Страница 41, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

152 1) Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил: «Если к половине моих лет прибавить 4, то узнаешь мой возраст 14 лет назад». Сколько лет отцу?

$\frac{x}{2} + 4 = x - 14$

2) Таня купила альбом, заплатив за него 2-рублёвыми монетами. Если бы она заплатила за него 5-рублёвыми монетами, то монет было бы на 12 меньше. Сколько стоил альбом?

$\frac{S}{2} - \frac{S}{5} = 12$

1) Пусть $x$ — это текущий возраст отца.
Согласно условию задачи, "если к половине моих лет прибавить 4, то узнаешь мой возраст 14 лет назад".
Половина возраста отца — это $\frac{x}{2}$.
Возраст отца 14 лет назад — это $x - 14$.
Составим уравнение на основе высказывания отца:
$\frac{x}{2} + 4 = x - 14$
Для решения уравнения перенесём все слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую:
$4 + 14 = x - \frac{x}{2}$
$18 = \frac{x}{2}$
Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = 18 \cdot 2$
$x = 36$
Отцу 36 лет.
Проверка: Половина возраста отца: $36 / 2 = 18$. Прибавляем 4: $18 + 4 = 22$. Возраст отца 14 лет назад: $36 - 14 = 22$. Равенство $22 = 22$ верное.
Ответ: 36 лет.

2) Пусть $x$ — это количество 2-рублёвых монет, которыми Таня заплатила за альбом.
Тогда стоимость альбома составляет $2x$ рублей.
По условию, если бы она платила 5-рублёвыми монетами, их понадобилось бы на 12 меньше. Значит, количество 5-рублёвых монет было бы $x - 12$.
Стоимость альбома, выраженная через 5-рублёвые монеты, составляет $5(x - 12)$ рублей.
Поскольку стоимость альбома одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:
$2x = 5(x - 12)$
Раскроем скобки:
$2x = 5x - 60$
Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$60 = 5x - 2x$
$60 = 3x$
Найдём $x$:
$x = \frac{60}{3}$
$x = 20$
Таким образом, Таня использовала 20 двухрублёвых монет.
Теперь найдём стоимость альбома:
Стоимость = $2 \cdot 20 = 40$ рублей.
Проверка: Количество 5-рублёвых монет: $20 - 12 = 8$. Стоимость альбома: $5 \cdot 8 = 40$ рублей. Стоимость совпадает.
Ответ: 40 рублей.

152 1) Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил: “Если к половине моих лет прибавить 4, то узнаешь мой возраст 14 лет назад”. Сколько лет отцу?
$x/2 + 4 = x - 14$

2) Таня купила альбом, заплатив за него 2-рублевыми монетами. Если бы она заплатила за него 5-рублевыми монетами, то монет было бы на 12 меньше. Сколько стоил альбом?
$A/2 - A/5 = 12$

153 Начерти координатный угол и построй в нём прямоугольник $ABCD$ по координатам его вершин: $A(2; 3)$, $B(2; 7)$, $C(8; 7)$, $D(8; 3)$. Задай с помощью двойных неравенств:

а) множество абсцисс всех точек прямоугольника;

б) множество ординат всех точек прямоугольника.

Для решения задачи сначала построим прямоугольник ABCD в координатной плоскости, используя заданные координаты его вершин: A(2; 3), B(2; 7), C(8; 7) и D(8; 3).

Все точки, принадлежащие прямоугольнику (включая его стороны), будут иметь свои координаты $x$ (абсциссы) и $y$ (ординаты) в определенных границах. Эти границы определяются минимальными и максимальными значениями координат вершин.

а) множество абсцисс всех точек прямоугольника;

Абсцисса — это координата по оси $Ox$. Чтобы найти множество всех абсцисс точек прямоугольника, нужно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения $x$ среди координат его вершин.

Координаты вершин по оси $x$: 2 (у точек A и B) и 8 (у точек C и D).

Минимальное значение абсциссы: $x_{min} = 2$.

Максимальное значение абсциссы: $x_{max} = 8$.

Таким образом, любая точка прямоугольника имеет абсциссу $x$, которая находится в промежутке от 2 до 8 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $2 \le x \le 8$.

б) множество ординат всех точек прямоугольника.

Ордината — это координата по оси $Oy$. Чтобы найти множество всех ординат точек прямоугольника, нужно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения $y$ среди координат его вершин.

Координаты вершин по оси $y$: 3 (у точек A и D) и 7 (у точек B и C).

Минимальное значение ординаты: $y_{min} = 3$.

Максимальное значение ординаты: $y_{max} = 7$.

Таким образом, любая точка прямоугольника имеет ординату $y$, которая находится в промежутке от 3 до 7 включительно. Это также можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $3 \le y \le 7$.

153 Начерти координатный угол и построй в нем прямоугольник $ABCD$ по координатам его вершин: $A(2; 3)$, $B(2; 7)$, $C(8; 7)$, $D(8; 3)$. Задай с помощью двойных неравенств:

a) множество абсцисс всех точек прямоугольника;

б) множество ординат всех точек прямоугольника.

154. Точки $A(a; 0)$ и $B(0; b)$ принадлежат координатному углу $xOy$. Докажи, что треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Для доказательства того, что треугольник AOB является прямоугольным, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Доказательство через свойства координатных осей
Треугольник AOB имеет следующие вершины:
- O — начало координат с координатами $(0; 0)$.
- A — точка с координатами $(a; 0)$. Поскольку её y-координата равна нулю, точка A лежит на оси абсцисс (Ox). Следовательно, сторона OA треугольника лежит на оси Ox.
- B — точка с координатами $(0; b)$. Поскольку её x-координата равна нулю, точка B лежит на оси ординат (Oy). Следовательно, сторона OB треугольника лежит на оси Oy.
В декартовой системе координат оси Ox и Oy по определению взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$. Так как стороны OA и OB треугольника лежат на этих осях, угол между ними, $\angle AOB$, также равен $90^\circ$.
По определению, треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным. Следовательно, треугольник AOB — прямоугольный.

