Страница 76, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

310 Верно ли, что:

а) 1 см составляет $1\%$ от 1 м;

б) 1 г составляет $1\%$ от 1 кг;

в) 1 а составляет $1\%$ от 1 га;

г) 1 л составляет $1\%$ от 1 м$^{3}$;

д) 245 человек составляют больше $1\%$ от 10 тыс. человек;

е) 245 человек составляют больше $1\%$ от 40 тыс. человек;

ж) 3,3 млн р. больше 3 млн р. менее чем на $1\%$;

з) масса 990 г меньше 1 кг не более чем на $1\%$?

а) 1% от 1 м — это одна сотая часть метра. В одном метре 100 сантиметров. Найдем 1% от 100 см: $100 \text{ см} \cdot \frac{1}{100} = 1 \text{ см}$. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

б) 1% от 1 кг — это одна сотая часть килограмма. В одном килограмме 1000 граммов. Найдем 1% от 1000 г: $1000 \text{ г} \cdot \frac{1}{100} = 10 \text{ г}$. Утверждение, что 1 г составляет 1% от 1 кг, неверно, так как 1% от 1 кг равен 10 г.

Ответ: Неверно.

в) 1% от 1 га — это одна сотая часть гектара. В одном гектаре 100 аров (соток). Найдем 1% от 100 а: $100 \text{ а} \cdot \frac{1}{100} = 1 \text{ а}$. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

г) 1% от 1 м³ — это одна сотая часть кубического метра. В одном кубическом метре 1000 литров (или кубических дециметров). Найдем 1% от 1000 л: $1000 \text{ л} \cdot \frac{1}{100} = 10 \text{ л}$. Утверждение, что 1 л составляет 1% от 1 м³, неверно.

Ответ: Неверно.

д) Сначала найдем 1% от 10 тысяч человек. 10 тыс. человек — это 10 000 человек. $1\% \text{ от } 10000 = 10000 \cdot \frac{1}{100} = 100$ человек. Теперь сравним 245 человек и 100 человек. Так как $245 > 100$, то утверждение верно.

Ответ: Верно.

е) Сначала найдем 1% от 40 тысяч человек. 40 тыс. человек — это 40 000 человек. $1\% \text{ от } 40000 = 40000 \cdot \frac{1}{100} = 400$ человек. Теперь сравним 245 человек и 400 человек. Так как $245 < 400$, то утверждение, что 245 человек составляют больше 1% от 40 тыс. человек, неверно.

Ответ: Неверно.

ж) Найдем разницу между 3,3 млн р. и 3 млн р.: $3.3 \text{ млн} - 3 \text{ млн} = 0.3 \text{ млн р.}$. Теперь найдем 1% от 3 млн р.: $3 \text{ млн} \cdot \frac{1}{100} = 0.03 \text{ млн р.}$. Утверждается, что разница (0,3 млн) меньше, чем 1% (0,03 млн), то есть $0.3 \text{ млн} < 0.03 \text{ млн}$. Это неравенство неверно. Другой способ: найдем, на сколько процентов 3,3 млн больше 3 млн: $\frac{3.3 - 3}{3} \cdot 100\% = \frac{0.3}{3} \cdot 100\% = 0.1 \cdot 100\% = 10\%$. Так как $10\% > 1\%$, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

з) Сначала переведем 1 кг в граммы: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Найдем, на сколько масса 990 г меньше 1000 г: $1000 \text{ г} - 990 \text{ г} = 10 \text{ г}$. Теперь найдем 1% от 1 кг (1000 г): $1000 \text{ г} \cdot \frac{1}{100} = 10 \text{ г}$. Утверждается, что разница (10 г) "не более чем" 1% (10 г). Математически это означает $10 \text{ г} \le 10 \text{ г}$. Это неравенство верно.

Ответ: Верно.

310 Верно ли, что:

а) 1 см составляет $1\%$ от 1 м;

б) 1 г составляет $1\%$ от 1 кг;

в) 1 а составляет $1\%$ от 1 га;

г) 1 л составляет $1\%$ от $1 \text{ м}^3$;

д) 245 человек составляют больше $1\%$ от 10 тыс. человек;

е) 245 человек составляют больше $1\%$ от 40 тыс. человек;

ж) 3,3 млн.р. больше 3 млн. р. менее чем на $1\%$;

з) масса 990 г меньше 1 кг не более чем на $1\%$ ?

311 Объясни смысл предложений и построй их графическую модель.

а) В воздухе содержится $21\%$ кислорода.

б) Цена на компьютеры снизилась на $10\%$.

в) Премия рабочего составила $30\%$ его зарплаты.

г) Бригада выполнила план на $150\%$.

д) Бригада перевыполнила план на $150\%$.

е) Себестоимость товара равна $75\%$ его продажной цены.

а) Это означает, что если весь объем воздуха принять за 100%, то 21% от этого объема составляет кислород. Другими словами, кислород составляет 21/100 часть воздуха. Оставшиеся $100\% - 21\% = 79\%$ приходятся на другие газы (азот, аргон, углекислый газ и т.д.).

Графическая модель:

Весь воздух (100%)

Ответ: Если весь воздух - это целое (100%), то кислород составляет 21 его сотую часть.

б) Это означает, что новая цена компьютера стала на 10% меньше его первоначальной цены. Если первоначальную цену принять за 100%, то новая цена составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной.

Графическая модель:

Ответ: Новая цена составляет 90% от старой цены.

в) Это означает, что в дополнение к своей зарплате рабочий получил премию, размер которой равен 30% от этой зарплаты. Если зарплату принять за 100% (база), то премия составляет 30/100 от этой базы. Общий доход рабочего (зарплата + премия) составит $100\% + 30\% = 130\%$ от зарплаты.

Графическая модель:

Ответ: Премия - это дополнительная выплата, равная 30 сотым частям от зарплаты.

г) Это означает, что бригада выполнила работу, объем которой составляет 150% от запланированного. Если план принять за 100%, то фактический объем выполненной работы равен $100\% \times 1.5 = 150\%$. То есть бригада сделала в полтора раза больше, чем было запланировано.

Графическая модель:

Ответ: Бригада выполнила работу, объем которой в 1.5 раза превышает план.

д) Это означает, что бригада выполнила план (100%) и сверх плана сделала еще 150% от объема плана. Таким образом, общий объем выполненной работы составляет $100\% + 150\% = 250\%$ от плана. То есть бригада сделала в два с половиной раза больше, чем было запланировано.

Графическая модель:

Ответ: Бригада выполнила работу, объем которой в 2.5 раза превышает план.

е) Это означает, что затраты на производство или закупку товара (себестоимость) составляют 75% от цены, по которой этот товар продается (продажной цены). Если продажную цену принять за 100%, то себестоимость равна 75/100 от этой цены. Разница между продажной ценой и себестоимостью, $100\% - 75\% = 25\%$, составляет прибыль (наценку).

Графическая модель:

Продажная цена (100%)

Ответ: Себестоимость составляет 75 сотых частей от продажной цены, а остальные 25 сотых частей - это прибыль.

311 Объясни смысл предложений и построй их графическую модель:

а) В воздухе содержится $21\%$ кислорода.

б) Цена на компьютеры снизилась на $10\%$.

в) Премия рабочего составила $30\%$ его зарплаты.

