Страница 77, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

317 Укажи примерно с точностью до десятых, сколько процентов составляет:

а) треть всех жителей города;

б) шестая часть учеников класса;

в) девятая часть денежного вклада;

г) двенадцатая часть семейного бюджета.

Чтобы перевести часть от целого, выраженную в виде дроби, в проценты, необходимо эту дробь умножить на $100\%$. Затем результат нужно округлить до десятых, то есть до одного знака после запятой.

а) треть всех жителей города;

Треть – это дробь $\frac{1}{3}$.

Переведем в проценты: $\frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33.333...\%$

Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых – 3, поэтому округляем в меньшую сторону.

Ответ: $33.3\%$

б) шестая часть учеников класса;

Шестая часть – это дробь $\frac{1}{6}$.

Переведем в проценты: $\frac{1}{6} \cdot 100\% = \frac{100}{6}\% = \frac{50}{3}\% = 16.666...\%$

Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых – 6, поэтому округляем в большую сторону.

Ответ: $16.7\%$

в) девятая часть денежного вклада;

Девятая часть – это дробь $\frac{1}{9}$.

Переведем в проценты: $\frac{1}{9} \cdot 100\% = \frac{100}{9}\% = 11.111...\%$

Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых – 1, поэтому округляем в меньшую сторону.

Ответ: $11.1\%$

г) двенадцатая часть семейного бюджета.

Двенадцатая часть – это дробь $\frac{1}{12}$.

Переведем в проценты: $\frac{1}{12} \cdot 100\% = \frac{100}{12}\% = \frac{25}{3}\% = 8.333...\%$

Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых – 3, поэтому округляем в меньшую сторону.

Ответ: $8.3\%$

317 Укажи примерно с точностью до десятых, сколько процентов составляет:

a) треть всех жителей города;

б) шестая часть учеников класса;

в) девятая часть денежного вклада;

г) двенадцатая часть семейного бюджета?

318 1) Один ученик сказал: «Одна треть всех учащихся школы – это $30\%$ всех учащихся школы». Прав ли он?

2) На совете акционеров говорилось: «Две трети планируемых инвестиций направлены в производство, значит, на социальную сферу остаётся $30\%$». Согласен ли ты с этим утверждением?

1) Чтобы проверить, прав ли ученик, нужно перевести дробь «одна треть» в проценты. Все учащиеся школы — это 100%.

Одна треть — это дробь $ \frac{1}{3} $. Чтобы перевести дробь в проценты, нужно умножить её на 100%.

$ \frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33 \frac{1}{3}\% $

Ученик утверждает, что одна треть — это 30%. Сравним это значение с нашим результатом:

$ 33 \frac{1}{3}\% \neq 30\% $

Так как $ 33 \frac{1}{3}\% $ не равно 30%, утверждение ученика неверно.

Ответ: ученик не прав.

2) Чтобы проверить это утверждение, нужно рассчитать, какая часть инвестиций остаётся на социальную сферу. Все планируемые инвестиции — это 100% (или 1 целая часть).

На производство направлены две трети ($ \frac{2}{3} $) инвестиций. Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого (1) вычесть эту долю:

$ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Таким образом, на социальную сферу остается одна треть инвестиций. Теперь переведем эту долю в проценты, умножив на 100%:

$ \frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33 \frac{1}{3}\% $

В утверждении говорится, что на социальную сферу остаётся 30%. Сравним это с нашим расчетом:

$ 33 \frac{1}{3}\% \neq 30\% $

Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: я не согласен с этим утверждением.

318 1) Один ученик сказал: “$1/3$ всех учащихся школы – это $30\%$ всех учащихся школы”. Прав ли он?

2) На совете акционеров говорилось: “$2/3$ планируемых инвестиций направлены в производство, значит, на социальную сферу остается $30\%$”. Согласен ли ты с этим утверждением?

319 Расшифруй название европейского государства, подобрав указанные доли величины. Вырази в процентах, какую примерно часть площади Москвы оно составляет и какую часть населения Москвы составляет его население. (Необходимые числовые данные узнай в энциклопедии.)

1 четверть 80 % P

2 примерно треть 20 % O

3 половина 25 % A

4 пятая часть 50 % Д

5 примерно две трети 75 % A

6 четыре пятых 66 % P

7 три четверти 33 % H

Расшифровка названия государства

Для того чтобы расшифровать название государства, необходимо сопоставить доли величин с их процентным выражением и соответствующими буквами.

1. четверть — это одна часть из четырех, или $1/4$. В процентах: $1/4 \times 100\% = 25\%$. Этой величине соответствует буква А.
2. примерно треть — это одна часть из трех, или $1/3$. В процентах: $1/3 \times 100\% \approx 33.33\%$. Ближайшее значение — $33\%$, что соответствует букве Н.
3. половина — это одна часть из двух, или $1/2$. В процентах: $1/2 \times 100\% = 50\%$. Этой величине соответствует буква Д.
4. пятая часть — это одна часть из пяти, или $1/5$. В процентах: $1/5 \times 100\% = 20\%$. Этой величине соответствует буква О.
5. примерно две трети — это две части из трех, или $2/3$. В процентах: $2/3 \times 100\% \approx 66.67\%$. Ближайшее значение — $66\%$, что соответствует букве Р.
6. четыре пятых — это четыре части из пяти, или $4/5$. В процентах: $4/5 \times 100\% = 80\%$. Этой величине соответствует буква Р.
7. три четверти — это три части из четырех, или $3/4$. В процентах: $3/4 \times 100\% = 75\%$. Этой величине соответствует буква А.

Составив слово из букв в порядке их номеров, получаем: А-Н-Д-О-Р-Р-А.

Ответ: Зашифрованное государство — Андорра.

Сравнение с Москвой

Согласно заданию, найдем необходимые данные в энциклопедических источниках (данные на 2023-2024 гг.).
Андорра:
Площадь: примерно $468$ км².
Население: примерно $80 000$ человек.
Москва (в границах города федерального значения):
Площадь: примерно $2561$ км².
Население: примерно $13 100 000$ человек.

Теперь выразим в процентах, какую часть площади Москвы составляет площадь Андорры:
$(Площадь \ Андорры / Площадь \ Москвы) \times 100\% = (468 \text{ км}² / 2561 \text{ км}²) \times 100\% \approx 18.3\%$

Далее выразим в процентах, какую часть населения Москвы составляет население Андорры:
$(Население \ Андорры / Население \ Москвы) \times 100\% = (80 000 \text{ чел.} / 13 100 000 \text{ чел.}) \times 100\% \approx 0.61\%$

Ответ: Площадь Андорры составляет примерно 18.3% от площади Москвы, а население Андорры составляет примерно 0.61% от населения Москвы.