Доказательство через теорему, обратную теореме Пифагора
Чтобы доказать, что треугольник является прямоугольным, можно показать, что для длин его сторон выполняется теорема Пифагора ($c^2 = x^2 + y^2$). Для этого найдем квадраты длин всех сторон треугольника AOB, используя формулу для квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
1. Квадрат длины стороны OA (расстояние между O(0; 0) и A(a; 0)):
$OA^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
2. Квадрат длины стороны OB (расстояние между O(0; 0) и B(0; b)):
$OB^2 = (0 - 0)^2 + (b - 0)^2 = b^2$.
3. Квадрат длины стороны AB (расстояние между A(a; 0) и B(0; b)):
$AB^2 = (0 - a)^2 + (b - 0)^2 = (-a)^2 + b^2 = a^2 + b^2$.
Теперь проверим равенство $OA^2 + OB^2 = AB^2$:
$a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.
Равенство выполняется. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив наибольшей стороны (гипотенузы AB), то есть это угол при вершине O.

Ответ: Треугольник AOB является прямоугольным, так как его стороны OA и OB лежат на перпендикулярных координатных осях, образуя прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$. Это также доказывается выполнением для его сторон теоремы Пифагора: $OA^2 + OB^2 = AB^2$.

154. Точки $A(a; 0)$ и $B(0; b)$ принадлежат координатному углу $xOy$. Докажи, что треугольник $AOB$ является прямоугольным.

155 Мама передавала в компанию по энергосбыту показания электросчётчика: в мае 10 089 кВт·ч, в июне 10 264 кВт·ч, а в июле 10 314 кВт·ч. Сколько рублей заплатили:

а) за июнь,

б) за июль, если 1 кВт·ч стоит 4,57 р.?

Для того чтобы рассчитать, сколько рублей заплатили за каждый месяц, нужно сначала определить количество потреблённой электроэнергии за этот месяц. Это делается путем вычитания показаний счётчика предыдущего месяца из показаний текущего месяца. Затем полученное количество киловатт-часов (кВт·ч) умножается на стоимость одного кВт·ч.

Исходные данные:

• Показания в мае: 10 089 кВт·ч
• Показания в июне: 10 264 кВт·ч
• Показания в июле: 10 314 кВт·ч
• Стоимость 1 кВт·ч: 4,57 р.

а) за июнь

1. Вычислим, сколько электроэнергии было израсходовано за июнь. Для этого из показаний за июнь вычтем показания за май:
$10264 - 10089 = 175$ (кВт·ч)

2. Теперь умножим количество израсходованных кВт·ч на стоимость одного кВт·ч, чтобы найти сумму к оплате за июнь:
$175 * 4,57 = 799,75$ (р.)

Ответ: 799,75 р.

б) за июль

1. Аналогично вычислим, сколько электроэнергии было израсходовано за июль. Для этого из показаний за июль вычтем показания за июнь:
$10314 - 10264 = 50$ (кВт·ч)

2. Умножим полученное значение на стоимость одного кВт·ч, чтобы найти сумму к оплате за июль:
$50 * 4,57 = 228,5$ (р.)

Ответ: 228,5 р.

155 Площадь прямоугольника равна 10 см$^2$. Длина одной его стороны равна $a$ см, а длина второй стороны – $b$ см. Запиши формулу, выражающую зависимость $b$ от $a$. Составь таблицу и построй график этой зависимости при $1 \le a \le 10$.

156 Запиши данную программу действий в виде числового выражения и найди его значение.

1) Возвести $1 \frac{1}{2}$ в куб.

2) Из полученного числа вычесть $1 \frac{3}{4}$.

3) Разность разделить на $4 \frac{7}{8}$.

4) $2 \frac{2}{3}$ разделить на $10 \frac{1}{2}$.

5) Результат 4-го действия умножить на $1 \frac{5}{16}$.

6) Из результата 3-го действия вычесть результат 5-го действия.

Сначала запишем данную программу действий в виде одного числового выражения:

Теперь найдем его значение, выполняя действия по порядку.

1) Возвести 1 1/2 в куб.

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Возводим полученную дробь в куб (третью степень):

Ответ: $3\frac{3}{8}$.

2) Из полученного числа вычесть 1 3/4.

Результат первого действия равен $\frac{27}{8}$. Вычтем из него $1\frac{3}{4}$. Для этого преобразуем $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь $\frac{7}{4}$ и приведем дроби к общему знаменателю $8$.

Ответ: $1\frac{5}{8}$.

3) Разность разделить на 4 7/8.

Результат второго действия, $\frac{13}{8}$, разделим на $4\frac{7}{8}$. Преобразуем делитель в неправильную дробь: $4\frac{7}{8} = \frac{39}{8}$.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

Ответ: $\frac{1}{3}$.

4) 2 2/3 разделить на 10 1/2.

Это первое действие во второй части выражения. Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ и $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.

Выполняем деление:

Ответ: $\frac{16}{63}$.

5) Результат 4-го действия умножить на 1 5/16.

Умножим результат предыдущего действия, $\frac{16}{63}$, на $1\frac{5}{16}$. Преобразуем $1\frac{5}{16}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{16} = \frac{21}{16}$.

Выполняем умножение и сокращаем дроби:

Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Из результата 3-го действия вычесть результат 5-го действия.

Это последнее действие. Результат 3-го действия равен $\frac{1}{3}$, результат 5-го действия также равен $\frac{1}{3}$. Находим их разность:

Ответ: $0$.

156 Запиши данную программу действий в виде числового выражения и найди его значение:

1) Возвести $1\frac{1}{2}$ в куб.

2) Из полученного числа вычесть $1\frac{3}{4}$.

3) Разность разделить на $4\frac{7}{8}$.

