Страница 47, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

177 Выполни действия, переходя к десятичным дробям:

а) $0,36 + \frac{1}{2}$;

б) $5,8 - \frac{3}{4}$;

в) $\frac{2}{5} : 0,001$;

г) $7,2 \cdot \frac{1}{100}$.

а) $0,36 + \frac{1}{2}$

1. Переводим обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5$

2. Выполняем сложение десятичных дробей:

$0,36 + 0,5 = 0,86$

Ответ: 0,86

б) $5,8 - \frac{3}{4}$

1. Переводим обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75$

2. Выполняем вычитание десятичных дробей:

$5,8 - 0,75 = 5,80 - 0,75 = 5,05$

Ответ: 5,05

в) $\frac{2}{5} : 0,001$

1. Переводим обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{2}{5} = 2 : 5 = 0,4$

2. Выполняем деление. Чтобы разделить на $0,001$, нужно перенести запятую в делимом и делителе на 3 знака вправо:

$0,4 : 0,001 = 400 : 1 = 400$

Ответ: 400

г) $7,2 \cdot \frac{1}{100}$

1. Переводим обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{1}{100} = 0,01$

2. Выполняем умножение. Умножение на $0,01$ равносильно переносу запятой на два знака влево:

$7,2 \cdot 0,01 = 0,072$

Ответ: 0,072

177 Выполни действия, переходя к десятичным дробям:

а) $0,36 + \frac{1}{2}$;

б) $5,8 - \frac{3}{4}$;

в) $\frac{2}{5} : 0,001$;

г) $7,2 \cdot \frac{1}{100}$.

178 Выполни действия, переходя к обыкновенным дробям:

а) $ \frac{2}{3} + 0,6; $

б) $ 1\frac{1}{6} - 0,5; $

в) $ 0,3 \cdot \frac{5}{9}; $

г) $ \frac{8}{11} : 0,4. $

а) $\frac{2}{3} + 0,6$

Чтобы выполнить сложение, необходимо перевести десятичную дробь в обыкновенную.
1. Переведем $0,6$ в обыкновенную дробь: $0,6 = \frac{6}{10}$.
2. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
3. Теперь выражение выглядит так: $\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$.
4. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
5. Сложим полученные дроби: $\frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{10+9}{15} = \frac{19}{15}$.
6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$.
Ответ: $1\frac{4}{15}$.

б) $1\frac{1}{6} - 0,5$

Для выполнения вычитания переведем десятичную дробь в обыкновенную.
1. Переведем $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{5}{10}$.
2. Сократим дробь: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
3. Выражение принимает вид: $1\frac{1}{6} - \frac{1}{2}$.
4. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.
5. Теперь вычтем: $1\frac{1}{6} - \frac{3}{6}$.
6. Чтобы вычесть дробную часть, представим смешанное число $1\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.
7. Выполним вычитание: $\frac{7}{6} - \frac{3}{6} = \frac{7-3}{6} = \frac{4}{6}$.
8. Сократим результат: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) $0,3 \cdot \frac{5}{9}$

Для выполнения умножения переведем десятичную дробь в обыкновенную.
1. Переведем $0,3$ в обыкновенную дробь: $0,3 = \frac{3}{10}$.
2. Теперь умножим дроби: $\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9}$.
3. При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели: $\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 9}$.
4. Прежде чем перемножать, выполним сокращение: числитель 3 и знаменатель 9 делятся на 3; числитель 5 и знаменатель 10 делятся на 5.
$\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 9} = \frac{(3 \div 3) \cdot (5 \div 5)}{(10 \div 5) \cdot (9 \div 3)} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

г) $\frac{8}{11} : 0,4$

Для выполнения деления переведем десятичную дробь в обыкновенную.
1. Переведем $0,4$ в обыкновенную дробь: $0,4 = \frac{4}{10}$.
2. Сократим дробь: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
3. Теперь выражение выглядит так: $\frac{8}{11} : \frac{2}{5}$.
4. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (перевернуть делитель): $\frac{8}{11} \cdot \frac{5}{2}$.
5. Перемножим дроби: $\frac{8 \cdot 5}{11 \cdot 2}$.
6. Сократим числитель 8 и знаменатель 2 на 2: $\frac{(8 \div 2) \cdot 5}{11 \cdot (2 \div 2)} = \frac{4 \cdot 5}{11 \cdot 1} = \frac{20}{11}$.
7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{20}{11} = 1\frac{9}{11}$.
Ответ: $1\frac{9}{11}$.

178 Выполни действия, переходя к обыкновенным дробям:

а) $ \frac{2}{3} + 0,6; $

б) $ 1\frac{1}{6} - 0,5; $

в) $ 0,3 \cdot \frac{5}{9}; $

г) $ \frac{8}{11} : 0,4. $

179 Выполни действия, представляя числа в наиболее удобном для вычисления виде:

а) $3\frac{4}{5} - 1.8;$

б) $0.84 \cdot \frac{3}{4};$

в) $2.2 \div \frac{11}{15};$

г) $3\frac{9}{10} + 1.68;$

д) $4.2 \div 3\frac{1}{2};$

е) $\frac{1}{5} \cdot 20.08;$

ж) $5.384 - 4\frac{3}{20};$

з) $1\frac{2}{3} + 2.5.$

а) $3\frac{4}{5} - 1,8$
Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей.
Преобразуем смешанное число $3\frac{4}{5}$: дробная часть $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0,8$. Таким образом, $3\frac{4}{5} = 3,8$.
Теперь выполним вычитание: $3,8 - 1,8 = 2$.
Ответ: $2$.

б) $0,84 \cdot \frac{3}{4}$
В данном случае удобно представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде десятичного числа: $\frac{3}{4} = 0,75$.
Выполним умножение: $0,84 \cdot 0,75 = 0,63$.
Другой удобный способ — это заметить, что умножение на $\frac{3}{4}$ равносильно делению на 4 и умножению на 3:
$0,84 \cdot \frac{3}{4} = (0,84 : 4) \cdot 3 = 0,21 \cdot 3 = 0,63$.
Ответ: $0,63$.

в) $2,2 : \frac{11}{15}$
Здесь удобнее перевести десятичную дробь в обыкновенную, так как $\frac{11}{15}$ не переводится в конечную десятичную дробь.
$2,2 = 2\frac{2}{10} = 2\frac{1}{5}$. Переведем в неправильную дробь: $2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$.
Выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{11}{5} : \frac{11}{15} = \frac{11}{5} \cdot \frac{15}{11}$.
Сократим 11 в числителе и знаменателе, а также 15 и 5:
$\frac{11}{5} \cdot \frac{15}{11} = \frac{15}{5} = 3$.
Ответ: $3$.

г) $3\frac{9}{10} + 1,68$
Представим смешанное число в виде десятичной дроби, так как знаменатель дробной части равен 10.
$3\frac{9}{10} = 3,9$.
Теперь выполним сложение: $3,9 + 1,68 = 3,90 + 1,68 = 5,58$.
Ответ: $5,58$.

д) $4,2 : 3\frac{1}{2}$
Представим смешанное число $3\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби.
$\frac{1}{2} = 0,5$, поэтому $3\frac{1}{2} = 3,5$.
Выполним деление: $4,2 : 3,5$.
Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо:
$42 : 35 = \frac{42}{35}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{42 : 7}{35 : 7} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Ответ: $1,2$.

е) $\frac{1}{5} \cdot 20,08$
Представим обыкновенную дробь $\frac{1}{5}$ в виде десятичной.
$\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$.
Выполним умножение: $0,2 \cdot 20,08$.
$2 \cdot 20,08 = 40,16$. Сдвигаем запятую на один знак влево (из-за множителя 0,2): $4,016$.
Ответ: $4,016$.

ж) $5,384 - 4\frac{3}{20}$
Представим смешанное число $4\frac{3}{20}$ в виде десятичной дроби.
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15$. Таким образом, $4\frac{3}{20} = 4,15$.
Выполним вычитание: $5,384 - 4,15 = 5,384 - 4,150 = 1,234$.
Ответ: $1,234$.