319 Расшифруй название европейского государства, подобрав указанные доли величины. Вырази в процентах, какую примерно часть площади Москвы оно составляет и какую часть населения Москвы составляет его население. (Необходимые числовые данные узнай в энциклопедии.)

1 четверть 80% P

2 примерно треть 20% O

3 половина 25% A

4 пятая часть 50% Д

5 примерно две трети 75% A

6 четыре пятых 66% P

7 три четверти 33% H

320. На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) увеличилась в 1,5 раза;

б) уменьшилась в 1,5 раза;

в) увеличилась в 5 раз;

г) уменьшилась в 5 раз;

д) увеличилась в 10 раз;

е) уменьшилась в 10 раз?

Примем первоначальное значение величины за $x$, что соответствует 100%. Чтобы найти, на сколько процентов изменилась величина, мы можем вычислить новое значение величины в процентах от исходного и найти разницу с первоначальными 100%.

а) увеличилась в 1,5 раза;

Если величина увеличилась в 1,5 раза, её новое значение стало $1,5x$.
В процентах новое значение составляет $1,5 \times 100\% = 150\%$ от первоначального.
Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась величина, вычтем из нового процентного значения первоначальное:
$150\% - 100\% = 50\%$.
Ответ: увеличилась на 50%.

б) уменьшилась в 1,5 раза;

Если величина уменьшилась в 1,5 раза, её новое значение стало $\frac{x}{1,5} = \frac{x}{3/2} = \frac{2}{3}x$.
В процентах новое значение составляет $\frac{2}{3} \times 100\% = 66 \frac{2}{3}\%$.
Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась величина, вычтем из первоначального процентного значения новое:
$100\% - 66 \frac{2}{3}\% = 33 \frac{1}{3}\%$.
Ответ: уменьшилась на $33 \frac{1}{3}\%$.

в) увеличилась в 5 раз;

Если величина увеличилась в 5 раз, её новое значение стало $5x$.
В процентах новое значение составляет $5 \times 100\% = 500\%$.
Изменение в процентах:
$500\% - 100\% = 400\%$.
Ответ: увеличилась на 400%.

г) уменьшилась в 5 раз;

Если величина уменьшилась в 5 раз, её новое значение стало $\frac{x}{5} = 0,2x$.
В процентах новое значение составляет $0,2 \times 100\% = 20\%$.
Изменение в процентах:
$100\% - 20\% = 80\%$.
Ответ: уменьшилась на 80%.

д) увеличилась в 10 раз;

Если величина увеличилась в 10 раз, её новое значение стало $10x$.
В процентах новое значение составляет $10 \times 100\% = 1000\%$.
Изменение в процентах:
$1000\% - 100\% = 900\%$.
Ответ: увеличилась на 900%.

е) уменьшилась в 10 раз?

Если величина уменьшилась в 10 раз, её новое значение стало $\frac{x}{10} = 0,1x$.
В процентах новое значение составляет $0,1 \times 100\% = 10\%$.
Изменение в процентах:
$100\% - 10\% = 90\%$.
Ответ: уменьшилась на 90%.

320. На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) увеличилась в 1,5 раза;

б) уменьшилась в 1,5 раза;

в) увеличилась в 5 раз;

г) уменьшилась в 5 раз;

д) увеличилась в 10 раз;

е) уменьшилась в 10 раз?

321 Найди группы равносильных утверждений и составь для каждой группы буквенный код:

A расходы уменьшились наполовину;

B расходы уменьшились в 1,5 раза;

C расходы уменьшились на треть;

D расходы увеличились наполовину;

E расходы увеличились на 100 %;

F расходы увеличились в 1,5 раза;

K расходы уменьшились вдвое;

L расходы уменьшились на 50 %;

M расходы уменьшились на $33 \frac{1}{3}\%$;

N расходы увеличились вдвое;

O расходы увеличились на 50 %;

P расходы удвоились.

Для решения задачи проанализируем каждое утверждение, приняв исходную величину расходов за $x$. Затем сгруппируем утверждения, которые приводят к одному и тому же математическому результату.

AKL
Утверждение А "расходы уменьшились наполовину" означает, что новая величина составляет $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$. Утверждение K "расходы уменьшились вдвое" означает деление на 2, то есть новая величина равна $x / 2 = \frac{1}{2}x$. Утверждение L "расходы уменьшились на 50 %" означает, что от исходной величины отняли ее половину: $x - 0.5x = 0.5x = \frac{1}{2}x$. Все три утверждения эквивалентны.
Ответ: AKL.

BCM
Утверждение B "расходы уменьшились в 1,5 раза" означает деление на 1,5: $x / 1.5 = x / \frac{3}{2} = \frac{2}{3}x$. Утверждение C "расходы уменьшились на треть" означает, что новая величина составляет $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$. Утверждение M "расходы уменьшились на $33\frac{1}{3}$ %" эквивалентно уменьшению на треть, так как $33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\% = \frac{100}{3 \cdot 100} = \frac{1}{3}$. Таким образом, новые расходы равны $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$. Все три утверждения эквивалентны.
Ответ: BCM.

DFO
Утверждение D "расходы увеличились наполовину" означает, что к исходной величине добавили ее половину: $x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x = 1.5x$. Утверждение F "расходы увеличились в 1,5 раза" означает умножение на 1,5: $1.5x$. Утверждение O "расходы увеличились на 50 %" означает прибавление половины от исходной величины: $x + 0.5x = 1.5x$. Все три утверждения эквивалентны.
Ответ: DFO.

ENP
Утверждение E "расходы увеличились на 100 %" означает, что к исходной величине прибавили еще столько же: $x + 100\% \cdot x = x + 1x = 2x$. Утверждение N "расходы увеличились вдвое" и утверждение P "расходы удвоились" оба означают умножение на 2, то есть новые расходы равны $2x$. Все три утверждения эквивалентны.
Ответ: ENP.

321 Найди группы равносильных утверждений и составь для каждой группы буквенный код:

A расходы уменьшились наполовину;

B расходы уменьшились в 1,5 раза;

C расходы уменьшились на треть;

D расходы увеличились наполовину;

E расходы увеличились на 100%;

F расходы увеличились в 1,5 раза;

K расходы уменьшились вдвое;

L расходы уменьшились на 50%;

M расходы уменьшились на $33\frac{1}{3}\%$;

N расходы увеличились вдвое;

O расходы увеличились на 50%;

P расходы удвоились.

