Страница 48, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

183 1) $\frac{7,8 : 1,1 \cdot 5,5}{0,39}$;

2) $\frac{0,16}{0,02 : 0,007 \cdot 0,8}$;

3) $\frac{0,19 : 0,03 \cdot 0,75 \cdot 10,8}{1,2 \cdot 2,5 \cdot 5,7 : 0,4}$;

4) $\frac{8,1 : 0,4 : 2,7 \cdot 3,06}{10,2 : 2,4 \cdot 12,5 \cdot 0,8}$;

5) $\frac{1,4 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2,5 : 0,6 \cdot 0,71}{0,71 \cdot 1\frac{1}{6} : 3,6 \cdot 0,5}$;

6) $\frac{2\frac{1}{7} \cdot 2,8 : 1\frac{5}{11} \cdot 6\frac{2}{11}}{0,68 : 0,016 \cdot 4\frac{2}{7} \cdot 1,4}$.

1) $ \frac{7,8 : 1,1 \cdot 5,5}{0,39} $

В соответствии с порядком выполнения математических операций, действия умножения и деления выполняются слева направо. Сначала вычислим значение числителя.
1) Выполним деление: $ 7,8 : 1,1 = \frac{7,8}{1,1} = \frac{78}{11} $.
2) Затем выполним умножение: $ \frac{78}{11} \cdot 5,5 = \frac{78}{11} \cdot \frac{55}{10} = \frac{78 \cdot 5}{10} = \frac{390}{10} = 39 $.
Теперь разделим полученное значение числителя на знаменатель.
3) $ \frac{39}{0,39} = \frac{39}{\frac{39}{100}} = 39 \cdot \frac{100}{39} = 100 $.
Ответ: 100

2) $ \frac{0,16}{0,02 : 0,007 \cdot 0,8} $

Сначала вычислим значение знаменателя, выполняя операции слева направо.
1) Деление в знаменателе: $ 0,02 : 0,007 = \frac{0,02}{0,007} = \frac{20}{7} $.
2) Умножение в знаменателе: $ \frac{20}{7} \cdot 0,8 = \frac{20}{7} \cdot \frac{8}{10} = \frac{2 \cdot 8}{7} = \frac{16}{7} $.
Теперь разделим числитель на полученное значение знаменателя.
3) $ \frac{0,16}{\frac{16}{7}} = 0,16 \cdot \frac{7}{16} = \frac{16}{100} \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{100} = 0,07 $.
Ответ: 0,07

3) $ \frac{0,19 : 0,03 \cdot 0,75 \cdot 10,8}{1,2 \cdot 2,5 \cdot 5,7 : 0,4} $

Вычислим отдельно значения числителя и знаменателя, выполняя операции слева направо.
Числитель:
1) $ 0,19 : 0,03 = \frac{19}{3} $.
2) $ \frac{19}{3} \cdot 0,75 = \frac{19}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{19}{4} $.
3) $ \frac{19}{4} \cdot 10,8 = 19 \cdot \frac{10,8}{4} = 19 \cdot 2,7 = 51,3 $.
Знаменатель:
1) $ 1,2 \cdot 2,5 = 3 $.
2) $ 3 \cdot 5,7 = 17,1 $.
3) $ 17,1 : 0,4 = \frac{171}{4} = 42,75 $.
Результат:
$ \frac{51,3}{42,75} = \frac{5130}{4275} $. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{1026}{855} $. Разделим на 9: $ \frac{114}{95} $. Разделим на 19: $ \frac{6}{5} = 1,2 $.
Ответ: 1,2

4) $ \frac{8,1 : 0,4 : 2,7 \cdot 3,06}{10,2 : 2,4 \cdot 12,5 \cdot 0,8} $

Вычислим отдельно значения числителя и знаменателя.
Числитель:
Выполняем деление слева направо. Для удобства можно поменять делители местами: $ (8,1 : 0,4) : 2,7 = (8,1 : 2,7) : 0,4 $.
1) $ 8,1 : 2,7 = 3 $.
2) $ 3 : 0,4 = \frac{3}{0,4} = \frac{30}{4} = 7,5 $.
3) $ 7,5 \cdot 3,06 = \frac{15}{2} \cdot 3,06 = 15 \cdot 1,53 = 22,95 $.
Знаменатель:
1) $ 10,2 : 2,4 = \frac{102}{24} = \frac{17}{4} = 4,25 $.
2) $ 12,5 \cdot 0,8 = 10 $.
3) $ 4,25 \cdot 10 = 42,5 $.
Результат:
$ \frac{22,95}{42,5} = \frac{2295}{4250} $. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{459}{850} $. Найдем общий делитель. $ 459 = 27 \cdot 17 $ и $ 850 = 50 \cdot 17 $. Сократим на 17: $ \frac{27}{50} = 0,54 $.
Ответ: 0,54

5) $ \frac{1,4 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2,5 : 0,6 \cdot 0,71}{0,71 \cdot 1\frac{1}{6} : 3,6 \cdot 0,5} $

Заметим, что в числителе и знаменателе присутствует множитель 0,71. Вынесем его и упростим остальные части.
Числитель: $ (1,4 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2,5 : 0,6) \cdot 0,71 $.
Вычислим выражение в скобках, представив числа в виде обыкновенных дробей: $ ( \frac{14}{10} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{25}{10} ) : \frac{6}{10} = ( \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} ) : \frac{3}{5} = \frac{7}{3} : \frac{3}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{35}{9} $.
Таким образом, числитель равен $ \frac{35}{9} \cdot 0,71 $.
Знаменатель: $ (0,71 \cdot 1\frac{1}{6} : 3,6) \cdot 0,5 = 0,71 \cdot (1\frac{1}{6} : 3,6 \cdot 0,5) $.
Вычислим выражение в скобках: $ ( \frac{7}{6} : \frac{36}{10} ) \cdot \frac{5}{10} = ( \frac{7}{6} \cdot \frac{10}{36} ) \cdot \frac{1}{2} = \frac{70}{216} \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{216} $.
Таким образом, знаменатель равен $ 0,71 \cdot \frac{35}{216} $.
Результат:
$ \frac{\frac{35}{9} \cdot 0,71}{0,71 \cdot \frac{35}{216}} $. Сокращаем $0,71$ и $35$: $ \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{216}} = \frac{216}{9} = 24 $.
Ответ: 24

6) $ \frac{2\frac{1}{7} \cdot 2,8 : 1\frac{5}{11} \cdot 6\frac{2}{11}}{0,68 : 0,016 \cdot 4\frac{2}{7} \cdot 1,4} $

Для удобства вычислений переведем все числа в обыкновенные дроби.
Числитель: $ (2\frac{1}{7} \cdot 2,8 : 1\frac{5}{11}) \cdot 6\frac{2}{11} $.
1) $ 2\frac{1}{7} \cdot 2,8 = \frac{15}{7} \cdot \frac{28}{10} = \frac{15}{7} \cdot \frac{14}{5} = 3 \cdot 2 = 6 $.
2) $ 6 : 1\frac{5}{11} = 6 : \frac{16}{11} = 6 \cdot \frac{11}{16} = \frac{33}{8} $.
3) $ \frac{33}{8} \cdot 6\frac{2}{11} = \frac{33}{8} \cdot \frac{68}{11} = \frac{3 \cdot 68}{8} = \frac{3 \cdot 17}{2} = \frac{51}{2} = 25,5 $.
Знаменатель: $ (0,68 : 0,016 \cdot 4\frac{2}{7}) \cdot 1,4 $.
1) $ 0,68 : 0,016 = \frac{68}{100} : \frac{16}{1000} = \frac{68}{100} \cdot \frac{1000}{16} = \frac{680}{16} = \frac{170}{4} = \frac{85}{2} = 42,5 $.
2) $ 42,5 \cdot 4\frac{2}{7} = \frac{85}{2} \cdot \frac{30}{7} = \frac{85 \cdot 15}{7} = \frac{1275}{7} $.
3) $ \frac{1275}{7} \cdot 1,4 = \frac{1275}{7} \cdot \frac{14}{10} = \frac{1275 \cdot 2}{10} = \frac{1275}{5} = 255 $.
Результат:
$ \frac{25,5}{255} = \frac{1}{10} = 0,1 $.
Ответ: 0,1

Глава 2, §1, п.1

183 1) $\frac{7,8 : 1,1 \cdot 5,5}{0,39}$;

2) $\frac{0,16}{0,02 : 0,007 \cdot 0,8}$;

3) $\frac{0,19 : 0,03 \cdot 0,75 \cdot 10,8}{1,2 \cdot 2,5 \cdot 5,7 : 0,4}$;

4) $\frac{8,1 : 0,4 : 2,7 \cdot 3,06}{10,2 : 2,4 \cdot 12,5 \cdot 0,8}$;

5) $\frac{1,4 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2,5 : 0,6 \cdot 0,71}{0,71 \cdot 1\frac{1}{6} : 3,6 \cdot 0,5}$;

6) $\frac{2\frac{1}{7} \cdot 2,8 : 1\frac{5}{11} \cdot 6\frac{2}{11}}{0,68 : 0,016 \cdot 4\frac{2}{7} \cdot 1,4}$.