з) $1\frac{2}{3} + 2,5$
Дробь $\frac{2}{3}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, поэтому для точного вычисления переведем $2,5$ в смешанное число.
$2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2}$.
Теперь сложим смешанные числа: $1\frac{2}{3} + 2\frac{1}{2}$.
Приведем дробные части к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$;
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.
$1\frac{4}{6} + 2\frac{3}{6} = (1+2) + (\frac{4}{6} + \frac{3}{6}) = 3 + \frac{7}{6}$.
Так как $\frac{7}{6}$ — неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
$3 + 1\frac{1}{6} = 4\frac{1}{6}$.
Ответ: $4\frac{1}{6}$.

179 Выполни действия, представляя числа в наиболее удобном для вычисления виде:

а) $3 \frac{4}{5} - 1,8$;

б) $0,84 \cdot \frac{3}{4}$;

в) $2,2 : \frac{11}{15}$;

г) $3 \frac{9}{10} + 1,68$;

д) $4,2 : 3 \frac{1}{2}$;

е) $\frac{1}{5} \cdot 20,08$;

ж) $5,384 - 4 \frac{3}{20}$;

з) $1 \frac{2}{3} + 2,5$.

180 Найди значения дробей:

a) $\frac{2,7}{3,6};$

б) $\frac{5 \frac{1}{7}}{3 \frac{3}{14}};$

в) $\frac{7,2 \cdot 2,8}{3,5 \cdot 0,64};$

г) $\frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{3}{11} \cdot 3\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 4\frac{1}{6} \cdot 3\frac{9}{11}};$

д) $\frac{5,6 \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 0,63}{4,9 \cdot 0,018 \cdot 5\frac{1}{3}};$

е) $\frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2 \cdot 1\frac{1}{3}};$

ж) $\frac{0,27 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 4,8 \cdot 0,3}{0,032 \cdot 0,54 \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 1,8};$

з) $\frac{0,38 \cdot 0,17 \cdot 2\frac{2}{15} \cdot 2,7}{5,1 \cdot 3\frac{4}{5} \cdot 0,064}.$

а)

Чтобы найти значение дроби, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим полученную дробь:
$\frac{2,7}{3,6} = \frac{2,7 \cdot 10}{3,6 \cdot 10} = \frac{27}{36}$
Наибольший общий делитель для 27 и 36 это 9. Сокращаем дробь на 9:
$\frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$ (или $0,75$)

б)

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$
$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$
Теперь разделим полученные дроби. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{\frac{36}{7}}{\frac{45}{14}} = \frac{36}{7} \div \frac{45}{14} = \frac{36}{7} \cdot \frac{14}{45}$
Сократим дробь перед умножением: $36 = 4 \cdot 9$, $45 = 5 \cdot 9$, $14 = 2 \cdot 7$.
$\frac{36}{7} \cdot \frac{14}{45} = \frac{4 \cdot 9}{7} \cdot \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 9} = \frac{4 \cdot \cancel{9}}{\cancel{7}} \cdot \frac{2 \cdot \cancel{7}}{5 \cdot \cancel{9}} = \frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5}$
Переведем в смешанную дробь: $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.
Ответ: $1\frac{3}{5}$

в)

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от всех десятичных знаков:
$\frac{7,2 \cdot 2,8}{3,5 \cdot 0,64} = \frac{(7,2 \cdot 10) \cdot (2,8 \cdot 100)}{(3,5 \cdot 10) \cdot (0,64 \cdot 100)} = \frac{72 \cdot 280}{35 \cdot 64}$
Теперь сократим полученные числа, разделив выражение на две дроби:
$\frac{72}{64} = \frac{9 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{9}{8}$
$\frac{280}{35} = \frac{28 \cdot 10}{35} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 10}{5 \cdot 7} = \frac{40}{5} = 8$
Перемножим полученные результаты:
$\frac{9}{8} \cdot 8 = 9$
Ответ: $9$

г)

Преобразуем все смешанные дроби в неправильные:
В числителе: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, $2\frac{3}{11} = \frac{25}{11}$, $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
В знаменателе: $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$, $3\frac{9}{11} = \frac{42}{11}$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{7}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{6} \cdot \frac{42}{11}} = \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{7}{2}\right) \div \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{6} \cdot \frac{42}{11}\right) = \frac{4 \cdot 25 \cdot 7}{3 \cdot 11 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 6 \cdot 11}{1 \cdot 25 \cdot 42}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (25, 11, 2):
$\frac{4 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 42} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 6 \cdot 7}$
Сократим еще раз (6, 7):
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

д)

Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$\frac{5,6 \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 0,63}{4,9 \cdot 0,018 \cdot 5\frac{1}{3}} = \frac{5,6}{4,9} \cdot \frac{3\frac{1}{3}}{5\frac{1}{3}} \cdot \frac{0,63}{0,018}$
Вычислим значение каждой группы:
$\frac{5,6}{4,9} = \frac{56}{49} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{8}{7}$
$\frac{3\frac{1}{3}}{5\frac{1}{3}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$
$\frac{0,63}{0,018} = \frac{630}{18} = 35$
Теперь перемножим полученные значения:
$\frac{8}{7} \cdot \frac{5}{8} \cdot 35 = \frac{5}{7} \cdot 35 = 5 \cdot 5 = 25$
Ответ: $25$

е)

В числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $1\frac{1}{3}$, который можно сократить:
$\frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2 \cdot 1\frac{1}{3}} = \frac{2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2}$
Упростим выражение:
$\frac{0,36}{0,6} = \frac{3,6}{6} = 0,6$.
$\frac{2\frac{2}{3} \cdot 0,6}{2} = \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{6}{10}}{2} = \frac{\frac{8 \cdot 2}{10}}{2} = \frac{\frac{16}{10}}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$.
Другой способ:
$\frac{2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2} = \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{36}{100}}{\frac{6}{10} \cdot 2} = \frac{\frac{8 \cdot 12}{100}}{\frac{12}{10}} = \frac{96}{100} \cdot \frac{10}{12} = \frac{8 \cdot 12}{100} \cdot \frac{10}{12} = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$ (или $0,8$)

ж)

Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$\frac{0,27 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 4,8 \cdot 0,3}{0,032 \cdot 0,54 \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 1,8} = \frac{0,27}{0,54} \cdot \frac{1\frac{5}{7}}{3\frac{4}{7}} \cdot \frac{4,8}{1,8} \cdot \frac{0,3}{0,032}$
Вычислим значение каждой группы:
$\frac{0,27}{0,54} = \frac{1}{2}$
$\frac{1\frac{5}{7}}{3\frac{4}{7}} = \frac{\frac{12}{7}}{\frac{25}{7}} = \frac{12}{25}$
$\frac{4,8}{1,8} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$
$\frac{0,3}{0,032} = \frac{300}{32} = \frac{75}{8}$
Теперь перемножим полученные значения:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{25} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{75}{8} = \frac{1 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 75}{2 \cdot 25 \cdot 3 \cdot 8}$
Сократим множители:
$\frac{12 \cdot 75}{2 \cdot 25 \cdot 3} = \frac{12 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{12}{2} = 6$
Ответ: $6$

з)

Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$\frac{0,38 \cdot 0,17 \cdot 2\frac{2}{15} \cdot 2,7}{5,1 \cdot 3\frac{4}{5} \cdot 0,064} = \frac{0,38}{3\frac{4}{5}} \cdot \frac{0,17}{5,1} \cdot \frac{2\frac{2}{15}}{0,064} \cdot 2,7$
Вычислим значение каждой группы:
$\frac{0,38}{3\frac{4}{5}} = \frac{0,38}{3,8} = \frac{1}{10}$
$\frac{0,17}{5,1} = \frac{17}{510} = \frac{1}{30}$
$\frac{2\frac{2}{15}}{0,064} = \frac{\frac{32}{15}}{\frac{64}{1000}} = \frac{32}{15} \cdot \frac{1000}{64} = \frac{1000}{15 \cdot 2} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$
Теперь перемножим полученные значения и оставшийся множитель $2,7$:
$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{30} \cdot \frac{100}{3} \cdot 2,7 = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{30} \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{27}{10}$
$\frac{100 \cdot 27}{10 \cdot 30 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{2700}{9000} = \frac{27}{90} = \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{3}{10}$ (или $0,3$)