322 1) К одной части сахара прибавили 4 части воды. Чему равна концентрация полученного раствора?

2) Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг.)

1)

Концентрация раствора определяется как отношение массы растворенного вещества (сахара) к общей массе раствора (сахар + вода), выраженное в процентах.

Пусть масса одной части вещества равна $x$.

Тогда масса сахара равна $1 \cdot x = x$.

Масса воды равна $4 \cdot x = 4x$.

Общая масса полученного раствора равна сумме масс сахара и воды: $m_{\text{раствора}} = m_{\text{сахара}} + m_{\text{воды}} = x + 4x = 5x$.

Концентрация $C$ вычисляется по формуле:

$C = \frac{m_{\text{сахара}}}{m_{\text{раствора}}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$C = \frac{x}{5x} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: 20%.

2)

Для нахождения концентрации раствора необходимо найти отношение массы растворенного вещества (соли) к общей массе раствора.

Масса соли дана в условии: $m_{\text{соли}} = 1$ кг.

Масса воды: в условии сказано, что масса 1 л воды составляет 1 кг. Следовательно, масса 9 л воды будет равна $m_{\text{воды}} = 9 \text{ л} \times 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} = 9$ кг.

Общая масса раствора равна сумме масс соли и воды: $m_{\text{раствора}} = m_{\text{соли}} + m_{\text{воды}} = 1 \text{ кг} + 9 \text{ кг} = 10$ кг.

Теперь вычислим концентрацию $C$:

$C = \frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}} \times 100\%$

$C = \frac{1 \text{ кг}}{10 \text{ кг}} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

322 1) К одной части сахара прибавили 4 части воды. Чему равна концентрация полученного раствора?

2) Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг.)

D 330 Запиши с помощью знаков «+» и «–» высоты гор и глубины морей:

а) высота пика Победы +7439 м;

б) высота горы Эльбрус +5642 м;

в) наибольшая глубина Каспийского моря -1025 м;

г) наибольшая глубина Тихого океана -10 994 м $ \pm $ 40 м (Марианский желоб).

Пользуясь справочником или энциклопедией, приведи ещё 4 примера обозначения величин с помощью знаков «+» и «–».

а) Высоты, которые находятся выше уровня моря (принятого за нулевую отметку), записываются со знаком «+». Таким образом, высота пика Победы записывается как $+7439$ м. Ответ: $+7439$ м.

б) Аналогично, высота горы Эльбрус над уровнем моря записывается со знаком «+». Таким образом, высота горы Эльбрус равна $+5642$ м. Ответ: $+5642$ м.

в) Глубины, которые находятся ниже уровня моря, записываются со знаком «-». Таким образом, наибольшая глубина Каспийского моря записывается как $-1025$ м. Ответ: $-1025$ м.

г) Глубина Тихого океана также записывается со знаком «-». Знак $ \pm $ указывает на погрешность измерения. Таким образом, наибольшая глубина Тихого океана (Марианский желоб) записывается как $-10994 \pm 40$ м. Ответ: $-10994 \pm 40$ м.

Примеры обозначения величин с помощью знаков «+» и «-»:

1. Температура воздуха: температура выше $0^\circ\text{C}$ записывается со знаком «+» (например, летняя жара $+30^\circ\text{C}$), а температура ниже нуля — со знаком «-» (например, зимний мороз $-25^\circ\text{C}$).

2. Финансовый баланс: прибыль или доход обозначаются со знаком «+» (например, прибыль предприятия $+1\ 000\ 000$ рублей), а убыток или расход — со знаком «-» (например, убыток $-200\ 000$ рублей).

3. Изменение уровня воды в реке: если уровень воды поднялся на 15 см, изменение записывают как $+15$ см; если уровень упал на 20 см, то изменение записывают как $-20$ см.

4. Историческая хронология: даты нашей эры (н.э.) можно условно считать положительными, а даты до нашей эры (до н.э.) — отрицательными. Например, 476 год н.э. можно записать как $+476$ год, а 753 год до н.э. — как $-753$ год.

D 330 Запиши с помощью знаков “+” и “–” высоты гор и глубины морей:

a) высота пика Победы $7439$ м;

б) высота горы Эльбрус $5642$ м;

в) наибольшая глубина Каспийского моря $1025$ м;

г) наибольшая глубина Тихого океана $10920$ м (Марианский желоб).

Пользуясь справочником или энциклопедией, приведи еще 4 примера обозначения величин с помощью знаков “+” и “–”.

331 Начерти координатную прямую и отметь на ней данные точки. Выпиши точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта. Что можно сказать о координатах этих точек?

1) A($-5$), B($7$), C($-2$), D($-7$), E($1$), F($5$), G($2$), H($-1$) (единичный отрезок – 2 клетки);

2) A($2 \frac{1}{3}$), B($1.5$), C($-3$), D($-2 \frac{1}{3}$), E($-\frac{2}{3}$), F($-1.5$), G($\frac{2}{3}$), H($3$) (единичный отрезок – 3 клетки).

1)

Начертим координатную прямую. Начало отсчета — точка О(0). Единичный отрезок равен 2 клеткам. Отметим на прямой заданные точки:
• Точка A(-5) расположена слева от начала отсчета на расстоянии 5 единичных отрезков (5 * 2 = 10 клеток).
• Точка B(7) расположена справа от начала отсчета на расстоянии 7 единичных отрезков (7 * 2 = 14 клеток).
• Точка C(-2) расположена слева от начала отсчета на расстоянии 2 единичных отрезков (2 * 2 = 4 клетки).
• Точка D(-7) расположена слева от начала отсчета на расстоянии 7 единичных отрезков (7 * 2 = 14 клеток).
• Точка E(1) расположена справа от начала отсчета на расстоянии 1 единичного отрезка (1 * 2 = 2 клетки).
• Точка F(5) расположена справа от начала отсчета на расстоянии 5 единичных отрезков (5 * 2 = 10 клеток).
• Точка G(2) расположена справа от начала отсчета на расстоянии 2 единичных отрезков (2 * 2 = 4 клетки).
• Точка H(-1) расположена слева от начала отсчета на расстоянии 1 единичного отрезка (1 * 2 = 2 клетки).

Точки находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, если модули их координат равны. Найдем такие пары точек:
• $|-5| = 5$ и $|5| = 5$. Следовательно, точки A(-5) и F(5) находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.
• $|7| = 7$ и $|-7| = 7$. Следовательно, точки B(7) и D(-7) находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.
• $|-2| = 2$ и $|2| = 2$. Следовательно, точки C(-2) и G(2) находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.
• $|-1| = 1$ и $|1| = 1$. Следовательно, точки H(-1) и E(1) находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.

