Страница 70, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

281 В таблице представлены значения переменной $y$ при указанных значениях переменной $x$. Запиши зависимость $y$ от $x$ с помощью формулы. Построй график этой зависимости, если $0 \le x \le 6$.

1) $x$: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

$y$: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

2) $x$: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

$y$: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1)

Чтобы найти зависимость y от x, проанализируем данные в таблице.
При x = 0, y = 0.
При x = 1, y = 2.
При x = 2, y = 4.
При x = 3, y = 6.
Мы видим, что каждое значение y в два раза больше соответствующего значения x. Проверим это для всех значений: $0 \cdot 2 = 0$, $1 \cdot 2 = 2$, $2 \cdot 2 = 4$, $3 \cdot 2 = 6$, $4 \cdot 2 = 8$, $5 \cdot 2 = 10$, $6 \cdot 2 = 12$.
Следовательно, зависимость выражается формулой $y = 2x$.

Это линейная функция, график которой — прямая линия. Поскольку нам дана область определения $0 \le x \le 6$, графиком будет отрезок. Для построения отрезка найдем координаты его конечных точек.
Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 = 0$. Начальная точка отрезка — (0; 0).
Если $x = 6$, то $y = 2 \cdot 6 = 12$. Конечная точка отрезка — (6; 12).

Построим график этой зависимости — отрезок, соединяющий точки (0; 0) и (6; 12).

Ответ: $y = 2x$.

2)

Рассмотрим вторую таблицу.
При x = 0, y = 3.
При x = 1, y = 4.
При x = 2, y = 5.
В этом случае каждое значение y на 3 больше соответствующего значения x. Проверим: $0 + 3 = 3$, $1 + 3 = 4$, $2 + 3 = 5$, $3 + 3 = 6$, $4 + 3 = 7$, $5 + 3 = 8$, $6 + 3 = 9$.
Таким образом, зависимость можно записать в виде формулы $y = x + 3$.

Это также линейная функция. На отрезке $0 \le x \le 6$ ее график — отрезок прямой. Найдем его конечные точки.
Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Начальная точка — (0; 3).
Если $x = 6$, то $y = 6 + 3 = 9$. Конечная точка — (6; 9).

Построим график — отрезок, соединяющий точки (0; 3) и (6; 9).

Ответ: $y = x + 3$.

281 В таблице представлены значения переменной y при указанных значениях переменной x. Запиши зависимость y от x с помощью формулы. Построй график этой зависимости, если $0 \le x \le 6$.

1) x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

2) x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

282 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия.

Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

2) Какие из треугольников на рисунке являются равнобедренными? Назови их основания и боковые стороны.

A B C E M H R X S N Y Z D F K

3) Построй в координатном углу треугольник $ABC$, если $A (9; 0)$, $B (0; 6)$, $C (15; 9)$. Докажи, что треугольник $ABC$ – равнобедренный. Какие стороны этого треугольника являются боковыми сторонами, а какая сторона – основанием?

4) Построй произвольный равнобедренный треугольник. Соедини середину основания с противоположной вершиной. Измерь углы получившихся треугольников. Повтори эксперимент ещё 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли считать доказательством твоей гипотезы выполненные построения и измерения?

1)

В первом определении: "Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным" – определяется понятие равнобедренный треугольник.

Во втором определении: "Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием" – определяются понятия боковые стороны и основание равнобедренного треугольника.

Ответ: Равнобедренный треугольник, боковые стороны, основание.

2)

На рисунке равнобедренными являются треугольники EFM и XYZ, так как у них можно визуально определить по две равные стороны.

• В треугольнике EFM: боковые стороны – EF и EM, основание – FM.
• В треугольнике XYZ: боковые стороны – XY и XZ, основание – YZ.

Ответ: Равнобедренными являются треугольники EFM (основание FM, боковые стороны EF и EM) и XYZ (основание YZ, боковые стороны XY и XZ).

3)

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC – равнобедренный, нужно найти длины его сторон по координатам вершин A(9; 0), B(0; 6), C(15; 9), используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Найдем длину стороны AB:

$AB = \sqrt{(0 - 9)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117}$

2. Найдем длину стороны BC:

$BC = \sqrt{(15 - 0)^2 + (9 - 6)^2} = \sqrt{15^2 + 3^2} = \sqrt{225 + 9} = \sqrt{234}$

3. Найдем длину стороны AC:

$AC = \sqrt{(15 - 9)^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$

Так как длины сторон $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC = \sqrt{117}$), треугольник ABC является равнобедренным по определению. Равные стороны являются боковыми, а третья сторона – основанием.

