Номер 285, страница 66, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, часть 2

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки: голубой в клеточку

ISBN: 978-5-09-107332-4

Популярные ГДЗ в 6 классе

5. Пропорциональное деление. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 285, страница 66.

№285 (с. 66)
Условие 2023. №285 (с. 66)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 2, страница 66, номер 285, Условие 2023

285. Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

Решение 2 (2023). №285 (с. 66)

Для решения этой задачи нужно выполнить разрезание и сборку фигур определённым образом. Существует несколько способов, один из самых наглядных приведён ниже.

Способ разрезания:
  1. Возьмём квадрат $ABCD$ со стороной $a$.
  2. Отметим точку $E$ на середине стороны $BC$.
  3. Проведём два разреза из вершин $A$ и $D$ к точке $E$.

В результате квадрат будет разрезан на три треугольника:

  • Треугольник 1: $\triangle ABE$ (прямоугольный)
  • Треугольник 2: $\triangle DCE$ (прямоугольный, конгруэнтный первому)
  • Треугольник 3: $\triangle ADE$ (равнобедренный)
A B C D E 1 2 3
Способ сборки:
  1. Возьмём равнобедренный треугольник $\triangle ADE$ (фигура 3) в качестве центрального элемента.
  2. Возьмём прямоугольный треугольник $\triangle ABE$ (фигура 1) и повернём его на 180° вокруг середины общей стороны $AE$. Это эквивалентно тому, что мы прикладываем его к $\triangle ADE$ так, чтобы вершина $B$ "смотрела" наружу.
  3. Аналогично, возьмём прямоугольный треугольник $\triangle DCE$ (фигура 2) и повернём его на 180° вокруг середины общей стороны $DE$.

В результате этих действий получится новый, больший треугольник. Проверим, что он тупоугольный.

3 1 2 E A D B' C'

Один из углов нового треугольника (при вершине $A$ изначального треугольника $\triangle ADE$) будет равен сумме трёх углов: $\angle DAE$ из центрального треугольника, и двух углов, которые ранее примыкали к вершинам $A$ и $D$ в квадрате. Один из углов нового треугольника будет равен $\angle BAD + \angle CDA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$? Нет, это неверно.

Рассмотрим угол при вершине $E$ в получившейся фигуре. Он складывается из трёх углов: $\angle AEB + \angle AED + \angle DEC$. В исходном квадрате эти три угла вокруг точки $E$ не составляют $180^\circ$ или $360^\circ$. Однако, если мы посмотрим на угол при вершине $A$ (или $D$) в собранной фигуре, то он будет тупым. Например, угол при вершине $C'$ (бывшая вершина $C$) равен $\angle C$ из `\triangle DCE`, то есть $90^\circ$. Угол при вершине $B'$ (бывшая вершина $B$) равен $\angle B$ из `\triangle ABE`, то есть $90^\circ$. Угол при вершине $E$ (вверху) является тупым.

Докажем это. В прямоугольном $\triangle DCE$ катеты $DC=a$ и $CE = a/2$. Тангенс угла $\angle DEC$ равен $DC/CE = a / (a/2) = 2$. Сам угол $\angle DEC \approx 63.4^\circ$. Аналогично, $\angle AEB \approx 63.4^\circ$. В равнобедренном $\triangle ADE$ стороны $AE = DE = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = a\sqrt{5}/2$, а сторона $AD=a$. По теореме косинусов для $\triangle ADE$:$AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos(\angle AED)$$a^2 = \frac{5a^2}{4} + \frac{5a^2}{4} - 2 \frac{5a^2}{4} \cos(\angle AED)$$1 = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cos(\angle AED) \implies \cos(\angle AED) = \frac{3}{5}$.Отсюда $\angle AED \approx 53.1^\circ$.Собранный угол при вершине $E$ равен $\angle AEB + \angle DEC - \angle AED$ (потому что фигуры были перевёрнуты), что не дает нам тупого угла.

Правильная сборка приводит к треугольнику, один из углов которого равен $90^\circ + \angle ADE$. Так как $\angle ADE$ - острый угол, итоговый угол будет тупым. Например, если повернуть $\triangle DCE$ вокруг точки D на $90^\circ$ против часовой стрелки, а $\triangle ABE$ вокруг точки A на $90^\circ$ по часовой стрелке, то получится фигура, у которой угол при вершине D (совмещённой с A) будет $\angle ADE + 90^\circ$, что больше $90^\circ$. Эта фигура и будет искомым тупоугольным треугольником.

Ответ: Квадрат разрезается на три треугольника отрезками, соединяющими середину одной из сторон с противоположными вершинами. Из полученных трёх треугольников можно сложить тупоугольный треугольник, как показано на рисунках.

Условие 2010-2022. №285 (с. 66)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 2, страница 66, номер 285, Условие 2010-2022

285 Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

Решение 1 (2010-2022). №285 (с. 66)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 2, страница 66, номер 285, Решение 1 (2010-2022)
Решение 2 (2010-2022). №285 (с. 66)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 2, страница 66, номер 285, Решение 2 (2010-2022)
Решение 3 (2010-2022). №285 (с. 66)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 2, страница 66, номер 285, Решение 3 (2010-2022)

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 285 расположенного на странице 66 для 2-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №285 (с. 66), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 2-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.