г) Бригада выполнила план на $150\%$.

д) Бригада перевыполнила план на $150\%$.

е) Себестоимость товара равна $75\%$ его продажной цены.

312 Построй графическую модель высказываний, изобразив в обоих случаях продажную цену товара отрезком в 20 клеток.

1) «Доход составляет 25 % продажной цены товара».

2) «Доход составляет 25 % себестоимости товара».

В каком случае доход составляет большую величину?

1) «Доход составляет 25 % продажной цены товара».

По условию, продажная цена товара (ПЦ) изображается отрезком в 20 клеток. Примем эту величину за 100%.
$ПЦ = 20$ клеток.

Доход (Д) составляет 25% от продажной цены. Вычислим, скольким клеткам соответствует доход:
$Д = ПЦ \cdot \frac{25}{100} = 20 \cdot 0,25 = 5$ клеток.

Продажная цена является суммой себестоимости (С) и дохода (Д), то есть $ПЦ = С + Д$.
Отсюда можем найти, сколько клеток составляет себестоимость:
$С = ПЦ - Д = 20 - 5 = 15$ клеток.

Построим графическую модель. Отрезок в 20 клеток (Продажная цена) состоит из двух частей: 15 клеток (Себестоимость) и 5 клеток (Доход).

Ответ: Доход составляет 5 клеток, а себестоимость — 15 клеток.

2) «Доход составляет 25 % себестоимости товара».

В этом случае за 100% принимается себестоимость товара (С).
Продажная цена (ПЦ) по-прежнему изображается отрезком в 20 клеток.
Доход (Д) составляет 25% от себестоимости, то есть $Д = 0,25 \cdot С$.

Продажная цена (ПЦ) равна сумме себестоимости и дохода:
$ПЦ = С + Д = С + 0,25 \cdot С = 1,25 \cdot С$.

Зная, что $ПЦ = 20$ клеток, найдем себестоимость (С) в клетках:
$20 = 1,25 \cdot С$
$С = \frac{20}{1,25} = 16$ клеток.

Теперь найдем доход (Д) в клетках:
$Д = ПЦ - С = 20 - 16 = 4$ клетки.

Построим графическую модель. Отрезок в 20 клеток (Продажная цена) состоит из двух частей: 16 клеток (Себестоимость) и 4 клетки (Доход).

Ответ: Доход составляет 4 клетки, а себестоимость — 16 клеток.

В каком случае доход составляет большую величину?

Сравним величину дохода в двух рассмотренных случаях:
1) В первом случае доход составил 5 клеток.
2) Во втором случае доход составил 4 клетки.

Поскольку $5 > 4$, доход в первом случае является большей величиной. Это происходит потому, что в первом случае процент берется от продажной цены (большей величины), а во втором — от себестоимости (меньшей величины).

Ответ: Доход составляет большую величину в первом случае, когда он равен 25% от продажной цены.

312 Построй графическую модель высказываний, изобразив в обоих случаях продажную цену товара отрезком в 20 клеток.

1) "Доход составляет 25% продажной цены товара".

2) "Доход составляет 25% себестоимости товара".

В каком случае доход составляет большую величину?

313 Какую часть числа составляют $5 \\%$, $10 \\%$, $20 \\%$, $25 \\%$, $40 \\%$, $50 \\%$, $60 \\%$, $75 \\%$, $80 \\%$? Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу.

Чтобы найти, какую часть числа составляют проценты, нужно представить их в виде десятичной или обыкновенной дроби. Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть числа, то есть $1\% = \frac{1}{100} = 0,01$.

Для перевода процентов в десятичную дробь, нужно разделить число процентов на 100.

Для перевода процентов в обыкновенную дробь, нужно записать число процентов в числитель, а 100 — в знаменатель, а затем, если возможно, сократить полученную дробь.

Заполненная таблица:

313 Какую часть числа составляют $5\%$, $10\%$, $20\%$, $25\%$, $40\%$, $50\%$, $60\%$, $75\%$, $80\%$? Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу:

314 Замени проценты числами, выражающими части величин:

а) $2\%$; $6\%$; $56\%$; $90\%$;

б) $1,7\%$; $0,8\%$; $0,03\%$; $104,5\%$;

в) $ \frac{4}{7}\% $; $ 1\frac{2}{3}\% $; $ 33\frac{1}{3}\% $; $ 66\frac{2}{3}\% $;

г) $150\%$; $200\%$; $450\%$; $800\%$.

Чтобы заменить проценты числом, выражающим часть величины, необходимо значение процентов разделить на 100. Результат можно представить в виде десятичной или обыкновенной дроби.

а)

$2\% = \frac{2}{100} = 0.02$ или $\frac{1}{50}$

$6\% = \frac{6}{100} = 0.06$ или $\frac{3}{50}$

$56\% = \frac{56}{100} = 0.56$ или $\frac{14}{25}$

$90\% = \frac{90}{100} = 0.9$ или $\frac{9}{10}$

Ответ: 0.02; 0.06; 0.56; 0.9.

б)

$1,7\% = \frac{1.7}{100} = 0.017$ или $\frac{17}{1000}$

$0,8\% = \frac{0.8}{100} = 0.008$ или $\frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$

$0,03\% = \frac{0.03}{100} = 0.0003$ или $\frac{3}{10000}$

$104,5\% = \frac{104.5}{100} = 1.045$ или $\frac{1045}{1000} = \frac{209}{200} = 1\frac{9}{200}$

Ответ: 0.017; 0.008; 0.0003; 1.045.

в)

Проценты, выраженные дробями, также делятся на 100. Для смешанных чисел сначала преобразуем их в неправильную дробь.

$\frac{4}{7}\% = \frac{4}{7} \div 100 = \frac{4}{7 \cdot 100} = \frac{4}{700} = \frac{1}{175}$

$1\frac{2}{3}\% = \frac{5}{3}\% = \frac{5}{3} \div 100 = \frac{5}{3 \cdot 100} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

$33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\% = \frac{100}{3} \div 100 = \frac{100}{3 \cdot 100} = \frac{1}{3}$

$66\frac{2}{3}\% = \frac{200}{3}\% = \frac{200}{3} \div 100 = \frac{200}{3 \cdot 100} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{1}{175}$; $\frac{1}{60}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$.

г)

$150\% = \frac{150}{100} = 1.5$ или $1\frac{1}{2}$

$200\% = \frac{200}{100} = 2$

$450\% = \frac{450}{100} = 4.5$ или $4\frac{1}{2}$

$800\% = \frac{800}{100} = 8$

Ответ: 1.5; 2; 4.5; 8.

314 Замени проценты числами, выражающими части величин:

а) 2%; 6%; 56%; 90%;

б) 1,7%; 0,8%; 0,03%; 104,5%;

в) $ \frac{4}{7}\% $; $ 1\frac{2}{3}\% $; $ 33\frac{1}{3}\% $; $ 66\frac{2}{3}\% $;

г) 150%; 200%; 450%; 800%.

315 Вырази в процентах части величин:

а) 0,04; 0,32; 0,1; 0,7;

б) 0,005; 0,063; 1,058; 2,004;

в) $ \frac{1}{25} $; $ \frac{9}{20} $; $ \frac{3}{40} $; $ 1\frac{11}{200} $;

г) 1,8; 2,5; 3,75; 6.