4) $2\frac{2}{3}$ разделить на $10\frac{1}{2}$.

5) Результат 4-го действия умножить на $1\frac{5}{16}$.

6) Из результата 3-го действия вычесть результат 5-го действия.

D 157 Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall a \in N: 4a - 9 = 15;$

2) $\exists b \in N: b(b + 1) \le b^2;$

3) $\forall x \in N: 2x > 2;$

4) $\exists m, n \in N: \text{НОД}(m; n) = m + n.$

Для построения отрицания высказывания, содержащего квантор, необходимо заменить этот квантор на противоположный (квантор всеобщности $ \forall $ на квантор существования $ \exists $, и наоборот) и предикат (утверждение после квантора) на его отрицание.

1) Исходное высказывание: $ \forall a \in N: 4a - 9 = 15 $.

Это высказывание с квантором всеобщности $ \forall $ ("для любого") и предикатом $ 4a - 9 = 15 $. Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности $ \forall $ на квантор существования $ \exists $ ("существует") и отрицаем предикат. Отрицанием для равенства $ A = B $ является $ A \neq B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Существует такое натуральное число $a$, что $4a - 9 \neq 15$".

Ответ: $ \exists a \in N: 4a - 9 \neq 15 $

2) Исходное высказывание: $ \exists b \in N: b(b + 1) \leq b^2 $.

Это высказывание с квантором существования $ \exists $ ("существует") и предикатом $ b(b + 1) \leq b^2 $. Для построения отрицания заменяем квантор существования $ \exists $ на квантор всеобщности $ \forall $ ("для любого") и отрицаем предикат. Отрицанием для нестрогого неравенства $ A \leq B $ является строгое неравенство $ A > B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Для любого натурального числа $b$ верно, что $b(b + 1) > b^2$".

Ответ: $ \forall b \in N: b(b + 1) > b^2 $

3) Исходное высказывание: $ \forall x \in N: 2x > 2 $.

Это высказывание с квантором всеобщности $ \forall $ и предикатом $ 2x > 2 $. Заменяем $ \forall $ на $ \exists $ и отрицаем предикат. Отрицанием для строгого неравенства $ A > B $ является нестрогое неравенство $ A \leq B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Существует такое натуральное число $x$, что $2x \leq 2$".

Ответ: $ \exists x \in N: 2x \leq 2 $

4) Исходное высказывание: $ \exists m, n \in N: \text{НОД}(m; n) = m + n $.

Это высказывание с квантором существования $ \exists $ и предикатом $ \text{НОД}(m; n) = m + n $. Заменяем $ \exists $ на $ \forall $ и отрицаем предикат. Отрицанием для равенства $ A = B $ является $ A \neq B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ верно, что $\text{НОД}(m; n) \neq m + n$".

Ответ: $ \forall m, n \in N: \text{НОД}(m; n) \neq m + n $

D 157 Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall a \in N: 4a - 9 = 15$;

2) $\exists b \in N: b(b + 1) \le b^2$;

3) $\forall x \in R: 2x > 2$ (R - множество дробей);

4) $\exists m, n \in N: \text{НОД}(m; n) = m + n$.

158 Переведи высказывания на математический язык и построй их отрицания.

1) Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению.

Математический язык: $ \forall a, b \in \mathbb{N}, \text{НОК}(a, b) = a \cdot b $

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{N}, \text{НОК}(a, b) \neq a \cdot b $

2) Квадрат числа не может быть равен 0,01.

Математический язык: $ \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \neq 0.01 $

Отрицание: $ \exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 0.01 $

3) Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

Математический язык: $ \exists \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \text{ such that } (a, b, c, d \in \mathbb{N} \land a < b \land c < d) \land (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \ge 1) $

Отрицание: $ \forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \text{ such that } (a, b, c, d \in \mathbb{N} \land a < b \land c < d) \implies (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} < 1) $

4) Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

Математический язык: $ \forall a, b \in \mathbb{N}, \frac{a}{b} < a $

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{N}, \frac{a}{b} \ge a $

1) Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению.

Перевод на математический язык:

Данное высказывание является общим, так как в нем используется слово «любых». Обозначим два произвольных натуральных числа как $a$ и $b$. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \ldots$ Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$. Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ обозначается как НОК$(a, b)$. Произведение чисел — это $a \cdot b$.

Таким образом, высказывание можно записать в виде формулы с использованием квантора всеобщности $\forall$ («для любого»):

$\forall a \in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{N}: \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$.

Построение отрицания:

Отрицанием для общего высказывания (с квантором $\forall$) является высказывание о существовании (с квантором $\exists$). Нужно заменить «для любых» на «существуют такие», а знак равенства «$=$» на знак неравенства «$\neq$».

Математическая запись отрицания: $\exists a \in \mathbb{N}, \exists b \in \mathbb{N}: \text{НОК}(a, b) \neq a \cdot b$.

Словесная формулировка отрицания: «Существуют такие два натуральных числа, наименьшее общее кратное которых не равно их произведению».

Ответ: Математическая запись: $\forall a, b \in \mathbb{N}: \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$. Отрицание: Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, для которых $\text{НОК}(a, b) \neq a \cdot b$.

2) Квадрат числа не может быть равен 0,01.

Перевод на математический язык:

Фраза «не может быть» означает, что это невозможно ни для какого числа. Это общее высказывание. Пусть $x$ — произвольное число (будем считать, что из множества действительных чисел $\mathbb{R}$). Его квадрат — это $x^2$.

Высказывание утверждает, что для любого числа $x$ его квадрат не равен $0,01$. Математическая запись:

$\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \neq 0,01$.

Построение отрицания:

Отрицанием будет утверждение о том, что такое число все-таки существует. То есть «не может быть» заменяется на «может быть», а знак «$\neq$» на «$=$».

Математическая запись отрицания: $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 = 0,01$.

Словесная формулировка отрицания: «Существует такое число, квадрат которого равен 0,01» или «Квадрат числа может быть равен 0,01».