180 Найди значения дробей:

a) $ \frac{2,7}{3,6} $;

в) $ \frac{7,2 \cdot 2,8}{3,5 \cdot 0,64} $;

д) $ \frac{5,6 \cdot 3\frac{1}{3} \cdot 0,63}{4,9 \cdot 0,018 \cdot 5\frac{1}{3}} $;

ж) $ \frac{0,27 \cdot 1\frac{5}{7} \cdot 4,8 \cdot 0,3}{0,032 \cdot 0,54 \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 1,8} $;

б) $ \frac{5\frac{1}{7}}{3\frac{3}{14}} $;

г) $ \frac{1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{3}{11} \cdot 3\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 4\frac{1}{6} \cdot 3\frac{9}{11}} $;

е) $ \frac{1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,36}{0,6 \cdot 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3}} $;

з) $ \frac{0,38 \cdot 0,17 \cdot 2\frac{2}{15} \cdot 2,7}{5,1 \cdot 3\frac{4}{5} \cdot 0,064} $.

181 Выполни действия:

1) $(1,5 : \frac{1}{3} - \frac{3}{8} : 0,25) \cdot 3,2 - 3,2 \cdot \frac{5}{8}$;

2) $\frac{7}{40} : 2\frac{11}{12} - 0,1 \cdot (1,45 : 2\frac{1}{3} - \frac{1}{20} : 2\frac{1}{3})$;

3) $(3,6 \cdot 2\frac{7}{9} + 1,125 + 5\frac{2}{5} \cdot 2\frac{7}{9} - 1\frac{1}{8}) : 2,5$;

4) $20 : 33\frac{1}{3} - (4\frac{7}{25} - 1,28) : (0,75 + 3\frac{1}{4}) \cdot 0,2$.

1) $(1,5 : \frac{1}{3} - \frac{3}{8} : 0,25) \cdot 3,2 - 3,2 \cdot \frac{5}{8}$

Решим по действиям, для удобства преобразуя десятичные дроби в обыкновенные.

1. Вычислим выражение в скобках. $1,5 = \frac{3}{2}$, $0,25 = \frac{1}{4}$.

$1,5 : \frac{1}{3} = \frac{3}{2} : \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$

$\frac{3}{8} : 0,25 = \frac{3}{8} : \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

$4,5 - 1,5 = 3$

2. Подставим результат в исходное выражение: $3 \cdot 3,2 - 3,2 \cdot \frac{5}{8}$.

3. Выполним умножение:

$3 \cdot 3,2 = 9,6$

$3,2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{32}{10} \cdot \frac{5}{8} = \frac{4 \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{5}}{2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{8}} = \frac{4}{2} = 2$

4. Выполним вычитание:

$9,6 - 2 = 7,6$

Ответ: $7,6$.

2) $\frac{7}{40} : 2\frac{11}{12} - 0,1 \cdot (1,45 : 2\frac{1}{3} - \frac{1}{20} : 2\frac{1}{3})$

1. Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что в скобках оба числа делятся на $2\frac{1}{3}$. Используем распределительное свойство деления:

$(1,45 - \frac{1}{20}) : 2\frac{1}{3}$

Преобразуем $1,45$ в смешанную дробь: $1,45 = 1\frac{45}{100} = 1\frac{9}{20}$.

$1\frac{9}{20} - \frac{1}{20} = 1\frac{8}{20} = 1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Преобразуем делитель: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь деление: $\frac{7}{5} : \frac{7}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{5}$.

2. Вернемся к исходному выражению: $\frac{7}{40} : 2\frac{11}{12} - 0,1 \cdot \frac{3}{5}$.

3. Выполним первое деление. $2\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{35}{12}$.

$\frac{7}{40} : \frac{35}{12} = \frac{7}{40} \cdot \frac{12}{35} = \frac{\cancel{7}}{10 \cdot 4} \cdot \frac{12}{5 \cdot \cancel{7}} = \frac{12}{200} = \frac{3}{50}$.

4. Выполним умножение: $0,1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{50}$.

5. Выполним вычитание: $\frac{3}{50} - \frac{3}{50} = 0$.

Ответ: $0$.

3) $(3,6 \cdot 2\frac{7}{9} + 1,125 + 5\frac{2}{5} \cdot 2\frac{7}{9} - 1\frac{1}{8}) : 2,5$

1. Рассмотрим выражение в скобках. Сгруппируем слагаемые для упрощения вычислений.

$(3,6 \cdot 2\frac{7}{9} + 5\frac{2}{5} \cdot 2\frac{7}{9}) + (1,125 - 1\frac{1}{8})$

2. В первой группе вынесем общий множитель $2\frac{7}{9}$ за скобки.

Преобразуем $3,6 = 3\frac{6}{10} = 3\frac{3}{5}$.

$(3\frac{3}{5} + 5\frac{2}{5}) \cdot 2\frac{7}{9} = (8\frac{5}{5}) \cdot 2\frac{7}{9} = 9 \cdot 2\frac{7}{9}$

Преобразуем $2\frac{7}{9}$ в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

$9 \cdot \frac{25}{9} = 25$.

3. Рассмотрим вторую группу: $(1,125 - 1\frac{1}{8})$.

Преобразуем $1,125$ в смешанную дробь: $1,125 = 1\frac{125}{1000} = 1\frac{1}{8}$.

$1\frac{1}{8} - 1\frac{1}{8} = 0$.

4. Результат в скобках: $25 + 0 = 25$.

5. Выполним деление: $25 : 2,5 = 10$.

Ответ: $10$.

4) $20 : 33\frac{1}{3} - (4\frac{7}{25} - 1,28) : (0,75 + 3\frac{1}{4}) \cdot 0,2$

Выполним действия по порядку.

1. Первое деление: $20 : 33\frac{1}{3}$.

$33\frac{1}{3} = \frac{100}{3}$.

$20 : \frac{100}{3} = 20 \cdot \frac{3}{100} = \frac{60}{100} = \frac{3}{5} = 0,6$.

2. Выражение в первых скобках: $(4\frac{7}{25} - 1,28)$.

Преобразуем $4\frac{7}{25}$ в десятичную дробь: $4\frac{7}{25} = 4\frac{28}{100} = 4,28$.

$4,28 - 1,28 = 3$.

3. Выражение во вторых скобках: $(0,75 + 3\frac{1}{4})$.

Преобразуем $3\frac{1}{4}$ в десятичную дробь: $3\frac{1}{4} = 3\frac{25}{100} = 3,25$.

$0,75 + 3,25 = 4$.

4. Теперь выполним деление и умножение для второй части выражения: $3 : 4 \cdot 0,2$.

$3 : 4 = 0,75$.

$0,75 \cdot 0,2 = 0,15$.

5. Выполним вычитание: $0,6 - 0,15 = 0,45$.

Ответ: $0,45$.