Ответ: Боковые стороны – AB и AC, основание – BC.

4)

При выполнении построения и измерений можно заметить, что отрезок, соединяющий середину основания с противоположной вершиной (такой отрезок называется медианой), делит исходный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Углы при основании у этих новых треугольников равны, а угол при вершине исходного треугольника делится пополам.

Повторив эксперимент несколько раз с разными равнобедренными треугольниками, можно сформулировать следующую гипотезу: медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его высотой (образует с основанием прямые углы) и биссектрисой (делит угол при вершине пополам).

Считать выполненные построения и измерения доказательством этой гипотезы нельзя. Измерения всегда содержат погрешность, а несколько частных случаев, даже если они подтверждают гипотезу, не могут гарантировать, что она верна для абсолютно всех возможных равнобедренных треугольников. Математическое доказательство требует строгого логического вывода, основанного на аксиомах и ранее доказанных теоремах, а не на результатах эксперимента.

Ответ: Гипотеза: медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой и биссектрисой. Считать построение и измерения доказательством нельзя, так как это лишь наблюдение на частных примерах, а не строгое логическое обоснование для всех случаев.

282 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия:

Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

2) Какие из треугольников на рисунке являются равнобедренными? Назови их основания и боковые стороны.

3) Построй в координатном углу треугольник ABC, если $A (9; 0)$, $B (0; 6)$, $C (15; 9)$. Докажи, что треугольник ABC – равнобедренный. Какие стороны этого треугольника являются боковыми сторонами, а какая сторона – основанием?

4) Построй произвольный равнобедренный треугольник. Соедини середину основания с противоположной вершиной. Измерь углы получившихся треугольников. Повтори эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли считать доказательством твоей гипотезы выполненные построения и измерения?

Найди среднее арифметическое чисел:

1) m и n;

2) x, y и z;

3) 5 и $\frac{1}{5}$;

4) 8,25 и 1,15;

5) 0,48; 3,4 и 5,816;

6) 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3; 3,1; 3,2.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество.

1) m и n

Даны два числа: $m$ и $n$.
Их сумма равна $m + n$.
Количество чисел равно 2.
Среднее арифметическое: $\frac{m + n}{2}$.
Ответ: $\frac{m + n}{2}$.

2) x, y и z

Даны три числа: $x, y$ и $z$.
Их сумма равна $x + y + z$.
Количество чисел равно 3.
Среднее арифметическое: $\frac{x + y + z}{3}$.
Ответ: $\frac{x + y + z}{3}$.

3) 5 и 1/5

Даны два числа: 5 и $\frac{1}{5}$.
Представим дробь $\frac{1}{5}$ в виде десятичной: $\frac{1}{5} = 0,2$.
Найдем сумму чисел: $5 + 0,2 = 5,2$.
Разделим сумму на количество чисел (2): $\frac{5,2}{2} = 2,6$.
Ответ: 2,6.

4) 8,25 и 1,15

Даны два числа: 8,25 и 1,15.
Найдем их сумму: $8,25 + 1,15 = 9,4$.
Разделим сумму на количество чисел (2): $\frac{9,4}{2} = 4,7$.
Ответ: 4,7.

5) 0,48; 3,4 и 5,816

Даны три числа: 0,48; 3,4 и 5,816.
Найдем их сумму: $0,48 + 3,4 + 5,816 = 9,696$.
Разделим сумму на количество чисел (3): $\frac{9,696}{3} = 3,232$.
Ответ: 3,232.

6) 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3; 3,1; 3,2

Дан ряд из 10 чисел: 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3; 3,1; 3,2.
Найдем их сумму:
$2,3 + 2,4 + 2,5 + 2,6 + 2,7 + 2,8 + 2,9 + 3,0 + 3,1 + 3,2 = 27,5$.
Разделим сумму на количество чисел (10): $\frac{27,5}{10} = 2,75$.
Для справки: данный ряд чисел представляет собой арифметическую прогрессию. В этом случае среднее арифметическое можно найти как полусумму первого и последнего членов: $\frac{2,3 + 3,2}{2} = \frac{5,5}{2} = 2,75$.
Ответ: 2,75.

D 283 Найди среднее арифметическое чисел:

1) $m$ и $n$;

2) $x$, $y$ и $z$;

3) 5 и $\frac{1}{5}$;

4) 8,25 и 1,15;

5) 0,48; 3,4 и 5,816;

6) 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9; 3; 3,1; 3,2.