184 1) $\frac{16\frac{2}{3} - 15\frac{1}{6} + 1,3}{2,5 \cdot 0,56 \cdot 0,4};$

2) $\frac{21,75 - 18\frac{3}{8}}{1,8 : 0,4 \cdot 0,3};$

3) $\frac{(2\frac{5}{6} + 1,75) \cdot 0,14}{2\frac{1}{3} \cdot 1,1 : 1,6};$

4) $\frac{(\frac{2,1}{0,4} + \frac{3,3}{1,8}) : 0,51 \cdot 0,36}{2\frac{2}{3} \cdot (\frac{4,5}{4,2} - \frac{1,6}{2,8})};$

5) $\frac{0,3 \cdot 7,8 : 0,39 - \frac{5}{12} \cdot 3,6}{1\frac{5}{13} \cdot 0,26 : 0,1 + 0,4};$

6) $\frac{(2,4 \cdot 3\frac{1}{4} + 7,1 \cdot 3\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{13}}{(\frac{11}{40} - 0,125) \cdot 6\frac{1}{3} + 17,1 \cdot 0,5}.$

1) $\frac{16\frac{2}{3} - 15\frac{1}{6} + 1,3}{2,5 \cdot 0,56 \cdot 0,4}$

Решим по действиям, сначала числитель, затем знаменатель.

1. Вычислим числитель: $16\frac{2}{3} - 15\frac{1}{6} + 1,3$.
$16\frac{2}{3} = 16\frac{4}{6}$.
$16\frac{4}{6} - 15\frac{1}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2} = 1,5$.
$1,5 + 1,3 = 2,8$.

2. Вычислим знаменатель: $2,5 \cdot 0,56 \cdot 0,4$.
$2,5 \cdot 0,4 = 1$.
$1 \cdot 0,56 = 0,56$.

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{2,8}{0,56} = \frac{280}{56} = 5$.

Ответ: 5

2) $\frac{21,75 - 18\frac{3}{8}}{1,8 : 0,4 \cdot 0,3}$

Решим по действиям, сначала числитель, затем знаменатель.

1. Вычислим числитель: $21,75 - 18\frac{3}{8}$.
Преобразуем $18\frac{3}{8}$ в десятичную дробь: $\frac{3}{8} = 0,375$, значит $18\frac{3}{8} = 18,375$.
$21,75 - 18,375 = 3,375$.

2. Вычислим знаменатель: $1,8 : 0,4 \cdot 0,3$.
$1,8 : 0,4 = 18 : 4 = 4,5$.
$4,5 \cdot 0,3 = 1,35$.

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{3,375}{1,35} = \frac{3375}{1350} = 2,5$.

Ответ: 2,5

3) $\frac{(2\frac{5}{6} + 1,75) \cdot 0,14}{2\frac{1}{3} \cdot 1,1 : 1,6}$

Решим по действиям, работая с обыкновенными дробями.

1. Вычислим числитель: $(2\frac{5}{6} + 1,75) \cdot 0,14$.
$2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$.
$1,75 = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
$\frac{17}{6} + \frac{7}{4} = \frac{34}{12} + \frac{21}{12} = \frac{55}{12}$.
$0,14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}$.
$\frac{55}{12} \cdot \frac{7}{50} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 7}{12 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{77}{120}$.

2. Вычислим знаменатель: $2\frac{1}{3} \cdot 1,1 : 1,6$.
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
$1,1 = \frac{11}{10}$.
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
$\frac{7}{3} \cdot \frac{11}{10} : \frac{8}{5} = \frac{77}{30} \cdot \frac{5}{8} = \frac{77 \cdot 5}{30 \cdot 8} = \frac{77}{6 \cdot 8} = \frac{77}{48}$.

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{77/120}{77/48} = \frac{77}{120} \cdot \frac{48}{77} = \frac{48}{120} = \frac{2 \cdot 24}{5 \cdot 24} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: 0,4

4) $\frac{(\frac{2,1}{0,4} + \frac{3,3}{1,8}) : 0,51 \cdot 0,36}{2\frac{2}{3} \cdot (\frac{4,5}{4,2} - \frac{1,6}{2,8})}$

Решим по действиям.

1. Вычислим числитель.
$\frac{2,1}{0,4} = \frac{21}{4} = 5,25$.
$\frac{3,3}{1,8} = \frac{33}{18} = \frac{11}{6}$.
$\frac{21}{4} + \frac{11}{6} = \frac{63}{12} + \frac{22}{12} = \frac{85}{12}$.
$\frac{85}{12} : 0,51 = \frac{85}{12} : \frac{51}{100} = \frac{85}{12} \cdot \frac{100}{51} = \frac{5 \cdot 17}{3 \cdot 4} \cdot \frac{25 \cdot 4}{3 \cdot 17} = \frac{125}{9}$.
$\frac{125}{9} \cdot 0,36 = \frac{125}{9} \cdot \frac{36}{100} = \frac{125 \cdot 4}{100} = \frac{500}{100} = 5$.

2. Вычислим знаменатель.
$2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{4,5}{4,2} = \frac{45}{42} = \frac{15}{14}$.
$\frac{1,6}{2,8} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}$.
$\frac{15}{14} - \frac{4}{7} = \frac{15}{14} - \frac{8}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{3}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{5}{4/3} = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3,75$.

Ответ: 3,75

5) $\frac{0,3 \cdot 7,8 : 0,39 - \frac{5}{12} \cdot 3,6}{1\frac{5}{13} \cdot 0,26 : 0,1 + 0,4}$

Решим по действиям.

1. Вычислим числитель.
$0,3 \cdot 7,8 : 0,39 = 0,3 \cdot (780 : 39) = 0,3 \cdot 20 = 6$.
$\frac{5}{12} \cdot 3,6 = \frac{5}{12} \cdot \frac{36}{10} = \frac{5 \cdot 3}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$.
$6 - 1,5 = 4,5$.

2. Вычислим знаменатель.
$1\frac{5}{13} = \frac{18}{13}$.
$\frac{18}{13} \cdot 0,26 = \frac{18}{13} \cdot \frac{26}{100} = \frac{18 \cdot 2}{100} = \frac{36}{100} = 0,36$.
$0,36 : 0,1 = 3,6$.
$3,6 + 0,4 = 4$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{4,5}{4} = \frac{9}{8} = 1,125$.

Ответ: 1,125

6) $\frac{(2,4 \cdot 3\frac{1}{4} + 7,1 \cdot 3\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{13}}{(\frac{11}{40} - 0,125) \cdot 6\frac{1}{3} + 17,1 \cdot 0,5}$

Решим по действиям.

1. Вычислим числитель.
Вынесем общий множитель $3\frac{1}{4}$ за скобки: $(2,4 + 7,1) \cdot 3\frac{1}{4} = 9,5 \cdot 3\frac{1}{4}$.
$3\frac{1}{4} = 3,25$.
$9,5 \cdot 3,25 = \frac{19}{2} \cdot \frac{13}{4} = \frac{247}{8}$.
$\frac{247}{8} \cdot \frac{4}{13} = \frac{247 \cdot 4}{8 \cdot 13} = \frac{19 \cdot 13}{2 \cdot 13} = \frac{19}{2} = 9,5$.

2. Вычислим знаменатель.
$0,125 = \frac{1}{8}$.
$\frac{11}{40} - \frac{1}{8} = \frac{11}{40} - \frac{5}{40} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$.
$6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$.
$\frac{3}{20} \cdot \frac{19}{3} = \frac{19}{20}$.
$17,1 \cdot 0,5 = 8,55$.
$\frac{19}{20} + 8,55 = 0,95 + 8,55 = 9,5$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{9,5}{9,5} = 1$.

Ответ: 1

184 1) $\frac{16\frac{2}{3} - 15\frac{1}{6} + 1,3}{2,5 \cdot 0,56 \cdot 0,4}$

2) $\frac{21,75 - 18\frac{3}{8}}{1,8 : 0,4 \cdot 0,3}$

3) $\frac{(2\frac{5}{6} + 1,75) \cdot 0,14}{2\frac{1}{3} \cdot 1,1 : 1,6}$

4) $\frac{(\frac{2,1}{0,4} + \frac{3,3}{1,8}) : 0,51 \cdot 0,36}{2\frac{2}{3} \cdot (\frac{4,5}{4,2} - \frac{1,6}{2,8})}$

5) $\frac{0,3 \cdot 7,8 : 0,39 - \frac{5}{12} \cdot 3,6}{1\frac{5}{13} \cdot 0,26 : 0,1 + 0,4}$

6) $\frac{(2,4 \cdot 3\frac{1}{4} + 7,1 \cdot 3\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{13}}{(\frac{11}{40} - 0,125) \cdot 6\frac{1}{3} + 17,1 \cdot 0,5}$

185 Найди 40 % от числа:

1) $ \frac{0,16 \cdot (3,2 - \frac{3}{40}) + 2\frac{3}{11} \cdot 4,125 : 3\frac{3}{4}}{5\frac{1}{6} \cdot 0,3 - 0,3 \cdot 4,5 + \frac{1}{3} \cdot 0,3} $

2) $ \frac{0,6 + 2,4 \cdot (3 - 0,7 \cdot \frac{5}{7}) - 7 : 3\frac{1}{2}}{[5\frac{1}{4} \cdot 4 - (5,9 - 2,7 : \frac{9}{11})] \cdot 2\frac{1}{2}} $

3) $ \frac{[7,88 + (4\frac{3}{5} \cdot 2,5 - 1,6 \cdot 2\frac{1}{2}) : 7,5 \cdot 2,12] : 6,25}{(10 - 8\frac{5}{8}) \cdot 0,32 + (9,6 : 9\frac{3}{5}) \cdot (0,2)^2} $

4) $ \frac{1,7 : [8\frac{1}{3} - (\frac{1}{2} + 0,5 + \frac{1}{4}) : (4,3 - 3\frac{3}{60}) \cdot 7,2]}{\frac{2}{3} \cdot 0,375 + 4\frac{7}{18} + (2\frac{2}{3} - \frac{7}{15}) : 0,8 - 4\frac{7}{18}} $

1)

Сначала вычислим значение числового выражения: $ \frac{0,16 \cdot (3,2 - \frac{3}{40}) + 2\frac{3}{11} \cdot 4,125 : 3\frac{3}{4}}{5\frac{1}{6} \cdot 0,3 - 0,3 \cdot 4,5 + \frac{1}{3} \cdot 0,3} $

Вычислим числитель по действиям:

1) $ 3,2 - \frac{3}{40} = 3\frac{2}{10} - \frac{3}{40} = 3\frac{8}{40} - \frac{3}{40} = 3\frac{5}{40} = 3\frac{1}{8} = \frac{25}{8} $

2) $ 0,16 \cdot \frac{25}{8} = \frac{16}{100} \cdot \frac{25}{8} = \frac{2 \cdot 25}{100} = \frac{50}{100} = 0,5 $

3) $ 2\frac{3}{11} \cdot 4,125 : 3\frac{3}{4} = \frac{25}{11} \cdot 4\frac{1}{8} : \frac{15}{4} = \frac{25}{11} \cdot \frac{33}{8} : \frac{15}{4} = \frac{25 \cdot 3}{8} : \frac{15}{4} = \frac{75}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5 $

4) Числитель равен $ 0,5 + 2,5 = 3 $.

