Страница 68, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

270 Докажи или опровергни высказывания.

1) Среднее арифметическое нескольких равных чисел равно каждому из них.

2) Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел равно второму числу.

3) Среднее арифметическое двух чётных чисел есть число чётное.

4) Среднее арифметическое двух нечётных чисел есть число нечётное.

1) Данное высказывание верно.
Доказательство:
Пусть у нас есть $n$ равных чисел, и каждое из них равно $a$. Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество.
Сумма этих чисел равна: $\underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ раз}} = n \times a$.
Количество чисел равно $n$.
Тогда среднее арифметическое равно: $\frac{n \times a}{n} = a$.
Среднее арифметическое равно $a$, то есть каждому из этих чисел.
Ответ: высказывание верно.

2) Данное высказывание верно.
Доказательство:
Возьмем три последовательных натуральных числа. Обозначим их как $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ – натуральное число. Второе число в этой последовательности — $n+1$.
Найдем их среднее арифметическое:
$\frac{n + (n+1) + (n+2)}{3} = \frac{3n + 3}{3}$
Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:
$\frac{3(n+1)}{3}$
Сократим дробь на 3 и получим $n+1$.
Результат $n+1$ равен второму числу.
Ответ: высказывание верно.

3) Данное высказывание неверно.
Опровержение:
Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один пример, который ему противоречит (контрпример).
Возьмем два чётных числа: 2 и 4.
Найдем их среднее арифметическое:
$\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Результат, число 3, является нечётным. Таким образом, высказывание опровергнуто.
Ответ: высказывание неверно.

4) Данное высказывание неверно.
Опровержение:
Приведем контрпример. Возьмем два нечётных числа: 1 и 3.
Найдем их среднее арифметическое:
$\frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Результат, число 2, является чётным. Таким образом, высказывание опровергнуто.
Ответ: высказывание неверно.

270 Докажи или опровергни высказывания:

1) Среднее арифметическое нескольких равных чисел равно каждому из них.

2) Среднее арифметическое трех последовательных натуральных чисел равно второму числу.

3) Среднее арифметическое двух четных чисел есть число четное.

4) Среднее арифметическое двух нечетных чисел есть число нечетное.

271 Реши круговые примеры, начиная с первого (ответ каждого примера – первое число в следующем примере), и прочитай девиз, которым руководствуются многие люди. А у тебя есть свой девиз?

Чтобы решить задачу, нужно последовательно выполнять действия, используя ответ предыдущего примера как первое число в следующем. Начнем с примера Б) и будем следовать по цепочке.

Б) $1,2 \cdot 8 = 9,6$
Ответ: $9,6$

Е) $9,6 + 4 = 13,6$
Ответ: $13,6$

Р) $13,6 \cdot 0,5 = 6,8$
Ответ: $6,8$

Е) $6,8 : 0,4 = 17$
Ответ: $17$

Г) $17 - 4,5 = 12,5$
Ответ: $12,5$

И) $12,5 \cdot 0,8 = 10$
Ответ: $10$

Ч) $10 : 15 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

Е) $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0,5$
Ответ: $0,5$

С) $0,5 + 5,5 = 6$
Ответ: $6$

Т) $6 : 20 = 0,3$
Ответ: $0,3$

Ь) $0,3 \cdot 18 = 5,4$
Ответ: $5,4$

С) $5,4 - 4,8 = 0,6$
Ответ: $0,6$

М) $0,6 \cdot \frac{5}{12} = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{12} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: $0,25$

О) $0,25 + 2,5 = 2,75$
Ответ: $2,75$

Л) $2,75 \cdot \frac{4}{11} = 2\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{11}{4} \cdot \frac{4}{11} = 1$
Ответ: $1$

О) $1 : 0,01 = 100$
Ответ: $100$

Д) $100 : 125 = \frac{100}{125} = \frac{4}{5} = 0,8$
Ответ: $0,8$

У) $0,8 + 0,4 = 1,2$
Ответ: $1,2$

Последний ответ, $1,2$, является первым числом в начальном примере, что подтверждает правильность решения круговых примеров.

Теперь соберем буквы из решенных примеров в правильном порядке, чтобы прочитать девиз:

БЕРЕГИ ЧЕСТЬ СМОЛОДУ

На вопрос «А у тебя есть свой девиз?» можно ответить так: как у искусственного интеллекта, у меня нет личного девиза в человеческом понимании. Однако моя основная цель — предоставлять точную и полезную информацию, помогая людям учиться и решать их задачи. Этот принцип можно считать моим рабочим девизом.

П 271 Реши круговые примеры, начиная с первого (ответ каждого примера – первое число в следующем примере), и прочитай девиз, которым руководствуются многие люди. А у тебя есть свой девиз?

Б: $1,2 \cdot 8$

О: $0,25 + 2,5$

С: $0,5 + 5,5$

У: $0,8 + 0,4$

Т: $6 : 20$

Ч: $10 : 15$

И: $12,5 \cdot 0,8$

Р: $13,6 \cdot 0,5$

Е: $9,6 + 4$

Г: $17 - 4,5$

С: $5,4 - 4,8$

Ь: $0,3 \cdot 18$

Е: $6,8 : 0,4$

О: $1 : 0,01$

Д: $100 : 125$

М: $0,6 \cdot \frac{5}{12}$

Е: $\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$

Л: $2,75 \cdot \frac{4}{11}$

272 1) Построй координатный луч ($e = 3$ см) и отметь на нём точки $A(\frac{1}{3})$, $B(2)$, $C(2\frac{1}{3})$, $D(3,5)$. На каком расстоянии от начала отсчёта они находятся? Найди длины отрезков $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

2) На координатном луче отмечены точки $A(a)$ и $B(b)$, где $b > a$. На каком расстоянии от начала отсчёта они находятся? Найди длину отрезка $AB$ и координату середины этого отрезка $-$ точки $M$.

1) Построим координатный луч с началом отсчёта O(0) и единичным отрезком $e = 3$ см.

Расстояние от точки до начала отсчёта вычисляется как произведение её координаты на длину единичного отрезка.
- Расстояние до точки A($\frac{1}{3}$): $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ см.
- Расстояние до точки B(2): $2 \cdot 3 = 6$ см.
- Расстояние до точки C($2\frac{1}{3}$): $2\frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$ см.
- Расстояние до точки D(3,5): $3,5 \cdot 3 = 10,5$ см.

Длина отрезка между двумя точками на луче — это модуль разности их координат, умноженный на длину единичного отрезка.
- Длина AB: $|2 - \frac{1}{3}| \cdot 3 = 1\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5$ см.
- Длина AC: $|2\frac{1}{3} - \frac{1}{3}| \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$ см.
- Длина AD: $|3,5 - \frac{1}{3}| \cdot 3 = |\frac{7}{2} - \frac{1}{3}| \cdot 3 = |\frac{21 - 2}{6}| \cdot 3 = \frac{19}{6} \cdot 3 = 9,5$ см.
- Длина BC: $|2\frac{1}{3} - 2| \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ см.
- Длина BD: $|3,5 - 2| \cdot 3 = 1,5 \cdot 3 = 4,5$ см.
- Длина CD: $|3,5 - 2\frac{1}{3}| \cdot 3 = |\frac{7}{2} - \frac{7}{3}| \cdot 3 = |\frac{21 - 14}{6}| \cdot 3 = \frac{7}{6} \cdot 3 = 3,5$ см.