284 В одной из игр КВН команда «Верные друзья» получила за домашнее задание оценки 5; 6; 4; 5; 6, а их соперники, команда «Гусары», за это же задание получила оценки 4; 5; 7; 5; 4. Какая из команд лучше справилась с домашним заданием? Какая команда победила в этой игре, если конкурс «Домашнее задание» был последним, а перед его проведением у команды «Верные друзья» было 26,7 балла, а у команды «Гусары» – 26,8 балла?

Какая из команд лучше справилась с домашним заданием?

Чтобы определить, какая команда лучше справилась с заданием, необходимо найти общую сумму баллов, полученных каждой командой в этом конкурсе.

1. Рассчитаем сумму баллов для команды «Верные друзья»:
$5 + 6 + 4 + 5 + 6 = 26$ баллов.

2. Рассчитаем сумму баллов для команды «Гусары»:
$4 + 5 + 7 + 5 + 4 = 25$ баллов.

Сравним результаты: $26 > 25$. Следовательно, команда «Верные друзья» набрала больше баллов за домашнее задание.

Ответ: Команда «Верные друзья» лучше справилась с домашним заданием.

Какая команда победила в этой игре?

Чтобы определить победителя всей игры, нужно сложить баллы, которые были у команд до последнего конкурса, с баллами, заработанными в конкурсе «Домашнее задание».

1. Найдем итоговый счет команды «Верные друзья»:
$26,7$ (баллы до конкурса) $+ 26$ (баллы за конкурс) $= 52,7$ балла.

2. Найдем итоговый счет команды «Гусары»:
$26,8$ (баллы до конкурса) $+ 25$ (баллы за конкурс) $= 51,8$ балла.

Сравним итоговые счета команд: $52,7 > 51,8$. Команда «Верные друзья» набрала больше баллов по итогам всей игры.

Ответ: В игре победила команда «Верные друзья».

284 В одной из игр КВН команда “Верные друзья” получила за домашнее задание оценки $5$; $6$; $4$; $5$; $6$, а их соперники, команда “Гусары”, за это же задание получила оценки $4$; $5$; $7$; $5$; $4$. Какая из команд лучше справилась с домашним заданием? Какая команда победила в этой игре, если конкурс “Домашнее задание” был последним, а перед его проведением у команды “Верные друзья” было $26,7$ балла, а у команды “Гусары” – $26,8$ балла?

314 Двум рабочим было поручено изготовить по 60 деталей. Однако производительность первого рабочего была на $20\%$ выше, чем у второго, и через 9 ч второму рабочему осталось сделать в $2,5$ раза больше деталей, чем первому. На сколько деталей в час больше делал первый рабочий, чем второй, если их производительность была постоянной?

Пусть производительность второго рабочего составляет $x$ деталей в час. Тогда производительность первого рабочего, которая на 20% выше, составляет $x + 0.2x = 1.2x$ деталей в час.

За 9 часов работы первый рабочий изготовил $9 \cdot 1.2x = 10.8x$ деталей, а второй рабочий изготовил $9 \cdot x = 9x$ деталей.

Каждому рабочему было поручено изготовить по 60 деталей. Следовательно, через 9 часов первому рабочему осталось сделать $60 - 10.8x$ деталей, а второму — $60 - 9x$ деталей.

Согласно условию, второму рабочему осталось сделать в 2,5 раза больше деталей, чем первому. На основании этого составим и решим уравнение:

$60 - 9x = 2.5 \cdot (60 - 10.8x)$

$60 - 9x = 150 - 27x$

$27x - 9x = 150 - 60$

$18x = 90$

$x = \frac{90}{18}$

$x = 5$

Таким образом, производительность второго рабочего — 5 деталей в час.

Производительность первого рабочего: $1.2x = 1.2 \cdot 5 = 6$ деталей в час.

Теперь найдем, на сколько деталей в час больше делал первый рабочий, чем второй:

$6 - 5 = 1$ (деталь/час).

Ответ: на 1 деталь.

314 Двум рабочим было поручено изготовить по 60 деталей. Однако производительность первого рабочего была на 20% выше, чем у второго, и через 9 ч второму рабочему осталось сделать в 2,5 раза больше деталей, чем первому. На сколько деталей в час больше делал первый рабочий, чем второй, если их производительность была постоянной?

