, $B$ и $C$ стали вершинами нового большого треугольника.

• Вершина $A$ треугольника $\triangle ACM_c$ станет одной из вершин большого треугольника.
• Вершина $B$ треугольника $\triangle BAM_a$ станет второй вершиной.
• Вершина $C$ треугольника $\triangle CBM_b$ станет третьей вершиной.

Совместим сторону $AB$ треугольника $\triangle BAM_a$ со стороной $AB$ треугольника $\triangle ACM_c$ (мысленно, так как это разные куски). Аналогично поступим с другими сторонами. В результате эти три части образуют «рамку» в виде большого треугольника с шестиугольным отверстием в центре.

Шаг 2: Заполнение отверстия
У нас остались три части: $\triangle ACM_a$, $\triangle ABM_b$ и $\triangle BCM_c$. Эти три части идеально заполняют шестиугольное отверстие.

• Треугольник $\triangle ACM_a$ прикладывается своей стороной-медианой $AM_a$ к стороне $AM_a$ части $\triangle BAM_a$, уже являющейся частью «рамки».
• Треугольник $\triangle ABM_b$ прикладывается своей стороной-медианой $BM_b$ к стороне $BM_b$ части $\triangle CBM_b$.
• Треугольник $\triangle BCM_c$ прикладывается своей стороной-медианой $CM_c$ к стороне $CM_c$ части $\triangle ACM_c$.

Оставшиеся стороны этих трёх внутренних частей ($AC$, $AB$, $BC$) сойдутся вместе в центре, образуя маленький треугольник, конгруэнтный исходному.

В результате все шесть частей складываются без зазоров и наложений, образуя один большой треугольник.

Ответ: Требуется составить из трёх частей «рамку» в виде треугольника с шестиугольным отверстием, а затем заполнить это отверстие оставшимися тремя частями, как показано на рисунках.

284 Разрежь три одинаковых треугольника по разным медианам, показанным на рисунке, и сложи из полученных кусков один треугольник.

285. Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

Для решения этой задачи нужно выполнить разрезание и сборку фигур определённым образом. Существует несколько способов, один из самых наглядных приведён ниже.

1. Возьмём квадрат $ABCD$ со стороной $a$.
2. Отметим точку $E$ на середине стороны $BC$.
3. Проведём два разреза из вершин $A$ и $D$ к точке $E$.

В результате квадрат будет разрезан на три треугольника:

• Треугольник 1: $\triangle ABE$ (прямоугольный)
• Треугольник 2: $\triangle DCE$ (прямоугольный, конгруэнтный первому)
• Треугольник 3: $\triangle ADE$ (равнобедренный)

1. Возьмём равнобедренный треугольник $\triangle ADE$ (фигура 3) в качестве центрального элемента.
2. Возьмём прямоугольный треугольник $\triangle ABE$ (фигура 1) и повернём его на 180° вокруг середины общей стороны $AE$. Это эквивалентно тому, что мы прикладываем его к $\triangle ADE$ так, чтобы вершина $B$ "смотрела" наружу.
3. Аналогично, возьмём прямоугольный треугольник $\triangle DCE$ (фигура 2) и повернём его на 180° вокруг середины общей стороны $DE$.

В результате этих действий получится новый, больший треугольник. Проверим, что он тупоугольный.

Один из углов нового треугольника (при вершине $A$ изначального треугольника $\triangle ADE$) будет равен сумме трёх углов: $\angle DAE$ из центрального треугольника, и двух углов, которые ранее примыкали к вершинам $A$ и $D$ в квадрате. Один из углов нового треугольника будет равен $\angle BAD + \angle CDA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$? Нет, это неверно.

Рассмотрим угол при вершине $E$ в получившейся фигуре. Он складывается из трёх углов: $\angle AEB + \angle AED + \angle DEC$. В исходном квадрате эти три угла вокруг точки $E$ не составляют $180^\circ$ или $360^\circ$. Однако, если мы посмотрим на угол при вершине $A$ (или $D$) в собранной фигуре, то он будет тупым. Например, угол при вершине $C'$ (бывшая вершина $C$) равен $\angle C$ из `\triangle DCE`, то есть $90^\circ$. Угол при вершине $B'$ (бывшая вершина $B$) равен $\angle B$ из `\triangle ABE`, то есть $90^\circ$. Угол при вершине $E$ (вверху) является тупым.

Докажем это. В прямоугольном $\triangle DCE$ катеты $DC=a$ и $CE = a/2$. Тангенс угла $\angle DEC$ равен $DC/CE = a / (a/2) = 2$. Сам угол $\angle DEC \approx 63.4^\circ$. Аналогично, $\angle AEB \approx 63.4^\circ$. В равнобедренном $\triangle ADE$ стороны $AE = DE = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = a\sqrt{5}/2$, а сторона $AD=a$. По теореме косинусов для $\triangle ADE$:$AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos(\angle AED)$$a^2 = \frac{5a^2}{4} + \frac{5a^2}{4} - 2 \frac{5a^2}{4} \cos(\angle AED)$$1 = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cos(\angle AED) \implies \cos(\angle AED) = \frac{3}{5}$.Отсюда $\angle AED \approx 53.1^\circ$.Собранный угол при вершине $E$ равен $\angle AEB + \angle DEC - \angle AED$ (потому что фигуры были перевёрнуты), что не дает нам тупого угла.

Правильная сборка приводит к треугольнику, один из углов которого равен $90^\circ + \angle ADE$. Так как $\angle ADE$ - острый угол, итоговый угол будет тупым. Например, если повернуть $\triangle DCE$ вокруг точки D на $90^\circ$ против часовой стрелки, а $\triangle ABE$ вокруг точки A на $90^\circ$ по часовой стрелке, то получится фигура, у которой угол при вершине D (совмещённой с A) будет $\angle ADE + 90^\circ$, что больше $90^\circ$. Эта фигура и будет искомым тупоугольным треугольником.

Ответ: Квадрат разрезается на три треугольника отрезками, соединяющими середину одной из сторон с противоположными вершинами. Из полученных трёх треугольников можно сложить тупоугольный треугольник, как показано на рисунках.

285 Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.