Ответ: Расстояния от начала отсчёта: A - 1 см, B - 6 см, C - 7 см, D - 10,5 см. Длины отрезков: AB = 5 см, AC = 6 см, AD = 9,5 см, BC = 1 см, BD = 4,5 см, CD = 3,5 см.

2) Для точек A(a) и B(b) на координатном луче, где $b > a$:

- Расстояние от начала отсчёта до точки A равно её координате $a$.
- Расстояние от начала отсчёта до точки B равно её координате $b$.
- Длина отрезка AB, как разность расстояний от начала отсчёта, равна $b - a$ (поскольку $b>a$).
- Координата середины отрезка AB, точки M, равна среднему арифметическому координат его концов: $\frac{a + b}{2}$.

Ответ: Расстояние от начала отсчёта до точки A равно $a$, до точки B равно $b$. Длина отрезка AB равна $b - a$. Координата середины этого отрезка (точки M) равна $\frac{a + b}{2}$.

272 1) Построй координатный луч ($e=3$ см) и отметь на нем точки $A(1\frac{1}{3})$, $B(2)$, $C(2\frac{1}{3})$, $D(3,5)$. На каком расстоянии от начала отсчета они находятся?

Найди длины отрезков $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.

2) На координатном луче отмечены точки $A(a)$ и $B(b)$, где $b > a$. На каком расстоянии от начала отсчета они находятся? Найди длину отрезка $AB$ и координату середины этого отрезка – точки $M$.

273 1) Какие остатки могут получаться при делении натурального числа на 5?

2) Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата натурального числа?

1) При делении любого натурального числа $n$ на 5 результатом является частное $q$ и остаток $r$. Это можно записать в виде формулы: $n = 5q + r$. Согласно определению деления с остатком, остаток $r$ всегда является неотрицательным целым числом, которое строго меньше делителя. В данном случае делитель равен 5, следовательно, для остатка $r$ должно выполняться неравенство $0 \le r < 5$.
Таким образом, возможными остатками при делении на 5 являются целые числа 0, 1, 2, 3, 4.
Покажем, что все эти остатки действительно могут быть получены:

• Число 5 при делении на 5 дает остаток 0 ($5 = 5 \cdot 1 + 0$).
• Число 6 при делении на 5 дает остаток 1 ($6 = 5 \cdot 1 + 1$).
• Число 7 при делении на 5 дает остаток 2 ($7 = 5 \cdot 1 + 2$).
• Число 8 при делении на 5 дает остаток 3 ($8 = 5 \cdot 1 + 3$).
• Число 9 при делении на 5 дает остаток 4 ($9 = 5 \cdot 1 + 4$).

Следовательно, все пять значений возможны.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) Чтобы определить возможные остатки от деления квадрата натурального числа на 5, мы должны рассмотреть квадрат каждого из возможных остатков, полученных в пункте 1). Любое натуральное число $n$ можно представить в одной из следующих форм (где $k$ - целое неотрицательное число): $5k$, $5k+1$, $5k+2$, $5k+3$ или $5k+4$. Возведем в квадрат каждое из этих выражений и найдем остаток от деления на 5.

• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 0, то $n = 5k$.
  Тогда $n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5 \cdot (5k^2)$. Это число делится на 5 без остатка, значит, остаток равен 0.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 1, то $n = 5k+1$.
  Тогда $n^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2+2k) + 1$. Остаток от деления на 5 равен 1.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 2, то $n = 5k+2$.
  Тогда $n^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2+4k) + 4$. Остаток от деления на 5 равен 4.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 3, то $n = 5k+3$.
  Тогда $n^2 = (5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 25k^2 + 30k + 5 + 4 = 5(5k^2+6k+1) + 4$. Остаток от деления на 5 равен 4.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 4, то $n = 5k+4$.
  Тогда $n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 25k^2 + 40k + 15 + 1 = 5(5k^2+8k+3) + 1$. Остаток от деления на 5 равен 1.

Проанализировав все случаи, мы видим, что остатками от деления квадрата натурального числа на 5 могут быть только числа 0, 1 и 4.
Ответ: 0, 1, 4.

273 1) Какие остатки могут получаться при делении натурального числа на 5?

2) Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата натурального числа?

274 1) Число при делении на 8 даёт остаток $5$. Каким будет остаток при делении этого числа на 4?

2) При делении числа на 15 в остатке получается $11$. Каким будет остаток при делении этого числа на 3?

3) При делении на 7 одно из чисел даёт остаток $4$, а другое – $3$. Каким будет остаток при делении на 7 суммы этих двух чисел?

4) При делении на 9 одно из трёх чисел даёт остаток $5$, второе – $6$, а третье – $2$. Каким будет остаток при делении на 9 их суммы?

1) Пусть искомое число — это $N$. По условию, при делении числа $N$ на 8 остаток равен 5. Это можно записать в виде формулы: $N = 8k + 5$, где $k$ — это некоторое целое число (частное). Нам нужно найти остаток от деления этого числа $N$ на 4. Разложим слагаемые в выражении для $N$ на множители так, чтобы выделить множитель 4: Число $8k$ делится на 4 без остатка, так как $8k = 4 \cdot (2k)$. Число 5 при делении на 4 даёт остаток 1, так как $5 = 4 \cdot 1 + 1$. Теперь подставим это в исходное выражение: $N = 8k + 5 = 4 \cdot (2k) + (4 \cdot 1 + 1)$ Сгруппируем слагаемые, которые делятся на 4: $N = (4 \cdot 2k + 4 \cdot 1) + 1 = 4 \cdot (2k + 1) + 1$ Из этого выражения видно, что при делении числа $N$ на 4 частное будет равно $(2k + 1)$, а остаток — 1.
Ответ: 1

2) Пусть искомое число — это $N$. По условию, при делении числа $N$ на 15 остаток равен 11. Запишем это в виде формулы: $N = 15k + 11$, где $k$ — целое число. Нам нужно найти остаток от деления этого числа на 3. Число 15 делится на 3 без остатка, так как $15 = 3 \cdot 5$. Следовательно, слагаемое $15k$ также делится на 3 без остатка. Рассмотрим второе слагаемое, 11. При делении 11 на 3 получаем в остатке 2, так как $11 = 3 \cdot 3 + 2$. Подставим это в выражение для $N$: $N = 15k + 11 = 3 \cdot (5k) + (3 \cdot 3 + 2)$ $N = 3 \cdot (5k + 3) + 2$ Эта запись показывает, что при делении числа $N$ на 3 частное равно $(5k + 3)$, а остаток равен 2.
Ответ: 2

3) Пусть первое число — $A$, а второе — $B$. По условию, при делении $A$ на 7 остаток равен 4, то есть $A = 7k + 4$. При делении $B$ на 7 остаток равен 3, то есть $B = 7m + 3$. Здесь $k$ и $m$ — некоторые целые числа. Нам нужно найти остаток от деления на 7 их суммы $A + B$. $A + B = (7k + 4) + (7m + 3) = 7k + 7m + 4 + 3 = 7(k+m) + 7 = 7(k+m+1)$. Сумма $A + B$ представляется в виде произведения числа 7 и целого числа $(k+m+1)$, а это означает, что сумма делится на 7 без остатка. Другой способ: остаток от деления суммы на число равен остатку от деления суммы остатков на это же число. Сумма остатков равна $4 + 3 = 7$. При делении 7 на 7 остаток равен 0.
Ответ: 0

4) Воспользуемся свойством остатков: остаток от деления суммы нескольких чисел на делитель равен остатку от деления суммы их остатков на тот же делитель. По условию, при делении на 9 остатки трёх чисел равны 5, 6 и 2. Найдём сумму этих остатков: $5 + 6 + 2 = 13$. Теперь найдём остаток от деления полученной суммы (13) на 9: $13 = 9 \cdot 1 + 4$. Остаток от деления 13 на 9 равен 4. Следовательно, остаток от деления суммы трёх исходных чисел на 9 также будет равен 4.
Ответ: 4

274 1) Число при делении на 8 дает остаток 5. Каким будет остаток при делении этого числа на 4?

