Страница 52, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

199 1) Из двух сёл одновременно в противоположных направлениях отплыли два катера. Скорость одного из них на $5 \frac{1}{3}$ км/ч больше скорости второго. С какой скоростью плыл каждый катер, если через 2 ч 15 мин расстояние между ними увеличилось на 138 км?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 480 км, одновременно в одном направлении выехал поезд и вылетел самолёт. Самолёт пролетел над поездом через 40 мин после вылета. С какой скоростью двигались поезд и самолёт, если скорость поезда была в 9 раз меньше скорости самолёта?

1)

Пусть скорость второго катера равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость первого катера, которая на $5\frac{1}{3}$ км/ч больше, равна $(x + 5\frac{1}{3})$ км/ч.

Поскольку катера движутся в противоположных направлениях из одной точки, расстояние между ними увеличивается. Скорость их удаления друг от друга равна сумме их скоростей:

$v_{уд} = x + (x + 5\frac{1}{3}) = 2x + 5\frac{1}{3}$ км/ч.

Время в пути составляет 2 часа 15 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 2\frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{9}{4}$ ч.

За это время расстояние между катерами увеличилось на $S = 138$ км. Расстояние вычисляется по формуле $S = v_{уд} \times t$.

Сначала найдем общую скорость удаления катеров, разделив расстояние на время:

$v_{уд} = S \div t = 138 \div \frac{9}{4} = 138 \times \frac{4}{9} = \frac{552}{9} = \frac{184}{3} = 61\frac{1}{3}$ км/ч.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для скорости удаления:

$2x + 5\frac{1}{3} = 61\frac{1}{3}$

Решим это уравнение:

$2x = 61\frac{1}{3} - 5\frac{1}{3}$

$2x = 56$

$x = 56 \div 2 = 28$ км/ч.

Это скорость второго катера. Теперь найдем скорость первого катера:

$28 + 5\frac{1}{3} = 33\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость одного катера $33\frac{1}{3}$ км/ч, а скорость второго 28 км/ч.

2)

Пусть скорость поезда равна $x$ км/ч. По условию, скорость поезда в 9 раз меньше скорости самолёта, это означает, что скорость самолёта в 9 раз больше скорости поезда. Следовательно, скорость самолёта равна $9x$ км/ч.

Поезд и самолёт движутся в одном направлении, причём самолёт (более быстрый объект) догоняет поезд (более медленный). Скорость их сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = 9x - x = 8x$ км/ч.

Изначальное расстояние между ними было $S = 480$ км. Самолёт пролетел над поездом через 40 минут. Переведем это время в часы:

$t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ ч.

Расстояние, которое самолёт "наверстал" для того, чтобы догнать поезд, равно начальному расстоянию между ними. Используем формулу $S = v_{сбл} \times t$ и составим уравнение:

$480 = 8x \times \frac{2}{3}$

$480 = \frac{16x}{3}$

Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения:

$16x = 480 \times 3$

$x = \frac{480 \times 3}{16}$

$x = 30 \times 3 = 90$ км/ч.

Это скорость поезда. Теперь найдем скорость самолёта:

$9x = 9 \times 90 = 810$ км/ч.

Ответ: скорость поезда 90 км/ч, скорость самолёта 810 км/ч.

199 1) Из двух сел одновременно в противоположных направлениях отплыли два катера. Скорость одного из них на $5 \frac{1}{3}$ км/ч больше скорости второго. С какой скоростью плыл каждый катер, если через 2 ч 15 мин расстояние между ними увеличилось на 138 км?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 480 км, одновременно в одном направлении выехал поезд и вылетел самолет. Самолет пролетел над поездом через 40 мин после вылета. С какой скоростью двигались поезд и самолет, если скорость поезда была в 9 раз меньше скорости самолета?

200 Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, удаленных друг от друга на $s$ км. Скорость поездов равна соответственно $v_1$ км/ч и $v_2$ км/ч. Пусть $d$ км – расстояние между ними через $t$ ч после выезда. Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния $d$ от величин $s$, $v_1$, $v_2$ и $t$.

Чтобы найти расстояние $d$ между поездами через $t$ часов после выезда, необходимо из первоначального расстояния $s$ вычесть общее расстояние, которое проехали оба поезда навстречу друг другу за это время.

1. Сначала определим расстояние, которое проехал каждый поезд за время $t$. Расстояние равно произведению скорости на время.

• Расстояние, пройденное первым поездом: $s_1 = v_1 \cdot t$
• Расстояние, пройденное вторым поездом: $s_2 = v_2 \cdot t$

2. Так как поезда движутся навстречу друг другу, расстояние между ними уменьшается. Общее расстояние, на которое они сблизились, равно сумме расстояний, пройденных каждым из них:
$s_{сближения} = s_1 + s_2 = v_1 t + v_2 t$

3. Вынесем общий множитель $t$ за скобки, чтобы получить более компактную формулу для пройденного ими суммарного расстояния. Величина $(v_1 + v_2)$ является скоростью сближения поездов.
$s_{сближения} = (v_1 + v_2)t$

4. Теперь, чтобы найти итоговое расстояние $d$ между поездами, вычтем из начального расстояния $s$ расстояние сближения:
$d = s - s_{сближения}$
Подставив полученное выражение, получим искомую формулу:
$d = s - (v_1 + v_2)t$

Ответ: $d = s - (v_1 + v_2)t$

200 Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, удаленных друг от друга на $s$ км. Скорость поездов равна соответственно $v_1$ км/ч и $v_2$ км/ч. Пусть $d$ км – расстояние между ними через $t$ ч после выезда. Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния $d$ от величин $s, v_1, v_2$ и $t$.

201 Чем похожи и чем отличаются задачи? Реши их и сопоставь решения.

1) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 264 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

3) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Через $1\frac{2}{3}$ ч расстояние между ними стало равно 564 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

4) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 324 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80 % скорости второго. С какой скоростью они ехали?