Выполни действия:

181 1) $(1.5 : \frac{1}{3} - \frac{3}{8} : 0.25) \cdot 3.2 - 3.2 \cdot \frac{5}{8};$

2) $\frac{7}{40} : 2\frac{11}{12} - 0.1 \cdot (1.45 : 2\frac{1}{3} - \frac{1}{20} : 2\frac{1}{3});$

3) $(3.6 \cdot 2\frac{7}{9} + 1.125 + 5\frac{2}{5} \cdot 2\frac{7}{9} - 1\frac{1}{8}) : 2.5;$

4) $20 : 33\frac{1}{3} - (4\frac{7}{25} - 1.28) : (0.75 + 3\frac{1}{4}) \cdot 0.2.$

182 1) $4.5 + 0.5 \cdot (2.4 \cdot 1.375 - 1.64 : 0.8) : 2\frac{1}{12} - 1\frac{2}{7} \cdot 1.4;$

2) $(2.5 - 0.75) \cdot \frac{4}{7} + \left[\left(3\frac{3}{8} - 2\frac{11}{12}\right) \cdot 1\frac{7}{9} + 2\frac{11}{12} \cdot 1\frac{7}{9}\right] : \left(3.5 : 2\frac{1}{3}\right);$

3) $0.198 \cdot 9\frac{1}{11} - \left[\left(2.56 + \frac{3}{4} - 2.56 - 0.125\right) \cdot 2\frac{2}{3} - \frac{1}{15}\right] : 16 \cdot \left(5\frac{3}{4} + 2.25\right);$

4) $\left(8.96 : 0.8 + 1\frac{1}{8} \cdot 0.8\right) : 1.1 - \left[\left(5\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36}\right) \cdot 0.9 - 4\frac{1}{3} : 2.6 \cdot 0.6\right] : \frac{1}{5}.$

1) $4,5 + 0,5 \cdot (2,4 \cdot 1,375 - 1,64 : 0,8) : 2\frac{1}{12} - 1\frac{2}{7} \cdot 1,4$

Решим задачу по действиям, соблюдая порядок операций:

1. Вычислим выражение в скобках: $(2,4 \cdot 1,375 - 1,64 : 0,8)$.

$2,4 \cdot 1,375 = 3,3$

$1,64 : 0,8 = 16,4 : 8 = 2,05$

$3,3 - 2,05 = 1,25$

2. Теперь исходное выражение можно записать как: $4,5 + 0,5 \cdot 1,25 : 2\frac{1}{12} - 1\frac{2}{7} \cdot 1,4$. Выполним умножение и деление слева направо. Для удобства вычислений переведем смешанные и десятичные дроби в обыкновенные.

$0,5 = \frac{1}{2}$; $1,25 = \frac{5}{4}$; $2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}$; $1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$; $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

$0,5 \cdot 1,25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8}$

$\frac{5}{8} : 2\frac{1}{12} = \frac{5}{8} : \frac{25}{12} = \frac{5}{8} \cdot \frac{12}{25} = \frac{5 \cdot 12}{8 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} = 0,3$

$1\frac{2}{7} \cdot 1,4 = \frac{9}{7} \cdot \frac{14}{10} = \frac{9 \cdot 14}{7 \cdot 10} = \frac{9 \cdot 2}{10} = \frac{18}{10} = 1,8$

3. Подставим полученные значения в выражение и выполним сложение и вычитание:

$4,5 + 0,3 - 1,8 = 4,8 - 1,8 = 3$

Ответ: 3

2) $(2,5 - 0,75) \cdot \frac{4}{7} + [(3\frac{3}{8} - 2\frac{11}{12}) \cdot 1\frac{7}{9} + 2\frac{11}{12} \cdot 1\frac{7}{9}] : (3,5 : 2\frac{1}{3})$

Решим задачу по действиям:

1. Упростим выражение в квадратных скобках, вынеся общий множитель $1\frac{7}{9}$ за скобки, используя распределительный закон $(a-b)c+bc = (a-b+b)c = ac$:

$[(3\frac{3}{8} - 2\frac{11}{12}) \cdot 1\frac{7}{9} + 2\frac{11}{12} \cdot 1\frac{7}{9}] = (3\frac{3}{8} - 2\frac{11}{12} + 2\frac{11}{12}) \cdot 1\frac{7}{9} = 3\frac{3}{8} \cdot 1\frac{7}{9}$

2. Теперь вычислим значения каждого из блоков по порядку.

$2,5 - 0,75 = 1,75 = \frac{7}{4}$

$3\frac{3}{8} \cdot 1\frac{7}{9} = \frac{27}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{27 \cdot 16}{8 \cdot 9} = 3 \cdot 2 = 6$

$3,5 : 2\frac{1}{3} = \frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{2}$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7} + 6 : \frac{3}{2}$

4. Выполним оставшиеся действия:

$\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7} = 1$

$6 : \frac{3}{2} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

$1 + 4 = 5$

Ответ: 5

3) $0,198 \cdot 9\frac{1}{11} - [(2,56 + \frac{3}{4} - 2,56 - 0,125) \cdot 2\frac{2}{3} - \frac{1}{15}] : 16 \cdot (5\frac{3}{4} + 2,25)$

Решим задачу по действиям:

1. Вычислим выражение в круглых скобках внутри квадратных. Числа $2,56$ и $-2,56$ взаимно уничтожаются:

$2,56 + \frac{3}{4} - 2,56 - 0,125 = \frac{3}{4} - 0,125 = 0,75 - 0,125 = 0,625 = \frac{5}{8}$

2. Теперь вычислим значение всего выражения в квадратных скобках:

$[\frac{5}{8} \cdot 2\frac{2}{3} - \frac{1}{15}] = [\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{3} - \frac{1}{15}] = [\frac{5}{3} - \frac{1}{15}] = [\frac{25}{15} - \frac{1}{15}] = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$

3. Вычислим выражение в последних скобках:

$5\frac{3}{4} + 2,25 = 5,75 + 2,25 = 8$

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$0,198 \cdot 9\frac{1}{11} - \frac{8}{5} : 16 \cdot 8$

5. Выполним умножение и деление слева направо:

$0,198 \cdot 9\frac{1}{11} = \frac{198}{1000} \cdot \frac{100}{11} = \frac{18 \cdot 11}{1000} \cdot \frac{100}{11} = \frac{18 \cdot 100}{1000} = \frac{18}{10} = 1,8$

$\frac{8}{5} : 16 \cdot 8 = (\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{16}) \cdot 8 = \frac{1}{10} \cdot 8 = \frac{8}{10} = 0,8$

6. Выполним вычитание:

$1,8 - 0,8 = 1$

Ответ: 1

4) $(8,96 : 0,8 + 1\frac{1}{8} \cdot 0,8) : 1,1 - [(5\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36}) \cdot 0,9 - 4\frac{1}{3} : 2,6 \cdot 0,6] : \frac{1}{5}$

Решим задачу по действиям:

1. Вычислим выражение в первой скобке:

$8,96 : 0,8 = 89,6 : 8 = 11,2$

$1\frac{1}{8} \cdot 0,8 = 1,125 \cdot 0,8 = 0,9$

$11,2 + 0,9 = 12,1$

2. Разделим результат на 1,1:

$12,1 : 1,1 = 121 : 11 = 11$

3. Теперь вычислим выражение в квадратных скобках. Сначала разность в круглых скобках:

$5\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36} = 5\frac{21}{36} - 2\frac{17}{36} = (5-2) + (\frac{21-17}{36}) = 3 + \frac{4}{36} = 3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}$

4. Выполним умножение и деление внутри квадратных скобок:

$\frac{28}{9} \cdot 0,9 = \frac{28}{9} \cdot \frac{9}{10} = \frac{28}{10} = 2,8$

$4\frac{1}{3} : 2,6 \cdot 0,6 = \frac{13}{3} : \frac{26}{10} \cdot \frac{6}{10} = (\frac{13}{3} \cdot \frac{10}{26}) \cdot \frac{6}{10} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} = 1$

5. Вычислим значение в квадратных скобках:

$2,8 - 1 = 1,8$

6. Теперь подставим все вычисленные значения в основное выражение:

$11 - 1,8 : \frac{1}{5}$

7. Выполним деление и вычитание:

$1,8 : \frac{1}{5} = 1,8 : 0,2 = 18 : 2 = 9$

$11 - 9 = 2$

Ответ: 2

182 1) $4,5 + 0,5 \cdot (2,4 \cdot 1,375 - 1,64 : 0,8) : 2 \frac{1}{12} - 1 \frac{2}{7} \cdot 1,4;$

2) $(2,5 - 0,75) \cdot \frac{4}{7} + \left[\left(3 \frac{3}{8} - 2 \frac{11}{12}\right) \cdot 1 \frac{7}{9} + 2 \frac{11}{12} \cdot 1 \frac{7}{9}\right] : \left(3,5 : 2 \frac{1}{3}\right);$

3) $0,198 \cdot 9 \frac{1}{11} - \left[\left(2,56 + \frac{3}{4} - 2,56 - 0,125\right) \cdot 2 \frac{2}{3} - \frac{1}{15}\right] : 16 \cdot \left(5 \frac{3}{4} + 2,25\right);$

4) $\left(8,96 : 0,8 + 1 \frac{1}{8} \cdot 0,8\right) : 1,1 - \left[\left(5 \frac{7}{12} - 2 \frac{17}{36}\right) \cdot 0,9 - 4 \frac{1}{3} : 2,6 \cdot 0,6\right] : \frac{1}{5}.$

178 На чертежах представлены графики обратной пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. При каких значениях $x$ значения $y$ изменяются в границах: $2 \le y \le 5$?