2) При делении числа на 15 в остатке получается 11. Каким будет остаток при делении этого числа на 3?

3) При делении на 7 одно из чисел дает остаток 4, а другое – 3. Каким будет остаток при делении на 7 суммы этих двух чисел?

4) При делении на 9 одно из трех чисел дает остаток 5, второе – 6, а третье – 2. Каким будет остаток при делении на 9 их суммы?

290 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем, ни другим:

1) путь, пройденный за данное время, и скорость движения;

2) время выполнения данного объёма работы и производительность труда;

3) число мальчиков и девочек в классе при постоянном общем количестве учеников.

1) путь, пройденный за данное время, и скорость движения;

Связь между путем ($S$), скоростью ($v$) и временем ($t$) выражается формулой $S = v \cdot t$. В условии задачи сказано, что время является данной (постоянной) величиной. Обозначим это постоянное время как $k$. Тогда формула принимает вид $S = k \cdot v$. Это зависимость вида $y = kx$, которая является определением прямой пропорциональности. Это означает, что во сколько раз увеличится (или уменьшится) скорость движения, во столько же раз увеличится (или уменьшится) пройденный путь за то же самое время.
Ответ: прямая пропорциональность.

2) время выполнения данного объёма работы и производительность труда;

Объём работы ($A$) связан со временем выполнения ($t$) и производительностью труда ($P$) формулой $A = P \cdot t$. В условии задачи сказано, что объём работы является данной (постоянной) величиной. Обозначим этот постоянный объём как $k$. Тогда формула принимает вид $k = P \cdot t$. Эту зависимость можно выразить как $t = \frac{k}{P}$. Это зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, которая является определением обратной пропорциональности. Это означает, что во сколько раз увеличится производительность труда, во столько же раз уменьшится время, необходимое для выполнения того же объёма работы.
Ответ: обратная пропорциональность.

3) число мальчиков и девочек в классе при постоянном общем количестве учеников.

Пусть $m$ – число мальчиков, $d$ – число девочек, а $N$ – общее количество учеников в классе. По условию, общее количество учеников постоянно: $N = const$. Связь между этими величинами выражается формулой $m + d = N$. Отсюда можно выразить одну величину через другую, например, $m = N - d$.
Проверим, является ли эта зависимость прямой или обратной пропорциональностью.
- Для прямой пропорциональности должно выполняться условие $\frac{m}{d} = k$ (где $k$ - константа). Но из нашей формулы $\frac{m}{d} = \frac{N-d}{d} = \frac{N}{d} - 1$. Это отношение зависит от $d$, значит, оно не является постоянным. Например, если в классе 30 учеников ($N=30$), то при 10 девочках будет 20 мальчиков (отношение $\frac{20}{10} = 2$), а при 15 девочках будет 15 мальчиков (отношение $\frac{15}{15} = 1$). Отношение не постоянно.
- Для обратной пропорциональности должно выполняться условие $m \cdot d = k$ (где $k$ - константа). В нашем случае $m \cdot d = (N - d) \cdot d = Nd - d^2$. Это произведение зависит от $d$ и не является постоянным. Для того же класса из 30 учеников: при 10 девочках и 20 мальчиках произведение равно $10 \cdot 20 = 200$; при 5 девочках и 25 мальчиках произведение равно $5 \cdot 25 = 125$. Произведение не постоянно.
Таким образом, эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.
Ответ: не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

290 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем, ни другим:

1) путь, пройденный за данное время, и скорость движения;

2) время выполнения данного объема работы и производительность труда;

3) число мальчиков и девочек в классе при постоянном общем количестве учеников.

291 Чтобы приготовить 10 штук сладкого перца, фаршированного кабачками, потребуется 75 г жира и 400 г кабачков. Сколько жира и кабачков надо взять для приготовления 28 штук такого перца?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать, сколько каждого ингредиента потребуется для 28 штук перца, исходя из данных для 10 штук. Это можно сделать с помощью пропорции, так как количество ингредиентов прямо пропорционально количеству перцев.

Расчет необходимого количества жира

Сначала определим, сколько жира нужно для 28 штук перца. Составим пропорцию: на 10 штук перца приходится 75 г жира, а на 28 штук — $x$ г жира.

$\frac{10 \text{ штук}}{75 \text{ г}} = \frac{28 \text{ штук}}{x \text{ г}}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x = \frac{28 \times 75}{10} = \frac{2100}{10} = 210 \text{ г}$

Ответ: для приготовления 28 штук перца потребуется 210 г жира.

Расчет необходимого количества кабачков

Аналогично рассчитаем необходимое количество кабачков. Составим пропорцию: на 10 штук перца приходится 400 г кабачков, а на 28 штук — $y$ г кабачков.

$\frac{10 \text{ штук}}{400 \text{ г}} = \frac{28 \text{ штук}}{y \text{ г}}$

Решим уравнение относительно $y$:

$y = \frac{28 \times 400}{10} = 28 \times 40 = 1120 \text{ г}$

Ответ: для приготовления 28 штук перца потребуется 1120 г кабачков.

291Чтобы приготовить 10 штук сладкого перца, фаршированного кабачками, потребуется 75 г жира и 400 г кабачков. Сколько жира и кабачков надо взять для приготовления 28 штук такого перца?

292 Пешеход, скорость которого $3 \text{ км/ч}$, прошёл некоторое расстояние за $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$. За сколько времени проедет это расстояние повозка, если её скорость $6 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи сначала необходимо найти расстояние, которое прошёл пешеход. Для этого используем формулу $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Переведём время, затраченное пешеходом, в часы. В одном часе 60 минут, поэтому 40 минут — это $\frac{40}{60}$ часа, что равно $\frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время движения пешехода составляет:

$t_{пешехода} = 2 \text{ ч } + 40 \text{ мин} = 2 \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$

2. Теперь вычислим расстояние, которое прошёл пешеход, зная его скорость (3 км/ч):

$S = 3 \text{ км/ч} \cdot \frac{8}{3} \text{ ч} = 8 \text{ км}$

3. Зная, что расстояние равно 8 км, а скорость повозки — 6 км/ч, найдём время, которое потребуется повозке, чтобы проехать это расстояние. Для этого используем формулу $t = \frac{S}{v}$:

$t_{повозки} = \frac{8 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3} \text{ ч}$

4. Переведём полученное время в часы и минуты. $\frac{4}{3}$ часа — это $1\frac{1}{3}$ часа. Одна треть часа равна:

$\frac{1}{3} \cdot 60 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$

Следовательно, повозка проедет это расстояние за 1 час 20 минут.

Также можно заметить, что скорость повозки (6 км/ч) ровно в два раза больше скорости пешехода (3 км/ч). Это означает, что на преодоление того же расстояния повозке потребуется в два раза меньше времени. Время пешехода — 2 ч 40 мин. Разделив это время на 2, получим 1 ч 20 мин.

Ответ: 1 час 20 минут.

292 Пешеход, скорость которого $3 \text{ км/ч}$, прошел некоторое расстояние за 2 ч 40 мин. За сколько времени проедет это расстояние повозка, если ее скорость $6 \text{ км/ч}$?