Ответ: Математическая запись: $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \neq 0,01$. Отрицание: Существует такое число $x$, для которого $x^2 = 0,01$.

3) Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

Перевод на математический язык:

Фраза «может быть» указывает на то, что это высказывание о существовании. Правильная дробь — это положительное рациональное число, меньшее 1. Неправильная дробь — это рациональное число, большее или равное 1. Пусть $x$ и $y$ — две правильные дроби.

Условия для $x$ и $y$: $x \in \mathbb{Q}, 0 < x < 1$ и $y \in \mathbb{Q}, 0 < y < 1$.

Утверждается, что их произведение $x \cdot y$ может быть неправильной дробью, то есть $x \cdot y \geq 1$.

Математическая запись с использованием квантора существования $\exists$ («существует»):

$\exists x, y \in \mathbb{Q}$ такие, что ($0 < x < 1$ и $0 < y < 1$) и ($x \cdot y \geq 1$).

Построение отрицания:

Отрицанием для высказывания о существовании является общее высказывание. «Может быть» заменяем на «никогда не может быть» или «всегда не». Произведение будет правильной дробью, то есть строго меньше 1.

Математическая запись отрицания: $\forall x, y \in \mathbb{Q}$, если ($0 < x < 1$ и $0 < y < 1$), то ($x \cdot y < 1$).

Словесная формулировка отрицания: «Произведение любых двух правильных дробей является правильной дробью» или «Произведение двух правильных дробей не может быть неправильной дробью».

Ответ: Математическая запись: $\exists x, y \in \mathbb{Q}$ такие, что ($0 < x < 1$ и $0 < y < 1$) и ($x \cdot y \geq 1$). Отрицание: Произведение любых двух правильных дробей всегда является правильной дробью (то есть, меньше 1).

4) Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

Перевод на математический язык:

Слово «всегда» указывает на то, что это общее высказывание. Пусть $a$ — делимое, $b$ — делитель, где $a, b \in \mathbb{N}$. Частное — это результат деления, то есть $\frac{a}{b}$.

Высказывание утверждает, что для любых натуральных $a$ и $b$ частное меньше делимого:

$\forall a, b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} < a$.

Построение отрицания:

Отрицанием является утверждение о существовании такой пары чисел, для которой это неравенство не выполняется. «Всегда меньше» заменяется на «существуют такие, для которых не меньше (то есть больше или равно)». Знак «$<$» меняется на «$\geq$».

Математическая запись отрицания: $\exists a, b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} \geq a$.

Словесная формулировка отрицания: «Существуют такие натуральные числа (делимое и делитель), частное которых не меньше (больше или равно) делимого».

Ответ: Математическая запись: $\forall a, b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} < a$. Отрицание: Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что $\frac{a}{b} \geq a$.

158 Переведи высказывания на математический язык и построй их отрицания:

1) Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению.

2) Квадрат числа не может быть равен 0,01.

3) Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

4) Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

159 Реши уравнения:

1) $2x + 7 = 5x - 26;$

2) $0,4(y - 5) = 0,3(y + 1) + 1,2.$

1) Исходное уравнение: $2x + 7 = 5x - 26$.
Для решения этого линейного уравнения необходимо собрать все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) — в другой. Перенесем $2x$ в правую часть, а $-26$ — в левую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$7 + 26 = 5x - 2x$
Теперь выполним арифметические действия в обеих частях уравнения:
$33 = 3x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:
$x = \frac{33}{3}$
$x = 11$
Проверка: подставим $x = 11$ в исходное уравнение.
Левая часть: $2 \cdot 11 + 7 = 22 + 7 = 29$.
Правая часть: $5 \cdot 11 - 26 = 55 - 26 = 29$.
$29 = 29$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: 11

2) Исходное уравнение: $0,4(y - 5) = 0,3(y + 1) + 1,2$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобки (распределительный закон):
$0,4 \cdot y - 0,4 \cdot 5 = 0,3 \cdot y + 0,3 \cdot 1 + 1,2$
$0,4y - 2 = 0,3y + 0,3 + 1,2$
Упростим правую часть, сложив числа:
$0,4y - 2 = 0,3y + 1,5$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки при переносе:
$0,4y - 0,3y = 1,5 + 2$
Выполним действия в обеих частях:
$0,1y = 3,5$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 0,1.
$y = \frac{3,5}{0,1}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$y = \frac{35}{1}$
$y = 35$
Проверка: подставим $y = 35$ в исходное уравнение.
Левая часть: $0,4(35 - 5) = 0,4 \cdot 30 = 12$.
Правая часть: $0,3(35 + 1) + 1,2 = 0,3 \cdot 36 + 1,2 = 10,8 + 1,2 = 12$.
$12 = 12$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: 35

159 Реши уравнения:

1) $2x + 7 = 5x - 26$;

2) $0,4(y - 5) = 0,3(y + 1) + 1,2$.

180 На миллиметровой бумаге отмечены точки A, B, C, D, E и F (рис. 14). Найди их координаты.

Координаты точек:

A: $(-0.5; 1.5)$

B: $(1.5; 0.5)$

C: $(-2.5; 0.5)$

D: $(1.5; -2.5)$

E: $(0.5; -2.5)$

F: $(-1.5; -1.5)$

Для определения координат точек на графике необходимо установить масштаб. Из рисунка видно, что на осях $x$ и $y$ одна большая клетка, состоящая из 5 маленьких делений, соответствует 1 единице. Следовательно, цена одного маленького деления составляет $1 \div 5 = 0.2$ единицы.

Для каждой точки найдем ее координаты, посчитав количество маленьких делений от осей координат.

A

Точка A расположена во второй координатной четверти. Чтобы найти ее абсциссу (координату $x$), посчитаем количество маленьких делений от оси $y$ влево. Таких делений 10. Поскольку движение идет влево, координата отрицательна: $x = -10 \times 0.2 = -2$. Чтобы найти ординату (координату $y$), посчитаем количество маленьких делений от оси $x$ вверх. Таких делений 8. Поскольку движение идет вверх, координата положительна: $y = 8 \times 0.2 = 1.6$.