Теперь вычислим знаменатель, вынеся общий множитель 0,3 за скобки:

5) $ 0,3 \cdot (5\frac{1}{6} - 4,5 + \frac{1}{3}) = 0,3 \cdot (5\frac{1}{6} - 4\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) = 0,3 \cdot ( (5-4) + \frac{1-3+2}{6} ) = 0,3 \cdot (1 + 0) = 0,3 $

Значение всего выражения:

6) $ \frac{3}{0,3} = 10 $

Находим 40% от полученного числа:

$ 10 \cdot \frac{40}{100} = 10 \cdot 0,4 = 4 $.

Ответ: 4

2)

Сначала вычислим значение числового выражения: $ \frac{0,6 + 2,4 \cdot (3 - 0,7 \cdot \frac{5}{7}) - 7 : 3\frac{1}{2}}{[5\frac{1}{4} \cdot 4 - (5,9 - 2,7 : \frac{9}{11})] \cdot 2\frac{1}{2}} $

Вычислим числитель по действиям:

1) $ 0,7 \cdot \frac{5}{7} = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{10} = 0,5 $

2) $ 3 - 0,5 = 2,5 $

3) $ 2,4 \cdot 2,5 = 6 $

4) $ 7 : 3\frac{1}{2} = 7 : \frac{7}{2} = 7 \cdot \frac{2}{7} = 2 $

5) Числитель равен $ 0,6 + 6 - 2 = 4,6 $.

Теперь вычислим знаменатель:

6) $ 2,7 : \frac{9}{11} = \frac{27}{10} \cdot \frac{11}{9} = \frac{3 \cdot 11}{10} = 3,3 $

7) $ 5,9 - 3,3 = 2,6 $

8) $ 5\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{21}{4} \cdot 4 = 21 $

9) Знаменатель равен $ [21 - 2,6] \cdot 2\frac{1}{2} = 18,4 \cdot 2,5 = 46 $.

Значение всего выражения:

10) $ \frac{4,6}{46} = 0,1 $

Находим 40% от полученного числа:

$ 0,1 \cdot \frac{40}{100} = 0,1 \cdot 0,4 = 0,04 $.

Ответ: 0,04

3)

Сначала вычислим значение числового выражения: $ \frac{[7,88 + (4\frac{3}{5} \cdot 2,5 - 1,6 \cdot 2\frac{1}{2}) : 7,5 \cdot 2,12] : 6,25}{(10 - 8\frac{5}{8}) \cdot 0,32 + (9,6 : 9\frac{3}{5}) \cdot (0,2)^2} $

Вычислим числитель по действиям:

1) $ 4\frac{3}{5} \cdot 2,5 = \frac{23}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{23}{2} = 11,5 $

2) $ 1,6 \cdot 2\frac{1}{2} = 1,6 \cdot 2,5 = 4 $

3) $ (11,5 - 4) : 7,5 \cdot 2,12 = 7,5 : 7,5 \cdot 2,12 = 1 \cdot 2,12 = 2,12 $

4) Числитель равен $ [7,88 + 2,12] : 6,25 = 10 : 6,25 = 10 : \frac{25}{4} = 10 \cdot \frac{4}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1,6 $.

Теперь вычислим знаменатель:

5) $ 10 - 8\frac{5}{8} = 1\frac{3}{8} $

6) $ 1\frac{3}{8} \cdot 0,32 = \frac{11}{8} \cdot \frac{32}{100} = \frac{11 \cdot 4}{100} = 0,44 $

7) $ 9,6 : 9\frac{3}{5} = 9,6 : 9,6 = 1 $

8) $ 1 \cdot (0,2)^2 = 0,04 $

9) Знаменатель равен $ 0,44 + 0,04 = 0,48 $.

Значение всего выражения:

10) $ \frac{1,6}{0,48} = \frac{160}{48} = \frac{10}{3} $

Находим 40% от полученного числа:

$ \frac{10}{3} \cdot \frac{40}{100} = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $.

Ответ: $1\frac{1}{3}$

4)

Сначала вычислим значение числового выражения: $ \frac{1,7 : [8\frac{1}{3} - (\frac{1}{2} + 0,5 + \frac{1}{4}) : (4,3 - 3\frac{3}{60}) \cdot 7,2]}{\frac{2}{3} \cdot 0,375 + 4\frac{7}{18} + (2\frac{2}{3} - \frac{7}{15}) : 0,8 - 4\frac{7}{18}} $

Упростим знаменатель, заметив что $ 4\frac{7}{18} - 4\frac{7}{18} = 0 $. Выражение примет вид:

$ \frac{1,7 : [8\frac{1}{3} - (\frac{1}{2} + 0,5 + \frac{1}{4}) : (4,3 - 3\frac{3}{60}) \cdot 7,2]}{\frac{2}{3} \cdot 0,375 + (2\frac{2}{3} - \frac{7}{15}) : 0,8} $

Вычислим числитель по действиям:

1) $ \frac{1}{2} + 0,5 + \frac{1}{4} = 0,5 + 0,5 + 0,25 = 1,25 $

2) $ 4,3 - 3\frac{3}{60} = 4,3 - 3\frac{1}{20} = 4,3 - 3,05 = 1,25 $

3) $ 1,25 : 1,25 \cdot 7,2 = 1 \cdot 7,2 = 7,2 $

4) $ 8\frac{1}{3} - 7,2 = \frac{25}{3} - \frac{72}{10} = \frac{25}{3} - \frac{36}{5} = \frac{125 - 108}{15} = \frac{17}{15} $

5) Числитель равен $ 1,7 : \frac{17}{15} = \frac{17}{10} \cdot \frac{15}{17} = \frac{15}{10} = 1,5 $.

Теперь вычислим знаменатель:

6) $ \frac{2}{3} \cdot 0,375 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25 $

7) $ 2\frac{2}{3} - \frac{7}{15} = \frac{8}{3} - \frac{7}{15} = \frac{40 - 7}{15} = \frac{33}{15} = \frac{11}{5} $

8) $ \frac{11}{5} : 0,8 = \frac{11}{5} : \frac{4}{5} = \frac{11}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{11}{4} = 2,75 $

9) Знаменатель равен $ 0,25 + 2,75 = 3 $.

Значение всего выражения:

10) $ \frac{1,5}{3} = 0,5 $

Находим 40% от полученного числа:

$ 0,5 \cdot \frac{40}{100} = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2 $.

Ответ: 0,2

185 Найди 40% от числа:

1) $\frac{0,16 \cdot (3,2 - \frac{3}{40}) + 2\frac{3}{11} \cdot 4,125 : 3\frac{3}{4}}{5\frac{1}{6} \cdot 0,3 - 0,3 \cdot 4,5 + \frac{1}{3} \cdot 0,3}$

2) $\frac{0,6 + 2,4 \cdot (3 - 0,7 \cdot \frac{5}{7}) - 7 : 3\frac{1}{2}}{[5\frac{1}{4} \cdot 4 - (5,9 - 2,7 : \frac{9}{11})] \cdot 2\frac{1}{2}}$

3) $\frac{[7,88 + (4\frac{3}{5} \cdot 2,5 - 1,6 \cdot 2\frac{1}{2})] : 7,5 \cdot 2,12 : 6,25}{(10 - 8\frac{5}{8}) \cdot 0,32 + (9,6 : 9\frac{3}{5}) \cdot (0,2)^2}$

4) $\frac{1,7 : [8\frac{1}{3} - (\frac{1}{3} + 0,5 + \frac{1}{4}) : (4,3 - 3\frac{13}{60}) \cdot 7,2]}{\frac{2}{3} \cdot 0,375 + 4\frac{7}{18} + (2\frac{2}{3} - \frac{7}{15}) : 0,8 - 4\frac{7}{18}}$

186 Найди число, 25% которого составляют:

1) $ \frac{3 \frac{1}{3} + 2,5}{2,5 - 1 \frac{1}{3}} + \frac{\left(2,96 + 1 \frac{1}{25}\right) \cdot \frac{3}{16}}{0,625 - \frac{7}{22} : 1 \frac{3}{11}} - \frac{\left(\frac{0,36}{0,8} + 0,55\right) : 0,3}{2,2 : 2 \frac{14}{15}} \cdot \frac{9}{20}; $

2) $ 6,4 : \left[ \frac{6 : (0,3 - 0,1)}{0,5 \cdot (1,6 + 0,4)} + \frac{3,6 : (4,3 - 2,5)}{(8,2 - 7,8) \cdot 2,5} \right] + \frac{1 \frac{3}{20} : 2,3}{2 - 0,8 \cdot \frac{5}{6} : \frac{2}{3}}; $

3) $ 90,9 : \left[ \frac{0,05}{0,125 - \frac{1}{9}} + \frac{0,03 : 0,1}{0,5 + \frac{1}{4}} \right] : \left( 1 \frac{8}{15} : 1 \frac{8}{15} - \frac{1,5 : 3 \frac{3}{4}}{0,25 + 3 \frac{1}{4} : 13} \right) - 18 \frac{1}{5}. $

Чтобы найти число, 25% которого составляет значение каждого выражения, нужно сначала вычислить значение выражения, а затем разделить его на 0,25 (или умножить на 4).