315. a) В прямоугольной системе координат построй четырёхугольник $ABCD$, если $A(-6; 2)$, $B(6; 8)$, $C(8; -5)$ и $D(-4; -2)$. Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

б) Построй окружность с центром в точке $A(-3; 5)$ и радиусом $5$ единичных отрезков. Найди координаты её точек пересечения с осями координат.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, нужно найти уравнения прямых, на которых лежат диагонали AC и BD, а затем решить систему этих уравнений.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

1. Найдем уравнение прямой AC, проходящей через точки A(-6; 2) и C(8; -5).
$\frac{y - 2}{-5 - 2} = \frac{x - (-6)}{8 - (-6)}$
$\frac{y - 2}{-7} = \frac{x + 6}{14}$
Умножим обе части уравнения на 14:
$-2(y - 2) = x + 6$
$-2y + 4 = x + 6$
$x + 2y + 2 = 0$

2. Найдем уравнение прямой BD, проходящей через точки B(6; 8) и D(-4; -2).
$\frac{y - 8}{-2 - 8} = \frac{x - 6}{-4 - 6}$
$\frac{y - 8}{-10} = \frac{x - 6}{-10}$
$y - 8 = x - 6$
$x - y + 2 = 0$

3. Решим систему уравнений для прямых AC и BD, чтобы найти их точку пересечения:
$\begin{cases} x + 2y + 2 = 0 \\ x - y + 2 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y - 2) + 2y + 2 = 0$
$3y = 0$
$y = 0$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=0$ в выражение для $x$:
$x = 0 - 2 = -2$
Координаты точки пересечения диагоналей: (-2; 0).

Ответ: (-2; 0).

б) Уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $R$ задается формулой: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности находится в точке A(-3; 5), а радиус $R = 5$. Составим уравнение данной окружности:
$(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 5^2$
$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

1. Чтобы найти координаты точек пересечения с осью абсцисс (Ox), нужно подставить $y = 0$ в уравнение окружности:
$(x + 3)^2 + (0 - 5)^2 = 25$
$(x + 3)^2 + 25 = 25$
$(x + 3)^2 = 0$
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Таким образом, окружность имеет одну точку пересечения (касания) с осью Ox: (-3; 0).

2. Чтобы найти координаты точек пересечения с осью ординат (Oy), нужно подставить $x = 0$ в уравнение окружности:
$(0 + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$
$9 + (y - 5)^2 = 25$
$(y - 5)^2 = 16$
$y - 5 = \pm\sqrt{16}$
$y - 5 = 4$ или $y - 5 = -4$
Из первого уравнения $y_1 = 9$, из второго $y_2 = 1$.
Таким образом, окружность имеет две точки пересечения с осью Oy: (0; 1) и (0; 9).

Ответ: с осью Ox: (-3; 0); с осью Oy: (0; 1) и (0; 9).

315 а) В прямоугольной системе координат построй четырехугольник $ABCD$, если $A(-6; 2)$, $B(6; 8)$, $C(8; -5)$ и $D(-4; -2)$. Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

б) Построй окружность с центром в точке $A(-3; 5)$ и радиусом $5$ единичных отрезков. Найди координаты ее точек пересечения с осями координат.

316 Построй в одной координатной плоскости графики зависимостей $y = kx$, если $k = -\frac{1}{2}$ и $k = -2$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу о расположении графиков зависимостей вида $y = kx (k < 0)$ и проверь её для $k = -\frac{1}{4}$ и $k = -4$.

Построй в одной координатной плоскости графики зависимостей y = kx, если k = -1/2 и k = -2. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу о расположении графиков зависимостей вида y = kx (k < 0)

Зависимость $y=kx$ является прямой пропорциональностью, её график — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для построения прямой достаточно найти ещё одну точку для каждого значения $k$.

1. Построим график функции $y = -\frac{1}{2}x$.

Найдём координаты второй точки. Пусть $x = 2$, тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Таким образом, график проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.

2. Построим график функции $y = -2x$.

Найдём координаты второй точки. Пусть $x = 1$, тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. Таким образом, график проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.

Оба графика расположены во II и IV координатных четвертях, так как угловой коэффициент $k$ отрицателен.

Наблюдение:

Сравнивая два построенных графика, можно заметить, что график функции $y = -2x$ расположен «круче», то есть он находится ближе к оси ординат (оси OY), чем график функции $y = -\frac{1}{2}x$. Это связано с абсолютным значением (модулем) коэффициента $k$: $|-2| = 2$, а $|-\frac{1}{2}| = 0.5$. Поскольку $2 > 0.5$, график с большим по модулю коэффициентом расположен ближе к оси OY.

Гипотеза:

Графиком зависимости $y=kx$ при $k < 0$ является прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях. Чем больше модуль коэффициента $k$ (то есть $|k|$), тем круче идет прямая, то есть тем меньший острый угол она образует с осью OY (и тем больше тупой угол с осью ОХ).

