Страница 72, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

C 293* Сколько изображено на рисунке:

а) квадратов;

б) треугольников?

а) Чтобы посчитать все квадраты, будем делать это систематически по их размерам, начиная с самых маленьких.

• Самые маленькие квадраты находятся в правом верхнем углу. Их всего 4.
• Квадраты следующего размера состоят из четырех маленьких. Такой квадрат 1 (тот, в котором находятся 4 самых маленьких).
• Квадраты того же размера, что и в предыдущем пункте. Их 3 (расположены слева и снизу от группы из четырех самых маленьких квадратов).
• Квадрат, состоящий из четырех квадратов предыдущего размера (это вся правая верхняя четверть большого квадрата). Таких квадратов 1.
• Квадраты того же размера, что и в предыдущем пункте (четверти большого квадрата). Их 3 (левая верхняя, левая нижняя и правая нижняя четверти).
• Самый большой квадрат, который образует всю фигуру. Он 1.

Сложим все найденные квадраты: $4 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 = 13$.

Ответ: 13 квадратов.

б) Чтобы посчитать все треугольники, сгруппируем их по размеру и направлению.

• Самые маленькие треугольники (со стороной в одну единицу). Таких треугольников 12 (6 образуют "лучи" звезды и 6 образуют центральный шестиугольник).
• Треугольники среднего размера (со стороной в две единицы), состоящие из 4 маленьких треугольников. Таких треугольников 6 (3 направлены вершиной вверх и 3 — вершиной вниз).
• Самые большие треугольники (со стороной в три единицы), которые и образуют звезду. Таких треугольников 2 (один направлен вершиной вверх, другой — вниз).

Сложим все найденные треугольники: $12 + 6 + 2 = 20$.

Ответ: 20 треугольников.

C 293. Сколько изображено на рисунке:

а) квадратов;

б) треугольников?

294. Может ли число $a^2 + b^2 + c^2$ делиться на 5, если ни одно из натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ не делится на 5?

Для того чтобы определить, может ли число $a^2 + b^2 + c^2$ делиться на 5, рассмотрим, какие остатки могут давать числа $a, b, c$ и их квадраты при делении на 5.

По условию, ни одно из натуральных чисел $a, b$ и $c$ не делится на 5. Это означает, что при делении на 5 они могут давать в остатке 1, 2, 3 или 4. Остаток 0 исключен.

Теперь найдем, какие остатки при делении на 5 могут давать их квадраты ($a^2, b^2, c^2$):

• Если число при делении на 5 дает остаток 1, то его квадрат ($1^2=1$) дает остаток 1.
• Если число при делении на 5 дает остаток 2, то его квадрат ($2^2=4$) дает остаток 4.
• Если число при делении на 5 дает остаток 3, то его квадрат ($3^2=9$) при делении на 5 дает остаток 4.
• Если число при делении на 5 дает остаток 4, то его квадрат ($4^2=16$) при делении на 5 дает остаток 1.

Таким образом, квадрат любого натурального числа, не кратного 5, при делении на 5 дает в остатке либо 1, либо 4.

Следовательно, каждое из чисел $a^2, b^2, c^2$ при делении на 5 дает в остатке 1 или 4. Рассмотрим все возможные комбинации остатков для их суммы $a^2 + b^2 + c^2$:

1. Все три слагаемых дают остаток 1. Тогда остаток суммы: $1 + 1 + 1 = 3$.
2. Два слагаемых дают остаток 1, а одно — 4. Тогда остаток суммы: $1 + 1 + 4 = 6$. При делении 6 на 5 получаем остаток 1.
3. Одно слагаемое дает остаток 1, а два — 4. Тогда остаток суммы: $1 + 4 + 4 = 9$. При делении 9 на 5 получаем остаток 4.
4. Все три слагаемых дают остаток 4. Тогда остаток суммы: $4 + 4 + 4 = 12$. При делении 12 на 5 получаем остаток 2.

Как видно из всех возможных случаев, остаток от деления суммы $a^2 + b^2 + c^2$ на 5 может быть равен 1, 2, 3 или 4, но никогда не равен 0. Число делится на 5 только в том случае, если его остаток от деления на 5 равен 0. Следовательно, данная сумма не может делиться на 5.

Ответ: нет, не может.

294 Может ли число $a^2 + b^2 + c^2$ делиться на 5, если ни одно из натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ не делится на 5?

295 Некоторые числа можно связать с геометрическими фигурами. Рассмотри рисунки и продолжи последовательность треугольных и квадратных чисел. Найди сотые члены последовательностей этих чисел.

a) Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, ...