Ответ: $A(-2; 1.6)$

B

Точка B расположена в первой координатной четверти. Чтобы найти ее абсциссу, посчитаем количество маленьких делений от оси $y$ вправо. Таких делений 7. Координата $x$ положительна: $x = 7 \times 0.2 = 1.4$. Чтобы найти ординату, посчитаем количество маленьких делений от оси $x$ вверх. Таких делений 4. Координата $y$ положительна: $y = 4 \times 0.2 = 0.8$.

Ответ: $B(1.4; 0.8)$

C

Точка C расположена во второй координатной четверти. Ее абсцисса определяется смещением влево от оси $y$ на 17 маленьких делений. Координата $x$ отрицательна: $x = -17 \times 0.2 = -3.4$. Ее ордината определяется смещением вверх от оси $x$ на 2 маленьких деления. Координата $y$ положительна: $y = 2 \times 0.2 = 0.4$.

Ответ: $C(-3.4; 0.4)$

D

Точка D расположена в четвертой координатной четверти. Ее абсцисса определяется смещением вправо от оси $y$ на 6 маленьких делений. Координата $x$ положительна: $x = 6 \times 0.2 = 1.2$. Ее ордината определяется смещением вниз от оси $x$ на 8 маленьких делений. Координата $y$ отрицательна: $y = -8 \times 0.2 = -1.6$.

Ответ: $D(1.2; -1.6)$

E

Точка E расположена на оси $y$. Это означает, что ее абсцисса равна нулю: $x = 0$. Ордината точки E определяется смещением вниз от оси $x$ на 7 маленьких делений. Координата $y$ отрицательна: $y = -7 \times 0.2 = -1.4$.

Ответ: $E(0; -1.4)$

F

Точка F расположена в третьей координатной четверти. Ее абсцисса определяется смещением влево от оси $y$ на 9 маленьких делений. Координата $x$ отрицательна: $x = -9 \times 0.2 = -1.8$. Ее ордината определяется смещением вниз от оси $x$ на 3 маленьких деления. Координата $y$ отрицательна: $y = -3 \times 0.2 = -0.6$.

Ответ: $F(-1.8; -0.6)$

180 На миллиметровой бумаге отмечены точки A, B, C, D, E и F (рис. 14). Найди их координаты.

A: $ (-0.3, 1.8) $

B: $ (1.2, 1.4) $

C: $ (-1.2, 0.6) $

D: $ (0.9, -0.8) $

E: $ (-0.36, -1.1) $

F: $ (-0.9, -0.1) $

Рис. 14

Рис. 15

181 На координатной плоскости проведена линия (рис. 15). Найди на этой линии точку:
а) абсцисса которой равна: -3,4; -2,5; -1,8; -0,6; 0; 0,7; 1,5; 2,9; 3,6;
б) ордината которой равна: 2,3; 1,6; 0,8; 0; -0,4; -0,7; -1,9; -2,4; -2,8.

а) Абсцисса — это координата точки по горизонтальной оси $Ox$. Чтобы найти на графике точку с заданной абсциссой, нужно найти на оси $Ox$ заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $Oy$. Полученное значение на оси $Oy$ будет ординатой точки.

• При абсциссе $x = -3,4$, ордината $y \approx -2,8$. Искомая точка: $(-3,4; -2,8)$.
• При абсциссе $x = -2,5$, ордината $y \approx -1,9$. Искомая точка: $(-2,5; -1,9)$.
• При абсциссе $x = -1,8$, ордината $y \approx -0,9$. Искомая точка: $(-1,8; -0,9)$.
• При абсциссе $x = -0,6$, ордината $y \approx 0,5$. Искомая точка: $(-0,6; 0,5)$.
• При абсциссе $x = 0$, ордината $y = 0,8$. Искомая точка: $(0; 0,8)$.
• При абсциссе $x = 0,7$, ордината $y \approx 0,9$. Искомая точка: $(0,7; 0,9)$.
• При абсциссе $x = 1,5$, ордината $y = 0,4$. Искомая точка: $(1,5; 0,4)$.
• При абсциссе $x = 2,9$, ордината $y \approx -1,6$. Искомая точка: $(2,9; -1,6)$.
• При абсциссе $x = 3,6$, ордината $y = -3,0$. Искомая точка: $(3,6; -3,0)$.

Ответ: $(-3,4; -2,8)$; $(-2,5; -1,9)$; $(-1,8; -0,9)$; $(-0,6; 0,5)$; $(0; 0,8)$; $(0,7; 0,9)$; $(1,5; 0,4)$; $(2,9; -1,6)$; $(3,6; -3,0)$.

б) Ордината — это координата точки по вертикальной оси $Oy$. Чтобы найти на графике точку с заданной ординатой, нужно найти на оси $Oy$ заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из каждой точки пересечения следует провести вертикальную линию до оси $Ox$, чтобы найти соответствующую абсциссу. Горизонтальная линия может пересекать график в нескольких точках или не пересекать вовсе.