1)

Найдем значение первого выражения:

$ \frac{3\frac{1}{3} + 2,5}{2,5 - 1\frac{1}{3}} + \frac{(2,96 + 1\frac{1}{25}) \cdot \frac{3}{16}}{0,625 - \frac{7}{22} : 1\frac{3}{11}} - \frac{(\frac{0,36}{0,8} + 0,55) : 0,3}{2,2 : 2\frac{14}{15}} \cdot \frac{9}{20} $

Вычислим по действиям:

1. Вычислим значение первой дроби:

$ 3\frac{1}{3} + 2,5 = \frac{10}{3} + \frac{5}{2} = \frac{20+15}{6} = \frac{35}{6} $

$ 2,5 - 1\frac{1}{3} = \frac{5}{2} - \frac{4}{3} = \frac{15-8}{6} = \frac{7}{6} $

$ \frac{35/6}{7/6} = \frac{35}{6} \cdot \frac{6}{7} = 5 $

2. Вычислим значение второй дроби:

$ 2,96 + 1\frac{1}{25} = 2,96 + 1,04 = 4 $

$ (4) \cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $

$ \frac{7}{22} : 1\frac{3}{11} = \frac{7}{22} : \frac{14}{11} = \frac{7}{22} \cdot \frac{11}{14} = \frac{1}{4} $

$ 0,625 - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8} $

$ \frac{3/4}{3/8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2 $

3. Вычислим значение третьего члена выражения:

$ \frac{0,36}{0,8} + 0,55 = 0,45 + 0,55 = 1 $

$ (1) : 0,3 = 1 : \frac{3}{10} = \frac{10}{3} $

$ 2,2 : 2\frac{14}{15} = \frac{22}{10} : \frac{44}{15} = \frac{11}{5} \cdot \frac{15}{44} = \frac{3}{4} $

$ \frac{10/3}{3/4} \cdot \frac{9}{20} = \frac{10}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{20} = \frac{40}{9} \cdot \frac{9}{20} = 2 $

4. Подставим результаты в исходное выражение:

$ 5 + 2 - 2 = 5 $

Значение выражения равно 5. Найдем число $x$, 25% которого равно 5:

$ x = 5 : 0,25 = 20 $

Ответ: 20

2)

Найдем значение второго выражения:

$ 6,4 : \left[ \frac{6 : (0,3 - 0,1)}{0,5 \cdot (1,6 + 0,4)} + \frac{3,6 : (4,3 - 2,5)}{(8,2 - 7,8) \cdot 2,5} \right] + \frac{1\frac{3}{20} : 2,3}{2 - 0,8 \cdot \frac{5}{6} : \frac{2}{3}} $

Вычислим по действиям:

1. Сначала выполним действия в квадратных скобках:

$ \frac{6 : (0,3 - 0,1)}{0,5 \cdot (1,6 + 0,4)} = \frac{6 : 0,2}{0,5 \cdot 2} = \frac{30}{1} = 30 $

$ \frac{3,6 : (4,3 - 2,5)}{(8,2 - 7,8) \cdot 2,5} = \frac{3,6 : 1,8}{0,4 \cdot 2,5} = \frac{2}{1} = 2 $

$ 30 + 2 = 32 $

2. Теперь выполним деление:

$ 6,4 : 32 = 0,2 $

3. Вычислим значение второй дроби:

$ 1\frac{3}{20} : 2,3 = \frac{23}{20} : \frac{23}{10} = \frac{23}{20} \cdot \frac{10}{23} = \frac{10}{20} = 0,5 $

$ 2 - 0,8 \cdot \frac{5}{6} : \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} : \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{6} : \frac{2}{3} = 2 - \frac{2}{3} : \frac{2}{3} = 2 - 1 = 1 $

$ \frac{0,5}{1} = 0,5 $

4. Сложим полученные результаты:

$ 0,2 + 0,5 = 0,7 $

Значение выражения равно 0,7. Найдем число $x$, 25% которого равно 0,7:

$ x = 0,7 : 0,25 = 2,8 $

Ответ: 2,8

3)

Найдем значение третьего выражения:

$ 90,9 : \left[ \left( \frac{0,05}{0,125 - \frac{1}{9}} + \frac{0,03:0,1}{0,5 + \frac{1}{4}} \right) : \left( 1\frac{8}{15}:1\frac{8}{15} - \frac{1,5 : 3\frac{3}{4}}{0,25 + 3\frac{1}{4}:13} \right) - 18\frac{1}{5} \right] $

Вычислим по действиям:

1. Вычислим значение первой внутренней скобки:

$ \frac{0,05}{0,125 - \frac{1}{9}} = \frac{1/20}{1/8 - 1/9} = \frac{1/20}{(9-8)/72} = \frac{1/20}{1/72} = \frac{72}{20} = 3,6 $

$ \frac{0,03:0,1}{0,5 + \frac{1}{4}} = \frac{0,3}{0,5 + 0,25} = \frac{0,3}{0,75} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} = 0,4 $

$ 3,6 + 0,4 = 4 $

2. Вычислим значение второй внутренней скобки:

$ \frac{1,5 : 3\frac{3}{4}}{0,25 + 3\frac{1}{4}:13} = \frac{1,5 : 3,75}{0,25 + 3,25:13} = \frac{0,4}{0,25 + 0,25} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8 $

$ 1\frac{8}{15}:1\frac{8}{15} - 0,8 = 1 - 0,8 = 0,2 $

3. Выполним действия в квадратных скобках:

$ (4) : (0,2) - 18\frac{1}{5} = 20 - 18,2 = 1,8 $

4. Выполним последнее деление:

$ 90,9 : 1,8 = 909 : 18 = 50,5 $

Значение выражения равно 50,5. Найдем число $x$, 25% которого равно 50,5:

$ x = 50,5 : 0,25 = 202 $

Ответ: 202

186 Найди число, 25% которого составляют:

1) $\frac{3\frac{1}{3} + 2,5}{2,5 - 1\frac{1}{3}} + \frac{\left(2,96 + 1\frac{1}{25}\right) \cdot \frac{3}{16}}{0,625 - \frac{7}{22} : 1\frac{3}{11}} - \frac{\left(\frac{0,36}{0,8} + 0,55\right) : 0,3}{2,2 : 2\frac{14}{15}} \cdot \frac{9}{20}$;

2) $6,4 : \left[ \frac{6 : (0,3 - 0,1)}{0,5 \cdot (1,6 + 0,4)} + \frac{3,6 : (4,3 - 2,5)}{(8,2 - 7,8) \cdot 2,5} \right] + \frac{1\frac{3}{20} : 2,3}{2 - 0,8 \cdot \frac{5}{6} : \frac{2}{3}}$;

3) $90,9 : \left[ \left( \frac{0,05}{0,125 - \frac{1}{9}} + \frac{0,03 : 0,1}{0,5 + \frac{1}{4}} \right) : \left( 1\frac{8}{15} : 1\frac{8}{15} - \frac{1,5 : 3\frac{3}{4}}{0,25 + 3\frac{1}{4} : 13} \right) - 18\frac{1}{5} \right].$

БЕЗ ТРУДА
НЕ ВЫТАЩИШЬ
РЫБКИ
ИЗ
ПРУДА

181 К данной тройке чисел подбери четвёртое натуральное число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Укажи все возможные варианты.

1) 12; 4; 6;

2) 3; 1; 15.

Чтобы из четырех чисел можно было составить пропорцию, необходимо, чтобы произведение двух из этих чисел было равно произведению двух других. Пусть даны три числа $a, b, c$ и искомое четвертое натуральное число $x$. Существует три возможных варианта для составления равенства произведений:

1. $a \cdot b = c \cdot x \implies x = \frac{a \cdot b}{c}$
2. $a \cdot c = b \cdot x \implies x = \frac{a \cdot c}{b}$
3. $b \cdot c = a \cdot x \implies x = \frac{b \cdot c}{a}$

Мы должны вычислить значение $x$ для каждого варианта и проверить, является ли оно натуральным числом.

Пусть даны числа $a=12$, $b=4$, $c=6$. Найдем все возможные натуральные значения для четвертого числа $x$.

Вариант 1: Произведение чисел 12 и 4 равно произведению 6 и $x$.

$12 \cdot 4 = 6 \cdot x$

$48 = 6x$

$x = \frac{48}{6} = 8$

Число 8 — натуральное. Пример пропорции: $12:6 = 8:4$.

Вариант 2: Произведение чисел 12 и 6 равно произведению 4 и $x$.

$12 \cdot 6 = 4 \cdot x$

$72 = 4x$

$x = \frac{72}{4} = 18$

Число 18 — натуральное. Пример пропорции: $12:4 = 18:6$.

Вариант 3: Произведение чисел 4 и 6 равно произведению 12 и $x$.

$4 \cdot 6 = 12 \cdot x$

$24 = 12x$

$x = \frac{24}{12} = 2$

Число 2 — натуральное. Пример пропорции: $4:2 = 12:6$.

Таким образом, для тройки чисел 12, 4, 6 можно подобрать три натуральных числа: 2, 8 и 18.

Ответ: 2; 8; 18.