Все четыре задачи похожи тем, что в них используются одинаковые исходные данные: начальное расстояние между городами ($S_0 = 294$ км), время движения ($t = 1$ ч $40$ мин $= 1\frac{2}{3}$ ч) и соотношение скоростей мотоциклистов (скорость первого, $v_1$, составляет 80% от скорости второго, $v_2$, то есть $v_1 = 0.8 \cdot v_2$).

Отличаются задачи направлением движения мотоциклистов и, как следствие, конечным расстоянием между ними. Это приводит к разным типам задач: на сближение и на удаление.

Пусть $v_1$ — скорость первого мотоциклиста, а $v_2$ — скорость второго. По условию $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.
Время движения $t = 1$ ч $40$ мин $= 1 + \frac{40}{60}$ ч $= 1\frac{2}{3}$ ч $= \frac{5}{3}$ ч.
Мотоциклисты едут навстречу друг другу, значит, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
За время $t$ они вместе проехали расстояние $S_{пройд} = S_0 - S_{кон} = 294 - 24 = 270$ км.
Расстояние равно скорости, умноженной на время: $S_{пройд} = v_{сбл} \cdot t$.
Подставим значения: $(v_1 + v_2) \cdot \frac{5}{3} = 270$.
Отсюда найдем сумму скоростей: $v_1 + v_2 = 270 \cdot \frac{3}{5} = 162$ км/ч.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 162 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое: $0.8 \cdot v_2 + v_2 = 162 \Rightarrow 1.8 \cdot v_2 = 162 \Rightarrow v_2 = \frac{162}{1.8} = 90$ км/ч.
Тогда $v_1 = 0.8 \cdot 90 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

Исходные данные те же: $v_1 = 0.8 \cdot v_2$, $t = \frac{5}{3}$ ч, начальное расстояние $S_0 = 294$ км.
Мотоциклисты едут в одном направлении. Так как расстояние между ними уменьшилось (с 294 км до 264 км), значит, более быстрый мотоциклист ($v_2$) догоняет более медленного ($v_1$).
Скорость сближения в этом случае равна разности скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1$.
Расстояние, на которое они сблизились: $S_{сбл} = S_0 - S_{кон} = 294 - 264 = 30$ км.
$S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t \Rightarrow (v_2 - v_1) \cdot \frac{5}{3} = 30$.
Отсюда разность скоростей: $v_2 - v_1 = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ км/ч.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} v_2 - v_1 = 18 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое: $v_2 - 0.8 \cdot v_2 = 18 \Rightarrow 0.2 \cdot v_2 = 18 \Rightarrow v_2 = \frac{18}{0.2} = 90$ км/ч.
Тогда $v_1 = 0.8 \cdot 90 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

Время движения $t = 1\frac{2}{3}$ ч $= \frac{5}{3}$ ч. Соотношение скоростей $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.
Мотоциклисты едут в противоположных направлениях, значит, они удаляются друг от друга. Скорость удаления равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2$.
За время $t$ расстояние между ними увеличилось на величину $S_{ув} = S_{кон} - S_0 = 564 - 294 = 270$ км.
$S_{ув} = v_{уд} \cdot t \Rightarrow (v_1 + v_2) \cdot \frac{5}{3} = 270$.
Отсюда сумма скоростей: $v_1 + v_2 = 270 \cdot \frac{3}{5} = 162$ км/ч.
Получаем ту же систему уравнений, что и в первой задаче:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 162 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Решение идентично: $v_2 = 90$ км/ч и $v_1 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

Время движения $t = 1$ ч $40$ мин $= \frac{5}{3}$ ч. Соотношение скоростей $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.
Мотоциклисты едут в одном направлении. Так как расстояние между ними увеличилось (с 294 км до 324 км), значит, более быстрый мотоциклист ($v_2$) едет впереди и удаляется от более медленного ($v_1$).
Скорость удаления в этом случае равна разности скоростей: $v_{уд} = v_2 - v_1$.
Расстояние, на которое они удалились друг от друга: $S_{уд} = S_{кон} - S_0 = 324 - 294 = 30$ км.
$S_{уд} = v_{уд} \cdot t \Rightarrow (v_2 - v_1) \cdot \frac{5}{3} = 30$.
Отсюда разность скоростей: $v_2 - v_1 = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ км/ч.
Получаем ту же систему уравнений, что и во второй задаче:
$\begin{cases} v_2 - v_1 = 18 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases}$
Решение идентично: $v_2 = 90$ км/ч и $v_1 = 72$ км/ч.
Ответ: скорость первого мотоциклиста 72 км/ч, второго — 90 км/ч.

Сопоставление решений:
Несмотря на разные сценарии движения, ответ во всех четырех задачах одинаковый. Это связано с тем, что задачи попарно сводятся к одним и тем же математическим моделям.

• Задачи 1 (встречное движение) и 3 (движение в противоположных направлениях) описывают ситуации, где относительная скорость равна сумме скоростей ($v_1+v_2$). В обоих случаях изменение расстояния за одно и то же время составило 270 км, что привело к уравнению $v_1 + v_2 = 162$.
• Задачи 2 (погоня) и 4 (удаление в одном направлении) описывают ситуации, где относительная скорость равна разности скоростей ($v_2-v_1$). В обоих случаях изменение расстояния за то же время составило 30 км, что привело к уравнению $v_2 - v_1 = 18$.

Таким образом, хотя физический смысл процессов различен, они приводят к двум парам идентичных систем уравнений и, как следствие, к одному и тому же ответу.

201 Чем похожи и чем отличаются задачи? Реши их и сопоставь решения.

1) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 264 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

3) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Через $1\frac{2}{3}$ ч расстояние между ними стало равно 564 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

4) Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 324 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?

202 1) Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить всю работу за 3 ч, а один мастер сделает её за 4 ч. За сколько времени может сделать всю работу один ученик?