• При ординате $y = 2,3$, горизонтальная линия не пересекает график, так как максимальное значение ординаты на графике меньше $1$. Точек на линии нет.
• При ординате $y = 1,6$, так же, как и в предыдущем случае, точек на линии нет.
• При ординате $y = 0,8$, линия пересекает график в двух точках с абсциссами $x = 0$ и $x = 1$. Искомые точки: $(0; 0,8)$ и $(1; 0,8)$.
• При ординате $y = 0$, линия (ось $Ox$) пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -1$ и $x = 2$. Искомые точки: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.
• При ординате $y = -0,4$, линия пересекает график в двух точках с абсциссами $x \approx -1,4$ и $x \approx 2,2$. Искомые точки: $(-1,4; -0,4)$ и $(2,2; -0,4)$.
• При ординате $y = -0,7$, линия пересекает график в двух точках с абсциссами $x \approx -1,7$ и $x \approx 2,4$. Искомые точки: $(-1,7; -0,7)$ и $(2,4; -0,7)$.
• При ординате $y = -1,9$, линия пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -2,5$ и $x \approx 3,1$. Искомые точки: $(-2,5; -1,9)$ и $(3,1; -1,9)$.
• При ординате $y = -2,4$, линия пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -3,0$ и $x \approx 3,3$. Искомые точки: $(-3,0; -2,4)$ и $(3,3; -2,4)$.
• При ординате $y = -2,8$, линия пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -3,4$ и $x \approx 3,5$. Искомые точки: $(-3,4; -2,8)$ и $(3,5; -2,8)$.

Ответ:
Для $y = 2,3$ и $y = 1,6$ — точек на линии нет.
Для $y = 0,8$ — точки $(0; 0,8)$ и $(1; 0,8)$.
Для $y = 0$ — точки $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.
Для $y = -0,4$ — точки $(-1,4; -0,4)$ и $(2,2; -0,4)$.
Для $y = -0,7$ — точки $(-1,7; -0,7)$ и $(2,4; -0,7)$.
Для $y = -1,9$ — точки $(-2,5; -1,9)$ и $(3,1; -1,9)$.
Для $y = -2,4$ — точки $(-3,0; -2,4)$ и $(3,3; -2,4)$.
Для $y = -2,8$ — точки $(-3,4; -2,8)$ и $(3,5; -2,8)$.

181 На координатной плоскости проведена линия (рис. 15). Найди на этой линии точку:

а) абсцисса которой равна: $-3,4$; $-2,5$; $-1,8$; $-0,6$; $0$; $0,7$; $1,5$; $2,9$; $3,6$;

б) ордината которой равна: $2,3$; $1,6$; $0,8$; $0$; $-0,4$; $-0,7$; $-1,9$; $-2,4$; $-2,8$.

182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом $3,5$ единичных отрезка.

Найди на окружности точки:

а) абсцисса которых равна: $-2,8$; $-0,5$; $1,9$;

б) ордината которых равна: $-2,8$; $-0,5$; $1,9$. Что ты замечаешь?

Задача состоит в построении окружности и нахождении на ней точек с заданными координатами. Хотя построение выполняется на миллиметровой бумаге для наглядности, точные координаты точек мы найдем аналитически, используя уравнение окружности.

Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$ описывается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$. В данном случае радиус $R = 3,5$ единичных отрезка, поэтому уравнение нашей окружности:
$x^2 + y^2 = 3.5^2$
$x^2 + y^2 = 12.25$
Используя это уравнение, мы можем найти одну координату точки, зная другую.

а) абсцисса которых равна: -2,8; -0,5; 1,9;

Для нахождения соответствующей ординаты ($y$) будем использовать формулу, выведенную из уравнения окружности: $y^2 = 12.25 - x^2$, откуда $y = \pm\sqrt{12.25 - x^2}$.

1. Если абсцисса $x = -2.8$:
$y = \pm\sqrt{12.25 - (-2.8)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 7.84} = \pm\sqrt{4.41} = \pm2.1$.
Следовательно, на окружности есть две точки с такой абсциссой: $(-2.8, 2.1)$ и $(-2.8, -2.1)$.

2. Если абсцисса $x = -0.5$:
$y = \pm\sqrt{12.25 - (-0.5)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 0.25} = \pm\sqrt{12} \approx \pm3.46$.
Найденные точки: $(-0.5, \approx3.46)$ и $(-0.5, \approx-3.46)$.

3. Если абсцисса $x = 1.9$:
$y = \pm\sqrt{12.25 - 1.9^2} = \pm\sqrt{12.25 - 3.61} = \pm\sqrt{8.64} \approx \pm2.94$.
Найденные точки: $(1.9, \approx2.94)$ и $(1.9, \approx-2.94)$.

Ответ: Точки с заданными абсциссами: $(-2.8, 2.1)$ и $(-2.8, -2.1)$; $(-0.5, \approx3.46)$ и $(-0.5, \approx-3.46)$; $(1.9, \approx2.94)$ и $(1.9, \approx-2.94)$.

б) ордината которых равна: -2,8; -0,5; 1,9. Что ты замечаешь?

Теперь находим абсциссу ($x$) по формуле $x^2 = 12.25 - y^2$, откуда $x = \pm\sqrt{12.25 - y^2}$.

1. Если ордината $y = -2.8$:
$x = \pm\sqrt{12.25 - (-2.8)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 7.84} = \pm\sqrt{4.41} = \pm2.1$.
Найденные точки: $(2.1, -2.8)$ и $(-2.1, -2.8)$.

2. Если ордината $y = -0.5$:
$x = \pm\sqrt{12.25 - (-0.5)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 0.25} = \pm\sqrt{12} \approx \pm3.46$.
Найденные точки: $(\approx3.46, -0.5)$ и $(\approx-3.46, -0.5)$.

3. Если ордината $y = 1.9$:
$x = \pm\sqrt{12.25 - 1.9^2} = \pm\sqrt{12.25 - 3.61} = \pm\sqrt{8.64} \approx \pm2.94$.
Найденные точки: $(\approx2.94, 1.9)$ и $(\approx-2.94, 1.9)$.

Ответ: Точки с заданными ординатами: $(2.1, -2.8)$ и $(-2.1, -2.8)$; $(\approx3.46, -0.5)$ и $(\approx-3.46, -0.5)$; $(\approx2.94, 1.9)$ и $(\approx-2.94, 1.9)$.

Что ты замечаешь?