$1$

$1 + 2$

$1 + 2 + 3$

$1 + 2 + 3 + 4$

б) Квадратные числа: 1, 4, 9, 16, ...

$1$

$1 + 3$

$1 + 3 + 5$

$1 + 3 + 5 + 7$

*

а) Треугольные числа: Последовательность треугольных чисел задается как 1, 3, 6, 10, ... Из рисунка видно, что каждое следующее число получается добавлением натурального числа, на единицу большего, чем на предыдущем шаге. Таким образом, n-е треугольное число $T_n$ равно сумме первых n натуральных чисел.

• $T_1 = 1$
• $T_2 = 1 + 2 = 3$
• $T_3 = 1 + 2 + 3 = 6$
• $T_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Общая формула для n-го треугольного числа выводится из формулы суммы арифметической прогрессии: $T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ Продолжим последовательность: $T_5 = 10 + 5 = 15$ $T_6 = 15 + 6 = 21$ $T_7 = 21 + 7 = 28$ Таким образом, продолжение последовательности: 15, 21, 28, ... Чтобы найти сотый член последовательности, подставим $n=100$ в формулу: $T_{100} = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$
Ответ: продолжение последовательности — 15, 21, 28, ...; сотый член равен 5050.

б) Квадратные числа: Последовательность квадратных чисел задается как 1, 4, 9, 16, ... Из рисунка видно, что n-е квадратное число $S_n$ — это квадрат натурального числа n. Также его можно представить как сумму первых n нечетных чисел.

• $S_1 = 1 = 1^2$
• $S_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$
• $S_3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$
• $S_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$

Общая формула для n-го квадратного числа: $S_n = n^2$ Продолжим последовательность: $S_5 = 5^2 = 25$ $S_6 = 6^2 = 36$ $S_7 = 7^2 = 49$ Таким образом, продолжение последовательности: 25, 36, 49, ... Чтобы найти сотый член последовательности, подставим $n=100$ в формулу: $S_{100} = 100^2 = 10000$
Ответ: продолжение последовательности — 25, 36, 49, ...; сотый член равен 10000.

295 Некоторые числа можно связать с геометрическими фигурами. Рассмотрим рисунки и продолжи последовательности треугольных и квадратных чисел. Найди сотые члены последовательностей этих чисел.

а) Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, ...

$1$

$1 + 2$

$1 + 2 + 3$

$1 + 2 + 3 + 4$

б) Квадратные числа: 1, 4, 9, 16, ...

$1$

$1 + 3$

$1 + 3 + 5$

$1 + 3 + 5 + 7$

296 1) Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус, который прошёл весь путь со средней скоростью 50 км/ч. На обратном пути его средняя скорость составила только 40 км/ч. Чему равна средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново – Москва – Иваново? Сравни её со средним арифметическим скоростей по дороге «туда» и «обратно». (Указание: расстояние между Москвой и Ивановом обозначь $s$.)

2) Реши эту же задачу для «буквенных» скоростей $v_1$ и $v_2$. Полученное выражение называют средним гармоническим чисел $v_1$ и $v_2$. Придумай определение среднего гармонического трёх, четырёх и вообще любого количества чисел.

3) В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

1)

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё затраченное время.

Пусть расстояние от Иванова до Москвы равно $s$ км. Тогда весь путь микроавтобуса (туда и обратно) составляет $S_{общ} = s + s = 2s$ км.

Время, затраченное на дорогу из Иванова в Москву, равно $t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{50}$ ч. Время, затраченное на обратную дорогу, равно $t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{s}{40}$ ч.

Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{s}{50} + \frac{s}{40}$. Приведем дроби к общему знаменателю 200: $t_{общ} = \frac{4s}{200} + \frac{5s}{200} = \frac{9s}{200}$ ч.

Теперь можем найти среднюю скорость на всём маршруте: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2s}{\frac{9s}{200}} = \frac{2s \cdot 200}{9s} = \frac{400}{9}$ км/ч. В виде смешанной дроби это $44\frac{4}{9}$ км/ч, что приблизительно равно 44,44 км/ч.

Сравним полученное значение со средним арифметическим скоростей: Среднее арифметическое скоростей равно $\frac{50 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.

Сравнивая $44\frac{4}{9}$ км/ч и 45 км/ч, видим, что средняя скорость на всём маршруте меньше, чем среднее арифметическое скоростей.

Ответ: Средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте равна $44\frac{4}{9}$ км/ч. Это значение меньше среднего арифметического скоростей (45 км/ч).