Ответ: Графики $y = -\frac{1}{2}x$ и $y = -2x$ — прямые, проходящие через начало координат. График $y = -2x$ расположен круче (ближе к оси OY). Гипотеза: для $y=kx$ с $k<0$, чем больше $|k|$, тем график ближе к оси OY.

Проверь её для k = -1/4 и k = -4

Для проверки гипотезы построим графики для $k = -\frac{1}{4}$ и $k = -4$.

1. Для функции $y = -\frac{1}{4}x$:

Пусть $x = 4$, тогда $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. График проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$.

2. Для функции $y = -4x$:

Пусть $x = 1$, тогда $y = -4 \cdot 1 = -4$. График проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -4)$.

Сравним модули всех четырех коэффициентов: $|-4| = 4$; $|-2| = 2$; $|-\frac{1}{2}| = 0.5$; $|-\frac{1}{4}| = 0.25$.

Мы видим, что $4 > 2 > 0.5 > 0.25$, то есть $|-4| > |-2| > |-\frac{1}{2}| > |-\frac{1}{4}|$.

Согласно гипотезе, график $y = -4x$ должен быть самым крутым (ближе всего к оси OY), а график $y = -\frac{1}{4}x$ — самым пологим (ближе всего к оси OX). При построении этих графиков видно, что прямая $y = -4x$ действительно образует наименьший острый угол с осью OY, а прямая $y = -\frac{1}{4}x$ — наибольший. Это подтверждает выдвинутую гипотезу.

Ответ: Гипотеза подтвердилась. Сравнение модулей коэффициентов $|-4| > |-\frac{1}{4}|$ показывает, что график $y=-4x$ должен быть круче, что и подтверждается при построении. Прямая $y=-4x$ расположена ближе к оси OY, чем прямая $y = -\frac{1}{4}x$.

316 Построй в одной координатной плоскости графики зависимостей $y = kx$, если $k = -\frac{1}{2}$ и $k = -2$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу о расположении графиков зависимостей вида $y = kx$ $(k < 0)$ и проверь ее для $k = -\frac{1}{4}$ и $k = -4$.

317 Найди истинные высказывания и запиши их на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их.

а) Если первое число больше второго, а второе – больше третьего, то первое число больше третьего.

б) Если число кратно 2 и 5, то оно кратно 25.

в) Модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.

а)

Высказывание "Если первое число больше второго, а второе – больше третьего, то первое число больше третьего" является истинным. Это свойство транзитивности отношения "больше" для чисел.

Запишем его на математическом языке. Пусть $a$, $b$ и $c$ — три числа. Тогда высказывание можно представить в виде импликации (логического следования):

$(a > b) \land (b > c) \Rightarrow a > c$

Здесь $a > b$ означает "первое число больше второго", $b > c$ означает "второе число больше третьего", $a > c$ означает "первое число больше третьего", а знак $\land$ заменяет союз "и".

Ответ: $(a > b) \land (b > c) \Rightarrow a > c$.

б)

Высказывание "Если число кратно 2 и 5, то оно кратно 25" является ложным.

Отрицание для высказывания в форме "Если A, то B" строится по схеме "A и не B". В данном случае:

• A: "число кратно 2 и 5"
• B: "оно кратно 25"

Следовательно, отрицание будет звучать так: "Существует число, которое кратно 2 и 5, но не кратно 25".

Обоснуем ложность исходного высказывания, приведя контрпример, который подтверждает истинность отрицания. Если число кратно 2 и 5, то оно кратно их наименьшему общему кратному, то есть $10$. Возьмем число $10$. Оно кратно 2 и 5, но $10$ не кратно $25$. Так как мы нашли хотя бы один пример, когда условие выполняется, а заключение — нет, исходное высказывание ложно.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существует число, которое кратно 2 и 5, но не кратно 25". Обоснование: например, число 10 кратно 2 и 5, но не кратно 25.

в)

Высказывание "Модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному" является истинным. Это следует из определения модуля числа.

Запишем его на математическом языке. Пусть $x$ — некоторое число.

Условие "число отрицательное" записывается как $x < 0$.

Заключение "модуль числа равен числу, противоположному данному" записывается как $|x| = -x$.

Объединив условие и заключение с помощью знака импликации, получаем:

$x < 0 \Rightarrow |x| = -x$

Ответ: $x < 0 \Rightarrow |x| = -x$.

317 Найди истинные высказывания и запиши их на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их.