Сравнивая результаты пунктов а) и б), можно заметить интересную закономерность, которая следует из симметрии окружности.
Ответ: Для одного и того же числового значения (например, -2.8), которое в пункте а) было абсциссой, а в пункте б) — ординатой, модуль вычисленной второй координаты получается одинаковым (в нашем примере это 2.1). Это объясняется тем, что уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ симметрично относительно переменных $x$ и $y$. Если поменять их местами, уравнение не изменится. Поэтому, если точка с координатами $(a, b)$ лежит на такой окружности, то и точка с координатами $(b, a)$ также будет ей принадлежать.

182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5 единичных отрезка.

Найди на окружности точки:

а) абсцисса которых равна: -2,8; -0,5; 1,9;

б) ордината которых равна: -2,8; -0,5; 1,9. Что ты замечаешь?

183 На миллиметровой бумаге провели прямые $AB$ и $CD$ и найди координаты точки их пересечения, если:

a) $A(-1,2; 5,6)$, $B(6,4; -0,8)$, $C(-1,2; -1,8)$, $D(4,9; 1,5)$;

б) $A(2,4; 5,1)$, $B(-3,6; -0,8)$, $C(4,5; -1,3)$, $D(-2,7; 3,9)$.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо составить уравнения этих прямых и решить систему полученных уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Даны точки A(-1,2; 5,6), B(6,4; -0,8), C(-1,2; -1,8), D(4,9; 1,5).

1. Составим уравнение прямой AB.

Подставим координаты точек A и B в формулу:

$\frac{x - (-1,2)}{6,4 - (-1,2)} = \frac{y - 5,6}{-0,8 - 5,6}$

$\frac{x + 1,2}{7,6} = \frac{y - 5,6}{-6,4}$

$-6,4(x + 1,2) = 7,6(y - 5,6)$

$-6,4x - 7,68 = 7,6y - 42,56$

$6,4x + 7,6y = 34,88$

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 40 для упрощения:

$640x + 760y = 34880$

$16x + 19y = 872$ (Уравнение 1)

2. Составим уравнение прямой CD.

Подставим координаты точек C и D в формулу:

$\frac{x - (-1,2)}{4,9 - (-1,2)} = \frac{y - (-1,8)}{1,5 - (-1,8)}$

$\frac{x + 1,2}{6,1} = \frac{y + 1,8}{3,3}$

$3,3(x + 1,2) = 6,1(y + 1,8)$

$3,3x + 3,96 = 6,1y + 10,98$

$3,3x - 6,1y = 7,02$

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$330x - 610y = 702$ (Уравнение 2)

3. Решим систему уравнений.

$\begin{cases} 16x + 19y = 872 \\ 330x - 610y = 702 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 610, а второе на 19, чтобы исключить переменную y:

$\begin{cases} 9760x + 11590y = 531920 \\ 6270x - 11590y = 13338 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(9760 + 6270)x = 531920 + 13338$

$16030x = 545258$

$x = \frac{545258}{16030} = \frac{272629}{8015}$

Так как $8015 = 5 \cdot 1603$, а $272629$ не делится ни на 5, ни на 1603, то дробь несократима. Упростим выражение $x = \frac{54525.8}{1603}$ из-за десятичной ошибки в первоначальном уравнении. Вернемся к системе с десятичными дробями:

$\begin{cases} 16x + 19y = 87.2 \\ 33x - 61y = 70.2 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 61, а второе на 19:

$\begin{cases} 976x + 1159y = 5319.2 \\ 627x - 1159y = 1333.8 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$1603x = 6653$

$x = \frac{6653}{1603}$

Подставим x в первое уравнение $16x + 19y = 87.2$:

$19y = 87.2 - 16 \cdot \frac{6653}{1603} = \frac{87.2 \cdot 1603 - 16 \cdot 6653}{1603} = \frac{139781.6 - 106448}{1603} = \frac{33333.6}{1603}$

$y = \frac{33333.6}{19 \cdot 1603} = \frac{333336}{304570} = \frac{166668}{152285} = \frac{8772}{8015}$

Ответ: $(\frac{6653}{1603}; \frac{8772}{8015})$

Даны точки A(2,4; 5,1), B(-3,6; -0,8), C(4,5; -1,3), D(-2,7; 3,9).

1. Составим уравнение прямой AB.

$\frac{x - 2,4}{-3,6 - 2,4} = \frac{y - 5,1}{-0,8 - 5,1}$

$\frac{x - 2,4}{-6} = \frac{y - 5,1}{-5,9}$

$-5,9(x - 2,4) = -6(y - 5,1)$

$5,9x - 14,16 = 6y - 30,6$

$5,9x - 6y = -16,44$

Умножим на 100 и разделим на 2:

$590x - 600y = -1644$

$295x - 300y = -822$ (Уравнение 1)

2. Составим уравнение прямой CD.

$\frac{x - 4,5}{-2,7 - 4,5} = \frac{y - (-1,3)}{3,9 - (-1,3)}$

$\frac{x - 4,5}{-7,2} = \frac{y + 1,3}{5,2}$

$5,2(x - 4,5) = -7,2(y + 1,3)$

$52x - 234 = -72y - 93,6$

$52x + 72y = 140,4$

Умножим на 10 и разделим на 4:

$520x + 720y = 1404$

$130x + 180y = 351$ (Уравнение 2)

3. Решим систему уравнений.

$\begin{cases} 295x - 300y = -822 \\ 130x + 180y = 351 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы исключить y:

$\begin{cases} 885x - 900y = -2466 \\ 650x + 900y = 1755 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(885 + 650)x = -2466 + 1755$

$1535x = -711$

$x = -\frac{711}{1535}$

Подставим x во второе уравнение $130x + 180y = 351$:

$180y = 351 - 130x = 351 - 130(-\frac{711}{1535}) = 351 + \frac{130 \cdot 711}{1535}$

$180y = 351 + \frac{92430}{1535} = \frac{351 \cdot 1535 + 92430}{1535} = \frac{538785 + 92430}{1535} = \frac{631215}{1535}$

$y = \frac{631215}{180 \cdot 1535} = \frac{631215}{276300}$

Сократим дробь на 5, а затем на 9:

$y = \frac{126243}{55260} = \frac{14027}{6140}$

Ответ: $(-\frac{711}{1535}; \frac{14027}{6140})$

183 На миллиметровой бумаге провели прямые $AB$ и $CD$ и найди координаты точки их пересечения, если:

a) $A(-1.2; 5.6)$, $B(6.4; -0.8)$, $C(-1.2; -1.8)$, $D(4.9; 1.5)$;

б) $A(2.4; 5.1)$, $B(-3.6; -0.8)$, $C(4.5; -1.3)$, $D(-2.7; 3.9)$.