$T_U = \frac{1}{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

2) К бассейну подведены 3 трубы. Первая труба одна может наполнить весь бассейн за 2 ч, вторая труба – за 4 ч, а третья – за 12 ч. За сколько времени смогут наполнить пустой бассейн все три трубы, если их включить одновременно?

$T_{total} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}}$

Примем всю работу за 1 (единицу). Тогда производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) мастера и ученика вместе составляет $1 \div 3 = \frac{1}{3}$. Производительность одного мастера составляет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$. Чтобы найти производительность ученика, нужно из совместной производительности вычесть производительность мастера: $P_{ученика} = P_{совместная} - P_{мастера} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$ Следовательно, ученик за 1 час выполняет $\frac{1}{12}$ всей работы. Чтобы найти время, за которое ученик выполнит всю работу самостоятельно, нужно 1 (всю работу) разделить на его производительность: $T = 1 \div \frac{1}{12} = 1 \times 12 = 12$ часов.
Ответ: 12 часов.

Примем объем всего бассейна за 1 (единицу). Производительность первой трубы составляет $\frac{1}{2}$ бассейна в час. Производительность второй трубы — $\frac{1}{4}$ бассейна в час. Производительность третьей трубы — $\frac{1}{12}$ бассейна в час. Чтобы найти общую производительность при одновременной работе, сложим производительности всех трех труб: $P_{общая} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ Приведем все дроби к общему знаменателю 12: $\frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6+3+1}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ Общая производительность трех труб составляет $\frac{5}{6}$ бассейна в час. Чтобы найти время, за которое все три трубы наполнят бассейн, разделим весь объем (1) на общую производительность: $T = 1 \div \frac{5}{6} = 1 \times \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$ часа. Переведем полученное время в более привычный формат: $\frac{6}{5} \text{ часа} = 1 \frac{1}{5} \text{ часа} = 1 \text{ час} + \frac{1}{5} \text{ часа}$. Так как в одном часе 60 минут, найдем $\frac{1}{5}$ часа в минутах: $\frac{1}{5} \times 60 = 12$ минут. Таким образом, общее время наполнения бассейна составит 1 час 12 минут.
Ответ: 1 час 12 минут.

202 1) Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить всю работу за 3 ч, а один мастер сделает ее за 4 ч. За сколько времени может сделать всю работу один ученик?

2) К бассейну подведены 3 трубы. Первая труба одна может наполнить весь бассейн за 2 ч, вторая труба – за 4 ч, а третья – за 12 ч. За сколько времени смогут наполнить пустой бассейн все три трубы, если их включить одновременно?

203 1) Первый насос может выкачать воду из котлована за 36 ч, а второй — за 48 ч. Сначала в течение 12 ч работал один первый насос, после чего работу закончил второй. За сколько времени была выкачана вся вода?

2) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Работая вместе, они могут выполнить весь заказ за 2,4 ч. Однако вместе операторы проработали лишь 2 ч, после чего работу заканчивал один из них. За сколько времени был выполнен заказ, если оператор, ушедший раньше, работая один, может выполнить его полностью за 4 ч?

1) Примем весь объем воды в котловане за 1.
Производительность (скорость выкачивания) первого насоса составляет $P_1 = \frac{1}{36}$ часть котлована в час.
Производительность второго насоса составляет $P_2 = \frac{1}{48}$ часть котлована в час.
За 12 часов работы первый насос выкачал часть воды, равную:
$W_1 = P_1 \times t_1 = \frac{1}{36} \times 12 = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
После этого в котловане осталась часть воды, равная:
$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Эту оставшуюся часть выкачал второй насос. Найдем время, которое ему для этого потребовалось:
$t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{2/3}{1/48} = \frac{2}{3} \times 48 = 2 \times 16 = 32$ часа.
Общее время, затраченное на выкачивание всей воды, равно сумме времени работы первого насоса и времени работы второго насоса:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = 12 \text{ ч} + 32 \text{ ч} = 44$ часа.
Ответ: 44 часа.

2) Примем весь объем заказа за 1.
Пусть $v_A$ – производительность оператора, который ушел раньше, а $v_B$ – производительность оператора, который остался.
Из условия известно, что оператор, ушедший раньше, мог выполнить весь заказ за 4 часа, значит, его производительность $v_A = \frac{1}{4}$ заказа в час.
Работая вместе, они выполняют заказ за 2,4 часа. Их совместная производительность:
$v_{общ} = v_A + v_B = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{24/10} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ заказа в час.
Теперь мы можем найти производительность второго оператора (который остался):
$v_B = v_{общ} - v_A = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ заказа в час.
Операторы проработали вместе 2 часа. За это время они выполнили часть работы:
$W_{вместе} = v_{общ} \times t_{вместе} = \frac{5}{12} \times 2 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ заказа.
Оставшаяся часть работы:
$W_{ост} = 1 - W_{вместе} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ заказа.
Эту часть работы заканчивал второй оператор в одиночку. Время, которое ему для этого понадобилось:
$t_B = \frac{W_{ост}}{v_B} = \frac{1/6}{1/6} = 1$ час.
Общее время выполнения заказа равно времени совместной работы плюс время, которое второй оператор работал один:
$T_{общ} = t_{вместе} + t_B = 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 3$ часа.
Ответ: 3 часа.

203 1) Первый насос может выкачать воду из котлована за 36 ч, а второй – за 48 ч. Сначала в течение 12 ч работал один первый насос, после чего работу закончил второй. За сколько времени была выкачана вся вода?

2) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Работая вместе, они могут выполнить весь заказ за 2,4 ч. Однако вместе операторы проработали лишь 2 ч, после чего работу заканчивал один из них. За сколько времени был выполнен заказ, если оператор, ушедший раньше, работая один, может выполнить его полностью за 4 ч?

K 197 В чём состоит способ пропорций? Объясни, почему величины в задачах прямо пропорциональны, и реши их способом пропорций.

1) Наташа готовит для школьного вечера пригласительные билеты. За полчаса она успела оформить 4 билета. За сколько времени, работая с той же скоростью, она оформит 30 билетов?