Координаты точек, равноудаленных от начала отсчета, являются противоположными числами. Это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки (например, $a$ и $-a$).

Ответ: Пары точек, находящиеся на одинаковом расстоянии от начала отсчета: A и F; B и D; C и G; E и H. Координаты этих точек являются противоположными числами.

2)

Начертим координатную прямую. Начало отсчета — точка О(0). Единичный отрезок равен 3 клеткам. Отметим на прямой заданные точки:
• Точка A($2\frac{1}{3}$) расположена справа от начала отсчета на расстоянии $2\frac{1}{3}$ единичных отрезка ($2\frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$ клеток).
• Точка B(1,5) расположена справа от начала отсчета на расстоянии 1,5 единичных отрезка (1,5 * 3 = 4,5 клетки).
• Точка C(-3) расположена слева от начала отсчета на расстоянии 3 единичных отрезков (3 * 3 = 9 клеток).
• Точка D($-2\frac{1}{3}$) расположена слева от начала отсчета на расстоянии $2\frac{1}{3}$ единичных отрезка (7 клеток).
• Точка E($-\frac{2}{3}$) расположена слева от начала отсчета на расстоянии $\frac{2}{3}$ единичного отрезка ($\frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ клетки).
• Точка F(-1,5) расположена слева от начала отсчета на расстоянии 1,5 единичных отрезка (4,5 клетки).
• Точка G($\frac{2}{3}$) расположена справа от начала отсчета на расстоянии $\frac{2}{3}$ единичного отрезка (2 клетки).
• Точка H(3) расположена справа от начала отсчета на расстоянии 3 единичных отрезков (9 клеток).

Найдем пары точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, сравнив модули их координат:
• $|2\frac{1}{3}| = 2\frac{1}{3}$ и $|-2\frac{1}{3}| = 2\frac{1}{3}$. Точки A($2\frac{1}{3}$) и D($-2\frac{1}{3}$) равноудалены от начала отсчета.
• $|1,5| = 1,5$ и $|-1,5| = 1,5$. Точки B(1,5) и F(-1,5) равноудалены от начала отсчета.
• $|-3| = 3$ и $|3| = 3$. Точки C(-3) и H(3) равноудалены от начала отсчета.
• $|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$ и $|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$. Точки E($-\frac{2}{3}$) и G($\frac{2}{3}$) равноудалены от начала отсчета.

Координаты точек, находящихся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, являются противоположными числами, то есть они отличаются только знаком.

Ответ: Пары точек, находящиеся на одинаковом расстоянии от начала отсчета: A и D; B и F; C и H; E и G. Координаты этих точек являются противоположными числами.

331 Начерти координатную прямую и отметь на ней данные точки. Выпиши точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета. Что можно сказать о координатах этих точек?

1) A($-5$), B($7$), C($-2$), D($-7$), E($1$), F($5$), G($2$), H($-1$) (единичный отрезок – 2 клетки);

2) A($2 \frac{1}{3}$), B($1.5$), C($-3$), D($-2 \frac{1}{3}$), E($-\frac{2}{3}$), F($-1.5$), G($\frac{2}{3}$), H($3$) (единичный отрезок – 3 клетки).

332 Построй координатную прямую и отметь на ней точки $M(-5)$, $\text{Л}(2)$, $\text{У}(0)$, $\text{О}(-3)$, $\text{Ь}(4)$, $\text{Д}(-1)$. Если задание выполнено верно, то буквы образуют математический термин. Найди на с. 79, что он означает, и выпиши его определение в тетрадь.

Построим координатную прямую и отметим на ней точки.

Для выполнения задания начертим координатную прямую. Выберем начало отсчёта (точку с координатой 0), единичный отрезок и положительное направление. Отметим на прямой точки с заданными координатами: M(-5), Л(2), У(0), О(-3), Ь(4), Д(-1).

Ответ: координатная прямая с отмеченными точками построена.

Найдем математический термин.

Если расположить отмеченные точки в порядке возрастания их координат (слева направо), получим следующую последовательность: M(-5), О(-3), Д(-1), У(0), Л(2), Ь(4).

Прочитав буквы, соответствующие точкам, в этом порядке, получаем слово "МОДУЛЬ".

Ответ: МОДУЛЬ.

Выпишем определение термина.

В задании сказано найти определение на с. 79. Так как учебник недоступен, приведем стандартное математическое определение этого термина.

Модулем числа $a$ (или абсолютной величиной) называется расстояние от начала отсчета (точки с координатой 0) до точки на координатной прямой, соответствующей этому числу. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

Модуль любого числа — это неотрицательная величина.

• Модуль положительного числа равен самому этому числу, например, $|12| = 12$.

• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, например, $|-8| = 8$.

• Модуль нуля равен нулю, $|0| = 0$.

Ответ: Модулем числа $a$ называют расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой.

332 Построй координатную прямую и отметь на ней точки $M(-5)$, $Л(2)$, $У(0)$, $О(-3)$, $Б(4)$, $Д(-1)$. Если задание выполнено верно, то буквы образуют математический термин. Найди на стр. 79, что он означает, и выпиши его определение в тетрадь.

333 Расстояние между двумя пристанями на реке 32,4 км. За сколько времени катер проплывёт этот путь и вернётся обратно, если собственная скорость катера 18 км/ч, а скорость течения реки на 80 % меньше скорости катера?

1. Найдём скорость течения реки.

По условию, скорость течения реки на 80% меньше собственной скорости катера. Это означает, что скорость течения составляет $100\% - 80\% = 20\%$ от скорости катера. Рассчитаем её:

$v_{течения} = 18 \text{ км/ч} \cdot \frac{20}{100} = 18 \cdot 0,2 = 3,6 \text{ км/ч}.$

2. Найдём скорость катера по течению и против течения.

Скорость по течению – это сумма собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{по\_течению} = 18 + 3,6 = 21,6 \text{ км/ч}.$

Скорость против течения – это разность собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{против\_течения} = 18 - 3,6 = 14,4 \text{ км/ч}.$

3. Найдём время в пути в каждом направлении.

Расстояние между пристанями $S = 32,4$ км. Время ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время движения по течению:

$t_{по\_течению} = \frac{32,4}{21,6} = 1,5 \text{ ч}.$

Время движения против течения (на обратном пути):

$t_{против\_течения} = \frac{32,4}{14,4} = 2,25 \text{ ч}.$

4. Найдём общее время.