2)

Решим задачу в общем виде для скоростей $v_1$ и $v_2$. Весь пройденный путь: $S_{общ} = 2s$. Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}$. Приведем к общему знаменателю: $t_{общ} = \frac{s \cdot v_2 + s \cdot v_1}{v_1v_2} = \frac{s(v_1 + v_2)}{v_1v_2}$.

Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2s}{\frac{s(v_1 + v_2)}{v_1v_2}} = \frac{2s \cdot v_1v_2}{s(v_1 + v_2)} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$. Это выражение и называется средним гармоническим чисел $v_1$ и $v_2$.

Определение среднего гармонического можно обобщить на любое количество чисел. Идея состоит в том, чтобы разделить количество чисел на сумму их обратных величин.

• Среднее гармоническое трёх чисел ($x_1, x_2, x_3$): это число, равное трём, делённое на сумму обратных чисел. $H_3 = \frac{3}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}}$
• Среднее гармоническое четырёх чисел ($x_1, x_2, x_3, x_4$): $H_4 = \frac{4}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4}}$
• Среднее гармоническое n чисел ($x_1, x_2, \dots, x_n$): $H_n = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$

Ответ: Выражение для средней скорости: $v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$. Среднее гармоническое n чисел — это частное от деления n на сумму чисел, обратных данным.

3)

Да, в этой задаче среднее гармоническое (44,44...) оказалось меньше среднего арифметического (45). Проверим, будет ли это неравенство верно для других положительных чисел.

Эксперимент 1: Возьмём числа 60 и 30. Среднее гармоническое: $H = \frac{2 \cdot 60 \cdot 30}{60 + 30} = \frac{3600}{90} = 40$. Среднее арифметическое: $A = \frac{60 + 30}{2} = \frac{90}{2} = 45$. Результат: $40 < 45$. Неравенство верно.

Эксперимент 2: Возьмём числа 10 и 90. Среднее гармоническое: $H = \frac{2 \cdot 10 \cdot 90}{10 + 90} = \frac{1800}{100} = 18$. Среднее арифметическое: $A = \frac{10 + 90}{2} = \frac{100}{2} = 50$. Результат: $18 < 50$. Неравенство верно.

Эксперимент 3: Возьмём одинаковые числа, например, 60 и 60. Среднее гармоническое: $H = \frac{2 \cdot 60 \cdot 60}{60 + 60} = \frac{7200}{120} = 60$. Среднее арифметическое: $A = \frac{60 + 60}{2} = \frac{120}{2} = 60$. Результат: $H = A$. В этом случае значения равны.

На основании этих экспериментов можно выдвинуть гипотезу, что среднее гармоническое двух положительных чисел всегда меньше или равно их среднему арифметическому ($H \le A$), причём равенство достигается только тогда, когда числа равны.

Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

Нет, на основании нескольких экспериментов нельзя сделать абсолютно строгий общий вывод. Эксперименты лишь подтверждают гипотезу для конкретных случаев, но не доказывают её для всех возможных чисел. В математике для общего вывода требуется строгое доказательство.

Почему? Потому что существует бесконечное множество пар чисел, и мы не можем проверить их все. Мог бы найтись такой случай (контрпример), который опровергнет нашу гипотезу. Для доказательства неравенства $H \le A$ нужно провести алгебраические преобразования. Доказательство сводится к тому, что неравенство $\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$ эквивалентно неравенству $0 \le (v_1-v_2)^2$, которое всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Ответ: Да, неравенство будет верно и для других чисел (среднее гармоническое не больше среднего арифметического). Однако на основании нескольких экспериментов нельзя сделать общий вывод, так как они не охватывают все возможные случаи. Для общего вывода требуется математическое доказательство.

296 1) Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус, который прошел весь путь со средней скоростью 50 км/ч. На обратном пути его средняя скорость составила только 40 км/ч. Чему равна средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново – Москва – Иваново? Сравни ее со средним арифметическим скоростей по дороге “туда” и “обратно”. (У к а з а н и е: расстояние между Москвой и Ивановом обозначь $s$.)

2) Реши эту же задачу для “буквенных” скоростей $v_1$ и $v_2$. Полученное выражение называют средним гармоническим чисел $v_1$ и $v_2$. Придумай определение среднего гармонического трех, четырех и вообще любого количества чисел.

3) В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

303 a) В чемпионатах по футболу места команд при равном числе набранных очков определяют по разности забитых и пропущенных мячей. Объясни, что означают записи.

Команда | Разница забитых и пропущенных мячей

«Спартак» | $ +2 $

«Сатурн» | $ 0 $

«Метеор» | $ -3 $

б) Вырази числом разницу забитых и пропущенных мячей у команд.