293 Реши задачи способом пропорций.

1) На конвейерной линии расфасовывается 5,4 кг сухого картофеля за 2,5 мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час, если производительность линии постоянная?

2) Оператор набрал на компьютере рукопись за 4,2 ч, работая с производительностью 15 с./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого составляет 21 с./ч?

3) Картошка стоила 15 р. Её цена увеличилась на 20 %. Чему равна новая цена картошки?

1) Пусть $x$ — это масса картофеля в кг, которую расфасуют за 1 час. В одном часе 60 минут. Так как производительность линии постоянная, то зависимость между массой расфасованного картофеля и временем является прямой пропорциональностью. Составим пропорцию:
5,4 кг картофеля — за 2,5 мин
$x$ кг картофеля — за 60 мин
Математически это можно записать как отношение:
$ \frac{5.4}{2.5} = \frac{x}{60} $
Теперь найдем $x$:
$ x = \frac{5.4 \cdot 60}{2.5} = \frac{324}{2.5} = 129.6 $ (кг)
Ответ: 129,6 кг.

2) Пусть $x$ — это время в часах, за которое второй оператор наберет рукопись. Объем работы (набор рукописи) одинаков для обоих операторов. Зависимость между производительностью и временем выполнения работы является обратной пропорциональностью: чем выше производительность, тем меньше времени требуется на выполнение той же работы.
Составим пропорцию, учитывая обратную зависимость (второе отношение нужно "перевернуть"):
Первый оператор: 4,2 ч — 15 с./ч
Второй оператор: $x$ ч — 21 с./ч
Пропорция:
$ \frac{4.2}{x} = \frac{21}{15} $
Найдем $x$:
$ x = \frac{4.2 \cdot 15}{21} = \frac{63}{21} = 3 $ (ч)
Ответ: 3 ч.

3) Первоначальную цену картошки, равную 15 рублям, примем за 100%.
После увеличения цены на 20%, новая цена будет составлять $ 100\% + 20\% = 120\% $ от первоначальной.
Пусть $x$ — это новая цена картошки в рублях.
Составим пропорцию:
15 р. — 100%
$x$ р. — 120%
Запишем соотношение:
$ \frac{15}{100} = \frac{x}{120} $
Найдем $x$:
$ x = \frac{15 \cdot 120}{100} = \frac{1800}{100} = 18 $ (р.)
Ответ: 18 р.

293 Реши задачи способом пропорций:

1) На конвейерной линии расфасовывается $5,4$ кг сухого картофеля за $2,5$ мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час, если производительность линии постоянная?

2) Оператор набрал на компьютере рукопись за $4,2$ ч, работая с производительностью $15$ стр./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого составляет $21$ стр./ч?

3) Картошка стоила $15$ р. Ее цена увеличилась на $20\%$. Чему равна новая цена картошки?

294. Раздели число:

a) 85 в отношении $3 : 14$;

б) 9,6 в отношении $0,2 : 0,4 : 0,6$.

а)

Чтобы разделить число 85 в отношении 3 : 14, необходимо найти сумму частей отношения, затем определить, какое значение приходится на одну часть, и после этого вычислить искомые числа.

1. Найдем общее количество частей в отношении:
$3 + 14 = 17$ (частей).

2. Определим значение одной части, разделив исходное число на общее количество частей:
$85 \div 17 = 5$.

3. Вычислим каждое из чисел, умножив значение одной части на соответствующее число в отношении:
Первое число: $3 \times 5 = 15$.
Второе число: $14 \times 5 = 70$.

Проверим: $15 + 70 = 85$. Отношение чисел $15:70$ после сокращения на 5 равно $3:14$. Решение верное.

Ответ: 15 и 70.

б)

Чтобы разделить число 9,6 в отношении 0,2 : 0,4 : 0,6, для удобства можно сначала упростить отношение, избавившись от десятичных дробей. Для этого умножим все члены отношения на 10, а затем сократим.

1. Упростим отношение:
$0,2 : 0,4 : 0,6$. Умножаем на 10, получаем $2 : 4 : 6$.
Сокращаем на 2, получаем $1 : 2 : 3$.
Таким образом, задача сводится к разделению числа 9,6 в отношении 1 : 2 : 3.

2. Найдем общее количество частей в упрощенном отношении:
$1 + 2 + 3 = 6$ (частей).

3. Определим значение одной части:
$9,6 \div 6 = 1,6$.

4. Вычислим каждое из чисел:
Первое число: $1 \times 1,6 = 1,6$.
Второе число: $2 \times 1,6 = 3,2$.
Третье число: $3 \times 1,6 = 4,8$.

Проверим: $1,6 + 3,2 + 4,8 = 9,6$. Решение верное.

Ответ: 1,6; 3,2 и 4,8.

294 Раздели число:

a) 85 в отношении $3 : 14$;

б) 9,6 в отношении $0,2 : 0,4 : 0,6$.

295 В квартире проживают две семьи. Одна из них состоит из четырёх человек, а другая – из трёх. Как эти семьи должны распределить абонентскую плату за телефон, которая составляет 350 р. в месяц, если все они в одинаковой степени пользуются телефоном?

Поскольку по условию задачи все жильцы в одинаковой степени пользуются телефоном, то абонентскую плату следует разделить пропорционально количеству человек в каждой семье.

1. Сначала найдём общее количество человек, проживающих в квартире:

$4 + 3 = 7$ (человек)

2. Затем рассчитаем, какая сумма приходится на одного человека. Для этого общую абонентскую плату разделим на общее количество человек:

$350 \text{ р.} \div 7 \text{ чел.} = 50 \text{ р./чел.}$

3. Теперь определим сумму для каждой семьи.

Сумма для первой семьи (4 человека):

$4 \text{ чел.} \times 50 \text{ р./чел.} = 200 \text{ р.}$

Сумма для второй семьи (3 человека):

$3 \text{ чел.} \times 50 \text{ р./чел.} = 150 \text{ р.}$

Проверка: $200 \text{ р.} + 150 \text{ р.} = 350 \text{ р.}$. Общая сумма сходится.

Ответ: семья из четырёх человек должна заплатить 200 рублей, а семья из трёх человек — 150 рублей.

295 В квартире проживают две семьи. Одна из них состоит из четырех человек, а другая — из трех. Как эти семьи должны распределить абонентскую плату за телефон, которая составляет 350 р. в месяц, если все они в одинаковой степени пользуются телефоном?

296. Периметр треугольника равен 68 см, а длины сторон пропорциональны числам 4, 5 и 8. Найди разность большей и меньшей сторон этого треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, длины сторон пропорциональны числам 4, 5 и 8. Это означает, что отношение длин сторон равно отношению этих чисел: $a : b : c = 4 : 5 : 8$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом:

• Меньшая сторона: $a = 4k$
• Средняя сторона: $b = 5k$
• Большая сторона: $c = 8k$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. Из условия известно, что $P = 68$ см. Составим уравнение: $a + b + c = 68$

Подставим в уравнение выражения для сторон через коэффициент $k$: $4k + 5k + 8k = 68$

Решим это уравнение относительно $k$: $17k = 68$ $k = \frac{68}{17}$ $k = 4$

Теперь, зная значение коэффициента $k$, найдем длины каждой стороны треугольника:

• Меньшая сторона: $a = 4k = 4 \cdot 4 = 16$ см.
• Большая сторона: $c = 8k = 8 \cdot 4 = 32$ см.