1) Коэффициент пропорциональности: $k = 10$. Формула: $y = \frac{10}{x}$.

При $2 \le y \le 5$ значения $x$ изменяются в границах: $2 \le x \le 5$.

2) Коэффициент пропорциональности: $k = 8$. Формула: $y = \frac{8}{x}$.

При $2 \le y \le 5$ значения $x$ изменяются в границах: $1.6 \le x \le 4$.

1)

График представляет собой ветвь гиперболы, что соответствует функции обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$. Для определения коэффициента пропорциональности $k$ выберем на графике точку с точно известными координатами, например, точку $(2, 5)$.
Коэффициент $k$ можно найти по формуле $k = x \cdot y$.
Подставим координаты выбранной точки: $k = 2 \cdot 5 = 10$.
Для проверки можно взять другую точку, например, $(5, 2)$: $k = 5 \cdot 2 = 10$.
Следовательно, формула, задающая данный график: $y = \frac{10}{x}$.

Теперь найдем, при каких значениях $x$ значения $y$ изменяются в границах $2 \le y \le 5$. Для этого необходимо решить двойное неравенство, подставив в него формулу функции:
$2 \le \frac{10}{x} \le 5$.
Так как из графика видно, что $x$ принимает только положительные значения ($x > 0$), данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \frac{10}{x} \ge 2 \\ \frac{10}{x} \le 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 10 \ge 2x \\ 10 \le 5x \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Объединяя эти два условия, получаем, что искомые значения $x$ находятся в промежутке $2 \le x \le 5$.

Ответ: Коэффициент пропорциональности $k=10$, формула $y = \frac{10}{x}$. Значения $y$ изменяются в границах $2 \le y \le 5$ при $2 \le x \le 5$.

2)

Аналогично первому случаю, определим коэффициент $k$ для функции $y = \frac{k}{x}$. Возьмем на графике точку с координатами $(2, 4)$.
$k = x \cdot y = 2 \cdot 4 = 8$.
Для проверки возьмем точку $(4, 2)$: $k = 4 \cdot 2 = 8$.
Таким образом, формула для данного графика: $y = \frac{8}{x}$.

Теперь найдем, при каких значениях $x$ значения $y$ находятся в границах $2 \le y \le 5$. Решим двойное неравенство:
$2 \le \frac{8}{x} \le 5$.
Так как $x > 0$, решаем систему:
$\begin{cases} \frac{8}{x} \ge 2 \\ \frac{8}{x} \le 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 8 \ge 2x \\ 8 \le 5x \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge \frac{8}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge 1.6 \end{cases}$
Следовательно, искомые значения $x$ находятся в промежутке $1.6 \le x \le 4$.

Ответ: Коэффициент пропорциональности $k=8$, формула $y = \frac{8}{x}$. Значения $y$ изменяются в границах $2 \le y \le 5$ при $1.6 \le x \le 4$.

178 На чертежах представлены графики обратной пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. При каких значениях $x$ значения $y$ изменяются в границах: $2 < y \le 5$?

1) $y = 10/x$

2) $y = 8/x$

Л 179 Счёт-тест (Каждое задание выполняется в течение 2 мин. Записываются только ответы.)

1) $0,3 + 4$

$1,2 + 0,5$

$0,04 + 0,6$

$0,52 + 0,4$

$21,8 + 0,6$

$4 - 0,9$

$1 - 0,08$

$2,5 - 0,7$

$0,3 - 0,03$

$5,06 - 1,5$

2) $0,6 \cdot 10$

$100 \cdot 2,4$

$0,08 \cdot 8$

$0,3 \cdot 0,05$

$0,7^2$

$0,9 \cdot 0$

$7,2 \cdot 0,01$

$1,25 \cdot 0,8$

$0,4 \cdot 0,25$

$0,2^3$

3) $5,8 : 10$

$3,6 : 0,1$

$2,5 : 100$

$9,6 : 0,01$

$0,56 : 7$

$4,8 : 0,4$

$6 : 0,15$

$0,48 : 0,006$

$0,26 : 1,3$

$3,418 : 341,8$

4) $0,5 \cdot 0,1$

$0,18 : 0,2$

$0,42 + 5,8$

$2,4 \cdot 0,125$

$3,6 - 2,9$

$600 \cdot 0,7$

$4 : 0,25$

$1,04 + 0,76$

$545,4 : 54$

$2 - 0,012$

П 179 Счет-тест. (Каждое задание выполняется в течение 2 мин. Записываются только ответы.)

1) $0.3 + 4$

$1.2 + 0.5$

$0.04 + 0.6$

$0.52 + 0.4$

$21.8 + 0.6$

$4 - 0.9$

$1 - 0.08$

$2.5 - 0.7$

$0.3 - 0.03$

$5.06 - 1.5$

2) $0.6 \cdot 10$

$100 \cdot 2.4$

$0.08 \cdot 8$

$0.3 \cdot 0.05$

$0.7^2$

$0.9 \cdot 0$

$7.2 \cdot 0.01$

$1.25 \cdot 0.8$

$0.4 \cdot 0.25$

$0.2^3$

3) $5.8 : 10$

$3.6 : 0.1$

$2.5 : 100$

$9.6 : 0.01$

$0.56 : 7$

$4.8 : 0.4$

$6 : 0.15$

$0.48 : 0.006$

$0.26 : 1.3$

$3.418 : 341.8$

4) $0.5 \cdot 0.1$

$0.18 : 0.2$

$0.42 + 5.8$

$2.4 \cdot 0.125$

$3.6 - 2.9$

$600 \cdot 0.7$

$4 : 0.25$

$1.04 + 0.76$

$545.4 : 54$

$2 - 0.012$

180 Вычисли значение выражения, запиши ответы в таблицу и расшифруй математический термин.

Ц
$9\frac{3}{4}-7\frac{5}{6}$

З
$10,32-8,6$

К
$0,9 \cdot 1\frac{1}{3}$

Э
$9\frac{2}{3}-1,75$

И
$4\frac{2}{13} \cdot 1\frac{4}{9}$

Е
$4,78 \cdot 20,5$

А
$\frac{4}{5}+2,7$

О
$3\frac{1}{7} \cdot 7$

Р
$6:5\frac{1}{7}$

Т
$22,57:7,4$

Н
$4\frac{3}{4}:1,9$

Ф
$5,625:\frac{5}{6}$

1,2 22 $\frac{11}{12}$ 6,75 6 $1\frac{11}{12}$ 6 97,99 2,5 3,05

Для того чтобы расшифровать математический термин, необходимо вычислить значение каждого выражения и сопоставить букву с полученным ответом в таблице.

Ц $9\frac{3}{4} - 7\frac{5}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12.
$9\frac{3}{4} = 9\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 9\frac{9}{12}$
$7\frac{5}{6} = 7\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 7\frac{10}{12}$
$9\frac{9}{12} - 7\frac{10}{12} = 8\frac{12+9}{12} - 7\frac{10}{12} = 8\frac{21}{12} - 7\frac{10}{12} = (8-7) + (\frac{21-10}{12}) = 1\frac{11}{12}$

Ответ: $1\frac{11}{12}$

И $4\frac{2}{13} \cdot 1\frac{4}{9}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{2}{13} = \frac{4 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{54}{13}$
$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$
$\frac{54}{13} \cdot \frac{13}{9} = \frac{54 \cdot 13}{13 \cdot 9} = \frac{54}{9} = 6$

Ответ: $6$

Р $6 : 5\frac{1}{7}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$
$6 : \frac{36}{7} = 6 \cdot \frac{7}{36} = \frac{6 \cdot 7}{36} = \frac{42}{36} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$
(Данного ответа нет в таблице для расшифровки).