Пусть даны числа $a=3$, $b=1$, $c=15$. Найдем все возможные натуральные значения для четвертого числа $x$.

Вариант 1: Произведение чисел 3 и 1 равно произведению 15 и $x$.

$3 \cdot 1 = 15 \cdot x$

$3 = 15x$

$x = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Число $\frac{1}{5}$ не является натуральным, поэтому этот вариант не подходит.

Вариант 2: Произведение чисел 3 и 15 равно произведению 1 и $x$.

$3 \cdot 15 = 1 \cdot x$

$45 = x$

Число 45 — натуральное. Пример пропорции: $3:1 = 45:15$.

Вариант 3: Произведение чисел 1 и 15 равно произведению 3 и $x$.

$1 \cdot 15 = 3 \cdot x$

$15 = 3x$

$x = \frac{15}{3} = 5$

Число 5 — натуральное. Пример пропорции: $15:3 = 5:1$.

Таким образом, для тройки чисел 3, 1, 15 можно подобрать два натуральных числа: 5 и 45.

Ответ: 5; 45.

181 К данной тройке чисел подбери четвертое натуральное число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Укажи все возможные варианты.

1) $12; 4; 6;$

2) $3; 1; 15.$

182 Докажи утверждения, если $b \neq 0, d \neq 0$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$;

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

1)

Требуется доказать эквивалентность: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$.

Доказательство эквивалентности требует доказательства в обе стороны (прямое и обратное утверждения).

Доказательство в прямую сторону (⇒):

Предположим, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ является истинным. Нам нужно доказать, что из этого следует $\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$.

Рассмотрим левую часть второго равенства и преобразуем её, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{a+nb}{b} = \frac{a}{b} + \frac{nb}{b} = \frac{a}{b} + n$.

Теперь рассмотрим правую часть:

$\frac{c+nd}{d} = \frac{c}{d} + \frac{nd}{d} = \frac{c}{d} + n$.

Поскольку по нашему первоначальному предположению $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, мы можем приравнять преобразованные выражения:

$\frac{a}{b} + n = \frac{c}{d} + n$.

Это означает, что $\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$. Прямое утверждение доказано.

Доказательство в обратную сторону (⇐):

Теперь предположим, что истинным является равенство $\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$. Нам нужно доказать, что из этого следует $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Начнем с данного нам равенства:

$\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$.

Разделим почленно числители на знаменатели в обеих частях:

$\frac{a}{b} + \frac{nb}{b} = \frac{c}{d} + \frac{nd}{d}$

$\frac{a}{b} + n = \frac{c}{d} + n$.

Вычтем $n$ из обеих частей равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Обратное утверждение доказано. Поскольку утверждение доказано в обе стороны, эквивалентность верна.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Требуется доказать эквивалентность: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Доказательство в прямую сторону (⇒):

Предположим, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ является истинным. Докажем, что $\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Преобразуем левую часть второго равенства:

$\frac{nb-a}{b} = \frac{nb}{b} - \frac{a}{b} = n - \frac{a}{b}$.

Преобразуем правую часть:

$\frac{nd-c}{d} = \frac{nd}{d} - \frac{c}{d} = n - \frac{c}{d}$.

Так как по предположению $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то, умножив на -1, получим $-\frac{a}{b} = -\frac{c}{d}$. Прибавив $n$ к обеим частям, получим:

$n - \frac{a}{b} = n - \frac{c}{d}$.

Следовательно, $\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$. Прямое утверждение доказано.

Доказательство в обратную сторону (⇐):

Предположим, что истинным является равенство $\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$. Докажем, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Начнем с данного равенства:

$\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Разделим почленно числители на знаменатели:

$\frac{nb}{b} - \frac{a}{b} = \frac{nd}{d} - \frac{c}{d}$

$n - \frac{a}{b} = n - \frac{c}{d}$.

Вычтем $n$ из обеих частей:

$-\frac{a}{b} = -\frac{c}{d}$.

Умножим обе части на -1:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Обратное утверждение доказано. Поскольку утверждение доказано в обе стороны, эквивалентность верна.

Ответ: Утверждение доказано.

182 Докажи утверждения, если $b \neq 0, d \neq 0$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$;

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

183 Являются ли величины прямо или обратно пропорциональными:

а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости;

б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени;

в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу;

г) стоимость и количество товара при данной цене;

д) производительность труда и объём выполненной работы при постоянном времени;

е) длина и масса стандартного трамвайного рельса;

ж) долгота дня и ночи в сутках;

з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество;

и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр;

к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии?

а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости
Связь между пройденным путем ($s$), скоростью ($v$) и временем ($t$) выражается формулой $s = v \cdot t$. Если скорость $v$ постоянна (является константой, $v = const$), то формула принимает вид $s = k \cdot t$, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Это означает, что при увеличении времени движения в несколько раз, пройденный путь увеличится во столько же раз. Следовательно, эти величины прямо пропорциональны.
Ответ: прямо пропорциональны.

б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени
Используем ту же формулу: $s = v \cdot t$. Если время $t$ постоянно ($t = const$), то формула принимает вид $s = v \cdot k$ или $s = k \cdot v$. Это формула прямой пропорциональности. Если при том же времени движения увеличить скорость в несколько раз, то и пройденный путь увеличится во столько же раз.
Ответ: прямо пропорциональны.

в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу
Формула, связывающая путь, скорость и время: $s = v \cdot t$. В данном случае путь $s$ является постоянной величиной ($s = const$), так как это один и тот же путь. Тогда можно выразить время через скорость: $t = s / v$ или $v \cdot t = s$. Так как $s$ – константа, это является определением обратной пропорциональности. Чем выше скорость, тем меньше времени требуется, чтобы преодолеть то же самое расстояние. Если увеличить скорость в 2 раза, время сократится в 2 раза.
Ответ: обратно пропорциональны.

г) стоимость и количество товара при данной цене
Общая стоимость ($C$) равна цене одного товара ($p$), умноженной на количество товара ($n$): $C = p \cdot n$. Если цена $p$ фиксирована ($p = const$), то зависимость является прямой пропорциональностью. При покупке вдвое большего количества товара его общая стоимость также увеличится вдвое.
Ответ: прямо пропорциональны.

д) производительность труда и объём выполненной работы при постоянном времени
Объём выполненной работы ($A$) равен производительности труда ($P$), умноженной на время работы ($t$): $A = P \cdot t$. Если время работы $t$ постоянно ($t = const$), то эта зависимость является прямой пропорциональностью. Если производительность труда увеличить в несколько раз, то за то же время объём выполненной работы увеличится во столько же раз.
Ответ: прямо пропорциональны.

е) длина и масса стандартного трамвайного рельса
Масса ($M$) однородного тела, такого как стандартный рельс, прямо пропорциональна его длине ($L$). Это можно выразить через линейную плотность $\rho_L$ (масса на единицу длины): $M = \rho_L \cdot L$. Поскольку рельс стандартный, его линейная плотность постоянна ($\rho_L = const$). Следовательно, зависимость является прямой пропорциональностью. Рельс вдвое большей длины будет иметь вдвое большую массу.
Ответ: прямо пропорциональны.

ж) долгота дня и ночи в сутках
Пусть $d$ – долгота дня, а $n$ – долгота ночи. В сутках 24 часа, поэтому их сумма постоянна: $d + n = 24$. Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью. Для прямой пропорциональности должно выполняться $d/n = k$ (константа), а для обратной $d \cdot n = k$ (константа). Проверим: если день равен 12 часам, то и ночь равна 12 часам, их отношение $12/12 = 1$, а произведение $12 \cdot 12 = 144$. Если день равен 16 часам, то ночь равна 8 часам, их отношение $16/8 = 2$, а произведение $16 \cdot 8 = 128$. Ни отношение, ни произведение не являются постоянными. С увеличением одной величины другая уменьшается, но не пропорционально.
Ответ: не являются ни прямо, ни обратно пропорциональными.

з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество
Общая масса конфет ($M$) равна массе одной конфеты ($m$), умноженной на их количество ($n$): $M = m \cdot n$. Так как конфеты одинаковые, масса одной конфеты $m$ является постоянной величиной ($m = const$). Следовательно, это прямая пропорциональность. Если взять в 3 раза больше конфет, их общая масса будет в 3 раза больше.
Ответ: прямо пропорциональны.

и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр
Стоимость билета ($C$) равна тарифу за один километр ($p$), умноженному на расстояние ($s$): $C = p \cdot s$. Так как тариф $p$ постоянен ($p = const$), то стоимость билета прямо пропорциональна расстоянию. Поездка на вдвое большее расстояние будет стоить вдвое дороже.
Ответ: прямо пропорциональны.

к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии
Пройденное расстояние ($S$) равно длине окружности колеса ($L$), умноженной на количество сделанных им оборотов ($n$): $S = L \cdot n$. В условии сказано, что расстояние является данным, то есть постоянным ($S = const$). Тогда мы имеем зависимость $L \cdot n = k$, где $k$ – постоянное расстояние. Это определение обратной пропорциональности. Чтобы проехать одно и то же расстояние, колесо с большей длиной окружности сделает меньше оборотов, а колесо с меньшей окружностью – больше.
Ответ: обратно пропорциональны.

183 Являются ли величины прямо или обратно пропорциональными:

а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости;

б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени;

в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу;

г) стоимость и количество товара при данной цене;

д) производительность труда и объем выполненной работы при постоянном времени;

е) длина и масса стандартного трамвайного рельса;

ж) долгота дня и ночи в сутках;

з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество;

и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр;

к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии?

184 Реши задачу двумя способами.

1) За 2 кг картошки заплатили 30 р. Сколько стоят 8 кг картошки?