2) Для приготовления 4 порций салата требуется 50 г майонеза. Сколько майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата?

3) Спортсмен, пробежав по кругу стадиона 20 раз, преодолевает 9 км. Сколько километров он преодолеет, пробежав 14 кругов?

4) Из 14 м ткани можно сшить 5 одинаковых платьев. Сколько метров ткани нужно на 3 таких платья?

Способ пропорций используется для решения задач, в которых две величины связаны прямой или обратной пропорциональной зависимостью. В данных задачах все величины являются прямо пропорциональными.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений таких величин постоянно.

Для решения задачи способом пропорций необходимо:

1. Составить краткую запись условия, расположив соответствующие значения величин друг под другом.
2. Определить вид зависимости (в нашем случае — прямая пропорциональность).
3. Составить пропорцию: отношение значений первой величины равно отношению соответствующих значений второй величины.
4. Найти неизвестный член пропорции, используя основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

1)

В этой задаче величины — время работы и количество оформленных билетов — являются прямо пропорциональными. Это означает, что чем больше времени Наташа работает, тем больше билетов она оформит (при условии, что скорость работы постоянна). Если увеличить время работы в 2 раза, то и количество оформленных билетов увеличится в 2 раза.

Составим краткую запись:

0,5 часа — 4 билета

x часов — 30 билетов

Составим пропорцию:

$\frac{0,5}{x} = \frac{4}{30}$

Используя основное свойство пропорции, найдем неизвестный член $x$:

$4 \cdot x = 0,5 \cdot 30$

$4x = 15$

$x = \frac{15}{4}$

$x = 3,75$

3,75 часа — это 3 целых часа и 0,75 часа. Переведем 0,75 часа в минуты: $0,75 \cdot 60 = 45$ минут. Таким образом, Наташа оформит 30 билетов за 3 часа 45 минут.

Ответ: 3,75 часа (или 3 часа 45 минут).

2)

Величины — количество порций салата и масса требуемого майонеза — являются прямо пропорциональными. Чем больше порций салата нужно приготовить, тем больше майонеза потребуется. Если количество порций увеличить, например, в 3 раза, то и масса майонеза должна быть увеличена в 3 раза.

Составим краткую запись:

4 порции — 50 г майонеза

10 порций — x г майонеза

Составим пропорцию:

$\frac{4}{10} = \frac{50}{x}$

Найдем $x$:

$4 \cdot x = 10 \cdot 50$

$4x = 500$

$x = \frac{500}{4}$

$x = 125$

Ответ: 125 г майонеза.

3)

Величины — количество кругов и преодоленное расстояние — являются прямо пропорциональными. Чем больше кругов пробежит спортсмен, тем большее расстояние он преодолеет. Если количество кругов уменьшится в 2 раза, то и пройденный путь уменьшится в 2 раза.

Составим краткую запись:

20 кругов — 9 км

14 кругов — x км

Составим пропорцию:

$\frac{20}{14} = \frac{9}{x}$

Найдем $x$:

$20 \cdot x = 14 \cdot 9$

$20x = 126$

$x = \frac{126}{20}$

$x = 6,3$

Ответ: 6,3 км.

4)

Величины — количество метров ткани и количество сшитых платьев — являются прямо пропорциональными. Чтобы сшить больше одинаковых платьев, требуется больше ткани. Если количество платьев увеличить в несколько раз, то и расход ткани увеличится во столько же раз.

Составим краткую запись:

14 м ткани — 5 платьев

x м ткани — 3 платья

Составим пропорцию:

$\frac{14}{x} = \frac{5}{3}$

Найдем $x$:

$5 \cdot x = 14 \cdot 3$

$5x = 42$

$x = \frac{42}{5}$

$x = 8,4$

Ответ: 8,4 м ткани.

197 В чем состоит способ пропорций? Объясни, почему величины в задачах прямо пропорциональны, и реши их способом пропорций.

1) Наташа готовит для школьного вечера пригласительные билеты. За полчаса она успела оформить 4 билета. За сколько времени, работая с той же скоростью, она оформит 30 билетов?

2) Для приготовления 4 порций салата требуется 50 г майонеза. Сколько майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата?

3) Спортсмен, пробежав по кругу стадиона 20 раз, преодолевает 9 км. Сколько километров он преодолеет, пробежав 14 кругов?

4) Из 14 м ткани можно сшить 5 одинаковых платьев. Сколько метров ткани нужно на 3 таких платьев?

198 Объясни, почему величины в задачах обратно пропорциональны, и реши их способом пропорций.

1) Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 4 ч 30 мин. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти обратный путь за 4 ч?

2) С конвейера сходит 180 деталей в минуту, с такой скоростью работы заказ для подрядчика можно выполнить за 8 ч. Сколько времени потребуется на такой же заказ, если после усовершенствования технологии конвейер будет выпускать 200 деталей в минуту?

3) В магазин привезли одинаковое количество яблок и груш. Яблоки разложены в 25 ящиков по 18 кг в каждом, а груши – в 30 ящиков поровну. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

4) Маленькое колесо повозки, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной окружности 3 м?

1)

Величины в этой задаче — скорость автомобиля и время в пути — обратно пропорциональны, потому что расстояние между городами является постоянной величиной. Формула расстояния: $S = v \cdot t$. Если расстояние $S$ не меняется, то при увеличении скорости $v$ время в пути $t$ должно уменьшаться, и наоборот, чтобы их произведение оставалось постоянным.

Сначала переведем время в часы для удобства расчетов. 4 ч 30 мин = 4,5 часа.

Пусть $x$ — искомая скорость. Составим пропорцию. Так как зависимость обратная, отношение скоростей будет равно обратному отношению времени:

$ \frac{80}{x} = \frac{4}{4.5} $

Решим уравнение, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{80 \cdot 4.5}{4} = 20 \cdot 4.5 = 90 $ (км/ч)

Ответ: 90 км/ч.