Команда | Число забитых мячей | Число пропущенных мячей | Разница забитых и пропущенных мячей

«Динамо» | 7 | 4 | ?

«Зенит» | 5 | 5 | ?

«Рубин» | 3 | 4 | ?

«Комета» | 2 | 6 | ?

в) Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд, если каждая из них сыграла ещё по одному матчу со счётом (первое число равно числу мячей, забитых данной командой, а второе – числу мячей, забитых её соперниками)?

Команда | Счёт

«Динамо» | 3 : 2

«Зенит» | 1 : 3

«Рубин» | 2 : 1

«Комета» | 4 : 2

а)

Разница забитых и пропущенных мячей — это результат, получаемый при вычитании количества пропущенных мячей из количества забитых. Эта величина показывает, насколько успешно команда играет в атаке по сравнению с обороной, и часто используется для определения места в турнирной таблице при равенстве очков.

• Запись «+2» у команды «Спартак» означает, что команда забила на 2 мяча больше, чем пропустила.
• Запись «0» у команды «Сатурн» означает, что количество забитых и пропущенных мячей у неё одинаково.
• Запись «-3» у команды «Метеор» означает, что команда забила на 3 мяча меньше, чем пропустила.

б)

Чтобы найти разницу забитых и пропущенных мячей, нужно из числа забитых мячей вычесть число пропущенных.

Для команды «Динамо» разница составляет $7 - 4 = 3$. Ответ: 3.

Для команды «Зенит» разница составляет $5 - 5 = 0$. Ответ: 0.

Для команды «Рубин» разница составляет $3 - 4 = -1$. Ответ: -1.

Для команды «Комета» разница составляет $2 - 6 = -4$. Ответ: -4.

в)

Чтобы найти новую разницу, нужно сначала рассчитать общее количество забитых и пропущенных мячей для каждой команды после сыгранного матча, а затем найти их разность.

Для команды «Динамо»: общее число забитых мячей стало $7 + 3 = 10$, а пропущенных – $4 + 2 = 6$. Новая разница: $10 - 6 = 4$. Ответ: 4.

Для команды «Зенит»: общее число забитых мячей стало $5 + 1 = 6$, а пропущенных – $5 + 3 = 8$. Новая разница: $6 - 8 = -2$. Ответ: -2.

Для команды «Рубин»: общее число забитых мячей стало $3 + 2 = 5$, а пропущенных – $4 + 1 = 5$. Новая разница: $5 - 5 = 0$. Ответ: 0.

Для команды «Комета»: общее число забитых мячей стало $2 + 4 = 6$, а пропущенных – $6 + 2 = 8$. Новая разница: $6 - 8 = -2$. Ответ: -2.

303 а) В чемпионатах по футболу места команд при равном числе набранных очков определяют по разности забитых и пропущенных мячей. Объясни, что означают эти записи:

б) Вырази числом разницу забитых и пропущенных мячей у команд:

в) Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд, если каждая из них сыграла еще по одному матчу со счетом (первое число равно числу мячей, забитых данной командой, а второе – число мячей, забитых ее соперниками):

304 1) Установи на модели термометра температуру: $+5^\circ C$; $-3^\circ C$; $0^\circ C$; $-10^\circ C$; $+14^\circ C$; $-15^\circ C$; $+2.3^\circ C$; $-8.2^\circ C$.

2) Какой станет температура, если она:

а) увеличится с $-5^\circ C$ на $8^\circ C$;

б) уменьшится с $2^\circ C$ на $6^\circ C$;

в) уменьшится с $-3^\circ C$ на $7^\circ C$;

г) увеличится с $-4^\circ C$ на $10^\circ C$?

1) Для того чтобы установить заданные значения температуры на модели термометра, необходимо разместить указатель следующим образом, учитывая, что положительные значения находятся справа от нуля (сторона А), а отрицательные – слева (сторона В):

+5 °C: Указатель должен быть направлен вправо от нуля, на середину расстояния между отметками, обозначающими +4 °C и +6 °C.

–3 °C: Указатель должен быть направлен влево от нуля, на середину расстояния между отметками –2 °C и –4 °C.

0 °C: Указатель должен быть направлен точно на отметку 0.

–10 °C: Указатель должен быть направлен влево от нуля, на большую отметку, соответствующую –10 °C.

+14 °C: Указатель должен быть направлен вправо от нуля, на отметку +14 °C (седьмое малое деление от нуля).

–15 °C: Указатель должен быть направлен влево от нуля, на середину расстояния между отметками –14 °C и –16 °C.