Чтобы выразить часть величины, представленную десятичной или обыкновенной дробью, в процентах, нужно умножить эту дробь на 100.

а)

$0,04 = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$.
$0,32 = 0,32 \cdot 100\% = 32\%$.
$0,1 = 0,1 \cdot 100\% = 10\%$.
$0,7 = 0,7 \cdot 100\% = 70\%$.
Ответ: 4%; 32%; 10%; 70%.

б)

$0,005 = 0,005 \cdot 100\% = 0,5\%$.
$0,063 = 0,063 \cdot 100\% = 6,3\%$.
$1,058 = 1,058 \cdot 100\% = 105,8\%$.
$2,004 = 2,004 \cdot 100\% = 200,4\%$.
Ответ: 0,5%; 6,3%; 105,8%; 200,4%.

в)

$\frac{1}{25} = \frac{1}{25} \cdot 100\% = \frac{100}{25}\% = 4\%$.
$\frac{9}{20} = \frac{9}{20} \cdot 100\% = \frac{9 \cdot 100}{20}\% = 9 \cdot 5\% = 45\%$.
$\frac{3}{40} = \frac{3}{40} \cdot 100\% = \frac{300}{40}\% = \frac{30}{4}\% = 7,5\%$.
$1\frac{11}{200} = \frac{200 \cdot 1 + 11}{200} = \frac{211}{200} = \frac{211}{200} \cdot 100\% = \frac{211}{2}\% = 105,5\%$.
Ответ: 4%; 45%; 7,5%; 105,5%.

г)

$1,8 = 1,8 \cdot 100\% = 180\%$.
$2,5 = 2,5 \cdot 100\% = 250\%$.
$3,75 = 3,75 \cdot 100\% = 375\%$.
$6 = 6 \cdot 100\% = 600\%$.
Ответ: 180%; 250%; 375%; 600%.

315 Вырази в процентах части величин:

а) 0,04; 0,32; 0,1; 0,7;

б) 0,005; 0,063; 1,058; 2,004;

в) $\frac{1}{25}$; $\frac{9}{20}$; $\frac{3}{40}$; $\frac{11}{200}$;

г) 1,8; 2,5; 3,75; 6.

316 Округли десятичную дробь до сотых, а затем вырази в процентах соответствующую ей часть величины:

а) $0,715$;

б) $0,3961$;

в) $1,004$;

г) $0,0959595$.

Чтобы решить задачу, для каждой десятичной дроби нужно выполнить два действия:

1. Округлить дробь до сотых (до второго знака после запятой). Для этого нужно посмотреть на третий знак после запятой (разряд тысячных): если он равен 5 или больше, то второй знак увеличивается на 1; если он меньше 5, то второй знак остаётся без изменений. Все последующие знаки отбрасываются.
2. Выразить полученную дробь в процентах. Для этого нужно умножить десятичную дробь на 100 и добавить знак «%».

а) 0,715

1. Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 5. Значит, цифру в разряде сотых (1) нужно увеличить на единицу: $1 + 1 = 2$.

$0,715 \approx 0,72$

2. Выражаем в процентах.

$0,72 \times 100\% = 72\%$

Ответ: 72%.

б) 0,3961

1. Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 6. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде сотых (9) нужно увеличить на единицу. $9 + 1 = 10$. Поэтому в разряде сотых пишем 0, а к разряду десятых (3) прибавляем 1. Получаем 0,40.

$0,3961 \approx 0,40$

2. Выражаем в процентах.

$0,40 \times 100\% = 40\%$

Ответ: 40%.

в) 1,004

1. Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 4. Так как $4 < 5$, цифру в разряде сотых (0) оставляем без изменений.

$1,004 \approx 1,00$

2. Выражаем в процентах.

$1,00 \times 100\% = 100\%$

Ответ: 100%.

г) 0,0959595

1. Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 5. Значит, цифру в разряде сотых (9) нужно увеличить на единицу. $9 + 1 = 10$. Поэтому в разряде сотых пишем 0, а к разряду десятых (0) прибавляем 1. Получаем 0,10.

$0,0959595 \approx 0,10$

2. Выражаем в процентах.

$0,10 \times 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

316 Округли десятичную дробь до сотых, а затем вырази в процентах соответствующую ей часть величины:

а) $0,715$;

б) $0,3961$;

в) $1,004$;

г) $0,0959595$.

324 Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при $x = 1,5; y = 1$.

1) $2x - y^3$;

2) $(2x - y)^3$;

3) $2(x - y)^3$;

4) $2(x - y^3)$.

Общее в выражениях: все они содержат одни и те же числа (2 и 3), переменные ($x$ и $y$) и математические операции (умножение, вычитание, возведение в степень).

Различное в выражениях: порядок выполнения действий. Из-за разного расположения скобок и показателя степени, операции выполняются в разной последовательности, что приводит к разным результатам.

Прочитаем каждое выражение и найдем его значение при $x = 1,5$ и $y = 1$.

1) 2x - y³

Выражение читается: "Разность удвоенного икс и игрек в кубе".

Подставляем значения $x = 1,5$ и $y = 1$:

$2x - y^3 = 2 \cdot 1,5 - 1^3 = 3 - 1 = 2$

Ответ: 2

2) (2x - y)³

Выражение читается: "Куб разности удвоенного икс и игрек".

Подставляем значения $x = 1,5$ и $y = 1$:

$(2x - y)^3 = (2 \cdot 1,5 - 1)^3 = (3 - 1)^3 = 2^3 = 8$

Ответ: 8

3) 2(x - y)³

Выражение читается: "Удвоенный куб разности икс и игрек".

Подставляем значения $x = 1,5$ и $y = 1$:

$2(x - y)^3 = 2 \cdot (1,5 - 1)^3 = 2 \cdot (0,5)^3 = 2 \cdot 0,125 = 0,25$

Ответ: 0,25

4) 2(x - y³)

Выражение читается: "Удвоенная разность икс и игрек в кубе".

Подставляем значения $x = 1,5$ и $y = 1$:

$2(x - y^3) = 2 \cdot (1,5 - 1^3) = 2 \cdot (1,5 - 1) = 2 \cdot 0,5 = 1$

Ответ: 1

324 Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при $x = 1,5; y = 1$.

1) $2x - y^3$;

2) $(2x - y)^3$;

3) $2(x - y)^3$;

4) $2(x - y^3)$.

325 Переведи на математический язык высказывания.

1) Утроенное произведение числа $a$ и квадрата числа $b$ на 50 % больше куба числа $c$.

$3ab^2 = 1.5c^3$

2) Разность квадратов чисел $x$ и $y$ на 40 % меньше их среднего арифметического.

$x^2 - y^2 = 0.6 \left( \frac{x+y}{2} \right)$

3) Куб частного чисел $m$ и $n$ на 300 % больше частного квадратов этих чисел.

$\left( \frac{m}{n} \right)^3 = 4 \left( \frac{m^2}{n^2} \right)$

4) Произведение суммы и разности чисел $c$ и $d$ на 90 % меньше суммы их кубов.

