Номер 285, страница 66, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 5. Пропорциональное деление - номер 285, страница 66.

Условие 2023.

285. Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

Решение 2 (2023).

Для решения этой задачи нужно выполнить разрезание и сборку фигур определённым образом. Существует несколько способов, один из самых наглядных приведён ниже.

Способ разрезания:

1. Возьмём квадрат $ABCD$ со стороной $a$.
2. Отметим точку $E$ на середине стороны $BC$.
3. Проведём два разреза из вершин $A$ и $D$ к точке $E$.

В результате квадрат будет разрезан на три треугольника:

• Треугольник 1: $\triangle ABE$ (прямоугольный)
• Треугольник 2: $\triangle DCE$ (прямоугольный, конгруэнтный первому)
• Треугольник 3: $\triangle ADE$ (равнобедренный)

Способ сборки:

1. Возьмём равнобедренный треугольник $\triangle ADE$ (фигура 3) в качестве центрального элемента.
2. Возьмём прямоугольный треугольник $\triangle ABE$ (фигура 1) и повернём его на 180° вокруг середины общей стороны $AE$. Это эквивалентно тому, что мы прикладываем его к $\triangle ADE$ так, чтобы вершина $B$ "смотрела" наружу.
3. Аналогично, возьмём прямоугольный треугольник $\triangle DCE$ (фигура 2) и повернём его на 180° вокруг середины общей стороны $DE$.

В результате этих действий получится новый, больший треугольник. Проверим, что он тупоугольный.

Один из углов нового треугольника (при вершине $A$ изначального треугольника $\triangle ADE$) будет равен сумме трёх углов: $\angle DAE$ из центрального треугольника, и двух углов, которые ранее примыкали к вершинам $A$ и $D$ в квадрате. Один из углов нового треугольника будет равен $\angle BAD + \angle CDA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$? Нет, это неверно.

Рассмотрим угол при вершине $E$ в получившейся фигуре. Он складывается из трёх углов: $\angle AEB + \angle AED + \angle DEC$. В исходном квадрате эти три угла вокруг точки $E$ не составляют $180^\circ$ или $360^\circ$. Однако, если мы посмотрим на угол при вершине $A$ (или $D$) в собранной фигуре, то он будет тупым. Например, угол при вершине $C'$ (бывшая вершина $C$) равен $\angle C$ из `\triangle DCE`, то есть $90^\circ$. Угол при вершине $B'$ (бывшая вершина $B$) равен $\angle B$ из `\triangle ABE`, то есть $90^\circ$. Угол при вершине $E$ (вверху) является тупым.

Докажем это. В прямоугольном $\triangle DCE$ катеты $DC=a$ и $CE = a/2$. Тангенс угла $\angle DEC$ равен $DC/CE = a / (a/2) = 2$. Сам угол $\angle DEC \approx 63.4^\circ$. Аналогично, $\angle AEB \approx 63.4^\circ$. В равнобедренном $\triangle ADE$ стороны $AE = DE = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = a\sqrt{5}/2$, а сторона $AD=a$. По теореме косинусов для $\triangle ADE$:$AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos(\angle AED)$$a^2 = \frac{5a^2}{4} + \frac{5a^2}{4} - 2 \frac{5a^2}{4} \cos(\angle AED)$$1 = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cos(\angle AED) \implies \cos(\angle AED) = \frac{3}{5}$.Отсюда $\angle AED \approx 53.1^\circ$.Собранный угол при вершине $E$ равен $\angle AEB + \angle DEC - \angle AED$ (потому что фигуры были перевёрнуты), что не дает нам тупого угла.

Правильная сборка приводит к треугольнику, один из углов которого равен $90^\circ + \angle ADE$. Так как $\angle ADE$ - острый угол, итоговый угол будет тупым. Например, если повернуть $\triangle DCE$ вокруг точки D на $90^\circ$ против часовой стрелки, а $\triangle ABE$ вокруг точки A на $90^\circ$ по часовой стрелке, то получится фигура, у которой угол при вершине D (совмещённой с A) будет $\angle ADE + 90^\circ$, что больше $90^\circ$. Эта фигура и будет искомым тупоугольным треугольником.

Ответ: Квадрат разрезается на три треугольника отрезками, соединяющими середину одной из сторон с противоположными вершинами. Из полученных трёх треугольников можно сложить тупоугольный треугольник, как показано на рисунках.

Условие 2010-2022.

285 Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).