2)

Величины в этой задаче — производительность конвейера (деталей в минуту) и время выполнения заказа — обратно пропорциональны. Общее количество деталей в заказе — это постоянная величина. Если производительность (скорость работы) увеличивается, то время, необходимое для выполнения того же объема работы, уменьшается.

Сначала переведем время выполнения заказа в минуты, так как производительность дана в деталях в минуту. 8 часов = $8 \cdot 60 = 480$ минут.

Пусть $x$ — новое время для выполнения заказа в минутах. Составим обратную пропорцию:

$ \frac{180}{200} = \frac{x}{480} $

Решим уравнение:

$ x = \frac{180 \cdot 480}{200} = \frac{18 \cdot 480}{20} = 18 \cdot 24 = 432 $ (минуты)

Теперь переведем 432 минуты обратно в часы и минуты: $432 \div 60 = 7$ (остаток 12). Это 7 часов и 12 минут.

Ответ: 7 ч 12 мин.

3)

Величины в задаче — количество ящиков и масса фруктов в одном ящике — обратно пропорциональны, потому что общая масса яблок и общая масса груш одинаковы (постоянная величина). Если увеличить количество ящиков для упаковки того же веса товара, то вес товара в каждом ящике придется уменьшить.

Пусть $x$ — масса груш в одном ящике. Составим обратную пропорцию, где отношение количества ящиков равно обратному отношению масс в одном ящике:

$ \frac{25}{30} = \frac{x}{18} $

Решим уравнение:

$ x = \frac{25 \cdot 18}{30} = \frac{5 \cdot 18}{6} = 5 \cdot 3 = 15 $ (кг)

Ответ: 15 кг.

4)

Величины — длина окружности колеса и количество оборотов, которое оно делает на определенном расстоянии, — обратно пропорциональны. Пройденное расстояние является постоянной величиной. Чтобы проехать одно и то же расстояние, колесу с большей длиной окружности потребуется сделать меньше оборотов, чем колесу с меньшей длиной окружности.

Пусть $x$ — количество оборотов большого колеса. Составим обратную пропорцию:

$ \frac{2.4}{3} = \frac{x}{1250} $

Решим уравнение:

$ x = \frac{2.4 \cdot 1250}{3} = 0.8 \cdot 1250 = 1000 $ (оборотов)

Ответ: 1000 оборотов.

198 Объясни, почему величины в задачах обратно пропорциональны, и реши их способом пропорций.

1) Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 4 ч 30 мин. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти обратный путь за 4 ч?

2) Машинистка печатает со скоростью 180 знаков в минуту. Она может набрать некоторую рукопись за 8 ч. За сколько времени наберет ее машинистка, печатающая со скоростью 200 знаков в минуту?

3) В магазин привезли одинаковое количество яблок и груш. Яблоки разложены в 25 ящиков по 18 кг в каждом, а груши – в 30 ящиков поровну. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

4) Маленькое колесо повозки, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной окружности 3 м?

234 Сформулируй высказывания с использованием союза «если..., то...» и запиши их на математическом языке.

а) Число, противоположное отрицательному, положительно.

б) Произведение правильных дробей является правильной дробью.

в) Параллельные прямые не пересекаются.

г) Вертикальные углы равны.

а) Исходное утверждение «Число, противоположное отрицательному, положительно» можно переформулировать с использованием союза «если..., то...» следующим образом: «Если число является отрицательным, то противоположное ему число является положительным».

Для записи на математическом языке обозначим некоторое число переменной $a$. Условие, что число отрицательное, записывается в виде неравенства $a < 0$. Противоположное ему число — это $-a$. Утверждение, что это число положительное, записывается как $-a > 0$. Таким образом, получаем логическое следование (импликацию).

Ответ: Если $a < 0$, то $-a > 0$.

б) Исходное утверждение «Произведение правильных дробей является правильной дробью» можно переформулировать так: «Если перемножить две правильные дроби, то их произведение также будет правильной дробью».

На математическом языке правильная дробь — это дробь, модуль которой меньше 1. Для простоты рассмотрим положительные правильные дроби. Пусть даны две такие дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Условие, что они правильные, означает, что $0 < \frac{a}{b} < 1$ и $0 < \frac{c}{d} < 1$. Их произведение равно $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$. Утверждение гласит, что это произведение также является правильной дробью, то есть $0 < \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} < 1$.

Ответ: Если $0 < \frac{a}{b} < 1$ и $0 < \frac{c}{d} < 1$, то $0 < \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} < 1$.

в) Исходное утверждение «Параллельные прямые не пересекаются» переформулируем: «Если две прямые параллельны, то они не имеют общих точек (не пересекаются)».

На языке математики: пусть даны две прямые $a$ и $b$. Условие их параллельности записывается с помощью символа $a \parallel b$. Отсутствие общих точек означает, что их пересечение является пустым множеством, что записывается как $a \cap b = \emptyset$.

Ответ: Если $a \parallel b$, то $a \cap b = \emptyset$.

г) Исходное утверждение «Вертикальные углы равны» переформулируем: «Если два угла являются вертикальными, то они равны».

На математическом языке: пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — два угла. Условие, что они являются вертикальными, — это посылка. Утверждение, что они равны, — это заключение. Равенство углов означает равенство их градусных мер.

Ответ: Если $\angle 1$ и $\angle 2$ — вертикальные, то $\angle 1 = \angle 2$.

234 Сформулируй высказывания с использованием союза «если..., то...» и запиши их на математическом языке.

a) Число, противоположное отрицательному, положительно.

б) Произведение правильных дробей является правильной дробью.

в) Параллельные прямые не пересекаются.

г) Вертикальные углы равны.

235 Придумай предложение, являющееся логическим следованием, и запиши его на математическом языке.

Логическое следование, также известное как импликация, — это логическая операция, которая связывает два высказывания (условие и заключение) в одно сложное высказывание. Оно обычно выражается в речи с помощью конструкции «если..., то...». Если условие (первое высказывание) истинно, то и заключение (второе высказывание) также должно быть истинным.