$(c+d)(c-d) = 0.1(c^3 + d^3)$

1)

Утроенное произведение числа $a$ и квадрата числа $b$ — это математическое выражение $3 \cdot a \cdot b^2$ или $3ab^2$.
Куб числа $c$ — это $c^3$.
Высказывание "на 50% больше" означает, что первая величина ($3ab^2$) равна второй величине ($c^3$) плюс 50% от второй величины. Математически это можно записать так:
$3ab^2 = c^3 + 0.5 \cdot c^3$
Это выражение можно упростить:
$3ab^2 = (1 + 0.5)c^3$
$3ab^2 = 1.5c^3$
Ответ: $3ab^2 = 1.5c^3$

2)

Разность квадратов чисел $x$ и $y$ записывается как $x^2 - y^2$.
Среднее арифметическое этих чисел — это $\frac{x+y}{2}$.
Высказывание "на 40% меньше" означает, что первая величина ($x^2 - y^2$) равна второй величине ($\frac{x+y}{2}$) минус 40% от второй величины. Математически это выглядит так:
$x^2 - y^2 = \frac{x+y}{2} - 0.4 \cdot \frac{x+y}{2}$
Упростим выражение:
$x^2 - y^2 = (1 - 0.4) \cdot \frac{x+y}{2}$
$x^2 - y^2 = 0.6 \cdot \frac{x+y}{2}$
Ответ: $x^2 - y^2 = 0.6 \frac{x+y}{2}$

3)

Частное чисел $m$ и $n$ — это $\frac{m}{n}$. Куб этого частного равен $(\frac{m}{n})^3$.
Частное квадратов этих чисел — это $\frac{m^2}{n^2}$.
Высказывание "на 300% больше" означает, что первая величина ($(\frac{m}{n})^3$) равна второй величине ($\frac{m^2}{n^2}$) плюс 300% от второй величины. Увеличение на 300% эквивалентно умножению на $(1 + \frac{300}{100}) = 4$.
Запишем равенство:
$(\frac{m}{n})^3 = \frac{m^2}{n^2} + 3 \cdot \frac{m^2}{n^2}$
Упростим:
$(\frac{m}{n})^3 = (1 + 3) \cdot \frac{m^2}{n^2}$
$(\frac{m}{n})^3 = 4 \frac{m^2}{n^2}$
Ответ: $(\frac{m}{n})^3 = 4 \frac{m^2}{n^2}$

4)

Произведение суммы ($c+d$) и разности ($c-d$) чисел $c$ и $d$ записывается как $(c+d)(c-d)$. По формуле разности квадратов это равно $c^2 - d^2$.
Сумма их кубов — это $c^3 + d^3$.
Высказывание "на 90% меньше" означает, что первая величина ($(c+d)(c-d)$) равна второй величине ($c^3 + d^3$) минус 90% от второй величины. Уменьшение на 90% эквивалентно умножению на $(1 - \frac{90}{100}) = 0.1$.
Запишем равенство:
$(c+d)(c-d) = (c^3 + d^3) - 0.9 \cdot (c^3 + d^3)$
Упростим:
$(c+d)(c-d) = (1 - 0.9)(c^3 + d^3)$
$(c+d)(c-d) = 0.1(c^3 + d^3)$
Ответ: $(c+d)(c-d) = 0.1(c^3 + d^3)$

325 Переведи на математический язык высказывания:

1) Утроенное произведение числа $a$ и квадрата числа $b$ на 50% больше куба числа $c$.

$3ab^2 = 1.5c^3$

2) Разность квадратов чисел $x$ и $y$ на 40% меньше их среднего арифметического.

$x^2 - y^2 = 0.6 \frac{x+y}{2}$

3) Куб частного чисел $m$ и $n$ на 300% больше частного квадратов этих чисел.

$\left(\frac{m}{n}\right)^3 = 4 \frac{m^2}{n^2}$

4) Произведение суммы и разности чисел $c$ и $d$ на 90% меньше суммы их кубов.

$(c+d)(c-d) = 0.1(c^3+d^3)$

326 1) Два коммерсанта вложили в проект соответственно 2,8 млн р. и 3,2 млн р. Полученная прибыль составила 1 млн 200 тыс. р. Как её распределить пропорционально вкладу каждого?

2) Лиственные деревья занимают $20\%$ площади лесного массива. Остальная часть занята кустарником и хвойными деревьями, причём их площади относятся как $3 : 5$. Чему равна площадь всего лесного массива, если кустарником занято на 14 га меньше, чем хвойным лесом?

1)

Для того чтобы распределить прибыль пропорционально вкладам, сначала найдем общую сумму вложений и отношение вкладов каждого коммерсанта.

1. Найдем общую сумму вложений:
$2,8 \text{ млн р.} + 3,2 \text{ млн р.} = 6 \text{ млн р.}$

2. Найдем отношение вкладов первого и второго коммерсантов:
$2,8 : 3,2$. Упростим это отношение, умножив обе части на 10 и разделив на их наибольший общий делитель (4):
$28 : 32 = 7 : 8$.

Это означает, что прибыль нужно разделить на $7 + 8 = 15$ равных частей.

3. Общая прибыль составляет 1 млн 200 тыс. р., или $1\;200\;000$ р. Найдем, сколько рублей составляет одна часть прибыли:
$1\;200\;000 \text{ р.} \div 15 = 80\;000 \text{ р.}$

4. Рассчитаем прибыль для каждого коммерсанта:
Прибыль первого коммерсанта (7 частей): $7 \times 80\;000 \text{ р.} = 560\;000 \text{ р.}$
Прибыль второго коммерсанта (8 частей): $8 \times 80\;000 \text{ р.} = 640\;000 \text{ р.}$

Ответ: первый коммерсант получит 560 тыс. р., а второй — 640 тыс. р.

2)

1. Лиственные деревья занимают $20\%$ площади. Значит, на кустарники и хвойные деревья приходится оставшаяся часть площади:
$100\% - 20\% = 80\%$

2. Площади кустарника и хвойных деревьев относятся как $3:5$. Пусть $k$ - коэффициент пропорциональности. Тогда площадь, занятая кустарником, равна $3k$ га, а площадь, занятая хвойными деревьями, — $5k$ га.

3. По условию, кустарником занято на 14 га меньше, чем хвойным лесом. Составим уравнение:
$5k - 3k = 14$
$2k = 14$
$k = 7$

4. Теперь найдем площади, занятые кустарником и хвойными деревьями:
Площадь кустарника: $3k = 3 \times 7 = 21$ га.
Площадь хвойного леса: $5k = 5 \times 7 = 35$ га.

5. Общая площадь, занятая кустарником и хвойными деревьями, составляет:
$21 \text{ га} + 35 \text{ га} = 56$ га.

6. Эта площадь (56 га) составляет $80\%$ от всей площади лесного массива. Обозначим общую площадь как $S$ и найдем ее:
$0,8 \times S = 56$
$S = 56 \div 0,8$
$S = 70$ га.

Ответ: площадь всего лесного массива равна 70 га.

326 1) Два коммерсанта вложили в проект соответственно 2,8 и 3,2 тыс. долларов. Полученная прибыль составила 1800 долларов. Как ее распределить пропорционально вкладу каждого?

2) Лиственные деревья занимают 20% площади лесного массива. Остальная часть занята кустарником и хвойными деревьями, причем их площади относятся как $3:5$. Чему равна площадь всего лесного массива, если кустарником занято на 14 га меньше, чем хвойным лесом?