184 В таблице приведены данные об изменении температуры воды в чайнике в зависимости от времени.

Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости, откладывая по оси абсцисс время в минутах, а по оси ординат – температуру воды в градусах Цельсия ($1$ см – $1$ мин, $1$ см – $10^{\circ}$C). Ответь на вопросы, используя график.

1) Сколько времени потребовалось, чтобы довести температуру воды в чайнике до $50^{\circ}$C, $75^{\circ}$C, до кипения ($100^{\circ}$C)?

2) Сколько времени кипела вода в чайнике?

3) В какие моменты времени температура воды в чайнике была равна $90^{\circ}$C?

Для решения задачи проанализируем данные из таблицы. Построение графика на миллиметровой бумаге позволило бы визуально определить искомые значения. Мы же произведем расчеты, основываясь на данных таблицы, что эквивалентно считыванию данных с точно построенного графика.

1) Сколько времени потребовалось, чтобы довести температуру воды в чайнике до 50 °C, 75 °C, до кипения (100 °C)?

Чтобы определить время, необходимо найти соответствующие значения на оси времени (ось абсцисс), которые соответствуют заданным температурам на оси температур (ось ординат).

• До 50 °C: Из таблицы видно, что при $t=1$ мин температура была $36$ °C, а при $t=2$ мин — $52$ °C. Значит, температура $50$ °C была достигнута в промежутке между 1-й и 2-й минутами. Предполагая, что нагрев на этом участке был равномерным (линейным), можно рассчитать точное время. За одну минуту (с 1-й по 2-ю) температура выросла на $52 - 36 = 16$ °C. Чтобы температура выросла с $36$ °C до $50$ °C, требуется прирост в $50 - 36 = 14$ °C. Рассчитаем, какую часть минуты это займет: $ \Delta t = \frac{14 \text{ °C}}{16 \text{ °C/мин}} = \frac{7}{8} \text{ мин} = 0.875 \text{ мин} $ Таким образом, общее время составит: $ t = 1 \text{ мин} + 0.875 \text{ мин} = 1.875 \text{ мин} $

• До 75 °C: При $t=3$ мин температура была $68$ °C, а при $t=4$ мин — $84$ °C. Температура $75$ °C находится в этом промежутке. Скорость нагрева на этом участке: $84 - 68 = 16$ °C/мин. Требуемый прирост температуры от $68$ °C: $75 - 68 = 7$ °C. Время для такого прироста: $ \Delta t = \frac{7 \text{ °C}}{16 \text{ °C/мин}} \approx 0.44 \text{ мин} $ Общее время: $ t = 3 \text{ мин} + 0.44 \text{ мин} \approx 3.44 \text{ мин} $

• До кипения (100 °C): Согласно таблице, температура воды достигла $100$ °C в момент времени $t=5$ минут.

Ответ: Чтобы довести температуру до 50 °C, потребовалось примерно 1.9 минуты; до 75 °C — примерно 3.4 минуты; до кипения (100 °C) — 5 минут.

2) Сколько времени кипела вода в чайнике?

Процесс кипения происходит при постоянной температуре, равной $100$ °C. Из таблицы видно, что температура $100$ °C поддерживалась с 5-й по 7-ю минуту включительно. После 7-й минуты температура начала снижаться. Следовательно, вода кипела в промежутке времени от $t_1 = 5$ мин до $t_2 = 7$ мин. Продолжительность кипения равна разности этих моментов времени: $ \Delta t_{\text{кипения}} = t_2 - t_1 = 7 \text{ мин} - 5 \text{ мин} = 2 \text{ мин} $

Ответ: Вода в чайнике кипела 2 минуты.

3) В какие моменты времени температура воды в чайнике была равна 90 °C?

Температура $90$ °C достигалась дважды: один раз при нагревании и один раз при остывании.

• При нагревании: Это произошло между 4-й ($T=84$ °C) и 5-й ($T=100$ °C) минутами. Скорость нагрева на этом участке: $100 - 84 = 16$ °C/мин. Требуемый прирост температуры от $84$ °C до $90$ °C составляет $90 - 84 = 6$ °C. Время для такого прироста: $ \Delta t = \frac{6 \text{ °C}}{16 \text{ °C/мин}} = \frac{3}{8} \text{ мин} = 0.375 \text{ мин} $ Первый момент времени: $ t_1 = 4 \text{ мин} + 0.375 \text{ мин} = 4.375 \text{ мин} $

• При остывании: Из таблицы видно, что в момент времени $t_2 = 10$ мин температура воды была ровно $90$ °C.

Ответ: Температура воды в чайнике была равна 90 °C в моменты времени примерно 4.4 минуты и 10 минут.

184 В таблице приведены данные об изменении температуры воды в чайнике в зависимости от времени:

Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости, откладывая по оси абсцисс время в минутах, а по оси ординат – температуру воды в градусах Цельсия (1 см – 1 мин, 1 см – $10^{\circ}$C). Определи по графику:

1) Сколько времени потребовалось, чтобы довести температуру воды в чайнике до $50^{\circ}$, $75^{\circ}$, до кипения ($100^{\circ}$)?

2) Сколько времени кипела вода в чайнике?

3) В какие моменты времени температура воды в чайнике была равна $90^{\circ}$?