Чтобы найти общее время, которое катер затратит на путь туда и обратно, сложим время движения в обе стороны:

$t_{общее} = t_{по\_течению} + t_{против\_течения} = 1,5 + 2,25 = 3,75 \text{ ч}.$

Ответ: 3,75 ч.

333 Расстояние между двумя пристанями на реке 32,4 км. За сколько времени катер проплывет этот путь и вернется обратно, если собственная скорость катера 18 км/ч, а скорость течения реки на 80% меньше скорости катера?

334 Найди значения выражений:

1) $1,4a - b$, если $a = 1\frac{3}{7}$, $b = 1,95$;

2) $3,2cd^2n$, если $c = 2\frac{7}{9}$, $d = 0,6$, $n = 1,25$;

3) $\frac{14}{15}x + \frac{5}{6}x - \frac{3}{10}x$, если $x = 1\frac{7}{11}$.

1)

Для нахождения значения выражения $1,4a - b$ при $a = 1\frac{3}{7}$ и $b = 1,95$, представим все числа в виде обыкновенных дробей.
$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$
$a = 1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
$b = 1,95 = 1\frac{95}{100} = 1\frac{19}{20} = \frac{39}{20}$
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$1,4a - b = \frac{7}{5} \cdot \frac{10}{7} - \frac{39}{20} = \frac{7 \cdot 10}{5 \cdot 7} - \frac{39}{20} = 2 - \frac{39}{20} = \frac{40}{20} - \frac{39}{20} = \frac{1}{20} = 0,05$.
Ответ: $0,05$

2)

Найдем значение выражения $3,2cd^2n$, если $c = 2\frac{7}{9}$, $d = 0,6$, $n = 1,25$. Для удобства вычислений преобразуем все числа в обыкновенные дроби:
$3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$
$c = 2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$
$d = 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$n = 1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
Подставим значения в выражение и вычислим:
$3,2cd^2n = \frac{16}{5} \cdot \frac{25}{9} \cdot (\frac{3}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{16}{5} \cdot \frac{25}{9} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{4}$.
Сократим дроби:
$\frac{16 \cdot 25 \cdot 9 \cdot 5}{5 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 4} = \frac{16}{4} = 4$.
Ответ: $4$

3)

Сначала упростим выражение $\frac{14}{15}x + \frac{5}{6}x - \frac{3}{10}x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x \cdot (\frac{14}{15} + \frac{5}{6} - \frac{3}{10})$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15, 6 и 10 - это 30.
$\frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{28}{30} + \frac{25}{30} - \frac{9}{30} = \frac{28 + 25 - 9}{30} = \frac{44}{30} = \frac{22}{15}$.
Таким образом, исходное выражение равно $\frac{22}{15}x$.
Теперь подставим значение $x = 1\frac{7}{11}$. Сначала переведем его в неправильную дробь: $x = 1\frac{7}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 7}{11} = \frac{18}{11}$.
Вычислим итоговое значение, подставив значение $x$:
$\frac{22}{15} \cdot \frac{18}{11} = \frac{22 \cdot 18}{15 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 18}{15 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 18}{15} = \frac{36}{15}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{36 \div 3}{15 \div 3} = \frac{12}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную: $\frac{12}{5} = 2,4$.
Ответ: $2,4$

334 Найди значения выражений:

1) $1,4a - b$, если $a = 1\frac{3}{7}$, $b=1,95$;

2) $3,2cd^2n$, если $c = 2\frac{7}{9}$, $d = 0,6$, $n = 1,25$;

3) $\frac{14}{15}x + \frac{5}{6}x - \frac{3}{10}x$, если $x = 1\frac{7}{11}$.

335 Предприятие выпустило 50 000 акций. 30 % всех акций были распределены между работниками предприятия, а остальные проданы трём фирмам – «Альфа», «Бета» и «Гамма» – в отношении 1 : 2 : 4. На сколько акций больше купила фирма «Гамма», чем «Альфа»?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество акций, распределенных между работниками предприятия.

По условию, 30% от общего числа акций (50 000) были распределены между работниками. Чтобы найти это количество, нужно общее число акций умножить на долю, выраженную в процентах:

$50000 \cdot \frac{30}{100} = 50000 \cdot 0.3 = 15000$ акций.

Ответ: 15 000 акций.

2. Найдем количество акций, проданных трем фирмам.

Остальные акции были проданы. Для этого вычтем из общего количества акций те, что получили работники:

$50000 - 15000 = 35000$ акций.

Ответ: 35 000 акций.

3. Рассчитаем количество акций для фирм «Альфа» и «Гамма».

Оставшиеся 35 000 акций были проданы фирмам «Альфа», «Бета» и «Гамма» в отношении 1 : 2 : 4. Это означает, что все 35 000 акций можно разделить на равные части. Сначала найдем общее количество частей в отношении:

$1 + 2 + 4 = 7$ частей.

Теперь найдем, сколько акций приходится на одну часть:

$\frac{35000}{7} = 5000$ акций.

Исходя из этого, рассчитаем количество акций для фирм «Альфа» и «Гамма»:

Фирма «Альфа» (1 часть): $1 \cdot 5000 = 5000$ акций.

Фирма «Гамма» (4 части): $4 \cdot 5000 = 20000$ акций.

4. Найдем, на сколько акций больше купила фирма «Гамма», чем «Альфа».

Для этого вычтем количество акций фирмы «Альфа» из количества акций фирмы «Гамма»:

$20000 - 5000 = 15000$ акций.

Ответ: на 15 000 акций.

335 Предприятие выпустило 50 000 акций. 30% всех акций были распределены между работниками предприятия, а остальные проданы трем фирмам – “Альфа”, “Бета” и “Гамма” – в отношении $1 : 2 : 4$. На сколько акций больше купила фирма “Гамма”, чем “Альфа”?

336 Сократи дроби:

1) $\frac{448}{720}$; 2) $\frac{2 \cdot 3 \cdot 5^2}{3 \cdot 5 \cdot 11}$; 3) $\frac{49 \cdot 15 + 49 \cdot 3}{49 \cdot 15}$; 4) $\frac{ab^2}{abc}$ $(a, b, c \ne 0)$.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{448}{720}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для этого разложим оба числа на простые множители.

Разложение числителя на простые множители:

$448 = 2 \cdot 224 = 2^2 \cdot 112 = 2^3 \cdot 56 = 2^4 \cdot 28 = 2^5 \cdot 14 = 2^6 \cdot 7$.