2) Два одинаковых трактора, работая равномерно, вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 таких трактора, если будут работать с той же производительностью?

3) Поезд проехал 612 км за 9 ч. Сколько километров он проедет за 3 ч, если будет ехать с той же скоростью?

4) Автомобиль на путь 250 км затратил 18 л бензина. Сколько бензина потребуется ему, чтобы проехать 500 км при том же расходе бензина на 1 км?

1)

Способ 1 (метод приведения к единице):

1. Сначала найдем цену одного килограмма картошки. Для этого разделим общую стоимость на количество килограммов:

$30 \, \text{р.} \div 2 \, \text{кг} = 15 \, \text{р./кг}$

2. Теперь, зная цену за 1 кг, найдем стоимость 8 кг картошки, умножив цену на количество:

$15 \, \text{р./кг} \times 8 \, \text{кг} = 120 \, \text{р.}$

Способ 2 (пропорциональный метод):

1. Узнаем, во сколько раз 8 кг картошки больше, чем 2 кг:

$8 \, \text{кг} \div 2 \, \text{кг} = 4$ (в 4 раза)

2. Поскольку количество картошки увеличилось в 4 раза, то и ее стоимость увеличится во столько же раз:

$30 \, \text{р.} \times 4 = 120 \, \text{р.}$

Ответ: 120 р.

2)

Способ 1 (через объем работы):

1. Узнаем, сколько дней потребовалось бы одному трактору, чтобы вспахать все поле. Так как два трактора справились за 6 дней, одному потребуется в два раза больше времени:

$6 \, \text{дней} \times 2 = 12 \, \text{дней}$

2. Теперь узнаем, за сколько дней с этой работой справятся 4 трактора. Если одному трактору нужно 12 дней, то четырем тракторам потребуется в 4 раза меньше времени:

$12 \, \text{дней} \div 4 = 3 \, \text{дня}$

Способ 2 (метод обратной пропорции):

1. Найдем, во сколько раз увеличилось количество тракторов:

$4 \, \text{трактора} \div 2 \, \text{трактора} = 2$ (в 2 раза)

2. Количество тракторов и время выполнения работы являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что если количество тракторов увеличилось в 2 раза, то время, необходимое для вспашки поля, уменьшится в 2 раза:

$6 \, \text{дней} \div 2 = 3 \, \text{дня}$

Ответ: 3 дня.

3)

Способ 1 (через нахождение скорости):

1. Найдем скорость поезда. Для этого разделим пройденное расстояние на затраченное время:

$v = 612 \, \text{км} \div 9 \, \text{ч} = 68 \, \text{км/ч}$

2. Теперь найдем расстояние, которое поезд проедет за 3 часа, двигаясь с той же скоростью. Для этого умножим скорость на новое время:

$s = 68 \, \text{км/ч} \times 3 \, \text{ч} = 204 \, \text{км}$

Способ 2 (пропорциональный метод):

1. Узнаем, во сколько раз 3 часа меньше, чем 9 часов:

$9 \, \text{ч} \div 3 \, \text{ч} = 3$ (в 3 раза)

2. Так как время движения уменьшилось в 3 раза при неизменной скорости, то и пройденное расстояние уменьшится в 3 раза:

$612 \, \text{км} \div 3 = 204 \, \text{км}$

Ответ: 204 км.

4)

Способ 1 (через расход на 1 км):

1. Найдем расход бензина на 1 км пути. Для этого разделим объем затраченного бензина на пройденное расстояние:

$18 \, \text{л} \div 250 \, \text{км} = 0,072 \, \text{л/км}$

2. Теперь рассчитаем, сколько бензина потребуется на 500 км. Для этого умножим расход на 1 км на новое расстояние:

$0,072 \, \text{л/км} \times 500 \, \text{км} = 36 \, \text{л}$

Способ 2 (пропорциональный метод):

1. Узнаем, во сколько раз расстояние в 500 км больше, чем 250 км:

$500 \, \text{км} \div 250 \, \text{км} = 2$ (в 2 раза)

2. Так как расстояние увеличилось в 2 раза при том же расходе, то и количество бензина, необходимое для поездки, увеличится в 2 раза:

$18 \, \text{л} \times 2 = 36 \, \text{л}$

Ответ: 36 л.

184 Реши задачу двумя способами:

1) За 2 кг картошки заплатили 30 р. Сколько стоят 8 кг картошки?

2) Два одинаковых трактора, работая равномерно, вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 таких трактора, если будут работать с той же производительностью?

3) Поезд проехал 612 км за 9 ч. Сколько километров он проедет за 3 ч, если будет ехать с той же скоростью?

4) Автомобиль на путь 250 км затратил 18 л бензина. Сколько бензина потребуется ему, чтобы проехать 500 км при том же расходе бензина на 1 км?

185. Реши уравнения:

1) $\frac{0,35}{\frac{2}{3}x} = \frac{0,45}{x-10};$

2) $(6x+2,4) : 3\frac{5}{9} = 2,25 : \frac{1}{3};$

3) $\frac{0,2x+3}{\frac{2}{11}} = \frac{1,1x}{5};$

4) $(x-\frac{6}{13}) : 0,8 = (5x+6) : 13.$

1) Решим уравнение $\frac{0,35}{\frac{2}{3}x} = \frac{0,45}{x - 10}$.
Данное уравнение является пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$0,35 \cdot (x - 10) = 0,45 \cdot \frac{2}{3}x$
Раскроем скобки в левой части и выполним умножение в правой части:
$0,35x - 3,5 = \frac{0,45 \cdot 2}{3}x$
$0,35x - 3,5 = \frac{0,9}{3}x$
$0,35x - 3,5 = 0,3x$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а числовые значения — в другую:
$0,35x - 0,3x = 3,5$
$0,05x = 3,5$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,05$:
$x = \frac{3,5}{0,05} = \frac{350}{5} = 70$.
Ответ: $70$

2) Решим уравнение $(6x + 2,4) : 3\frac{5}{9} = 2,25 : \frac{1}{3}$.
Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби:
$3\frac{5}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$
$2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$
Запишем уравнение в виде пропорции:
$\frac{6x + 2,4}{\frac{32}{9}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{3}}$
Упростим правую часть пропорции:
$\frac{9}{4} : \frac{1}{3} = \frac{9}{4} \cdot 3 = \frac{27}{4}$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{6x + 2,4}{\frac{32}{9}} = \frac{27}{4}$
Чтобы найти делимое $(6x + 2,4)$, умножим частное на делитель:
$6x + 2,4 = \frac{27}{4} \cdot \frac{32}{9}$
$6x + 2,4 = \frac{27 \cdot 32}{4 \cdot 9} = 3 \cdot 8 = 24$
$6x + 2,4 = 24$
$6x = 24 - 2,4$
$6x = 21,6$
$x = \frac{21,6}{6} = 3,6$.
Ответ: $3,6$

3) Решим уравнение $\frac{0,2x + 3}{2\frac{3}{11}} = \frac{1,1x}{5}$.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{25}{11}$.
Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$5 \cdot (0,2x + 3) = 1,1x \cdot \frac{25}{11}$
Раскроем скобки. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{11}{10}$:
$5 \cdot 0,2x + 5 \cdot 3 = \frac{11}{10}x \cdot \frac{25}{11}$
$x + 15 = \frac{25}{10}x$
$x + 15 = 2,5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$15 = 2,5x - x$
$15 = 1,5x$
Найдем $x$:
$x = \frac{15}{1,5} = \frac{150}{15} = 10$.
Ответ: $10$

4) Решим уравнение $(x - \frac{6}{13}) : 0,8 = (5x + 6) : 13$.
Запишем данное отношение в виде пропорции:
$\frac{x - \frac{6}{13}}{0,8} = \frac{5x + 6}{13}$
Применим основное свойство пропорции:
$13 \cdot (x - \frac{6}{13}) = 0,8 \cdot (5x + 6)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$13x - 13 \cdot \frac{6}{13} = 0,8 \cdot 5x + 0,8 \cdot 6$
$13x - 6 = 4x + 4,8$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:
$13x - 4x = 6 + 4,8$
$9x = 10,8$
Найдем $x$, разделив обе части на 9:
$x = \frac{10,8}{9} = 1,2$.
Ответ: $1,2$

185 Реши уравнения:

1) $ \frac{0,35}{\frac{2}{3}x} = \frac{0,45}{x - 10} $;

2) $ (6x + 2,4) : 3\frac{5}{9} = 2,25 : \frac{1}{3} $;

3) $ \frac{0,2x + 3}{2\frac{2}{11}} = \frac{1,1x}{5} $;

4) $ (x - \frac{6}{13}) : 0,8 = (5x + 6) : 13 $.

186 На рисунке изображён план фасада дома, выполненный в некотором масштабе. Длина фасада реального дома равна 10 м. Выполни на чертеже необходимые измерения и определи:

а) высоту стен реального дома;

б) высоту дома с учётом крыши.

Для решения задачи необходимо выполнить измерения на чертеже и, используя известную реальную длину фасада, определить масштаб. После этого можно будет рассчитать реальные высоты.

1. Определение масштаба

Сначала измерим длину фасада (ширину дома) на изображении. Допустим, измерение с помощью линейки дало результат 5 см.

По условию, реальная длина фасада равна 10 м. Теперь мы можем найти масштаб, то есть узнать, какое реальное расстояние соответствует 1 см на чертеже.

$\frac{10 \ м \ (реальность)}{5 \ см \ (чертёж)} = 2 \ м/см$

Таким образом, масштаб чертежа: в 1 см содержится 2 м.

а) высоту стен реального дома

Измерим высоту стен на чертеже (от основания до начала крыши). Предположим, это измерение дает 2 см.