Ответ: $1\frac{1}{6}$

З $10,32 - 8,6$

$10,32 - 8,60 = 1,72$
(Данного ответа нет в таблице для расшифровки).

Ответ: $1,72$

Е $4,78 \cdot 20,5$

$4,78 \cdot 20,5 = 97,99$

Ответ: $97,99$

Т $22,57 : 7,4$

$22,57 : 7,4 = 225,7 : 74 = 3,05$

Ответ: $3,05$

К $0,9 \cdot 1\frac{1}{3}$

Переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби.
$0,9 = \frac{9}{10}$
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 3} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: $1,2$

А $\frac{4}{5} + 2,7$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную.
$\frac{4}{5} = 0,8$
$0,8 + 2,7 = 3,5$
(Данного ответа нет в таблице для расшифровки).

Ответ: $3,5$

Н $4\frac{3}{4} : 1,9$

Переведем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.
$4\frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{19}{4}$
$1,9 = \frac{19}{10}$
$\frac{19}{4} : \frac{19}{10} = \frac{19}{4} \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{4} = 2,5$

Ответ: $2,5$

Э $9\frac{2}{3} - 1,75$

Переведем $1,75$ в смешанное число: $1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4}$.
$9\frac{2}{3} - 1\frac{3}{4} = 9\frac{8}{12} - 1\frac{9}{12} = 8\frac{20}{12} - 1\frac{9}{12} = 7\frac{11}{12}$.
Этого ответа нет в таблице. Однако в таблице есть ответ $\frac{11}{12}$. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что вместо $1,75$ должно быть $8,75$ (то есть $8\frac{3}{4}$), то решение будет следующим:
$9\frac{2}{3} - 8\frac{3}{4} = 9\frac{8}{12} - 8\frac{9}{12} = \frac{11}{12}$.
Этот ответ есть в таблице.

Ответ: $\frac{11}{12}$

О $3\frac{1}{7} \cdot 7$

Переведем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$
$\frac{22}{7} \cdot 7 = 22$

Ответ: $22$

Ф $5,625 : \frac{5}{6}$

Переведем десятичную дробь в неправильную.
$5,625 = 5\frac{625}{1000} = 5\frac{5}{8} = \frac{45}{8}$
$\frac{45}{8} : \frac{5}{6} = \frac{45}{8} \cdot \frac{6}{5} = \frac{9 \cdot 6}{8} = \frac{54}{8} = \frac{27}{4} = 6,75$

Ответ: $6,75$

Теперь заполним таблицу, используя полученные ответы, которые есть в верхней строке таблицы:

Прочитав буквы в нижней строке таблицы, получаем математический термин.

Ответ: КОЭФИЦИЕНТ

180 Вычисли значение выражения, запиши ответы в таблицу и расшифруй математический термин:

Ц $9\frac{3}{4} - 7\frac{5}{6}$

И $4\frac{2}{13} \cdot 1\frac{4}{9}$

Р $6 : 5\frac{1}{7}$

З $10,32 - 8,6$

Е $4,78 \cdot 20,5$

Т $22,57 : 7,4$

К $0,9 \cdot 1\frac{1}{3}$

А $\frac{4}{5} + 2,7$

Н $4\frac{3}{4} : 1,9$

Э $2\frac{2}{3} - 1,75$

О $3\frac{1}{7} \cdot 7$

Ф $5,625 : \frac{5}{6}$

Значения из таблицы: $1,2$, $22$, $\frac{11}{12}$, $6,75$, $6,75$, $6$, $1\frac{11}{12}$, $6$, $97,99$, $2,5$, $3,05$

208 У одного из крупнейших современных писателей-фантастов Рэй Брэдбери есть книга под названием «451 градус по Фаренгейту», где речь идёт об обществе, в котором книги объявлены вне закона и подлежат сожжению. Определи с точностью до десятых, о какой температуре по Цельсию идёт речь в названии этой книги (это и есть температура горения бумаги).

Для перевода температуры из градусов по шкале Фаренгейта ($T_F$) в градусы по шкале Цельсия ($T_C$) используется следующая формула:

$T_C = \frac{5}{9} \times (T_F - 32)$

В условии задачи дана температура $T_F = 451^\circ F$. Подставим это значение в формулу:

$T_C = \frac{5}{9} \times (451 - 32)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$451 - 32 = 419$

Теперь рассчитаем значение температуры в градусах Цельсия:

$T_C = \frac{5}{9} \times 419 = \frac{2095}{9} \approx 232.777...^\circ C$

Согласно условию, необходимо определить температуру с точностью до десятых. Для этого округляем полученное значение. Так как вторая цифра после запятой (7) больше или равна 5, то первую цифру после запятой увеличиваем на единицу:

$232.777... \approx 232.8$

Следовательно, температура, о которой идёт речь в названии книги, составляет примерно $232.8^\circ C$.

Ответ: $232.8^\circ C$.

208 У одного из крупнейших современных писателей-фантастов Рея Брэдбери есть книга под названием «451$^\circ$ по Фаренгейту», где речь идет о варварском процессе сжигания книг. Определи с точностью до десятых, о какой температуре по Цельсию идет речь в названии этой книги.

209 Пользуясь формулой $y = \frac{5}{9}(x - 32)$, где $y$ – температура по Цельсию, а $x$ – температура по Фаренгейту, определи с точностью до единиц:

а) $y$, если $x = 0$; 5; 32; 110; -4; -9; -300;

б) $x$, если $y = 0$; 10; 25; 100; -40; -5,8; -273,1.

а) Для нахождения температуры по Цельсию ($y$) при известной температуре по Фаренгейту ($x$) воспользуемся данной формулой $y = \frac{5}{9}(x - 32)$. Результаты округлим до единиц.

• Если $x = 0$:
  $y = \frac{5}{9}(0 - 32) = \frac{5}{9} \cdot (-32) = -\frac{160}{9} \approx -17,78$
  Округляем до целых: $y \approx -18$.

• Если $x = 5$:
  $y = \frac{5}{9}(5 - 32) = \frac{5}{9} \cdot (-27) = 5 \cdot (-3) = -15$.

• Если $x = 32$:
  $y = \frac{5}{9}(32 - 32) = \frac{5}{9} \cdot 0 = 0$.

• Если $x = 110$:
  $y = \frac{5}{9}(110 - 32) = \frac{5}{9} \cdot 78 = \frac{390}{9} = \frac{130}{3} \approx 43,33$
  Округляем до целых: $y \approx 43$.

• Если $x = -4$:
  $y = \frac{5}{9}(-4 - 32) = \frac{5}{9} \cdot (-36) = 5 \cdot (-4) = -20$.

• Если $x = -9$:
  $y = \frac{5}{9}(-9 - 32) = \frac{5}{9} \cdot (-41) = -\frac{205}{9} \approx -22,78$
  Округляем до целых: $y \approx -23$.

• Если $x = -300$:
  $y = \frac{5}{9}(-300 - 32) = \frac{5}{9} \cdot (-332) = -\frac{1660}{9} \approx -184,44$
  Округляем до целых: $y \approx -184$.

Ответ: -18, -15, 0, 43, -20, -23, -184.

б) Для нахождения температуры по Фаренгейту ($x$) при известной температуре по Цельсию ($y$), выразим $x$ из исходной формулы:

$y = \frac{5}{9}(x - 32)$

Умножим обе части на $\frac{9}{5}$:

$\frac{9}{5}y = x - 32$

Отсюда получим формулу для $x$:

$x = \frac{9}{5}y + 32$

Теперь подставим заданные значения $y$ и округлим результат до единиц.