Приведем пример такого предложения из арифметики и запишем его на математическом языке.

Пример предложения: «Если натуральное число делится на 10, то оно делится и на 5».

Это утверждение является истинным логическим следованием. Для его записи на математическом языке выполним следующие шаги:

1. Введем обозначения для простых высказываний, из которых состоит наше предложение. Пусть $n$ — это произвольное натуральное число.

• Условие (посылка): «число $n$ делится на 10». В математике это записывается как $n \vdots 10$.
• Заключение (следствие): «число $n$ делится на 5». В математике это записывается как $n \vdots 5$.

2. Логическое следование «если..., то...» в математике обозначается специальным знаком импликации $ \Rightarrow $ (читается как «следует» или «влечет за собой»).

3. Теперь мы можем записать все предложение целиком, соединив условие и заключение знаком импликации:

$(n \vdots 10) \Rightarrow (n \vdots 5)$

Эта формула и есть математическая запись исходного предложения. Она читается так: «Из того, что число $n$ делится на 10, следует, что число $n$ делится на 5».

Ответ: Пример предложения: «Если число $x$ больше двух, то его квадрат больше четырех». Математическая запись: $(x > 2) \Rightarrow (x^2 > 4)$.

235 Придумай предложение, являющееся логическим следованием, и запиши его на математическом языке.

236 Вычисли устно и продолжи ряд ответов на одно число, сохраняя закономерность.

$-7$
$: 0,1$
$+ 40$
$\cdot 0,09$
$- 1,6$

$-12$
$\cdot 10$
$+ 270$
$: (-30)$
$+ 1,6$

$-3$
$: (-4)$
$+ 0,15$
$\cdot (-2)$
$- 0,7$

$2,8$
$+ 5,2$
$: 0,2$
$- 50$
$+ 8,4$

$-2,4$
$\cdot 0,5$
$+ 4$
$\cdot (-0,1)$
$: 0,4$

?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала вычислить результат для каждого из пяти примеров, затем найти закономерность в получившихся ответах, чтобы определить следующий член ряда, и, наконец, составить шестой пример, который бы соответствовал общей закономерности и давал в результате найденное число.

Вычисления по столбцам

1. Первый столбец

1. $ -7 : 0,1 = -70 $
2. $ -70 + 40 = -30 $
3. $ -30 \cdot 0,09 = -2,7 $
4. $ -2,7 - 1,6 = -4,3 $

Ответ: -4,3

2. Второй столбец

1. $ -12 \cdot 10 = -120 $
2. $ -120 + 270 = 150 $
3. $ 150 : (-30) = -5 $
4. $ -5 + 1,6 = -3,4 $

Ответ: -3,4

3. Третий столбец

1. $ -3 : (-4) = 0,75 $
2. $ 0,75 + 0,15 = 0,9 $
3. $ 0,9 \cdot (-2) = -1,8 $
4. $ -1,8 - 0,7 = -2,5 $

Ответ: -2,5

4. Четвертый столбец

1. $ 2,8 + 5,2 = 8 $
2. $ 8 : 0,2 = 40 $
3. $ 40 - 50 = -10 $
4. $ -10 + 8,4 = -1,6 $

Ответ: -1,6

5. Пятый столбец

1. $ -2,4 \cdot 0,5 = -1,2 $
2. $ -1,2 + 4 = 2,8 $
3. $ 2,8 \cdot (-0,1) = -0,28 $
4. $ -0,28 : 0,4 = -0,7 $

Ответ: -0,7

Анализ ряда ответов и нахождение следующего числа

Полученные ответы образуют числовой ряд: -4,3; -3,4; -2,5; -1,6; -0,7.

Найдем разность между соседними членами этого ряда, чтобы определить закономерность:

$ -3,4 - (-4,3) = -3,4 + 4,3 = 0,9 $

$ -2,5 - (-3,4) = -2,5 + 3,4 = 0,9 $

$ -1,6 - (-2,5) = -1,6 + 2,5 = 0,9 $

$ -0,7 - (-1,6) = -0,7 + 1,6 = 0,9 $

Ряд ответов представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом $ a_1 = -4,3 $ и разностью $ d = 0,9 $. Чтобы продолжить ряд на одно число, нужно к последнему члену прибавить разность прогрессии.

Следующий член ряда: $ -0,7 + 0,9 = 0,2 $.

Построение шестого столбца

Теперь нужно составить шестой пример, который бы соответствовал общей закономерности и давал в ответе 0,2. Закономерность в построении самих примеров можно найти, если внимательно посмотреть на связь между столбцами.

Рассмотрим результат второго действия в пятом столбце: $ (-2,4 \cdot 0,5) + 4 = -1,2 + 4 = 2,8 $. Этот результат совпадает с начальным числом в четвертом столбце (2,8).

Сохраняя эту закономерность, можно предположить, что результат второго действия в шестом столбце должен быть равен начальному числу пятого столбца, то есть $ -2,4 $.

Итак, нам нужно составить пример, в котором:

1. Результат второго действия равен -2,4.

2. Окончательный ответ равен 0,2.

Создадим такой пример. Возьмем произвольное начальное число, например, 5.

6. Шестой столбец (продолжение ряда)

Начальное число: 5.
1. Первое действие: умножим на 2. $ 5 \cdot 2 = 10 $.
2. Второе действие: вычтем 12,4, чтобы получить -2,4. $ 10 - 12,4 = -2,4 $. (Закономерность соблюдена).
3. Третье действие: разделим на -2,4. $ -2,4 : (-2,4) = 1 $.
4. Четвертое действие: вычтем 0,8, чтобы получить 0,2. $ 1 - 0,8 = 0,2 $. (Получен нужный ответ).

Таким образом, шестой столбец может выглядеть так:

5

Ответ: Следующее число в ряду ответов равно 0,2.