+2,3 °C: Указатель должен быть направлен вправо от нуля, немного дальше первого малого деления (+2 °C).

–8,2 °C: Указатель должен быть направлен влево от нуля, немного дальше четвертого малого деления (–8 °C).

2) Определим, какой станет температура в каждом из случаев:

а) Температура увеличится с $-5$ °C на $8$ °C. К начальной температуре прибавляем величину изменения:

$ -5 + 8 = 3 $

Ответ: $+3$ °C.

б) Температура уменьшится с $2$ °C на $6$ °C. Из начальной температуры вычитаем величину изменения:

$ 2 - 6 = -4 $

Ответ: $-4$ °C.

в) Температура уменьшится с $-3$ °C на $7$ °C. Из начальной температуры вычитаем величину изменения:

$ -3 - 7 = -10 $

Ответ: $-10$ °C.

г) Температура увеличится с $-4$ °C на $10$ °C. К начальной температуре прибавляем величину изменения:

$ -4 + 10 = 6 $

Ответ: $+6$ °C.

304 1) Установи на модели термометра температуру: $+5^\circ$; $-3^\circ$; $0^\circ$; $-10^\circ$; $+14^\circ$; $-15^\circ$; $+2.3^\circ$; $-8.2^\circ$.

2) Какой станет температура, если она:

а) увеличится с $-5^\circ$ на $8^\circ$;

б) уменьшится с $2^\circ$ на $6^\circ$;

в) уменьшится с $-3^\circ$ на $7^\circ$;

г) увеличится с $-4^\circ$ на $10^\circ$?

305 1) Определи по изображённой на рисунке шкале прибора значение величины, которое показывает стрелка в положении $A, B, C, D, E, F$.

2) Пользуясь циркулем и транспортиром, построй данную шкалу прибора в тетради ($R = 3 \text{ см}$). Отметь на шкале точки с указанными координатами: $M(+20)$, $N(-45)$, $P(+125)$, $R(-160)$, $S(-72)$, $T(+98)$.

1) Сначала определим цену одного малого деления шкалы. Промежуток от 0 до 30 разделен на 3 части, следовательно, цена одного малого деления составляет $30 / 3 = 10$ единиц. Правая часть шкалы показывает положительные значения (+), левая — отрицательные (–). Таким образом, значения в указанных точках будут следующими:

• A: находится на втором делении после +30, что соответствует значению $30 + 2 \cdot 10 = 50$.
• B: находится на первом делении после -30 (в сторону увеличения модуля), что соответствует значению $-(30 + 1 \cdot 10) = -40$.
• C: находится ровно на отметке +90.
• D: находится ровно на отметке -90.
• E: находится ровно на отметке +150.
• F: находится ровно на отметке -180.

Ответ: A(+50), B(-40), C(+90), D(-90), E(+150), F(-180).

2) Для построения шкалы и отметки точек необходимо выполнить следующие действия. С помощью циркуля начертите полуокружность радиусом $R=3$ см. Проведите вертикальный радиус из центра к верхней точке полуокружности — это будет отметка 0. Шкала прибора напрямую соответствует градусной мере: значение на шкале равно углу в градусах, отложенному от нулевой отметки. Положительные значения откладываются по часовой стрелке, а отрицательные — против часовой стрелки.
Используя транспортир, отметьте точки:

• Точка M(+20): отложите угол $20^\circ$ по часовой стрелке от 0.
• Точка N(–45): отложите угол $45^\circ$ против часовой стрелки от 0.
• Точка P(+125): отложите угол $125^\circ$ по часовой стрелке от 0.
• Точка R(–160): отложите угол $160^\circ$ против часовой стрелки от 0.
• Точка S(–72): отложите угол $72^\circ$ против часовой стрелки от 0.
• Точка T(+98): отложите угол $98^\circ$ по часовой стрелке от 0.

Ответ: Для отметки точек M, N, P, R, S, T на построенной шкале необходимо отложить от нулевой отметки углы $20^\circ$ (по часовой стрелке), $45^\circ$ (против часовой стрелки), $125^\circ$ (по часовой стрелке), $160^\circ$ (против часовой стрелки), $72^\circ$ (против часовой стрелки) и $98^\circ$ (по часовой стрелке) соответственно.

305 1) Определи по изображенной на рисунке шкале прибора значение величины, которое показывает стрелка в положении A, B, C, D, E, F.

2) Пользуясь циркулем и транспортиром, построй данную шкалу прибора в тетради ($R=3$ см). Отметь на шкале точки с указанными координатами: $M(+20)$, $N(-45)$, $P(+125)$, $R(-160)$, $S(-72)$, $T(+98)$.