• Если $y = 0$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot 0 + 32 = 0 + 32 = 32$.

• Если $y = 10$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot 10 + 32 = 9 \cdot 2 + 32 = 18 + 32 = 50$.

• Если $y = 25$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot 25 + 32 = 9 \cdot 5 + 32 = 45 + 32 = 77$.

• Если $y = 100$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot 100 + 32 = 9 \cdot 20 + 32 = 180 + 32 = 212$.

• Если $y = -40$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot (-40) + 32 = 9 \cdot (-8) + 32 = -72 + 32 = -40$.

• Если $y = -5,8$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot (-5,8) + 32 = 1,8 \cdot (-5,8) + 32 = -10,44 + 32 = 21,56$
  Округляем до целых: $x \approx 22$.

• Если $y = -273,1$:
  $x = \frac{9}{5} \cdot (-273,1) + 32 = 1,8 \cdot (-273,1) + 32 = -491,58 + 32 = -459,58$
  Округляем до целых: $x \approx -460$.

Ответ: 32, 50, 77, 212, -40, 22, -460.

209 Пользуясь формулой $y = \frac{5}{9}(x - 32)$, где $y$ – температура по Цельсию, а $x$ – температура по Фаренгейту, определи с точностью до единиц:

а) $y$, если $x = 0; 5; 32; 110; -4; -9; -300;$

б) $x$, если $y = 0; 10; 25; 100; -40; -5,8; -273,1.$

210 По таблице установи формулу зависимости между переменными $y$ и $x$ и построй график этой зависимости на координатной плоскости. Какие из этих зависимостей являются функциональными? Какие из них являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью?

а) $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
$y$ | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | -8

б) $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
$y$ | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4

в) $x$ | -4 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 4
$y$ | $-\frac{1}{4}$ | $-\frac{1}{2}$ | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$

г) $x$ | -3 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3
$y$ | 9 | 4 | 1 | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{1}{4}$ | 1 | 4 | 9

а)

1. Формула зависимости. Проанализируем данные из таблицы. Для каждой пары $(x, y)$, где $x \ne 0$, найдем отношение $\frac{y}{x}$.
$\frac{8}{-4} = -2$; $\frac{6}{-3} = -2$; $\frac{4}{-2} = -2$; $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{-4}{2} = -2$; $\frac{-6}{3} = -2$; $\frac{-8}{4} = -2$.
Отношение $\frac{y}{x}$ постоянно и равно $-2$. Это соответствует формуле прямой пропорциональности $y = kx$, где $k = -2$. Проверим точку $(0, 0)$: $0 = -2 \cdot 0$. Равенство верное.
Таким образом, формула зависимости: $y = -2x$.

2. График. Графиком функции $y = -2x$ является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$) и, например, точку $(1, -2)$. Все точки из таблицы лежат на этой прямой.

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной, так как каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$.

4. Тип пропорциональности. Зависимость вида $y = kx$ ($k \ne 0$) является прямой пропорциональностью.

Ответ: Формула $y = -2x$. График - прямая линия. Зависимость является функциональной и представляет собой прямую пропорциональность.

б)

1. Формула зависимости. Рассмотрим значения из таблицы.
При $x \ge 0$, значения $y$ равны значениям $x$: $(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$. То есть, $y=x$.
При $x < 0$, значения $y$ равны значениям $x$, взятым с противоположным знаком: $(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4)$. То есть, $y=-x$.
Объединяя эти два случая, получаем формулу модуля (абсолютной величины): $y = |x|$.

2. График. График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Один луч - биссектриса первого координатного угла ($y = x$ при $x \ge 0$), второй - биссектриса второго координатного угла ($y = -x$ при $x < 0$).

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной, так как каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

4. Тип пропорциональности. Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью, так как она не может быть представлена в виде $y=kx$ или $y=\frac{k}{x}$ для всей области определения.

Ответ: Формула $y = |x|$. График - "галочка" с вершиной в начале координат. Зависимость является функциональной, но не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

в)

1. Формула зависимости. Проанализируем данные из таблицы. Для каждой пары $(x, y)$ найдем произведение $x \cdot y$.
$(-4) \cdot (-\frac{1}{4}) = 1$; $(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$; $(-1) \cdot (-1) = 1$; $(-\frac{1}{2}) \cdot (-2) = 1$; $(-\frac{1}{4}) \cdot (-4) = 1$;
$(\frac{1}{4}) \cdot 4 = 1$; $(\frac{1}{2}) \cdot 2 = 1$; $1 \cdot 1 = 1$; $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$; $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Произведение $x \cdot y$ постоянно и равно $1$. Это соответствует формуле обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где $k = 1$.
Таким образом, формула зависимости: $y = \frac{1}{x}$.

2. График. Графиком функции $y = \frac{1}{x}$ является гипербола, состоящая из двух ветвей. Одна ветвь расположена в первом координатном угле (для $x > 0$), а вторая - в третьем координатном угле (для $x < 0$). График не пересекает оси координат.

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной (для $x \ne 0$), так как каждому значению переменной $x$ из области определения соответствует единственное значение переменной $y$.

4. Тип пропорциональности. Зависимость вида $y = \frac{k}{x}$ ($k \ne 0$) является обратной пропорциональностью.

Ответ: Формула $y = \frac{1}{x}$. График - гипербола. Зависимость является функциональной и представляет собой обратную пропорциональность.

г)

1. Формула зависимости. Рассмотрим, как $y$ зависит от $x$.
$(-3)^2 = 9$; $(-2)^2 = 4$; $(-1)^2 = 1$; $(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $0^2 = 0$; $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $1^2 = 1$; $2^2 = 4$; $3^2 = 9$.
Видно, что каждое значение $y$ является квадратом соответствующего значения $x$.
Таким образом, формула зависимости: $y = x^2$.

2. График. Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной, так как каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

4. Тип пропорциональности. Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью, так как она не может быть представлена в виде $y=kx$ или $y=\frac{k}{x}$.

Ответ: Формула $y = x^2$. График - парабола. Зависимость является функциональной, но не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

210 По таблице установи формулу зависимости между переменными $y$ и $x$ и построй график этой зависимости на координатной плоскости. Какие из этих зависимостей являются функциональными? Какие из них являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью?

a) x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

y: 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8

б) x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

y: 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4

в) x: -4, -2, -1, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4

y: $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{2}$, -1, -2, -4, 4, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$

г) x: -3, -2, -1, $-\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 3

y: 9, 4, 1, $\frac{1}{4}$, 0, $\frac{1}{4}$, 1, 4, 9

211 Какие из зависимостей $y$ от $x$, приведённых на рисунке, являются функциями?

а) $y$

$x$

$0$

б) $y$

$x$

$0$

в) $y$

$x$

$0$

Функция — это зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ (из области определения) соответствует единственное значение переменной $y$.

Для того чтобы определить, является ли график зависимостью функции, можно применить "тест вертикальной прямой". Если любая вертикальная прямая, проведённая на графике, пересекает его не более чем в одной точке, то график является функцией. В противном случае — не является.

Проанализируем каждый из представленных графиков:

а)

Проведём мысленно любую вертикальную прямую через этот график. Мы увидим, что любая такая прямая пересекает кривую только в одной точке. Это означает, что для каждого значения $x$ существует только одно значение $y$. Следовательно, эта зависимость является функцией.

Ответ: является функцией.

б)

Проведём вертикальную прямую через этот график, например, при $x$, близком к нулю. Такая прямая пересечёт график в трёх точках. Это означает, что одному значению $x$ соответствует три разных значения $y$. Это противоречит определению функции.

Ответ: не является функцией.

в)

Аналогично случаю (а), любая вертикальная прямая, проведённая через этот график, пересекает кривую ровно в одной точке. Это значит, что каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Следовательно, данная зависимость является функцией.

Ответ: является функцией.