327 Из цифр 2, 5, 7, 8 составь множество чисел, кратных:

1) девяти;

2) трём;

3) пяти;

4) четырём.

Каждая цифра может входить в запись числа не более одного раза.

Для решения этой задачи необходимо использовать признаки делимости чисел и составить все возможные числа из заданных цифр {2, 5, 7, 8}, учитывая, что каждая цифра в одном числе может использоваться только один раз.

1) девяти;

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Проанализируем суммы цифр для чисел разной длины:

• Суммы цифр для одно- и двузначных чисел:
  • $2+5=7$ (не делится на 9)
  • $2+7=9$ (делится на 9). Из этих цифр можно составить числа 27 и 72.
  • $2+8=10$ (не делится на 9)
  • $5+7=12$ (не делится на 9)
  • $5+8=13$ (не делится на 9)
  • $7+8=15$ (не делится на 9)
• Суммы цифр для трехзначных чисел:
  • $2+5+7=14$
  • $2+5+8=15$
  • $2+7+8=17$
  • $5+7+8=20$
  Ни одна из этих сумм не делится на 9.
• Сумма цифр для четырехзначного числа: $2+5+7+8=22$ (не делится на 9).

Следовательно, только числа, составленные из цифр 2 и 7, кратны девяти.

Ответ: {27, 72}.

2) трём;

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Воспользуемся ранее найденными суммами:

• Среди однозначных чисел кратных трем нет.
• Суммы цифр для двузначных чисел, кратные 3:
  • $2+7=9$. Числа: 27, 72.
  • $5+7=12$. Числа: 57, 75.
  • $7+8=15$. Числа: 78, 87.
• Суммы цифр для трехзначных чисел, кратные 3:
  • $2+5+8=15$. Из этих цифр можно составить 6 чисел: 258, 285, 528, 582, 825, 852.
• Сумма цифр четырехзначного числа ($22$) не делится на 3.

Объединив все найденные числа, получаем искомое множество.

Ответ: {27, 72, 57, 75, 78, 87, 258, 285, 528, 582, 825, 852}.

3) пяти;

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. В нашем наборе есть цифра 5, значит, нам нужно найти все числа, которые можно составить из данных цифр, оканчивающиеся на 5.

• Однозначное число: 5.
• Двузначные числа: 25, 75, 85.
• Трехзначные числа (последняя цифра 5, первые две — перестановки оставшихся):
  • Из {2, 7, 5}: 275, 725.
  • Из {2, 8, 5}: 285, 825.
  • Из {7, 8, 5}: 785, 875.
• Четырехзначные числа (последняя цифра 5, первые три — перестановки {2, 7, 8}): 2785, 2875, 7285, 7825, 8275, 8725.

Ответ: {5, 25, 75, 85, 275, 725, 285, 825, 785, 875, 2785, 2875, 7285, 7825, 8275, 8725}.

4) четырём.

Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Также однозначное число делится на 4, если оно само делится на 4.

• Однозначное число: 8.
• Двузначные числа: Найдем все двузначные комбинации, кратные 4.
  • Из {2, 5, 7, 8} подходят: 28 ($28/4=7$), 52 ($52/4=13$), 72 ($72/4=18$).
• Трехзначные числа: Должны оканчиваться на 28, 52 или 72.
  • Оканчиваются на 28: 528, 728.
  • Оканчиваются на 52: 752, 852.
  • Оканчиваются на 72: 572, 872.
• Четырехзначные числа: Аналогично, должны оканчиваться на 28, 52 или 72.
  • Оканчиваются на 28 (первые две — перестановки {5, 7}): 5728, 7528.
  • Оканчиваются на 52 (первые две — перестановки {7, 8}): 7852, 8752.
  • Оканчиваются на 72 (первые две — перестановки {5, 8}): 5872, 8572.

Ответ: {8, 28, 52, 72, 528, 728, 752, 852, 572, 872, 5728, 7528, 7852, 8752, 5872, 8572}.

327 Из цифр 2, 5, 7, 8 составь множество чисел, кратных:

1) девяти;

2) трем;

3) пяти;

4) четырем.

Каждая цифра может входить в запись числа не более одного раза.

328 Сократи дроби, если значения всех переменных отличны от нуля:

1) $\frac{16200}{39600}$; 2) $\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7}$; 3) $\frac{13 \cdot 71 - 71 \cdot 7}{71 \cdot 13 + 71 \cdot 7}$; 4) $\frac{70abc^2}{84a^2bcd}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{16200}{39600}$, сначала разделим числитель и знаменатель на 100, убрав два нуля в конце каждого числа:
$\frac{16200}{39600} = \frac{162}{396}$
Теперь будем последовательно сокращать полученную дробь. Оба числа, 162 и 396, являются четными, поэтому разделим их на 2:
$\frac{162 \div 2}{396 \div 2} = \frac{81}{198}$
Далее проверим делимость на 9. Сумма цифр числителя $8+1=9$, делится на 9. Сумма цифр знаменателя $1+9+8=18$, делится на 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:
$\frac{81 \div 9}{198 \div 9} = \frac{9}{22}$
Числа 9 и 22 являются взаимно простыми, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{9}{22}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7}$, воспользуемся свойством сокращения степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Сократим множители с одинаковыми основаниями:
Для основания 2: $\frac{2^2}{2^3} = \frac{1}{2^{3-2}} = \frac{1}{2}$.
Для основания 3: $\frac{3^3}{3^1} = 3^{3-1} = 3^2 = 9$.
Для основания 5: $\frac{5^1}{5^2} = \frac{1}{5^{2-1}} = \frac{1}{5}$.
Для основания 7: $\frac{7}{7} = 1$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{9 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$

3) Для сокращения дроби $\frac{13 \cdot 71 - 71 \cdot 7}{71 \cdot 13 + 71 \cdot 7}$ вынесем общий множитель 71 за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{71 \cdot (13 - 7)}{71 \cdot (13 + 7)}$
Сократим общий множитель 71:
$\frac{13 - 7}{13 + 7}$
Выполним действия в скобках:
$\frac{6}{20}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$\frac{6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$

4) Сократим алгебраическую дробь $\frac{70abc^2}{84a^2bcd}$. Разделим сокращение на два этапа: сначала числовые коэффициенты, затем переменные.
1. Сократим коэффициенты $\frac{70}{84}$. Найдем их наибольший общий делитель. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$. НОД(70, 84) = $2 \cdot 7 = 14$.
$\frac{70 \div 14}{84 \div 14} = \frac{5}{6}$.
2. Сократим переменные, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a^{2-1}} = \frac{1}{a}$.
$\frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1$.
$\frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c$.
Переменная $d$ находится только в знаменателе, поэтому она там и остается.
Объединим результаты:
$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{a} \cdot 1 \cdot c \cdot \frac{1}{d} = \frac{5c}{6ad}$.
Ответ: $\frac{5c}{6ad}$

328 Сократи дроби, если значения всех переменных отличны от нуля:

1) $\frac{16\ 200}{39\ 600}$;

2) $\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7}$;

3) $\frac{13 \cdot 71 - 71 \cdot 7}{71 \cdot 13 + 71 \cdot 7}$;

4) $\frac{70abc^2}{84a^2bcd}$.