(Для проверки можно найти и среднюю сторону: $b = 5k = 5 \cdot 4 = 20$ см. Периметр: $16 + 20 + 32 = 68$ см, что соответствует условию).

Найдем разность большей и меньшей сторон этого треугольника: $c - a = 32 - 16 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

296 Периметр треугольника равен 68 см, а длины сторон пропорциональны числам 4, 5 и 8. Найди разность большей и меньшей сторон этого треугольника.

297. Сплав состоит из меди, олова и сурьмы, которые входят в него в отношении соответственно $3 : 11 : 6$. Найди процентное содержание в этом сплаве меди, олова и сурьмы. Чему равна масса сплава, если олова в нём на 4 кг больше, чем меди?

Процентное содержание меди, олова и сурьмы в сплаве

Сплав состоит из меди, олова и сурьмы в отношении $3:11:6$.

1. Сначала найдем общее количество частей в сплаве, сложив все части отношения:

$3 + 11 + 6 = 20$ (частей)

2. Теперь вычислим процентное содержание каждого компонента. Весь сплав (20 частей) составляет 100%.

- Доля меди составляет 3 части из 20. Процентное содержание меди:
$\frac{3}{20} \times 100\% = 15\%$

- Доля олова составляет 11 частей из 20. Процентное содержание олова:
$\frac{11}{20} \times 100\% = 55\%$

- Доля сурьмы составляет 6 частей из 20. Процентное содержание сурьмы:
$\frac{6}{20} \times 100\% = 30\%$

Проверка: $15\% + 55\% + 30\% = 100\%$.

Ответ: процентное содержание в сплаве: медь – 15%, олово – 55%, сурьма – 30%.

Масса сплава

1. Пусть масса одной части сплава равна $x$ кг. Тогда, исходя из отношения $3:11:6$, массы компонентов равны:

- Масса меди: $3x$ кг
- Масса олова: $11x$ кг
- Масса сурьмы: $6x$ кг

2. По условию, масса олова на 4 кг больше массы меди. Составим уравнение:

$11x - 3x = 4$

3. Решим это уравнение, чтобы найти массу одной части $x$:

$8x = 4$
$x = \frac{4}{8}$
$x = 0.5$ (кг)

4. Общая масса сплава состоит из 20 частей. Зная, что масса одной части равна 0.5 кг, найдем общую массу:

Масса сплава = $20 \times x = 20 \times 0.5 = 10$ кг.

Ответ: масса сплава равна 10 кг.

297. Сплав состоит из меди, олова и сурьмы, которые входят в него в отношении $3 : 11 : 6$. Найди процентное содержание в этом сплаве меди, олова и сурьмы. Чему равна масса сплава, если олова в нем на 4 кг больше, чем меди?

298 Площадь трёх участков земли 45 га. Площадь первого участка составляет 20 % общей площади, а площади второго и третьего относятся как $11 : 7$. На сколько гектаров площадь первого участка меньше площади третьего?

1. Сначала найдем площадь первого участка. Она составляет 20% от общей площади, равной 45 га. Для этого общую площадь умножим на долю, соответствующую 20%.

$45 \cdot \frac{20}{100} = 45 \cdot 0.2 = 9$ га.

Итак, площадь первого участка равна 9 га.

2. Теперь найдем суммарную площадь второго и третьего участков. Для этого вычтем площадь первого участка из общей площади.

$45 - 9 = 36$ га.

3. Площади второго и третьего участков относятся как 11:7. Это означает, что их общая площадь в 36 га разделена на $11 + 7 = 18$ равных частей. Найдем, сколько гектаров приходится на одну такую часть.

$36 \div 18 = 2$ га.

4. Площадь третьего участка составляет 7 частей из 18. Умножим размер одной части на количество частей, приходящихся на третий участок.

$7 \cdot 2 = 14$ га.

5. Наконец, найдем, на сколько гектаров площадь первого участка (9 га) меньше площади третьего участка (14 га). Для этого найдем разность их площадей.

$14 - 9 = 5$ га.

Ответ: площадь первого участка меньше площади третьего на 5 гектаров.

298 Площадь трех участков земли 45 га. Площадь первого участка составляет 20% общей площади, а площади второго и третьего относятся как $11 : 7$. На сколько гектаров площадь первого участка меньше площади третьего?

299 Вычисли:

1) $(2,35 \cdot 70,2) : 23,4 - (38,36 + 19,8) \cdot 0,1;$

2) $16\frac{1}{3} : 1,4 - \frac{0,75 + \frac{7}{12}}{3\frac{7}{15} + 0,1 - \frac{11}{30}} \cdot 1,6.$

1) $(2,35 \cdot 70,2) : 23,4 - (38,36 + 19,8) \cdot 0,1$

Решим выражение по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание.

1. Выполним умножение в первых скобках:
$2,35 \cdot 70,2 = 164,97$

2. Выполним сложение во вторых скобках:
$38,36 + 19,8 = 58,16$

3. Теперь выражение выглядит так:
$164,97 : 23,4 - 58,16 \cdot 0,1$

4. Выполним деление:
$164,97 : 23,4 = 7,05$

5. Выполним умножение:
$58,16 \cdot 0,1 = 5,816$

6. Выполним вычитание:
$7,05 - 5,816 = 1,234$

Ответ: $1,234$.

2) $16\frac{1}{3} : 1,4 - \frac{0,75 + \frac{7}{12}}{3\frac{7}{15} + 0,1 - \frac{11}{30}} \cdot 1,6$

Решим по действиям. Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в обыкновенные.

$16\frac{1}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{49}{3}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

$3\frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{52}{15}$

$0,1 = \frac{1}{10}$

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

Теперь пошагово вычислим значение выражения:

1. Сначала выполним действия в числителе большой дроби:
$0,75 + \frac{7}{12} = \frac{3}{4} + \frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{7}{12} = \frac{9+7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

2. Теперь выполним действия в знаменателе большой дроби:
$3\frac{7}{15} + 0,1 - \frac{11}{30} = \frac{52}{15} + \frac{1}{10} - \frac{11}{30} = \frac{52 \cdot 2}{30} + \frac{1 \cdot 3}{30} - \frac{11}{30} = \frac{104 + 3 - 11}{30} = \frac{96}{30} = \frac{16}{5}$

3. Теперь разделим числитель на знаменатель, чтобы найти значение большой дроби:
$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{5}} = \frac{4}{3} : \frac{16}{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{16} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 16} = \frac{5}{3 \cdot 4} = \frac{5}{12}$

4. Выражение принимает вид:
$16\frac{1}{3} : 1,4 - \frac{5}{12} \cdot 1,6$

5. Выполним деление:
$16\frac{1}{3} : 1,4 = \frac{49}{3} : \frac{7}{5} = \frac{49}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{7 \cdot 5}{3} = \frac{35}{3}$

6. Выполним умножение:
$\frac{5}{12} \cdot 1,6 = \frac{5}{12} \cdot \frac{8}{5} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 5} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

7. Выполним вычитание:
$\frac{35}{3} - \frac{2}{3} = \frac{33}{3} = 11$

Ответ: $11$.