а) Если первое число больше второго, а второе – больше третьего, то первое число больше третьего.

б) Если число кратно 2 и 5, то оно кратно 25.

в) Модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.

318 Запиши данное высказывание и обратное к нему с помощью знака $\Rightarrow$:

Если число кратно 2 и 3, то оно кратно 6.

Объедини оба высказывания в одно предложение разными способами.

Запиши данное высказывание и обратное к нему с помощью знака ⇒:

Исходное высказывание: «Если число кратно 2 и 3, то оно кратно 6».

Введем обозначения для простых высказываний:
A: «Число кратно 2 и 3».
B: «Число кратно 6».

Тогда исходное высказывание можно записать в виде логической импликации $A \Rightarrow B$.
Запись с помощью знака ⇒: (Число кратно 2 и 3) $\Rightarrow$ (число кратно 6).

Обратное высказывание получается путем замены местами условия и заключения.
Словесная формулировка обратного высказывания: «Если число кратно 6, то оно кратно 2 и 3».
В символьной форме это импликация $B \Rightarrow A$.
Запись с помощью знака ⇒: (Число кратно 6) $\Rightarrow$ (число кратно 2 и 3).

Ответ:
Данное высказывание: (Число кратно 2 и 3) $\Rightarrow$ (число кратно 6).
Обратное к нему: (Число кратно 6) $\Rightarrow$ (число кратно 2 и 3).

Объедини оба высказывания в одно предложение разными способами.

Объединить два высказывания (прямое и обратное) в одно предложение означает сформулировать их эквивалентность, так как оба они являются истинными. Эквивалентность в логике обозначается знаком $A \Leftrightarrow B$ и читается как «A тогда и только тогда, когда B».

Вот несколько способов сформулировать это в виде одного предложения:

1. С помощью оборота «тогда и только тогда, когда»:
Число кратно 6 тогда и только тогда, когда оно кратно 2 и 3.

2. С помощью оборота «необходимо и достаточно»:
Для того чтобы число было кратно 6, необходимо и достаточно, чтобы оно было кратно 2 и 3.

3. Используя понятие критерия (или признака делимости):
Критерием (или признаком) кратности числа шести является его кратность одновременно двум и трем.

4. Через равносильность утверждений:
Утверждение «число кратно 6» равносильно утверждению «число кратно 2 и 3».

Ответ:
1. Число кратно 6 тогда и только тогда, когда оно кратно 2 и 3.
2. Для того чтобы число было кратно 6, необходимо и достаточно, чтобы оно было кратно 2 и 3.

318 Запиши данное высказывание и обратное к нему с помощью знака $ \Rightarrow $:

Если число кратно 2 и 3, то оно кратно 6.

Объедини оба высказывания в одно предложение разными способами.

319 Два пешехода идут с разной скоростью: 50 м/мин и 70 м/мин. Сейчас расстояние между ними равно 600 м. Каким оно станет через $t$ мин, если пешеходы движутся:

а) навстречу друг другу;

$d = 600 - (50 + 70)t$

б) в противоположных направлениях;

$d = 600 + (50 + 70)t$

в) вдогонку;

$d = 600 - (70 - 50)t$

г) с отставанием?

$d = 600 + (70 - 50)t$

Запиши для всех четырёх случаев формулу зависимости расстояния $d$ м между ними от времени движения $t$ мин. (Встречи за это время не произойдёт.)

Для решения задачи обозначим скорости пешеходов как $v_1 = 50$ м/мин и $v_2 = 70$ м/мин. Начальное расстояние между ними составляет $S_0 = 600$ м. Нам необходимо вывести формулу для нахождения расстояния $d$ между ними через время $t$ мин для каждого из четырех случаев.

а) навстречу друг другу

Когда пешеходы движутся навстречу друг другу, они сближаются. Скорость их сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 50 + 70 = 120$ м/мин.
Каждую минуту расстояние между ними сокращается на 120 метров. За время $t$ минут расстояние между ними уменьшится на $120 \times t$ метров.
Чтобы найти новое расстояние $d$, нужно из начального расстояния вычесть то расстояние, на которое они сблизились:
$d = S_0 - v_{сближения} \times t$
$d = 600 - 120t$.
Ответ: $d = 600 - 120t$.

б) в противоположных направлениях

Когда пешеходы движутся в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Скорость их удаления равна сумме их скоростей:
$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 50 + 70 = 120$ м/мин.
Каждую минуту расстояние между ними увеличивается на 120 метров. За время $t$ минут расстояние между ними увеличится на $120 \times t$ метров.
Новое расстояние $d$ будет равно сумме начального расстояния и расстояния, на которое они удалились:
$d = S_0 + v_{удаления} \times t$
$d = 600 + 120t$.
Ответ: $d = 600 + 120t$.

