Номер 279, страница 66, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Пропорциональное деление. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 279, страница 66.

Условие 2023.

279 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a = 88, a_1 : a_2 = 1 : 2$ и $a_2 : a_3 = 4 : 5;$

2) $a = 12,4, a_1 : a_2 = 9 : 7,2$ и $a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125.$

Решение 2 (2023).

1)

Дано: $ a = 88 $, $ a_1 : a_2 = 1 : 2 $ и $ a_2 : a_3 = 4 : 5 $.

Чтобы разделить число $ a $ на три части $ a_1, a_2, a_3 $, необходимо найти их общее отношение $ a_1 : a_2 : a_3 $. У нас есть два отношения, в которых общим членом является $ a_2 $. В первом отношении $ a_1 : a_2 = 1 : 2 $, члену $ a_2 $ соответствует число 2. Во втором отношении $ a_2 : a_3 = 4 : 5 $, члену $ a_2 $ соответствует число 4.

Приведем эти отношения к единому виду, уравняв части, соответствующие $ a_2 $. Для этого найдем наименьшее общее кратное чисел 2 и 4, которое равно 4. Первое отношение $ a_1 : a_2 = 1 : 2 $ домножим на 2, чтобы часть $ a_2 $ стала равна 4: $ a_1 : a_2 = (1 \cdot 2) : (2 \cdot 2) = 2 : 4 $.

Второе отношение $ a_2 : a_3 = 4 : 5 $ уже содержит 4 для члена $ a_2 $, поэтому его изменять не нужно. Теперь мы можем объединить отношения: $ a_1 : a_2 : a_3 = 2 : 4 : 5 $.

Это означает, что число $ a $ нужно разделить на части, пропорциональные числам 2, 4 и 5. Пусть $ x $ — коэффициент пропорциональности (величина одной части). Тогда $ a_1 = 2x $, $ a_2 = 4x $, $ a_3 = 5x $. Сумма всех частей равна $ a $: $ a_1 + a_2 + a_3 = 88 $
$ 2x + 4x + 5x = 88 $
$ 11x = 88 $
$ x = \frac{88}{11} = 8 $

Теперь вычислим значения каждой части:
$ a_1 = 2 \cdot 8 = 16 $
$ a_2 = 4 \cdot 8 = 32 $
$ a_3 = 5 \cdot 8 = 40 $

Проверка: $ 16 + 32 + 40 = 88 $.

Ответ: $ a_1 = 16, a_2 = 32, a_3 = 40 $.

2)

Дано: $ a = 12,4 $, $ a_1 : a_2 = 9 : 7,2 $ и $ a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125 $.

Сначала упростим данные отношения до отношений целых чисел.

Для отношения $ a_1 : a_2 = 9 : 7,2 $ умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби: $ 90 : 72 $. Сократим полученное отношение, найдя наибольший общий делитель для 90 и 72. НОД(90, 72) = 18. $ a_1 : a_2 = \frac{90}{18} : \frac{72}{18} = 5 : 4 $.

Для отношения $ a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : 0,125 $ представим $ 0,125 $ в виде обыкновенной дроби: $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $. Тогда отношение будет $ a_2 : a_3 = \frac{3}{8} : \frac{1}{8} $. Умножим обе части на 8: $ a_2 : a_3 = 3 : 1 $.

Теперь у нас есть упрощенные отношения: $ a_1 : a_2 = 5 : 4 $ и $ a_2 : a_3 = 3 : 1 $. Приведем их к общему виду $ a_1 : a_2 : a_3 $. Общий член $ a_2 $ соответствует числам 4 и 3. Наименьшее общее кратное для 4 и 3 равно 12.

Домножим первое отношение на 3: $ a_1 : a_2 = (5 \cdot 3) : (4 \cdot 3) = 15 : 12 $.
Домножим второе отношение на 4: $ a_2 : a_3 = (3 \cdot 4) : (1 \cdot 4) = 12 : 4 $.

Объединяем и получаем общее отношение: $ a_1 : a_2 : a_3 = 15 : 12 : 4 $.

Пусть $ x $ — коэффициент пропорциональности. Тогда $ a_1 = 15x $, $ a_2 = 12x $, $ a_3 = 4x $. Сумма всех частей равна $ a $: $ 15x + 12x + 4x = 12,4 $
$ 31x = 12,4 $
$ x = \frac{12,4}{31} = 0,4 $

Теперь вычислим значения каждой части:
$ a_1 = 15 \cdot 0,4 = 6 $
$ a_2 = 12 \cdot 0,4 = 4,8 $
$ a_3 = 4 \cdot 0,4 = 1,6 $

Проверка: $ 6 + 4,8 + 1,6 = 12,4 $.

Ответ: $ a_1 = 6, a_2 = 4,8, a_3 = 1,6 $.

Условие 2010-2022.

279 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a=88$, $a_1:a_2=1:2$ и $a_2:a_3=4:5$;

2) $a=12,4$, $a_1:a_2=9:7,2$ и $a_2:a_3=\frac{3}{8}:0,125$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).