Разложение знаменателя на простые множители:

$720 = 72 \cdot 10 = (8 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Теперь запишем дробь, используя полученные разложения, и сократим общие множители:

$\frac{448}{720} = \frac{2^6 \cdot 7}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5}$.

Общим множителем является $2^4$. Сокращаем дробь на $2^4$:

$\frac{2^{6-4} \cdot 7}{3^2 \cdot 5} = \frac{2^2 \cdot 7}{9 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 7}{45} = \frac{28}{45}$.

Ответ: $\frac{28}{45}$.

2)

Дана дробь $\frac{2 \cdot 3 \cdot 5^2}{3 \cdot 5 \cdot 11}$. В этом выражении числитель и знаменатель уже представлены в виде произведения простых множителей. Нам нужно найти и сократить одинаковые множители.

Представим $5^2$ как $5 \cdot 5$:

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 11}$.

Общие множители в числителе и знаменателе — это 3 и 5. Сокращаем их:

$\frac{2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 5}{\cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 11} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$.

Ответ: $\frac{10}{11}$.

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{49 \cdot 15 + 49 \cdot 3}{49 \cdot 15}$, сперва упростим выражение в числителе. Можно заметить, что 49 является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем 49 за скобки, используя распределительный закон:

$49 \cdot 15 + 49 \cdot 3 = 49 \cdot (15 + 3) = 49 \cdot 18$.

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{49 \cdot 18}{49 \cdot 15}$.

Теперь мы можем сократить общий множитель 49:

$\frac{\cancel{49} \cdot 18}{\cancel{49} \cdot 15} = \frac{18}{15}$.

Дробь $\frac{18}{15}$ можно сократить дальше, так как и числитель, и знаменатель делятся на 3:

$\frac{18 \div 3}{15 \div 3} = \frac{6}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

4)

Дана алгебраическая дробь $\frac{ab^2}{abc}$ с условием, что $a, b, c \neq 0$.

Для сокращения дроби распишем степени переменных в числителе и знаменателе:

$ab^2 = a \cdot b \cdot b$

$abc = a \cdot b \cdot c$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{a \cdot b \cdot b}{a \cdot b \cdot c}$.

Теперь сократим одинаковые множители (переменные) в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $a$ и $b$.

$\frac{\cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b}{\cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot c} = \frac{b}{c}$.

Ответ: $\frac{b}{c}$.

336 Сократи дроби:

1) $ \frac{448}{720} $;

2) $ \frac{2 \cdot 3 \cdot 5^2}{3 \cdot 5 \cdot 11} $;

3) $ \frac{49 \cdot 15 + 49 \cdot 3}{49 \cdot 15} $;

4) $ \frac{ab^2}{abc} $ (a, b, c $ \neq $ 0).

337 Составь выражение и найди его значение при $s = 45,6$; $b = 1,6$.

Теплоход проплыл расстояние $s$ км по течению реки за 3 ч. Чему равна его скорость против течения, если скорость течения реки равна $b$ км/ч?

1. Составление выражения

Пусть $V_{соб}$ — собственная скорость теплохода, $V_{теч}$ — скорость течения реки, $V_{по}$ — скорость по течению, а $V_{против}$ — скорость против течения.

По условию, скорость течения реки $V_{теч} = b$ км/ч.

Теплоход прошел расстояние $s$ км по течению реки за 3 часа. Его скорость по течению можно вычислить по формуле: $V_{по} = \frac{s}{t} = \frac{s}{3}$ км/ч.

Скорость по течению также является суммой собственной скорости теплохода и скорости течения: $V_{по} = V_{соб} + V_{теч} = V_{соб} + b$.

Приравняв два выражения для скорости по течению, найдем собственную скорость теплохода: $V_{соб} + b = \frac{s}{3}$
$V_{соб} = \frac{s}{3} - b$.

Скорость теплохода против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$.

Подставим найденные выражения для $V_{соб}$ и $V_{теч}$: $V_{против} = (\frac{s}{3} - b) - b = \frac{s}{3} - 2b$.

Таким образом, искомое выражение для скорости теплохода против течения: $\frac{s}{3} - 2b$.

2. Нахождение значения выражения

Подставим в полученное выражение числовые значения $s = 45,6$ и $b = 1,6$: $\frac{45,6}{3} - 2 \cdot 1,6$.

Выполним вычисления по порядку действий:

1) $45,6 : 3 = 15,2$;
2) $2 \cdot 1,6 = 3,2$;
3) $15,2 - 3,2 = 12$.

Скорость теплохода против течения равна 12 км/ч.

Ответ: выражение: $\frac{s}{3} - 2b$; значение выражения при заданных значениях переменных равно 12 км/ч.

337 Составь выражение и найди его значение при $s = 45,6; b = 1,6: $

Теплоход проплыл расстояние $s$ км по течению реки за 3 ч. Чему равна его скорость против течения, если скорость течения реки равна $b$ км/ч?

340 Реши уравнения:

а) $ \frac{x}{9} - \frac{x}{3} + \frac{x}{18} = -1; $

б) $ y - \frac{y}{3} - \frac{3y}{4} = \frac{1}{6}; $

в) $ \frac{5}{6}z - z = \frac{z}{3} + \frac{1}{5}. $

В № 341-342 реши задачи разными способами.

а) $\frac{x}{9} - \frac{x}{3} + \frac{x}{18} = -1$

Чтобы решить это уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9, 3 и 18 равен 18. Умножим каждый член уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей:

$18 \cdot \frac{x}{9} - 18 \cdot \frac{x}{3} + 18 \cdot \frac{x}{18} = -1 \cdot 18$

Выполним умножение:

$2x - 6x + x = -18$

Теперь сложим все члены с $x$ в левой части уравнения:

$(2 - 6 + 1)x = -18$

$-3x = -18$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -3:

$x = \frac{-18}{-3}$

$x = 6$

Ответ: $6$

б) $y - \frac{y}{3} - \frac{3y}{4} = \frac{1}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей в уравнении. Знаменатели: 3, 4, 6. Наименьшее общее кратное для них - 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot y - 12 \cdot \frac{y}{3} - 12 \cdot \frac{3y}{4} = 12 \cdot \frac{1}{6}$

Выполним вычисления:

$12y - 4y - 3 \cdot 3y = 2$

$12y - 4y - 9y = 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(12 - 4 - 9)y = 2$

$-y = 2$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $y$:

$y = -2$

Ответ: $-2$

в) $\frac{5}{6}z - z = \frac{z}{3} + \frac{1}{5}$

Сначала перенесем все слагаемые, содержащие переменную $z$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые оставим в правой:

$\frac{5}{6}z - z - \frac{z}{3} = \frac{1}{5}$

Теперь приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 равен 6. Представим $z$ как $\frac{6z}{6}$ и $\frac{z}{3}$ как $\frac{2z}{6}$:

$\frac{5z}{6} - \frac{6z}{6} - \frac{2z}{6} = \frac{1}{5}$

Выполним действия с числителями в левой части:

$\frac{5z - 6z - 2z}{6} = \frac{1}{5}$

$\frac{-3z}{6} = \frac{1}{5}$

Сократим дробь в левой части:

$-\frac{z}{2} = \frac{1}{5}$

Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на -2:

$z = \frac{1}{5} \cdot (-2)$

$z = -\frac{2}{5}$

Ответ: $-\frac{2}{5}$

340 Реши уравнения:

а) $\frac{x}{9} - \frac{x}{3} + \frac{x}{18} = -1;$

б) $y - \frac{y}{3} - \frac{3y}{4} = \frac{1}{6};$

в) $\frac{5}{6}z - z = \frac{z}{3} + \frac{1}{5}.$

В № 341 – 342 реши задачи разными способами.

341 a) Длина окружности переднего колеса повозки равна 2,8 м, а заднего – 3,5 м. Какое расстояние проехала повозка, если переднее колесо сделало на 50 оборотов больше заднего?

б) Длина окружности заднего колеса кареты на 0,8 м больше длины окружности переднего колеса. Какое расстояние проехала карета, если заднее колесо сделало 450 оборотов, а переднее – на 75 оборотов больше?

а)

Пусть $S$ - расстояние, которое проехала повозка, $N_п$ - количество оборотов переднего колеса, а $N_з$ - количество оборотов заднего колеса. Длина окружности переднего колеса $C_п = 2,8$ м, а заднего $C_з = 3,5$ м.

Расстояние, пройденное повозкой, можно вычислить как произведение длины окружности колеса на количество его оборотов. Так как оба колеса проехали одно и то же расстояние, мы можем записать:

$S = C_п \times N_п = 2,8 \times N_п$

$S = C_з \times N_з = 3,5 \times N_з$

Следовательно, $2,8 \times N_п = 3,5 \times N_з$.

По условию задачи, переднее колесо сделало на 50 оборотов больше заднего:

$N_п = N_з + 50$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$2,8 \times (N_з + 50) = 3,5 \times N_з$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $N_з$:

$2,8 \times N_з + 2,8 \times 50 = 3,5 \times N_з$

$2,8 N_з + 140 = 3,5 N_з$

$3,5 N_з - 2,8 N_з = 140$

$0,7 N_з = 140$

$N_з = 140 / 0,7 = 200$

Итак, заднее колесо сделало 200 оборотов. Теперь мы можем найти расстояние, которое проехала повозка:

$S = C_з \times N_з = 3,5 \times 200 = 700$ м.

Проверим результат, используя данные для переднего колеса:

$N_п = 200 + 50 = 250$ оборотов.

$S = C_п \times N_п = 2,8 \times 250 = 700$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: повозка проехала 700 м.

б)

Пусть $S$ - расстояние, которое проехала карета, $C_п$ и $C_з$ - длины окружностей переднего и заднего колес, $N_п$ и $N_з$ - количество их оборотов.

Из условия задачи нам известно:

Количество оборотов заднего колеса: $N_з = 450$.

Количество оборотов переднего колеса: $N_п = 450 + 75 = 525$.

Длина окружности заднего колеса на 0,8 м больше длины окружности переднего: $C_з = C_п + 0,8$.

Расстояние, пройденное каретой, одинаково для обоих колес:

$S = C_п \times N_п = C_з \times N_з$

Подставим известные значения в это равенство:

$C_п \times 525 = (C_п + 0,8) \times 450$

Решим это уравнение относительно $C_п$:

$525 C_п = 450 C_п + 450 \times 0,8$

$525 C_п = 450 C_п + 360$

$525 C_п - 450 C_п = 360$

$75 C_п = 360$

$C_п = 360 / 75 = 4,8$ м.

Теперь, зная длину окружности переднего колеса, найдем расстояние, которое проехала карета:

$S = C_п \times N_п = 4,8 \times 525 = 2520$ м.

Проверим результат, используя данные для заднего колеса:

$C_з = C_п + 0,8 = 4,8 + 0,8 = 5,6$ м.

$S = C_з \times N_з = 5,6 \times 450 = 2520$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: карета проехала 2520 м.

341 а) Длина окружности переднего колеса повозки равна 2,8 м, а заднего – 3,5 м. Какое расстояние проехала повозка, если переднее колесо сделало на 50 оборотов больше заднего?

б) Длина окружности заднего колеса кареты на 0,8 м больше длины окружности переднего колеса. Какое расстояние проехала карета, если заднее колесо сделало 450 оборотов, а переднее – на 75 оборотов больше?

342 a) Печник должен был сложить печь за 12 дней. Но он выкладывал в день на $0,25 \text{ м}^3$ больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 дня раньше намеченного срока. Чему равен объём печи, если печник работал равномерно?

б) Бригада рабочих должна была сделать ремонт дороги за определённый срок, ремонтируя в день 2 км. Однако в день она ремонтировала на 0,1 км больше, и поэтому за 3 дня до срока ей осталось отремонтировать 4,5 км. Сколько километров дороги бригада уже отремонтировала?

а)

Пусть $V$ – объём печи в м³, а $x$ – запланированная производительность печника (объём кладки в день, м³/день).

По плану печник должен был выполнить работу за 12 дней. Значит, объём печи можно выразить формулой:

$V = x \cdot 12$

Фактически печник выкладывал в день на 0,25 м³ больше, то есть его производительность была $(x + 0,25)$ м³/день.

Он закончил работу на 4 дня раньше, то есть за $12 - 4 = 8$ дней.

Значит, объём печи можно также выразить формулой:

$V = (x + 0,25) \cdot 8$

Так как речь идёт об одной и той же печи, объём работы одинаков. Приравняем два выражения для $V$:

$12x = 8(x + 0,25)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$12x = 8x + 8 \cdot 0,25$

$12x = 8x + 2$

$12x - 8x = 2$

$4x = 2$

$x = 0,5$

Мы нашли запланированную производительность – 0,5 м³/день. Теперь можем найти объём печи, подставив значение $x$ в любую из формул:

$V = 12 \cdot 0,5 = 6$ м³.

Проверим по второй формуле: $V = (0,5 + 0,25) \cdot 8 = 0,75 \cdot 8 = 6$ м³.