299 Вычисли:

1) $(2,35 \cdot 70,2) : 23,4 - (38,36 + 19,8) \cdot 0,1;$

2) $16\frac{1}{3} : 1,4 - \frac{0,75 + \frac{7}{12}}{3\frac{7}{15} + 0,1 - \frac{11}{30}} \cdot 1,6.$

299. На какие классы разбивают данное множество объектов следующие свойства:

а) «z не тонет в воде» ($z \in C$, где $C$ — множество металлов);

б) «k имеет парламент» ($k \in D$, где $D$ — множество государств);

в) «n кратно 9» ($n \in N$);

г) «$|x| \in N$» ($x \in Z$);

д) «$y^2 + 1 = 0$» ($y \in Q$);

е) «$a \parallel b$» ($a, b \in P$, где $P$ — множество прямых и $b$ — фиксированная прямая из этого множества)?

а) Множество объектов — это множество металлов $C$. Свойство «z не тонет в воде» делит это множество на два класса в зависимости от плотности металла по отношению к плотности воды.
Класс 1: Металлы, которые не тонут в воде. Это металлы, плотность которых меньше или равна плотности воды (например, щелочные металлы: литий, натрий, калий).
Класс 2: Металлы, которые тонут в воде. Это металлы, плотность которых больше плотности воды (например, железо, медь, золото, алюминий).
Ответ: Множество металлов разбивается на два класса: металлы, плотность которых меньше или равна плотности воды, и металлы, плотность которых больше плотности воды.

б) Множество объектов — это множество государств $D$. Свойство «k имеет парламент» делит это множество на два класса в зависимости от формы государственного правления.
Класс 1: Государства, имеющие парламент. К этому классу относятся, например, парламентские республики и парламентские монархии.
Класс 2: Государства, не имеющие парламента. К этому классу относятся, например, абсолютные монархии или другие формы правления, где законодательный орган отсутствует или называется иначе и не является парламентом.
Ответ: Множество государств разбивается на два класса: государства, в которых есть парламент, и государства, в которых нет парламента.

в) Множество объектов — это множество натуральных чисел $N$. Свойство «n кратно 9» делит это множество на два класса.
Класс 1: Натуральные числа, которые делятся на 9 без остатка. Это числа вида $9k$, где $k \in N$. Например: 9, 18, 27, ...
Класс 2: Натуральные числа, которые не делятся на 9 без остатка.
Ответ: Множество натуральных чисел разбивается на два класса: числа, кратные 9, и числа, не кратные 9.

г) Множество объектов — это множество целых чисел $Z$. Свойство «$|x| \in N$». Будем считать, что множество натуральных чисел $N$ не включает 0, то есть $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Модуль любого ненулевого целого числа является положительным целым числом, то есть натуральным числом. Например, $|-5|=5 \in N$, $|3|=3 \in N$.
Для числа $x=0$, его модуль $|0|=0$. Так как $0 \notin N$, для $x=0$ свойство не выполняется.
Класс 1: Все целые числа, для которых свойство выполняется. Это все ненулевые целые числа, то есть множество $Z \setminus \{0\}$.
Класс 2: Все целые числа, для которых свойство не выполняется. Это множество, состоящее из одного элемента — числа 0.
Ответ: Множество целых чисел разбивается на два класса: множество всех ненулевых целых чисел и множество, состоящее из одного числа 0.

д) Множество объектов — это множество рациональных чисел $Q$. Свойство «$y^2 + 1 = 0$».
Уравнение $y^2 + 1 = 0$ равносильно уравнению $y^2 = -1$. В множестве рациональных (и даже действительных) чисел нет такого числа, квадрат которого был бы равен -1, так как квадрат любого рационального числа неотрицателен ($y^2 \ge 0$).
Класс 1: Множество рациональных чисел, для которых свойство выполняется. Таких чисел не существует, поэтому этот класс представляет собой пустое множество ($\emptyset$).
Класс 2: Множество рациональных чисел, для которых свойство не выполняется. Так как свойство не выполняется ни для одного рационального числа, этот класс включает в себя все множество рациональных чисел $Q$.
Ответ: Множество рациональных чисел разбивается на два класса: пустое множество и всё множество рациональных чисел.

е) Множество объектов — это множество прямых $P$ (будем рассматривать прямые на плоскости). Свойство «$a \parallel b$», где $b$ — фиксированная прямая. По определению, каждая прямая параллельна самой себе.
Класс 1: Множество прямых, для которых свойство выполняется. Это все прямые из множества $P$, которые параллельны данной прямой $b$ (включая и саму прямую $b$).
Класс 2: Множество прямых, для которых свойство не выполняется. Это все прямые из множества $P$, которые не параллельны прямой $b$. На плоскости это означает, что они пересекают прямую $b$.
Ответ: Множество прямых на плоскости разбивается на два класса: множество всех прямых, параллельных данной прямой $b$, и множество всех прямых, пересекающих прямую $b$.

299 На какие классы разбивают данное множество объектов следующие свойства:

а) «$z$ не тонет в воде» ($z \in C$, где $C$ – множество металлов);

б) «$k$ имеет парламент» ($k \in D$, где $D$ – множество государств);

в) «$n$ кратно 9» ($n \in N$);

г) «$|x| \in N$» ($x \in Z$);

д) «$y^2 + 1 = 0$» ($y \in Q$);

е) «$a \parallel b$» ($a, b \in P$, где $P$ – множество прямых и $b$ – фиксированная прямая из этого множества).

300 Какие свойства описывают следующие предложения? Какие из этих свойств являются признаками?

а) $n \text{ кратно } 9 \Rightarrow \text{сумма цифр числа } n \text{ кратна } 9 (n \in N)$;

б) $a : b = c \Rightarrow c \cdot b = a (a, b, c \in Q, b \ne 0)$;

в) $ABCD \text{ – прямоугольник } \Rightarrow \angle A \text{ – прямой}$;

г) $a \parallel b \Rightarrow a \cap b = \emptyset (a, b \in P, \text{ где } P \text{ – множество прямых}).$

а) n кратно 9 ⇒ сумма цифр числа n кратна 9 (n ∈ N)
Данное предложение описывает свойство делимости натуральных чисел на 9: если число делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9. Чтобы определить, является ли это свойство признаком, нужно проверить обратное утверждение: "Если сумма цифр натурального числа $n$ кратна 9, то и само число $n$ кратно 9". Это утверждение истинно и является известным признаком делимости на 9. Следовательно, данное свойство является также и признаком.
Ответ: Свойство является признаком.

б) a : b = c ⇒ c ⋅ b = a (a, b, c ∈ Q, b ≠ 0)
Это предложение описывает свойство, вытекающее из определения операции деления для рациональных чисел: делимое равно произведению частного на делитель. Проверим, является ли это свойство признаком. Обратное утверждение гласит: "Если произведение двух рациональных чисел $c$ и $b$ (где $b \neq 0$) равно $a$, то частное от деления $a$ на $b$ равно $c$". Это утверждение также верно и, по сути, является определением деления. Таким образом, утверждения $a : b = c$ и $c \cdot b = a$ равносильны.
Ответ: Свойство является признаком.

в) ABCD – прямоугольник ⇒ ∠A – прямой
Предложение описывает свойство прямоугольника: у прямоугольника все углы прямые, в частности, угол $A$. Проверим, является ли это свойство признаком. Обратное утверждение: "Если в четырехугольнике ABCD угол $\angle A$ прямой, то этот четырехугольник – прямоугольник". Это утверждение ложно. Например, прямоугольная трапеция имеет прямые углы, но не является прямоугольником. Чтобы свойство "угол $\angle A$ – прямой" стало признаком прямоугольника, нужны дополнительные условия (например, что ABCD – параллелограмм).
Ответ: Свойство не является признаком.