в) вдогонку

Движение вдогонку означает, что более быстрый пешеход ($v_2 = 70$ м/мин) находится позади и догоняет более медленного ($v_1 = 50$ м/мин). Расстояние между ними сокращается. Скорость сближения в этом случае равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_2 - v_1 = 70 - 50 = 20$ м/мин.
Каждую минуту расстояние между ними сокращается на 20 метров. За время $t$ минут расстояние между ними уменьшится на $20 \times t$ метров.
Новое расстояние $d$ будет равно разности начального расстояния и расстояния, на которое они сблизились:
$d = S_0 - v_{сближения} \times t$
$d = 600 - 20t$.
Ответ: $d = 600 - 20t$.

г) с отставанием

Движение с отставанием означает, что пешеходы движутся в одном направлении, но более медленный ($v_1 = 50$ м/мин) находится позади более быстрого ($v_2 = 70$ м/мин). В этом случае расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности их скоростей:
$v_{удаления} = v_2 - v_1 = 70 - 50 = 20$ м/мин.
Каждую минуту расстояние между ними увеличивается на 20 метров. За время $t$ минут расстояние между ними увеличится на $20 \times t$ метров.
Новое расстояние $d$ будет равно сумме начального расстояния и расстояния, на которое они удалились:
$d = S_0 + v_{удаления} \times t$
$d = 600 + 20t$.
Ответ: $d = 600 + 20t$.

319 Два пешехода идут с разной скоростью: 50 м/мин и 70 м/мин. Сейчас расстояние между ними равно 600 м. Каким оно станет через $t$ мин, если пешеходы движутся:

а) навстречу друг другу;

б) в противоположных направлениях;

в) вдогонку;

г) с отставанием?

Запиши для всех четырех случаев формулу зависимости расстояния $d$ м между ними от времени движения $t$ мин. (Встречи за это время не произойдет.)

320 Найди число, 20 % которого составляют:

$15.7 - 14.7 \div (-0.75 + 0.7 \div (-2\frac{1}{3})) \cdot 2.45$

Чтобы найти искомое число, сначала необходимо вычислить значение выражения, которое по условию составляет 20% от этого числа.

Вычислим значение выражения $15,7 - 14,7 : (-0,75 + 0,7 : (-2\frac{1}{3})) \cdot 2,45$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала выполним действие в самых внутренних скобках — деление. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:
$0,7 = \frac{7}{10}$
$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$
Теперь выполним деление:
$0,7 : (-2\frac{1}{3}) = \frac{7}{10} : (-\frac{7}{3}) = \frac{7}{10} \cdot (-\frac{3}{7}) = -\frac{3}{10} = -0,3$.

2. Теперь выполним сложение в скобках:
$-0,75 + (-0,3) = -0,75 - 0,3 = -1,05$.

3. Далее, согласно порядку действий, выполним деление:
$14,7 : (-1,05) = - (1470 : 105) = -14$.

4. Следующим действием выполним умножение:
$-14 \cdot 2,45 = -34,3$.

5. Последним действием выполним вычитание:
$15,7 - (-34,3) = 15,7 + 34,3 = 50$.

Мы выяснили, что 20% от искомого числа равны 50.

Теперь найдем само число. Обозначим искомое число за $x$. Мы знаем, что 20% — это 0,2 от числа. Составим и решим уравнение:
$0,2 \cdot x = 50$
$x = 50 : 0,2$
$x = 500 : 2$
$x = 250$.

Ответ: 250.

320Найди число, 20% которого составляют:

$15,7 - 14,7 : (-0,75 + 0,7 : (-2\frac{1}{3})) \cdot 2,45$.

321 Уменьши на 20 % число: $\frac{-0.02 \cdot (6.2 \div 0.31 - \frac{5}{6} \cdot 7.2) - 1.52}{\frac{4}{11} \cdot (-2.2) \div (-0.1) - 10}$.

Для решения задачи необходимо сначала вычислить значение числового выражения, а затем уменьшить полученный результат на 20%.

1. Вычислим значение выражения: $ \frac{-0,02 \cdot (6,2 : 0,31 - \frac{5}{6} \cdot 7,2) - 1,52}{\frac{4}{11} \cdot (-2,2) : (-0,1) - 10} $.