Чтобы найти реальную высоту стен, умножим значение, полученное на чертеже, на масштаб:

$Высота_{стен} = 2 \ см \times 2 \ м/см = 4 \ м$

Также можно решить задачу с помощью пропорции, где $x$ — искомая высота стен:

$\frac{x}{2 \ см} = \frac{10 \ м}{5 \ см}$

$x = \frac{10 \ м \times 2 \ см}{5 \ см} = 4 \ м$

Ответ: 4 м.

б) высоту дома с учётом крыши

Измерим общую высоту дома на чертеже (от основания до конька крыши). Допустим, это измерение дает 3 см.

Чтобы найти реальную общую высоту дома, умножим измеренное значение на масштаб:

$Высота_{дома} = 3 \ см \times 2 \ м/см = 6 \ м$

Решение с помощью пропорции, где $y$ — искомая общая высота дома:

$\frac{y}{3 \ см} = \frac{10 \ м}{5 \ см}$

$y = \frac{10 \ м \times 3 \ см}{5 \ см} = 6 \ м$

Ответ: 6 м.

186 На рисунке изображен план фасада дома, выполненный в некотором масштабе. Длина фасада реального дома равна 10 м. Выполни на чертеже необходимые измерения и определи:

а) высоту стен реального дома;

б) высоту дома с учетом крыши.

215 Вычисли устно:

а) $-0,1 + 0,3$;

в) $0 - (-3,5)$;

д) $0,125 \cdot (-4)$;

ж) $(-0,2)^2$;

б) $1\frac{1}{3} - 2$;

г) $-0,6 - \frac{2}{5}$;

е) $-1 : \left(-\frac{3}{7}\right)$;

з) $-\frac{(-5)^3}{(-5)^2}$.

а) Чтобы сложить $-0,1$ и $0,3$, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.
$0,3 - 0,1 = 0,2$
Ответ: $0,2$

б) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и вычтем из него $2$, приведя к общему знаменателю.
$1\frac{1}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4-6}{3} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

в) Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с противоположным ему положительным числом.
$0 - (-3,5) = 0 + 3,5 = 3,5$
Ответ: $3,5$

г) Преобразуем дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную: $\frac{2}{5} = 0,4$. Затем сложим два отрицательных числа.
$-0,6 - 0,4 = -(0,6 + 0,4) = -1$
Ответ: $-1$

д) Произведение числа $0,125$ на $4$ равно $0,5$. Так как один из множителей отрицательный, результат будет отрицательным.
$0,125 \cdot (-4) = -0,5$
Ответ: $-0,5$

е) Деление на отрицательную дробь равносильно умножению на обратную ей отрицательную дробь. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$-1 : (-\frac{3}{7}) = -1 \cdot (-\frac{7}{3}) = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{7}{3}$

ж) Возведение отрицательного числа в квадрат дает положительный результат.
$(-0,2)^2 = (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04$
Ответ: $0,04$

з) Упростим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$-\frac{(-5)^3}{(-5)^2} = -((-5)^{3-2}) = -(-5)^1 = -(-5) = 5$
Ответ: $5$

215 Вычисли устно:

а) $-0,1 + 0,3$;

б) $1\frac{1}{3} - 2$;

в) $0 - (-3,5)$;

г) $-0,6 - \frac{2}{5}$;

д) $0,125 \cdot (-4)$;

е) $-1 : (-\frac{3}{7})$;

ж) $(-0,2)^2$;

з) $-\frac{(-5)^3}{(-5)^2}$.

216 Зависимость между переменными величинами y и x задана с помощью формулы: a) $y = \frac{k}{x}$; б) $y = ax^2 + bx + c$. Приведи несколько примеров таких зависимостей.

а) Зависимость, заданная формулой $y = \frac{k}{x}$, называется обратной пропорциональностью. В этой формуле $y$ и $x$ — переменные величины, а $k$ — некоторое постоянное число (коэффициент), не равное нулю. Чтобы привести примеры таких зависимостей, нужно выбрать конкретные числовые значения для коэффициента $k$.

Пример 1: Пусть $k=5$. Тогда формула примет вид: $y = \frac{5}{x}$.
Пример 2: Пусть $k=-12$. Тогда формула будет: $y = -\frac{12}{x}$.
Пример 3: Пусть $k=0.25$. Тогда получим зависимость: $y = \frac{0.25}{x}$.

Ответ: $y = \frac{5}{x}$; $y = -\frac{12}{x}$; $y = \frac{0.25}{x}$.

б) Зависимость, заданная формулой $y = ax^2 + bx + c$, называется квадратичной функцией. В этой формуле $y$ и $x$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — постоянные числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$. Чтобы привести примеры, нужно выбрать конкретные значения для коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Пример 1: Полная квадратичная функция. Пусть $a=3$, $b=-4$, $c=1$. Тогда формула примет вид: $y = 3x^2 - 4x + 1$.
Пример 2: Неполная квадратичная функция, где $b=0$. Пусть $a=-1$, $b=0$, $c=16$. Тогда формула будет: $y = -x^2 + 16$.
Пример 3: Неполная квадратичная функция, где $c=0$. Пусть $a=0.5$, $b=2$, $c=0$. Тогда получим зависимость: $y = 0.5x^2 + 2x$.

Ответ: $y = 3x^2 - 4x + 1$; $y = -x^2 + 16$; $y = 0.5x^2 + 2x$.

216 Зависимость между переменными величинами y и x задана с помощью формулы: а) $y = \frac{k}{x}$; б) $y = ax^2 + bx + c$. Приведи несколько примеров таких

зависимостей.

217 Запиши зависимости между величинами с помощью обобщённой формулы:

a) $y = 3x^2$, $y = -\frac{1}{2}x^2$, $y = 1,4x^2$, $y = -0,05x^2$, $y = x^2$;

б) $y = 5x - 4$, $y = -2x + 6$, $y = x + 9$, $y = -0,8x$, $y = -\frac{1}{3}x - 1,5$.

а) Все представленные зависимости: $y = 3x^2$, $y = -\frac{1}{2}x^2$, $y = 1,4x^2$, $y = -0,05x^2$, $y = x^2$ — являются частными случаями квадратичной функции. Во всех этих формулах зависимая переменная $y$ пропорциональна квадрату независимой переменной $x$. Они отличаются только числовым коэффициентом, стоящим перед $x^2$ (эти коэффициенты равны $3, -\frac{1}{2}, 1.4, -0.05$ и $1$ соответственно). Чтобы обобщить эти зависимости, нужно заменить этот конкретный коэффициент на параметр, который может принимать различные числовые значения. Обычно такой параметр обозначают буквой $a$. Таким образом, обобщённая формула, описывающая все эти зависимости, имеет вид $y = ax^2$, где $a$ — некоторое число, не равное нулю. Ответ: $y=ax^2$.

б) Все представленные зависимости: $y = 5x - 4$, $y = -2x + 6$, $y = x + 9$, $y = -0,8x$, $y = -\frac{1}{3}x - 1,5$ — являются частными случаями линейной функции. Общий вид такой функции, где зависимая переменная $y$ линейно зависит от независимой переменной $x$, задаётся одной и той же формулой, но с разными числовыми коэффициентами. В общем виде эта формула записывается как $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа (параметры). Каждая из приведённых формул получается из этой общей формулы при определённых значениях $k$ и $b$. Например, для $y = 5x - 4$ имеем $k=5$ и $b=-4$; для $y = -0,8x$ имеем $k=-0,8$ и $b=0$. Следовательно, обобщенная формула для всех этих зависимостей является общим видом линейной функции. Ответ: $y=kx+b$.

217 Запиши зависимости между величинами с помощью обобщенной формулы:

а) $y = 3x^2$, $y = -\frac{1}{2}x^2$, $y = 1,4x^2$, $y = -0,05x^2$, $y = x^2$;

б) $y = 5x - 4$, $y = -2x + 6$, $y = x + 9$, $y = -0,8x$, $y = -\frac{1}{3}x - 1,5$.

218 Составь выражение и найди его значение, если $a = -0.2$; $b = \frac{1}{2}$; $c = -\frac{1}{3}$:

а) частное числа a и разности квадратов чисел b и c;

б) произведение утроенного числа a и квадрата разности чисел b и c;

в) разность удвоенного произведения квадратов чисел a и b и утроенного числа c;

г) число, противоположное квадрату суммы утроенного числа a и частного чисел b и c.

Для выполнения задания используем данные значения: $a = -0,2$; $b = \frac{1}{2}$; $c = -\frac{1}{3}$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a = -0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

а) частное числа a и разности квадратов чисел b и c;

Составим выражение согласно условию: $a : (b^2 - c^2)$ или в виде дроби $\frac{a}{b^2 - c^2}$.

Подставим значения переменных и вычислим:

1. Найдем разность квадратов в знаменателе: $b^2 - c^2 = (\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 36: $\frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{9}{36} - \frac{4}{36} = \frac{5}{36}$.

2. Теперь выполним деление: $\frac{a}{b^2 - c^2} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{5}{36}} = -\frac{1}{5} \cdot \frac{36}{5} = -\frac{36}{25}$.

Преобразуем неправильную дробь в десятичную: $-\frac{36}{25} = -\frac{36 \cdot 4}{25 \cdot 4} = -\frac{144}{100} = -1,44$.

Ответ: -1,44

б) произведение утроенного числа а и квадрата разности чисел b и c;

Составим выражение: $3a \cdot (b - c)^2$.

Подставим значения переменных и вычислим:

1. Найдем разность чисел b и c: $b - c = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

2. Возведем результат в квадрат: $(\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$.

3. Найдем утроенное число а: $3a = 3 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$.