г) a || b ⇒ a ∩ b = ∅ (a, b ∈ P, где P – множество прямых)
Данное предложение описывает свойство параллельных прямых на плоскости, которое следует из их определения: параллельные прямые не пересекаются. Проверим, является ли это свойство признаком. Обратное утверждение: "Если пересечение двух различных прямых $a$ и $b$ на плоскости пусто ($a \cap b = \emptyset$), то эти прямые параллельны ($a || b$)". Это утверждение истинно и является определением параллельных прямых в евклидовой геометрии.
Ответ: Свойство является признаком.

300 Какие свойства описывают следующие предложения? Какие из этих свойств являются признаками?

а) $n$ кратно 9 $\Rightarrow$ сумма цифр числа $n$ кратна 9 ($n \in N$);

б) $a : b = c \Rightarrow c \cdot b = a$ ($a, b, c \in Q, b \neq 0$);

в) $ABCD$ – прямоугольник $\Rightarrow \angle A$ – прямой;

г) $a \parallel b \Rightarrow a \cap b = \emptyset$ ($a, b \in P$, где $P$ – множество прямых).

301 Запиши, используя знак $def$, определение:
а) умножения рациональных чисел;
б) правильной дроби;
в) прямоугольника;
г) трапеции.

а) умножения рациональных чисел

Произведением двух рациональных чисел, представленных в виде дробей $\frac{m}{n}$ и $\frac{p}{q}$ (где $m, p$ — целые числа, а $n, q$ — натуральные числа), является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Ответ: $\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{m \cdot p}{n \cdot q}$.

б) правильной дроби

Правильной дробью называется обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ (где $m, n$ — натуральные числа), у которой числитель меньше знаменателя.

Ответ: Дробь $\frac{m}{n}$ является правильной $\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow} m < n$.

в) прямоугольника

Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником $\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow} \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

г) трапеции

Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны (основания), а две другие — не параллельны (боковые стороны).

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $BC$ $\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow} (AD \parallel BC) \land (AB \not\parallel CD)$.

301 Запиши, используя знак def, определение:

а) умножения рациональных чисел;

б) правильной дроби;

в) прямоугольника;

г) трапеции.

302 Выполни действия:

а) $ \frac{3}{14} - \frac{5}{7} $;

б) $ -1\frac{5}{6} - \frac{7}{15} $;

в) $ -2\frac{1}{7} \cdot \left(-1\frac{3}{25}\right) $;

г) $ 5\frac{5}{6} : \left(-2\frac{1}{3}\right) $;

д) $ -5,4 \cdot \left(-1\frac{2}{9}\right) : 3,75 \cdot \left(-4\frac{1}{6}\right) $;

е) $ -3\frac{3}{5} : \left(-1\frac{5}{12}\right) \cdot (-6,8) \cdot 9\frac{3}{8} : \left(-1\frac{2}{7}\right) $.

а) Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 равен 14. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$ \frac{3}{14} - \frac{5}{7} = \frac{3}{14} - \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14} - \frac{10}{14} $
Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним:
$ \frac{3 - 10}{14} = \frac{-7}{14} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$ \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

б) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$ -1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6} $
Теперь выражение выглядит так: $ -\frac{11}{6} - \frac{7}{15} $.
Найдем общий знаменатель для 6 и 15. Наименьшее общее кратное этих чисел - 30.
$ -\frac{11 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = -\frac{55}{30} - \frac{14}{30} $
Сложим числители:
$ \frac{-55 - 14}{30} = -\frac{69}{30} $
Сократим дробь на 3 и преобразуем в смешанное число:
$ -\frac{69 \div 3}{30 \div 3} = -\frac{23}{10} = -2\frac{3}{10} $
Ответ: $ -2\frac{3}{10} $.

в) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$ -2\frac{1}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{15}{7} $
$ -1\frac{3}{25} = -\frac{1 \cdot 25 + 3}{25} = -\frac{28}{25} $
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Выполним умножение:
$ (-\frac{15}{7}) \cdot (-\frac{28}{25}) = \frac{15 \cdot 28}{7 \cdot 25} $
Сократим дробь перед вычислением:
$ \frac{(3 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 7)}{7 \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} $
Представим результат в виде смешанного числа:
$ \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} $
Ответ: $ 2\frac{2}{5} $.

г) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$ 5\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{35}{6} $
$ -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3} $
При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{35}{6} : (-\frac{7}{3}) = -\frac{35}{6} \cdot \frac{3}{7} $
Сократим и вычислим:
$ -\frac{(5 \cdot 7) \cdot 3}{(2 \cdot 3) \cdot 7} = -\frac{5}{2} $
Представим результат в виде смешанного числа:
$ -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} $
Ответ: $ -2\frac{1}{2} $.

д) Преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби:
$ -5,4 = -\frac{54}{10} = -\frac{27}{5} $
$ -1\frac{2}{9} = -\frac{11}{9} $
$ 3,75 = 3\frac{75}{100} = 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4} $
$ -4\frac{1}{6} = -\frac{25}{6} $
Выполним действия по порядку слева направо:
1) $ (-\frac{27}{5}) \cdot (-\frac{11}{9}) = \frac{27 \cdot 11}{5 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 11}{5} = \frac{33}{5} $
2) $ \frac{33}{5} : \frac{15}{4} = \frac{33}{5} \cdot \frac{4}{15} = \frac{(3 \cdot 11) \cdot 4}{5 \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 5} = \frac{44}{25} $
3) $ \frac{44}{25} \cdot (-\frac{25}{6}) = -\frac{44 \cdot 25}{25 \cdot 6} = -\frac{44}{6} = -\frac{22}{3} $
Преобразуем в смешанное число:
$ -\frac{22}{3} = -7\frac{1}{3} $
Ответ: $ -7\frac{1}{3} $.

е) Преобразуем все числа в неправильные дроби:
$ -3\frac{3}{5} = -\frac{18}{5} $; $ -1\frac{5}{12} = -\frac{17}{12} $; $ -6,8 = -\frac{68}{10} = -\frac{34}{5} $; $ 9\frac{3}{8} = \frac{75}{8} $; $ -1\frac{2}{7} = -\frac{9}{7} $
Выражение примет вид: $ (-\frac{18}{5}) : (-\frac{17}{12}) \cdot (-\frac{34}{5}) \cdot \frac{75}{8} : (-\frac{9}{7}) $.
В выражении четыре отрицательных числа, поэтому результат будет положительным. Заменим деление умножением на обратные дроби:
$ \frac{18}{5} \cdot \frac{12}{17} \cdot \frac{34}{5} \cdot \frac{75}{8} \cdot \frac{7}{9} $
Запишем все под одной дробной чертой и сократим:
$ \frac{18 \cdot 12 \cdot 34 \cdot 75 \cdot 7}{5 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{(18 \cdot 34 \cdot 75 \cdot 12 \cdot 7)}{(9 \cdot 17 \cdot (5 \cdot 5) \cdot 8)} = \frac{(2 \cdot 1) \cdot (2) \cdot (3) \cdot (\frac{12}{8}) \cdot 7}{1} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot 7 $
Перегруппируем множители и вычислим:
$ (2 \cdot \frac{3}{2}) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 3 \cdot 42 = 126 $
Ответ: $ 126 $.

302 Выполни действия:

а) $\frac{3}{14} - \frac{5}{7}$;

б) $-1\frac{5}{6} - \frac{7}{15}$;

в) $-2\frac{1}{7} \cdot (-1\frac{3}{25})$;

г) $5\frac{5}{6} : (-2\frac{1}{3})$;

д) $-5,4 \cdot (-1\frac{2}{9}) \cdot 3,75 \cdot (-4\frac{1}{6})$;

е) $-3\frac{3}{5} : (-1\frac{5}{12}) \cdot (-6,8) \cdot 9\frac{3}{8} : (-1\frac{2}{7})$.