$\Pi$ 236 Вычисли устно и продолжи ряд ответов на одно число, сохраняя закономерность:

-7
$: 0,1$
$+ 40$
$\cdot 0,09$
$- 1,6$

-12
$\cdot 10$
$+ 270$
$: (-30)$
$+ 1,6$

-3
$: (-4)$
$+ 0,15$
$\cdot (-2)$
$- 0,7$

2,8
$+ 5,2$
$: 0,2$
$- 50$
$+ 8,4$

-2,4
$\cdot 0,5$
$+ 4$
$\cdot (-0,1)$
$: 0,4$

?

237 Пусть A – множество чисел, кратных 5, B – множество чисел, кратных 10, C – множество чисел, кратных 3, и D – множество чисел, кратных 9. На диаграмме Эйлера – Венна точками обозначены элементы множеств A, B, C и D, являющиеся трёхзначными числами. Придай возможные значения переменным a, b, c, d, e, f и g.

a

$a = 115$

b

$b = 100$

c

$c = 120$

d

$d = 180$

e

$e = 135$

f

$f = 102$

g

$g = 108$

Сначала определим свойства чисел для каждой области на диаграмме Эйлера-Венна. Согласно условию, все искомые числа должны быть трёхзначными (находиться в диапазоне от 100 до 999).

• $A$ — множество чисел, кратных 5.
• $B$ — множество чисел, кратных 10.
• $C$ — множество чисел, кратных 3.
• $D$ — множество чисел, кратных 9.

Важно заметить, что любое число, кратное 10, также кратно и 5, поэтому множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$). Аналогично, любое число, кратное 9, также кратно и 3, поэтому $D \subset C$. Это отражено на диаграмме, где эллипс B полностью находится внутри эллипса A, а эллипс D — внутри эллипса C.

a
Число $a$ находится в множестве $A$, но не принадлежит множествам $B$, $C$ и $D$.

• $a \in A \implies$ число $a$ кратно 5.
• $a \notin B \implies$ число $a$ не кратно 10. Из этого следует, что число $a$ должно оканчиваться на 5.
• $a \notin C \implies$ число $a$ не кратно 3. Это означает, что сумма его цифр не делится на 3.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 115. Оно оканчивается на 5. Сумма его цифр $1+1+5=7$, что не делится на 3.
Ответ: $a=115$.

b
Число $b$ находится в множестве $B$, но не принадлежит множествам $C$ и $D$.

• $b \in B \implies$ число $b$ кратно 10 (и, следовательно, кратно 5, то есть $b \in A$).
• $b \notin C \implies$ число $b$ не кратно 3. Сумма его цифр не делится на 3.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 100. Оно кратно 10. Сумма его цифр $1+0+0=1$, что не делится на 3.
Ответ: $b=100$.

c
Число $c$ находится в пересечении множеств $B$ и $C$, но не принадлежит множеству $D$.

• $c \in B \implies$ число $c$ кратно 10.
• $c \in C \implies$ число $c$ кратно 3.
• Из двух предыдущих пунктов следует, что $c$ кратно наименьшему общему кратному чисел 10 и 3, то есть $c$ кратно 30.
• $c \notin D \implies$ число $c$ не кратно 9. Сумма его цифр делится на 3, но не делится на 9.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 120. Оно кратно 30. Сумма его цифр $1+2+0=3$. Число 3 делится на 3, но не на 9.
Ответ: $c=120$.

d
Число $d$ находится в пересечении множеств $B$ и $D$.

• $d \in B \implies$ число $d$ кратно 10.
• $d \in D \implies$ число $d$ кратно 9 (и, следовательно, кратно 3, то есть $d \in C$).
• Следовательно, $d$ кратно наименьшему общему кратному чисел 10 и 9, то есть $d$ кратно 90.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 180. Оно является кратным 90.
Ответ: $d=180$.

e
Число $e$ находится в пересечении множеств $A$ и $C$, но не принадлежит множествам $B$ и $D$.

• $e \in A \implies$ число $e$ кратно 5.
• $e \in C \implies$ число $e$ кратно 3.
• Следовательно, $e$ кратно наименьшему общему кратному чисел 5 и 3, то есть $e$ кратно 15.
• $e \notin B \implies$ число $e$ не кратно 10. Значит, оно должно оканчиваться на 5.
• $e \notin D \implies$ число $e$ не кратно 9. Сумма его цифр делится на 3, но не на 9.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 105. Оно кратно 15 и оканчивается на 5. Сумма его цифр $1+0+5=6$. Число 6 делится на 3, но не на 9.
Ответ: $e=105$.

f
Число $f$ находится в множестве $D$, но не принадлежит множеству $A$.

• $f \in D \implies$ число $f$ кратно 9 (и, следовательно, кратно 3, то есть $f \in C$).
• $f \notin A \implies$ число $f$ не кратно 5. Значит, оно не может оканчиваться на 0 или 5.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 108. Оно кратно 9 (сумма цифр $1+0+8=9$). Оно оканчивается на 8, то есть не кратно 5.
Ответ: $f=108$.

g
Число $g$ находится в множестве $C$, но не принадлежит множествам $A$ и $D$.

• $g \in C \implies$ число $g$ кратно 3.
• $g \notin D \implies$ число $g$ не кратно 9. Сумма его цифр делится на 3, но не на 9.
• $g \notin A \implies$ число $g$ не кратно 5. Значит, оно не может оканчиваться на 0 или 5.

Найдём подходящее трёхзначное число. Например, 102. Сумма его цифр $1+0+2=3$. Число 3 делится на 3, но не на 9. Число 102 не оканчивается на 0 или 5.
Ответ: $g=102$.

237 Пусть $A$ – множество чисел, кратных $5$, $B$ – множество чисел, кратных $10$, $C$ – множество чисел, кратных $3$, и $D$ – множество чисел, кратных $9$.

На диаграмме Эйлера-Венна точками обозначены элементы множеств $A$, $B$, $C$ и $D$, являющиеся трехзначными числами. Придай возможные значения переменным $a, b, c, d, e, f$ и $g$.