Ответ: объём печи равен 6 м³.

б)

Пусть $T$ – определённый срок в днях, за который бригада должна была сделать ремонт.

Запланированная производительность – 2 км/день. Тогда общая длина дороги $L$ равна:

$L = 2T$

Фактическая производительность бригады была на 0,1 км/день больше, то есть $2 + 0,1 = 2,1$ км/день.

Бригада работала в течение $(T - 3)$ дней, так как за 3 дня до срока ей оставалось отремонтировать 4,5 км. За это время она отремонтировала:

$L_{отремонтировано} = 2,1 \cdot (T - 3)$

Общая длина дороги $L$ складывается из уже отремонтированной части и оставшейся:

$L = 2,1 \cdot (T - 3) + 4,5$

Приравняем два выражения для $L$:

$2T = 2,1(T - 3) + 4,5$

Решим уравнение относительно $T$:

$2T = 2,1T - 2,1 \cdot 3 + 4,5$

$2T = 2,1T - 6,3 + 4,5$

$2T = 2,1T - 1,8$

$2,1T - 2T = 1,8$

$0,1T = 1,8$

$T = 18$

Итак, плановый срок работы составлял 18 дней. Нас интересует, сколько километров бригада уже отремонтировала. Бригада работала $(T - 3)$ дней, то есть $18 - 3 = 15$ дней.

Найдём длину отремонтированного участка, умножив фактическую производительность на количество отработанных дней:

$L_{отремонтировано} = 2,1 \cdot 15 = 31,5$ км.

Ответ: бригада уже отремонтировала 31,5 км дороги.

342 a) Печник должен был сложить печь за 12 дней. Но он выкладывал в день на $0,25 \text{ м}^3$ больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 дня раньше намеченного срока. Чему равен объем печи, если печник работал равномерно?

б) Бригада рабочих должна была сделать ремонт дороги за определенный срок, ремонтируя в день 2 км. Однако в день она ремонтировала на 0,1 км больше, и поэтому за 3 дня до срока ей осталось отремонтировать 4,5 км. Сколько километров дороги бригада уже отремонтировала?

343 Прочитай определения, найди определяемые понятия и укажи понятия, на которые они опираются. Сделай рисунки, соблюдая логическую последовательность введения определений.

а) Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

б) Замкнутая ломаная линия без самопересечений, все точки которой принадлежат одной плоскости, называется многоугольником.

в) Многоугольник, имеющий четыре вершины (стороны), называется четырёхугольником.

г) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Для того чтобы одно понятие можно было определить через другое, второе понятие должно быть уже известно. Проанализировав данные определения, можно выстроить их в следующей логической последовательности: сначала определяется более общее понятие «многоугольник», затем его частный случай «четырёхугольник», далее «параллелограм» как вид четырёхугольника, и, наконец, «прямоугольник» как вид параллелограмма. Рисунки также будут следовать этому порядку.

б) Замкнутая ломаная линия без самопересечений, все точки которой принадлежат одной плоскости, называется многоугольником.

В этом определении вводится понятие многоугольника.
Оно опирается на уже известные (или базовые) понятия: замкнутая ломаная линия, самопересечение, точка, плоскость.

Рисунок (пример многоугольника - пятиугольник):

Ответ: Определяемое понятие — многоугольник. Определение опирается на понятия: замкнутая ломаная линия, самопересечение, точка, плоскость.

в) Многоугольник, имеющий четыре вершины (стороны), называется четырёхугольником.

Здесь определяется понятие четырёхугольника.
Это определение опирается на ранее введённое понятие многоугольника, а также на понятия вершины и стороны.

Рисунок (пример произвольного четырёхугольника):

Ответ: Определяемое понятие — четырёхугольник. Определение опирается на понятия: многоугольник, вершина, сторона.

а) Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Определяется понятие параллелограмма.
Оно опирается на понятие четырёхугольника, а также на понятия противоположной стороны и параллельности.

Рисунок (параллелограмм, у которого $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$):

Ответ: Определяемое понятие — параллелограмм. Определение опирается на понятия: четырёхугольник, противоположные стороны, параллельность.

г) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Вводится понятие прямоугольника.
Оно опирается на ранее определённое понятие параллелограмма и понятия угла и прямого угла.

Рисунок (прямоугольник, у которого $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$):

Ответ: Определяемое понятие — прямоугольник. Определение опирается на понятия: параллелограмм, угол, прямой угол.

D 343 Прочитай определения, найди определяемые понятия и укажи понятия, на которые они опираются. Сделай рисунки, соблюдая логическую последовательность введения определений.

а) Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

б) Замкнутая ломаная линия без самопересечений, все точки которой принадлежат одной плоскости, называется многоугольником.

в) Многоугольник, имеющий четыре вершины (стороны), называется четырехугольником.

г) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

344 На рисунках изображены сегменты круга. Выяви существенные свойства сегмента и предложи свой вариант его определения. Сделай рисунок.

1) 2) 3)

Выявим существенные свойства сегмента

Рассмотрев предложенные рисунки, можно заметить, что во всех трех случаях сегмент круга (закрашенная область) обладает следующими общими свойствами:

• Это часть плоскости, находящаяся внутри круга.
• Эта часть ограничена двумя линиями: отрезком прямой и дугой окружности.
• Отрезок прямой соединяет две точки, лежащие на окружности. Такой отрезок называется хордой.
• Дуга — это часть окружности, заключенная между теми же двумя точками.

Таким образом, любая хорда делит круг на две части, каждая из которых является сегментом. Если хорда не является диаметром, то она делит круг на два неравных сегмента (меньший и больший), как на рисунках 1 и 2. Если хорда является диаметром (проходит через центр круга), то она делит круг на два равных сегмента, которые называются полукругами, как на рисунке 3.

Ответ: Существенное свойство сегмента заключается в том, что это часть круга, отсекаемая от него прямой линией (хордой).

Предложим свой вариант определения

Основываясь на выявленных свойствах, можно сформулировать следующее определение:

Круговым сегментом называется часть круга, ограниченная хордой и дугой, которую эта хорда стягивает.

Ответ: Сегмент круга — это часть круга, ограниченная его хордой и соответствующей дугой.

Сделаем рисунок

На рисунке ниже изображен круг с центром в точке $O$. Хорда $AB$ делит круг на два сегмента. Один из них (меньший) закрашен.

344 На рисунках изображены сегменты круга. Выяви существенные свойства сегмента и предложи свой вариант его определения. Сделай рисунок.

1) 2) 3)