329 БЛИЦтурнир

1) Обозначим собственную скорость парохода (скорость в стоячей воде, например, в озере) как $v_{соб}$, скорость течения реки как $v_{теч}$, а скорость парохода по течению как $v_{по}$. Скорость плота всегда равна скорости течения реки, следовательно, $v_{теч} = b$ км/ч. Скорость по течению является суммой собственной скорости судна и скорости течения: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$. Из условия задачи мы знаем, что $v_{по} = a$ км/ч. Подставим известные значения в формулу: $a = v_{соб} + b$ Из этого уравнения мы можем выразить собственную скорость парохода, которая и будет его скоростью при движении по озеру: $v_{соб} = a - b$ км/ч. Расстояние $S$, которое проплывёт пароход за 5 часов, двигаясь по озеру, вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \times \text{время}$: $S = v_{соб} \times 5 = (a - b) \times 5$ км.
Ответ: $5(a-b)$ км.

2) Обозначим скорость течения реки как $v_{теч}$, собственную скорость лодки как $v_{соб}$ и скорость лодки против течения как $v_{против}$. По условию, скорость течения реки $v_{теч} = c$ км/ч. Также известно, что эта скорость составляет 20% от собственной скорости лодки. Запишем это в виде уравнения: $v_{теч} = 0.2 \times v_{соб}$ Подставим известное значение $v_{теч}$: $c = 0.2 \times v_{соб}$ Теперь найдем собственную скорость лодки: $v_{соб} = \frac{c}{0.2} = 5c$ км/ч. Скорость лодки против течения вычисляется как разность её собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$ Подставим найденные значения: $v_{против} = 5c - c = 4c$ км/ч.
Ответ: $4c$ км/ч.

3) Обозначим скорость теплохода по течению как $v_{по}$, против течения как $v_{против}$, а собственную скорость теплохода как $v_{соб}$. По условию, скорость по течению $v_{по} = d$ км/ч. Скорость против течения на 20% меньше скорости по течению. Это означает, что она составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от скорости по течению. Вычислим её: $v_{против} = d \times (1 - 0.20) = 0.8d$ км/ч. Собственная скорость судна является средним арифметическим его скоростей по течению и против течения. Формула для нахождения собственной скорости: $v_{соб} = \frac{v_{по} + v_{против}}{2}$ Подставим в формулу известные значения: $v_{соб} = \frac{d + 0.8d}{2} = \frac{1.8d}{2} = 0.9d$ км/ч.
Ответ: $0.9d$ км/ч.

4) Обозначим скорость катера по течению как $v_{по}$, против течения как $v_{против}$, а скорость течения реки как $v_{теч}$. Используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, где $S$ - расстояние, а $t$ - время, найдем скорости катера по течению и против течения. Скорость по течению: $v_{по} = \frac{s}{2}$ км/ч. Скорость против течения: $v_{против} = \frac{s}{3}$ км/ч. Скорость течения реки можно найти как полуразность скоростей по течению и против течения. Формула для нахождения скорости течения: $v_{теч} = \frac{v_{по} - v_{против}}{2}$ Подставим в формулу найденные значения скоростей: $v_{теч} = \frac{\frac{s}{2} - \frac{s}{3}}{2}$ Приведем дроби в числителе к общему знаменателю: $v_{теч} = \frac{\frac{3s - 2s}{6}}{2} = \frac{\frac{s}{6}}{2} = \frac{s}{12}$ км/ч.
Ответ: $\frac{s}{12}$ км/ч.

329 БЛИЦтурнир.

1) Скорость парохода по течению реки равна $a$ км/ч, а скорость плота на этой реке – $b$ км/ч. Какое расстояние проплывет пароход за $5$ ч, двигаясь по озеру?

2) Скорость течения реки, равная $c$ км/ч, составляет $20\%$ собственной скорости лодки. Чему равна скорость лодки против течения?

3) Скорость теплохода по течению реки равна $d$ км/ч, а против течения – на $20\%$ меньше. Чему равна собственная скорость теплохода?

4) Катер проходит расстояние $s$ км за $2$ ч, двигаясь по течению реки, и за $3$ ч – против течения. Чему равна скорость течения реки?

334 Что общего у окружности и круга и чем они отличаются друг от друга? Предложи свой вариант определения круга, пользуясь понятиями «окружность», «плоскость». Изобрази круг и окружность с помощью циркуля и цветных карандашей.

Что общего у окружности и круга и чем они отличаются друг от друга?

Общее:
И окружность, и круг — это плоские геометрические фигуры, которые определяются одними и теми же параметрами: центральной точкой (центром) и радиусом $R$ (расстоянием от центра до границы). Окружность является границей круга, поэтому у них общий центр, радиус и, соответственно, диаметр. Длина этой границы (длина окружности) у них также одинакова и вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

Отличия:
Основное различие заключается в том, что окружность — это только замкнутая линия, то есть множество точек, равноудаленных от центра. Она является одномерным объектом и имеет только длину. В качестве аналогии можно представить обруч или кольцо.
Круг же — это двумерная фигура. Он включает в себя не только саму окружность, но и все точки плоскости, находящиеся внутри этой окружности. У круга есть как длина границы, так и площадь, которая вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. В качестве аналогии можно представить монету или тарелку.

Ответ: Общее у окружности и круга — это центр и радиус. Отличие в том, что окружность — это только линия-граница, а круг — это и сама граница, и вся область плоскости внутри неё.

Предложи свой вариант определения круга, пользуясь понятиями «окружность», «плоскость».

Круг — это часть плоскости, которая ограничена окружностью и включает в себя как все точки самой окружности, так и все точки, лежащие внутри неё.

Ответ: Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Изобрази круг и окружность с помощью циркуля и цветных карандашей.

Для создания изображения нужно выполнить следующие шаги:
1. Изображение окружности: С помощью циркуля начертить замкнутую линию. Для этого игла циркуля устанавливается в точку, которая будет центром, а ножка с карандашом, вращаясь, чертит саму линию.
2. Изображение круга: Сначала, как и в первом пункте, чертится окружность. Затем вся внутренняя область, ограниченная этой линией, закрашивается цветным карандашом.
Ниже приведён наглядный пример.

Ответ: Изображение представлено выше: окружность является незакрашенным контуром, а круг — контуром вместе с закрашенной внутренней областью.

334 Что общего у окружности и круга и чем они отличаются друг от друга? Предложи свой вариант определения круга, пользуясь понятиями «окружность», «плоскость». Изобрази круг и окружность с помощью циркуля и цветных карандашей.

335 Исходя из значения слова «дуга» в обыденной речи, найди рисунок, на котором цветом изображена дуга окружности. Предложи свой вариант определения дуги окружности и сделай рисунок.

1) 2) 3)

Исходя из значения слова «дуга» в обыденной речи, найди рисунок, на котором цветом изображена дуга окружности.

В обыденной речи, как и в изображении радуги, слово «дуга» означает изогнутую линию, а не часть плоскости. Проанализируем предложенные варианты:

• Рисунок 1: цветом выделена часть круга, ограниченная дугой и отрезком, соединяющим концы дуги (хордой). Такая фигура называется сегментом круга. Это область, а не линия.
• Рисунок 2: цветом выделена часть самой линии окружности между двумя точками. Это полностью соответствует понятию дуги.
• Рисунок 3: цветом выделена часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Такая фигура называется сектором круга. Это также область, а не линия.