238 Найди истинные высказывания и составь из соответствующих им букв имя древнегреческого философа, которого считают основоположником науки логики:

Э 815 кратно 3;

Д $712 \cdot 15 + 340$ не кратно 5;

Т 815 делится на 5;

Ь $10800 - 63 \cdot 47$ делится на 9;

О 1536 не делится на 9;

А $325 \cdot 120 \cdot 79$ кратно 10;

П 1536 не кратно 4;

М $325 \cdot 120 \cdot 79$ не делится на 200;

Т 52 704 делится на 2 и на 9;

Р 9 является делителем $438^2$;

Е 52 704 кратно 18;

И $405^2$ делится на 25 и на 81;

Н 14 625 не кратно 3 или 25;

С $246^3$ кратно 8;

Л 75 является делителем 14 625;

Х $210^2 - 60^2$ не делится на 100.

Э 815 кратно 3; Для проверки делимости на 3 найдем сумму цифр числа 815: $8 + 1 + 5 = 14$. Так как 14 не делится на 3, то и 815 не кратно 3. Высказывание ложно. Ответ: Ложно.

Т 815 делится на 5; Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число 815 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

О 1536 не делится на 9; Для проверки делимости на 9 найдем сумму цифр числа 1536: $1 + 5 + 3 + 6 = 15$. Так как 15 не делится на 9, то и 1536 не делится на 9. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

П 1536 не кратно 4; Число делится на 4, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. Последние две цифры числа 1536 образуют число 36. Так как $36 : 4 = 9$, число 1536 кратно 4. Высказывание ложно. Ответ: Ложно.

Т 52 704 делится на 2 и на 9; Число 52 704 оканчивается на четную цифру 4, значит, оно делится на 2. Сумма его цифр $5 + 2 + 7 + 0 + 4 = 18$. Так как 18 делится на 9, число 52 704 делится на 9. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

Е 52 704 кратно 18; Число кратно 18, если оно делится и на 2, и на 9. Как было показано в предыдущем пункте, 52 704 делится на 2 и на 9. Следовательно, оно кратно 18. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

Н 14 625 не кратно 3 или 25; Сумма цифр числа 14 625 равна $1 + 4 + 6 + 2 + 5 = 18$, что кратно 3. Число оканчивается на 25, что кратно 25. Так как 14 625 кратно и 3, и 25, высказывание ложно. Ответ: Ложно.

Л 75 является делителем 14 625; Это значит, что 14 625 делится на 75. Число делится на 75, если оно делится на 3 и на 25 ($75 = 3 \cdot 25$). Как показано выше, 14 625 делится на 3 и на 25. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

Д 712 · 15 + 340 не кратно 5; Произведение $712 \cdot 15$ кратно 5, так как 15 кратно 5. Число 340 кратно 5, так как оканчивается на 0. Сумма двух чисел, кратных 5, также кратна 5. Высказывание ложно. Ответ: Ложно.

Ь 10 800 – 63 · 47 делится на 9; Число 10 800 делится на 9, так как сумма его цифр $1+8=9$ делится на 9. Произведение $63 \cdot 47$ делится на 9, так как 63 делится на 9. Разность двух чисел, кратных 9, также кратна 9. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

А 325 · 120 · 79 кратно 10; Произведение кратно 10, если хотя бы один из множителей кратен 10. Множитель 120 оканчивается на 0, значит, он кратен 10. Следовательно, все произведение кратно 10. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

М 325 · 120 · 79 не делится на 200; Разложим на множители: $325 = 13 \cdot 25$, $120 = 15 \cdot 8$. Произведение $325 \cdot 120 \cdot 79 = (13 \cdot 25) \cdot (15 \cdot 8) \cdot 79$ содержит множители 25 и 8. Так как $25 \cdot 8 = 200$, произведение делится на 200. Высказывание ложно. Ответ: Ложно.

Р 9 является делителем 438²; Это значит, что $438^2$ делится на 9. Число в квадрате делится на 9, если само число делится на 3. Сумма цифр числа 438 равна $4+3+8=15$. Так как 15 делится на 3, то и 438 делится на 3. Следовательно, $438^2$ делится на 9. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

И 405² делится на 25 и на 81; $405^2$ делится на $25=5^2$, так как 405 делится на 5 (оканчивается на 5). $405^2$ делится на $81=9^2$, так как 405 делится на 9 (сумма цифр $4+0+5=9$). Оба условия верны. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

С 246³ кратно 8; Число в кубе кратно $8=2^3$, если само число кратно 2. Число 246 четное, значит, оно кратно 2. Следовательно, $246^3$ кратно 8. Высказывание истинно. Ответ: Истинно.

Х 210² – 60² не делится на 100. По формуле разности квадратов: $210^2 – 60^2 = (210 - 60)(210 + 60) = 150 \cdot 270 = 40500$. Число 40500 делится на 100. Высказывание ложно. Ответ: Ложно.

Выпишем буквы, соответствующие истинным высказываниям: Т, О, Т, Е, Л, Ь, А, Р, И, С.

Составив из этих букв имя, получаем имя древнегреческого философа, которого считают основоположником науки логики. Ответ: АРИСТОТЕЛЬ.

238 Найди истинные высказывания и составь из соответствующих им букв имя древнегреческого философа, которого считают основоположником науки логики:

Э 815 кратно 3;

Т 815 делится на 5;

О 1536 не делится на 9;

П 1536 не кратно 4;

Т 52 704 делится на 2 и на 9;

Е 52 704 кратно 18;

Н 14 625 не кратно 3 или 25;

Л 75 является делителем 14 625;

Д $712 \cdot 15 + 340$ не кратно 5;

Ь $10800 - 63 \cdot 47$ делится на 9;

А $325 \cdot 120 \cdot 79$ кратно 10;

М $325 \cdot 120 \cdot 79$ не делится на 200;

Р 9 является делителем $438^2$;

И $405^2$ делится на 25 и на 81;

С $246^3$ кратно 8;

Х $210^2 - 60^2$ не делится на 100.