303 Реши уравнения:

a) $(d - 6) - (7d + 1) = -(4 - 3d);$

B) $5(n - 8) - 3(4 - 2n) = 7(3n - 7) + 9;$

б) $y - \frac{y}{6} = \frac{1}{3} + 0,5y;$

г) $1,7k - 0,3(k - 5) = 2,8 - 0,1(k + 4).$

а) $(d - 6) - (7d + 1) = -(4 - 3d)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. Обратим внимание, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.

$d - 6 - 7d - 1 = -4 + 3d$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(d - 7d) + (-6 - 1) = -4 + 3d$

$-6d - 7 = -4 + 3d$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $d$, в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$-7 + 4 = 3d + 6d$

Выполним сложение и вычитание:

$-3 = 9d$

Чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на 9:

$d = \frac{-3}{9}$

Сократим дробь:

$d = -\frac{1}{3}$

Ответ: $d = -\frac{1}{3}$.

б) $y - \frac{y}{6} = \frac{1}{3} + 0,5y$

Для удобства решения преобразуем десятичную дробь $0,5$ в обыкновенную: $0,5 = \frac{1}{2}$.

$y - \frac{y}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}y$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим каждый член уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 3 и 2. НОК(6, 3, 2) = 6.

$6 \cdot y - 6 \cdot \frac{y}{6} = 6 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{1}{2}y$

$6y - y = 2 + 3y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5y = 2 + 3y$

Перенесем слагаемое $3y$ из правой части в левую, изменив его знак:

$5y - 3y = 2$

$2y = 2$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $y$:

$y = 1$

Ответ: $y = 1$.

в) $5(n - 8) - 3(4 - 2n) = 7(3n - 7) + 9$

Раскроем все скобки, используя распределительное свойство умножения:

$5 \cdot n - 5 \cdot 8 - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-2n) = 7 \cdot 3n - 7 \cdot 7 + 9$

$5n - 40 - 12 + 6n = 21n - 49 + 9$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(5n + 6n) + (-40 - 12) = 21n + (-49 + 9)$

$11n - 52 = 21n - 40$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$-52 + 40 = 21n - 11n$

$-12 = 10n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 10:

$n = \frac{-12}{10}$

$n = -1,2$

Ответ: $n = -1,2$.

г) $1,7k - 0,3(k - 5) = 2,8 - 0,1(k + 4)$

Чтобы избавиться от десятичных дробей и упростить вычисления, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (1,7k - 0,3(k - 5)) = 10 \cdot (2,8 - 0,1(k + 4))$

$17k - 3(k - 5) = 28 - 1(k + 4)$

Теперь раскроем скобки:

$17k - 3k + 15 = 28 - k - 4$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(17k - 3k) + 15 = (28 - 4) - k$

$14k + 15 = 24 - k$

Перенесем слагаемые с переменной $k$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$14k + k = 24 - 15$

$15k = 9$

Найдем $k$, разделив обе части на 15:

$k = \frac{9}{15}$

Сократим дробь на 3:

$k = \frac{3}{5}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$k = 0,6$

Ответ: $k = 0,6$.

303 Реши уравнения:

а) $(d - 6) - (7d + 1) = -(4 - 3d);$

б) $y - \frac{y}{6} = \frac{1}{3} + 0.5y;$

в) $5(n - 8) - 3(4 - 2n) = 7(3n - 7) + 9.$

г) $1.7k - 0.3(k - 5) = 2.8 - 0.1(k + 4).$

304 На тренировке лыжник пробежал первый круг на 5 % быстрее, чем второй, а третий круг – на 14 % медленнее, чем второй. Сколько времени в среднем он тратил на один круг, если третий круг он пробежал на 4 мин 45 с медленнее, чем первый? На сколько процентов больше времени он затратил на прохождение третьего круга, чем первого?

Для решения задачи введем переменные:

• $t_1$ — время прохождения первого круга.
• $t_2$ — время прохождения второго круга.
• $t_3$ — время прохождения третьего круга.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Первый круг лыжник пробежал на 5% быстрее, чем второй. Это значит, что время $t_1$ на 5% меньше времени $t_2$:
   $t_1 = t_2 - 0.05 \cdot t_2 = 0.95 \cdot t_2$.
2. Третий круг он пробежал на 14% медленнее, чем второй. Это значит, что время $t_3$ на 14% больше времени $t_2$:
   $t_3 = t_2 + 0.14 \cdot t_2 = 1.14 \cdot t_2$.
3. Третий круг он пробежал на 4 минуты 45 секунд медленнее, чем первый. Выразим разницу во времени в минутах: 4 мин 45 с = $4 + \frac{45}{60} = 4.75$ мин. Таким образом:
   $t_3 - t_1 = 4.75$.

Теперь решим эту систему. Подставим выражения для $t_1$ и $t_3$ из первых двух уравнений в третье:

$1.14 \cdot t_2 - 0.95 \cdot t_2 = 4.75$

$(1.14 - 0.95) \cdot t_2 = 4.75$

$0.19 \cdot t_2 = 4.75$

Отсюда находим время прохождения второго круга:

$t_2 = \frac{4.75}{0.19} = 25$ минут.

Зная $t_2$, найдем время для первого и третьего кругов:

$t_1 = 0.95 \cdot t_2 = 0.95 \cdot 25 = 23.75$ минут.

$t_3 = 1.14 \cdot t_2 = 1.14 \cdot 25 = 28.5$ минут.

Для удобства дальнейших расчетов и ответов переведем десятичные доли минут в секунды:

• $t_1 = 23.75$ мин = 23 мин и $0.75 \cdot 60 = 45$ с.
• $t_2 = 25$ мин.
• $t_3 = 28.5$ мин = 28 мин и $0.5 \cdot 60 = 30$ с.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Сколько времени в среднем он тратил на один круг?

Среднее время прохождения одного круга — это сумма времен всех кругов, деленная на их количество:

$t_{ср} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} = \frac{23.75 + 25 + 28.5}{3}$

$t_{ср} = \frac{77.25}{3} = 25.75$ минут.

Переведем 0.75 минуты в секунды: $0.75 \cdot 60 = 45$ секунд. Среднее время составляет 25 минут 45 секунд.

Ответ: 25 минут 45 секунд.

На сколько процентов больше времени он затратил на прохождение третьего круга, чем первого?

Чтобы найти, на сколько процентов время $t_3$ больше времени $t_1$, нужно найти отношение их разности ко времени $t_1$ и умножить на 100%.

Процентное увеличение = $\frac{t_3 - t_1}{t_1} \cdot 100\%$

Подставим найденные значения времен:

Процентное увеличение = $\frac{28.5 - 23.75}{23.75} \cdot 100\% = \frac{4.75}{23.75} \cdot 100\%$

Упростим полученную дробь:

$\frac{4.75}{23.75} = \frac{475}{2375} = \frac{19}{95} = \frac{1}{5}$

Таким образом, увеличение составляет:

$\frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: на 20%.

304 На тренировке лыжник пробежал первый круг на 5% быстрее, чем второй, а третий круг – на 14% медленнее, чем второй. Сколько времени в среднем он тратил на один круг, если третий круг он пробежал на 4 мин 45 с медленнее, чем первый? На сколько процентов больше времени он затратил на прохождение третьего круга, чем первого?