Следовательно, рисунок, на котором изображена дуга окружности, — это рисунок 2.

Ответ: Рисунок 2.

Предложи свой вариант определения дуги окружности и сделай рисунок.

Определение: Дуга окружности — это часть окружности, заключенная между двумя ее точками. Эти две точки называются концами дуги. Любые две точки на окружности делят ее на две дуги.

Рисунок:

На рисунке показана окружность с центром в точке $O$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности. Часть окружности между точками $A$ и $B$, выделенная красным цветом, является дугой. Эту дугу обозначают как $\cup AB$.

Ответ: Дуга окружности — это часть окружности, заключенная между двумя ее точками. Рисунок представлен выше.

335 Исходя из значения слова «дуга» в обыденной речи, найди рисунок, на котором цветом изображена дуга окружности. Предложи свой вариант определения дуги окружности и сделай рисунок.

1) $O$

2) $O$

3) $O$

336 На рисунках изображены секторы круга. Выяви существенные свойства сектора и предложи свой вариант его определения. Сделай свой рисунок сектора.

1) 2) 3)

Выяви существенные свойства сектора

Проанализировав рисунки 1-3, а также изображение куска сыра, который имеет форму сектора, можно выделить следующие общие и существенные свойства этой геометрической фигуры:

• Сектор является частью круга, то есть представляет собой некоторую долю его площади.
• Граница сектора всегда состоит из трех частей: двух прямолинейных отрезков и одной дуги окружности.
• Два прямолинейных отрезка являются радиусами одного и того же круга. Это означает, что они имеют одинаковую длину (равную радиусу круга $R$) и выходят из одной точки — центра круга.
• Дуга окружности, являющаяся частью границы, соединяет концы этих двух радиусов.

Ответ: Существенные свойства сектора: 1) это часть круга; 2) он ограничен двумя радиусами, исходящими из центра; 3) он ограничен дугой окружности, концы которой совпадают с концами радиусов.

Предложи свой вариант его определения

На основе выявленных существенных свойств можно сформулировать определение. Классическое определение гласит, что круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Можно предложить немного другой, но равносильный вариант определения, который делает акцент на угле.

Ответ: Круговой сектор — это часть круга, заключённая между двумя его радиусами, образующими определённый центральный угол, и дугой, которую этот угол высекает на окружности.

Сделай свой рисунок сектора

Ниже представлен мой рисунок, иллюстрирующий сектор круга. На рисунке изображен круг с центром в точке O. Закрашенная фигура AOB является сектором этого круга. Она ограничена двумя радиусами OA и OB (каждый длиной $R$) и дугой AB.

Ответ:

336 На рисунках изображены секторы круга. Выяви существенные свойства сектора и предложи свой вариант его определения. Сделай свой рисунок сектора.

1) 2) 3)

337. Что означает запись: $a/b$? Изобрази с помощью геометрических фигур числа:

а) $3/4$;
б) $5/6$;
в) $7/9$;
г) $2\frac{4}{5}$.

Запись в виде $\frac{a}{b}$ называется обыкновенной дробью. Эта запись означает, что некое целое (единицу) разделили на $b$ равных частей, и из этих частей взяли $a$ штук.

Число $b$, которое находится под чертой, называется знаменателем. Оно показывает, на сколько равных частей разделено целое.

Число $a$, которое находится над чертой, называется числителем. Оно показывает, сколько таких частей взято.

Дробная черта между ними является знаком деления.

a) Число $\frac{3}{4}$ (три четвертых) означает, что целое было разделено на 4 равные части, и из них взяли 3. Чтобы изобразить это, можно использовать прямоугольник, разделенный на 4 равных квадрата, из которых 3 закрашены.

Ответ: Целое разделено на 4 равные части, а взято 3 таких части.

б) Число $\frac{5}{6}$ (пять шестых) означает, что целое было разделено на 6 равных частей, и из них взяли 5. Изобразим это с помощью прямоугольника, разделенного на 6 частей, 5 из которых закрашены.

Ответ: Целое разделено на 6 равных частей, а взято 5 таких частей.

в) Число $\frac{7}{9}$ (семь девятых) означает, что целое было разделено на 9 равных частей, и из них взяли 7. Изобразим это с помощью прямоугольника, разделенного на 9 частей, 7 из которых закрашены.

Ответ: Целое разделено на 9 равных частей, а взято 7 таких частей.

г) Число $2\frac{4}{5}$ (две целых четыре пятых) является смешанным. Оно состоит из целой части (2) и дробной части ($\frac{4}{5}$). Это означает, что у нас есть 2 целых объекта и еще 4 из 5 частей третьего такого же объекта. Изобразим это с помощью трех прямоугольников: два будут закрашены полностью, а третий — на $\frac{4}{5}$.

Ответ: Взято 2 целых и еще 4 части из 5 от третьего целого.

337 Что означает запись: $a/b$? Изобрази с помощью геометрических фигур числа:

а) $3/4$;

б) $5/6$;

в) $7/9$;

г) $2\frac{4}{5}$.

338 Сравни дроби, если значения всех переменных – натуральные числа:

а) $ \frac{5}{11} $ и $ \frac{7}{11} $;

б) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{8}{15} $;

в) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{5} $;

г) $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{12}{25} $;

д) $ 3 \frac{2}{19} $ и $ 2 \frac{18}{19} $;

е) $ 0,6 $ и $ \frac{9}{16} $;

ж) $ \frac{m}{n} $ и $ \frac{m}{n+1} $;

з) $ \frac{x}{y} $ и $ \frac{x+1}{y} $.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{11}$ и $\frac{7}{11}$, нужно сравнить их числители, так как знаменатели у них одинаковы. У какой дроби числитель больше, та дробь и больше. Поскольку $5 < 7$, то и $\frac{5}{11} < \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{5}{11} < \frac{7}{11}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{9}$ и $\frac{8}{15}$, нужно сравнить их знаменатели, так как числители у них одинаковы. У какой дроби знаменатель меньше, та дробь больше. Поскольку $9 < 15$, то $\frac{8}{9} > \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{9} > \frac{8}{15}$.

в) Сравниваем дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{5}$. Дробь $\frac{3}{4}$ является правильной, так как ее числитель меньше знаменателя ($3<4$), поэтому она меньше 1. Дробь $\frac{9}{5}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя ($9>5$), поэтому она больше 1. Следовательно, $\frac{3}{4} < 1 < \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{4} < \frac{9}{5}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{12}{25}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 7 и 25 равно $7 \cdot 25 = 175$.
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 25}{7 \cdot 25} = \frac{100}{175}$
$\frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 7}{25 \cdot 7} = \frac{84}{175}$
Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: так как $100 > 84$, то $\frac{100}{175} > \frac{84}{175}$.
Ответ: $\frac{4}{7} > \frac{12}{25}$.

д) Сравниваем смешанные числа $3\frac{2}{19}$ и $2\frac{18}{19}$. Для сравнения смешанных чисел в первую очередь сравнивают их целые части. Целая часть первого числа равна 3, а второго — 2. Так как $3 > 2$, то и всё число $3\frac{2}{19}$ больше, чем $2\frac{18}{19}$, независимо от их дробных частей.
Ответ: $3\frac{2}{19} > 2\frac{18}{19}$.