211 Какие из зависимостей $y$ от $x$, приведенных на рисунке, являются функциями:

a) б) в)

212 Построй на одной координатной плоскости графики трёх данных зависимостей y от x:

a) $y=\frac{1}{3}x$, $y=x$ и $y=3x$;

б) $y=2x$, $y=2x+3$ и $y=2x-1$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

212 Построй на одной координатной плоскости графики трех данных зависимостей $y$ от $x$:

a) $y = \frac{1}{3}x$, $y = x$ и $y = 3x$;

б) $y = 2x$, $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 1$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

213. Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида $y = kx$, если:

а) $k = 2$ и $k = -2$;

б) $k = 1$ и $k = -1$;

в) $k = 2,5$ и $k = -2,5$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

График зависимости вида $y=kx$ является прямой, проходящей через начало координат (точку (0; 0)). Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки, принадлежащей этой прямой.

а) $k=2$ и $k=-2$

Необходимо построить графики функций $y=2x$ и $y=-2x$.
Для функции $y=2x$:
Найдем вторую точку. Пусть $x=1$, тогда $y=2 \cdot 1 = 2$. График проходит через точки (0; 0) и (1; 2). Прямая расположена в I и III координатных четвертях.
Для функции $y=-2x$:
Найдем вторую точку. Пусть $x=1$, тогда $y=-2 \cdot 1 = -2$. График проходит через точки (0; 0) и (1; -2). Прямая расположена во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Построены графики функций $y=2x$ и $y=-2x$. Это две прямые, проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно осей координат.

б) $k=1$ и $k=-1$

Необходимо построить графики функций $y=x$ и $y=-x$.
Для функции $y=x$:
Найдем вторую точку. Пусть $x=1$, тогда $y=1$. График проходит через точки (0; 0) и (1; 1). Эта прямая является биссектрисой I и III координатных углов.
Для функции $y=-x$:
Найдем вторую точку. Пусть $x=1$, тогда $y=-1$. График проходит через точки (0; 0) и (1; -1). Эта прямая является биссектрисой II и IV координатных углов.

Ответ: Построены графики функций $y=x$ и $y=-x$. Это две прямые (биссектрисы координатных углов), проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно осей координат.

в) $k=2,5$ и $k=-2,5$

Необходимо построить графики функций $y=2,5x$ и $y=-2,5x$.
Для функции $y=2,5x$:
Найдем вторую точку. Пусть $x=2$, тогда $y=2,5 \cdot 2 = 5$. График проходит через точки (0; 0) и (2; 5). Прямая расположена в I и III координатных четвертях.
Для функции $y=-2,5x$:
Найдем вторую точку. Пусть $x=2$, тогда $y=-2,5 \cdot 2 = -5$. График проходит через точки (0; 0) и (2; -5). Прямая расположена во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Построены графики функций $y=2,5x$ и $y=-2,5x$. Это две прямые, проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно осей координат.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Наблюдение: во всех трех случаях графики функций $y=kx$ и $y=-kx$ представляют собой две прямые, проходящие через начало координат. Если коэффициент $k > 0$, прямая находится в I и III четвертях. Если $k < 0$, прямая находится во II и IV четвертях. В каждой паре графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс (OX) и оси ординат (OY).

Гипотеза: Графики функций $y=kx$ и $y=-kx$ при любом значении $k \neq 0$ симметричны друг другу относительно осей координат OX и OY.

Ответ: Наблюдается, что графики функций $y=kx$ и $y=-kx$ симметричны друг другу относительно осей координат. Гипотеза: для любого $k \neq 0$ графики функций $y=kx$ и $y=-kx$ симметричны относительно оси OX и оси OY.

213 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида $y=kx$, если:

а) $k=2$ и $k=-2$;

б) $k=1$ и $k=-1$;

в) $k=2,5$ и $k=-2,5$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

214 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида $y = kx^2$, если:

а) $k = 1, k = \frac{1}{2}$ и $k = 2$;

б) $k = 1$ и $k = -1$;

в) $k = 2$ и $k = -2$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

а) k=1, k=1/2 и k=2

Для построения графиков зависимостей $y=kx^2$ при заданных значениях $k$ необходимо найти координаты нескольких точек для каждой функции. Графиком функции $y=kx^2$ является парабола.

Составим таблицы значений для функций $y=x^2$ (при $k=1$), $y=\frac{1}{2}x^2$ (при $k=\frac{1}{2}$) и $y=2x^2$ (при $k=2$).

1. Таблица для $y=x^2$:

2. Таблица для $y=\frac{1}{2}x^2$:

3. Таблица для $y=2x^2$:

Построив эти три графика на одной координатной плоскости, мы увидим три параболы. Все они имеют вершину в начале координат (0,0) и симметричны относительно оси Oy. Ветви всех парабол направлены вверх. График функции $y=2x^2$ является самым "узким" (он растянут вдоль оси Oy), а график $y=\frac{1}{2}x^2$ — самым "широким" (он сжат к оси Ox).

Ответ: Построены графики функций. Все три графика являются параболами с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх. Парабола $y=2x^2$ более "узкая", а парабола $y=\frac{1}{2}x^2$ более "широкая", чем парабола $y=x^2$.

б) k=1 и k=-1

Рассмотрим функции $y=x^2$ (при $k=1$) и $y=-x^2$ (при $k=-1$). Таблица для $y=x^2$ приведена выше. Составим таблицу для $y=-x^2$.

Таблица для $y=-x^2$:

На координатной плоскости мы получим две параболы с вершинами в точке (0,0). Ветви параболы $y=x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y=-x^2$ направлены вниз. Эти два графика симметричны друг другу относительно оси Ox.

Ответ: Построены две параболы с вершиной в начале координат. График $y=x^2$ имеет ветви, направленные вверх, а график $y=-x^2$ — вниз. Графики симметричны относительно оси абсцисс.

в) k=2 и k=-2

Рассмотрим функции $y=2x^2$ (при $k=2$) и $y=-2x^2$ (при $k=-2$). Таблица для $y=2x^2$ приведена выше. Составим таблицу для $y=-2x^2$.

Таблица для $y=-2x^2$:

Как и в предыдущем случае, графики являются параболами, симметричными относительно оси Ox. Ветви параболы $y=2x^2$ направлены вверх, а ветви $y=-2x^2$ — вниз. Обе параболы "уже", чем параболы из пункта б), так как модуль коэффициента $k$ равен 2.

Ответ: Построены две параболы, симметричные относительно оси Ox. График $y=2x^2$ имеет ветви, направленные вверх, а график $y=-2x^2$ — вниз.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Анализируя построенные графики функции $y=kx^2$, можно сделать следующие выводы о влиянии коэффициента $k$ на вид графика.

Гипотеза:

1. График функции $y=kx^2$ является параболой с вершиной в начале координат (0,0). Осью симметрии параболы является ось ординат (ось Oy).
2. Знак коэффициента $k$ определяет направление ветвей параболы:
   • если $k > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
   • если $k < 0$, то ветви параболы направлены вниз.
3. Абсолютное значение коэффициента $k$, то есть $|k|$, влияет на форму параболы (ее "растяжение" или "сжатие" вдоль оси Oy):
   • чем больше $|k|$, тем парабола "уже", то есть она сильнее прижата к оси Oy.
   • чем меньше $|k|$ (в частности, при $0 < |k| < 1$), тем парабола "шире", то есть она сильнее прижата к оси Ox.
4. Графики функций $y=kx^2$ и $y=-kx^2$ для одного и того же значения $k \neq 0$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Свойства графика функции $y=kx^2$ полностью определяются коэффициентом $k$. Знак $k$ отвечает за направление ветвей параболы. Модуль $|k|$ отвечает за степень растяжения или сжатия графика вдоль оси Oy. Графики для коэффициентов, противоположных по знаку ($k$ и $-k$), симметричны относительно оси Ox.

214 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида $y = kx^2$,

если:

a) $k = 1$, $k = \frac{1}{2}$ и $k = 2$;

б) $k = 1$ и $k = -1$;

в) $k = 2$ и $k = -2$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.