Выполним вычисления по действиям, сначала для числителя:

1) $ 6,2 : 0,31 = 620 : 31 = 20 $

2) $ \frac{5}{6} \cdot 7,2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{72}{10} = \frac{5 \cdot 72}{6 \cdot 10} = \frac{360}{60} = 6 $

3) $ 20 - 6 = 14 $

4) $ -0,02 \cdot 14 = -0,28 $

5) $ -0,28 - 1,52 = -1,8 $

Числитель равен -1,8.

Теперь выполним вычисления для знаменателя:

6) $ \frac{4}{11} \cdot (-2,2) = \frac{4}{11} \cdot (-\frac{22}{10}) = -\frac{4 \cdot 22}{11 \cdot 10} = -\frac{4 \cdot 2}{10} = -\frac{8}{10} = -0,8 $

7) $ -0,8 : (-0,1) = 8 $

8) $ 8 - 10 = -2 $

Знаменатель равен -2.

Теперь найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{-1,8}{-2} = 0,9 $

Таким образом, исходное число равно 0,9.

2. Уменьшим полученное число 0,9 на 20%.

Уменьшить число на 20% — это то же самое, что найти 80% от этого числа (100% - 20% = 80%). Чтобы найти 80% от числа, нужно умножить его на 0,8.

$ 0,9 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 0,9 \cdot (1 - 0,2) = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72 $

Ответ: 0,72

321 Уменьши на 20% число:

$\frac{-0.02 \cdot (6.2 : 0.31 - \frac{5}{6} \cdot 7.2) - 1.52}{\frac{4}{11} \cdot (-2.2) : (-0.1) - 10}$

322 Реши уравнение методом проб и ошибок: $x(x+4)=45, x \in N.$

Для решения уравнения $x(x + 4) = 45$ методом проб и ошибок, необходимо найти такое натуральное число $x$ (где $x \in N$), при подстановке которого в уравнение получится верное равенство.

Левая часть уравнения представляет собой произведение двух чисел: $x$ и $(x+4)$. Эти числа отличаются друг от друга на 4. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти два множителя числа 45, разность между которыми равна 4.

Рассмотрим все пары натуральных множителей числа 45 и проверим их разность:

1. Пара множителей 1 и 45. Их разность $45 - 1 = 44$. Это значение не равно 4, поэтому эта пара не является решением.
2. Пара множителей 3 и 15. Их разность $15 - 3 = 12$. Это значение не равно 4, поэтому эта пара также не подходит.
3. Пара множителей 5 и 9. Их разность $9 - 5 = 4$. Это искомое значение.

Мы нашли подходящую пару множителей. Меньший множитель соответствует $x$, а больший — $(x+4)$. Следовательно, $x=5$.

Выполним проверку, подставив найденное значение $x=5$ в исходное уравнение:

$5 \cdot (5 + 4) = 5 \cdot 9 = 45$

$45 = 45$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: 5

322 Реши уравнение методом проб и ошибок: $x(x+4)=45, x \in N$.

323 Реши уравнение методом перебора: $x^2 - 8x = 20$, $x \in N$.

Дано уравнение $x^2 - 8x = 20$, где $x$ — натуральное число ($x \in N$). Решим его методом перебора, то есть будем последовательно подставлять натуральные числа вместо $x$ до тех пор, пока не получим верное равенство.

Чтобы сделать перебор более эффективным, преобразуем левую часть уравнения: $x(x-8) = 20$.

Поскольку $x$ по условию является натуральным числом, то $x > 0$. Чтобы произведение $x(x-8)$ было равно положительному числу 20, второй множитель $(x-8)$ также должен быть положительным. Из неравенства $x-8 > 0$ следует, что $x > 8$.

Таким образом, нам нужно проверять только натуральные числа, которые больше 8.

Начнем перебор с наименьшего подходящего натурального числа, то есть с $x = 9$.

1. Проверим $x = 9$:
$9^2 - 8 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.
$9 \neq 20$. Значит, $x=9$ не является корнем уравнения.

2. Проверим $x = 10$:
$10^2 - 8 \cdot 10 = 100 - 80 = 20$.
$20 = 20$. Значит, $x=10$ является корнем уравнения.

Можно проверить следующее число, чтобы убедиться, что других решений нет. При $x > 10$ значение левой части будет только увеличиваться. Например, для $x=11$:
$11^2 - 8 \cdot 11 = 121 - 88 = 33$.
$33 \neq 20$.

Следовательно, единственным натуральным корнем уравнения является 10.

Ответ: 10.

323 Реши уравнение методом перебора: $x^2 - 8x = 20, x \in N.$