е) Сравниваем десятичную дробь 0,6 и обыкновенную дробь $\frac{9}{16}$. Для этого представим 0,6 в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Теперь сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{9}{16}$. Приведем их к общему знаменателю $5 \cdot 16 = 80$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 16}{5 \cdot 16} = \frac{48}{80}$
$\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{45}{80}$
Сравнивая полученные дроби, видим, что $48 > 45$, значит $\frac{48}{80} > \frac{45}{80}$.
Ответ: $0,6 > \frac{9}{16}$.

ж) Сравниваем дроби $\frac{m}{n}$ и $\frac{m}{n+1}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. У этих дробей одинаковые числители. Знаменатели равны $n$ и $n+1$. Так как $n$ - натуральное число, то $n+1 > n$. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $\frac{m}{n} > \frac{m}{n+1}$.
Ответ: $\frac{m}{n} > \frac{m}{n+1}$.

з) Сравниваем дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{x+1}{y}$, где $x$ и $y$ — натуральные числа. У этих дробей одинаковые знаменатели. Числители равны $x$ и $x+1$. Так как $x$ - натуральное число, то $x+1 > x$. Из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями больше та, у которой числитель больше. Следовательно, $\frac{x}{y} < \frac{x+1}{y}$.
Ответ: $\frac{x}{y} < \frac{x+1}{y}$.

338 Сравни дроби, если значения всех переменных – натуральные числа:

а) $ \frac{5}{11} $ и $ \frac{7}{11} $;

б) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{8}{15} $;

в) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{5} $;

г) $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{12}{25} $;

д) $ 3 \frac{2}{19} $ и $ 2 \frac{18}{19} $;

е) $ 0,6 $ и $ \frac{9}{16} $;

ж) $ \frac{m}{n} $ и $ \frac{m}{n+1} $;

з) $ \frac{x}{y} $ и $ \frac{x+1}{y} $.

339 Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй слово. Что оно означает?

P $ - \frac{1}{6} - \frac{1}{18} $

M $ - \frac{21}{22} + \frac{3}{55} $

T $ -3 + 2\frac{4}{5} $

Я $ -1\frac{5}{14} - \frac{17}{21} $

О $ \frac{2}{3} - \frac{3}{4} $

И $ - \frac{1}{8} - \frac{11}{12} $

Е $ 2\frac{5}{6} - 1\frac{8}{15} $

Г $ 4\frac{13}{80} - 5\frac{11}{60} $

$ -1\frac{1}{48} $ $ 1,3 $ $ - \frac{1}{12} $ $ -0,9 $ $ 1,3 $ $ -0,2 $ $ - \frac{2}{9} $ $ -1\frac{1}{24} $ $ -2\frac{1}{6} $

Для того чтобы расшифровать слово, необходимо выполнить все действия и сопоставить полученные ответы с буквами.

Р

Приводим дроби к общему знаменателю 18:

$-\frac{1}{6} - \frac{1}{18} = -\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{1}{18} = -\frac{3}{18} - \frac{1}{18} = \frac{-3 - 1}{18} = -\frac{4}{18}$

Сокращаем полученную дробь на 2:

$-\frac{4 \div 2}{18 \div 2} = -\frac{2}{9}$

Ответ: $-\frac{2}{9}$

М

Находим общий знаменатель для 22 и 55. $НОК(22, 55) = 110$.

$-\frac{21}{22} + \frac{3}{55} = -\frac{21 \cdot 5}{22 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 2}{55 \cdot 2} = -\frac{105}{110} + \frac{6}{110} = \frac{-105 + 6}{110} = -\frac{99}{110}$

Сокращаем дробь на 11 и переводим в десятичную:

$-\frac{99 \div 11}{110 \div 11} = -\frac{9}{10} = -0,9$

Ответ: -0,9

Т

Представим смешанное число в виде десятичной дроби:

$-3 + 2\frac{4}{5} = -3 + 2,8 = -0,2$

Ответ: -0,2

Я

Переведем смешанное число в неправильную дробь и найдем общий знаменатель для 14 и 21, который равен 42:

$-1\frac{5}{14} - \frac{17}{21} = -\frac{19}{14} - \frac{17}{21} = -\frac{19 \cdot 3}{14 \cdot 3} - \frac{17 \cdot 2}{21 \cdot 2} = -\frac{57}{42} - \frac{34}{42} = \frac{-57-34}{42} = -\frac{91}{42}$

Сокращаем дробь на 7 и выделяем целую часть:

$-\frac{91 \div 7}{42 \div 7} = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6}$

Ответ: $-2\frac{1}{6}$

О

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{1}{12}$

Ответ: $-\frac{1}{12}$

И

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{1}{8} - \frac{11}{12} = -\frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = -\frac{3}{24} - \frac{22}{24} = \frac{-3-22}{24} = -\frac{25}{24}$

Выделяем целую часть:

$-\frac{25}{24} = -1\frac{1}{24}$

Ответ: $-1\frac{1}{24}$

Е

Переведем смешанные числа в неправильные дроби. Общий знаменатель для 6 и 15 равен 30.

$2\frac{5}{6} - 1\frac{8}{15} = \frac{17}{6} - \frac{23}{15} = \frac{17 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{23 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{85}{30} - \frac{46}{30} = \frac{39}{30}$

Сокращаем дробь на 3 и переводим в десятичную:

$\frac{39 \div 3}{30 \div 3} = \frac{13}{10} = 1,3$

Ответ: 1,3

Г

Выполним вычитание смешанных чисел. $НОК(80, 60) = 240$.

$4\frac{13}{80} - 5\frac{11}{60} = 4\frac{13 \cdot 3}{80 \cdot 3} - 5\frac{11 \cdot 4}{60 \cdot 4} = 4\frac{39}{240} - 5\frac{44}{240}$

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, представим вычитание иначе:

$-(5\frac{44}{240} - 4\frac{39}{240}) = -((5-4) + (\frac{44}{240} - \frac{39}{240})) = -(1 + \frac{5}{240}) = -1\frac{5}{240}$

Сокращаем дробную часть на 5:

$-1\frac{5 \div 5}{240 \div 5} = -1\frac{1}{48}$

Ответ: $-1\frac{1}{48}$

Теперь сопоставим полученные ответы с буквами и заполним таблицу:

Расшифрованное слово: ГЕОМЕТРИЯ.

Геометрия – это раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. Проще говоря, геометрия изучает формы, размеры, и положение фигур в пространстве.

339 Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй слово. Что оно означает?

P $- \frac{1}{6} - \frac{1}{18}$

M $- \frac{21}{22} + \frac{3}{55}$

T $-3 + 2\frac{4}{5}$

Я $-1\frac{5}{14} - \frac{17}{21}$

О $\frac{2}{3} - \frac{3}{4}$

И $-\frac{1}{8} - \frac{11}{12}$

Е $2\frac{5}{6} - 1\frac{8}{15}$

Г $4\frac{13}{80} - 5\frac{11}{60}$

$-1\frac{1}{48}$, $1,3$, $-\frac{1}{12}$, $-0,9$, $1,3$, $-0,2$, $-\frac{2}{9}$, $-1\frac{1}{24}$, $-2\frac{1}{6}$