4. Найдем произведение: $3a \cdot (b-c)^2 = -\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{36} = -\frac{3 \cdot 25}{5 \cdot 36} = -\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 12} = -\frac{5}{12}$.

Ответ: $-\frac{5}{12}$

в) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и b и утроенного числа с;

Составим выражение: $2a^2b^2 - 3c$.

Подставим значения переменных и вычислим:

1. Найдем удвоенное произведение квадратов: $2a^2b^2 = 2 \cdot (-\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 2 \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$.

2. Найдем утроенное число с: $3c = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$.

3. Найдем разность: $2a^2b^2 - 3c = \frac{1}{50} - (-1) = \frac{1}{50} + 1 = 1\frac{1}{50}$.

Преобразуем в десятичную дробь: $1\frac{1}{50} = 1\frac{2}{100} = 1,02$.

Ответ: 1,02

г) число, противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел b и c.

Составим выражение: $-(3a + \frac{b}{c})^2$.

Подставим значения переменных и вычислим по частям:

1. Найдем утроенное число а: $3a = 3 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$.

2. Найдем частное чисел b и c: $\frac{b}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{3}{2}$.

3. Найдем сумму: $3a + \frac{b}{c} = -\frac{3}{5} + (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{5} - \frac{3}{2}$.

Приведем к общему знаменателю 10: $-\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{10} - \frac{15}{10} = -\frac{21}{10}$.

4. Возведем сумму в квадрат: $(-\frac{21}{10})^2 = \frac{441}{100}$.

5. Возьмем противоположное число: $-\frac{441}{100} = -4,41$.

Ответ: -4,41

218 Составь выражение и найди его значение, если $a = -0,2$; $b = \frac{1}{2}$; $c = -\frac{1}{3}$:

а) частное числа a и разности квадратов чисел b и c;

б) произведение утроенного числа a и квадрата разности чисел b и c;

в) разность удвоенного произведения квадратов чисел a и b и утроенного числа c;

г) число, противоположное квадрату суммы утроенного числа a и частного чисел b и c.

219 Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи:

а) $-\frac{2x}{15} - \frac{x}{6}$;

б) $y - \frac{2}{3y}(y \ne 0)$;

в) $\frac{10}{n^3} : \frac{2}{-n^2}(n \ne 0)$;

г) $\frac{-4b}{m^3} : \frac{20b^2}{m^2}(b, m \ne 0).$

а) Чтобы записать выражение $-\frac{2x}{15} - \frac{x}{6}$ в виде дроби, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 равен 30. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй — на 5:
$-\frac{2x \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{x \cdot 5}{6 \cdot 5} = -\frac{4x}{30} - \frac{5x}{30}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{-4x - 5x}{30} = \frac{-9x}{30}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:
$\frac{-9x : 3}{30 : 3} = -\frac{3x}{10}$
Ответ: $-\frac{3x}{10}$

б) Чтобы представить выражение $y - \frac{2}{3y}$ в виде дроби, запишем $y$ как дробь со знаменателем $3y$:
$y = \frac{y}{1} = \frac{y \cdot 3y}{1 \cdot 3y} = \frac{3y^2}{3y}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{3y^2}{3y} - \frac{2}{3y} = \frac{3y^2 - 2}{3y}$
Данная дробь является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.
Ответ: $\frac{3y^2 - 2}{3y}$

в) Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Поэтому:
$\frac{10}{n^3} : \frac{2}{-n^2} = \frac{10}{n^3} \cdot \frac{-n^2}{2}$
Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$\frac{10 \cdot (-n^2)}{n^3 \cdot 2} = -\frac{10n^2}{2n^3}$
Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовой коэффициент (10 и 2 на 2) и степени переменной $n$ (на $n^2$):
$-\frac{10n^2}{2n^3} = -\frac{5 \cdot 2 \cdot n^2}{2 \cdot n \cdot n^2} = -\frac{5}{n}$
Ответ: $-\frac{5}{n}$

г) Для выполнения деления дробей заменим его умножением на обратную дробь:
$\frac{-4b}{m^3} : \frac{20b^2}{m^2} = \frac{-4b}{m^3} \cdot \frac{m^2}{20b^2}$
Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{-4b \cdot m^2}{m^3 \cdot 20b^2} = -\frac{4bm^2}{20m^3b^2}$
Сократим дробь. Числовые коэффициенты 4 и 20 сокращаются на 4. Степени переменной $b$ ($b$ и $b^2$) сокращаются на $b$. Степени переменной $m$ ($m^2$ и $m^3$) сокращаются на $m^2$:
$-\frac{4bm^2}{20m^3b^2} = -\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot m \cdot b} = -\frac{1}{5mb}$
Ответ: $-\frac{1}{5mb}$

219 Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи:

а) $- \frac{2x}{15} - \frac{x}{6}$;

б) $y - \frac{2}{3y}$ ($y \neq 0$);

в) $\frac{10}{n^3} : \frac{2}{-n^2}$ ($n \neq 0$);

г) $\frac{-4b}{m^3} : \frac{20b^2}{m^2}$ ($b, m \neq 0$).

220 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\exists a \in Q: |a| < 0;$

б) $\forall a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $\exists a, b \in Q: |a + b| = |a| + |b|;$

г) $\forall a, b \in Q: |a + b| \ge |a - b|.$

а) $ \exists a \in \mathbb{Q}: |a| < 0 $

Данное высказывание ложно. По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа является неотрицательной величиной, то есть $ |a| \ge 0 $ для любого $ a \in \mathbb{Q} $. Не существует рационального числа, модуль которого был бы меньше нуля.

Построим отрицание. Отрицанием высказывания с квантором существования ($ \exists $) является высказывание с квантором всеобщности ($ \forall $), а знак неравенства меняется на противоположный:

Отрицание: $ \forall a \in \mathbb{Q}: |a| \ge 0 $.

Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \forall a \in \mathbb{Q}: |a| \ge 0 $.

б) $ \forall a \in \mathbb{Q}: |a| = |-a| $

Данное высказывание истинно. Это одно из основных свойств модуля. Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Противоположные числа $a$ и $-a$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны.

Ответ: высказывание истинно.

в) $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| = |a| + |b| $

Данное высказывание истинно. Это равенство, известное как случай равенства в неравенстве треугольника ($ |a+b| \le |a| + |b| $), выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или хотя бы одно из них равно нулю. Например, если взять $ a = 2 $ и $ b = 5 $:

$ |a+b| = |2+5| = |7| = 7 $

$ |a| + |b| = |2| + |5| = 2 + 5 = 7 $

Так как $ 7 = 7 $, мы нашли пару чисел, для которых высказывание верно.

Ответ: высказывание истинно.

г) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| \ge |a-b| $

Данное высказывание ложно. Чтобы опровергнуть высказывание с квантором всеобщности, достаточно привести один контрпример. Возьмем числа с разными знаками, например, $ a = 3 $ и $ b = -5 $:

$ |a+b| = |3 + (-5)| = |-2| = 2 $

$ |a-b| = |3 - (-5)| = |3+5| = |8| = 8 $

Получаем неравенство $ 2 \ge 8 $, которое является ложным. Следовательно, исходное высказывание ложно.

Построим отрицание. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($ \forall $) является высказывание с квантором существования ($ \exists $), а знак неравенства меняется на противоположный:

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| < |a-b| $.

Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| < |a-b| $.

220 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

a) $\exists a \in Q: |a| < 0;$

б) $\forall a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $\exists a, b \in Q: |a+b| = |a|+|b|;$

г) $\forall a, b \in Q: |a+b| \ge |a-b|.$

221 Отметь на координатной прямой множество решений неравенства:

а) $|x| \le 5;$

б) $|x| > 2;$

в) $|x - 1| < 3;$

г) $|x + 2| \ge 1.$

Неравенство $|x| \le 5$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой не превышает 5. Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-5 \le x \le 5$

Множеством решений является отрезок $[-5, 5]$. На координатной прямой это множество точек отмечается следующим образом:

Ответ: $x \in [-5, 5]$.

Неравенство $|x| > 2$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой больше 2. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x < -2$ или $x > 2$

Множеством решений является объединение двух открытых лучей $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. Изобразим это множество на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Неравенство $|x-1| < 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки 1 на координатной прямой меньше 3. Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 < x-1 < 3$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-3 + 1 < x - 1 + 1 < 3 + 1$

$-2 < x < 4$

Множеством решений является интервал $(-2, 4)$. Отметим его на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-2, 4)$.

Неравенство $|x+2| \ge 1$ можно переписать как $|x - (-2)| \ge 1$. Это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -2 на координатной прямой больше или равно 1. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x+2 \le -1$ или $x+2 \ge 1$

Решим каждое из них:

Из $x+2 \le -1$ получаем $x \le -1 - 2$, то есть $x \le -3$.

Из $x+2 \ge 1$ получаем $x \ge 1 - 2$, то есть $x \ge -1$.

Множеством решений является объединение двух лучей $(-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$. Изобразим это на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$.

221 Отметь на координатной прямой множество решений неравенства:

а) $|x| \le 5$;

б) $|x| > 2$;

в) $|x - 1| < 3$;

г) $|x + 2| \ge 1.$

222 Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определённой скоростью, пройдёт намеченный путь за 3 ч 50 мин. Но, увеличив эту скорость на 1 км/ч, он прошёл этот путь за 3 ч. Чему равна длина пути?

Обозначим первоначальную скорость пешехода как $v$ (в км/ч), а длину пути как $S$ (в км).

По условию, с первоначальной скоростью пешеход планировал пройти путь за 3 часа 50 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$t_1 = 3 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 3 + \frac{50}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{5}{6} \text{ ч} = \frac{18}{6} + \frac{5}{6} = \frac{23}{6}$ часа.

Длина пути $S$ может быть выражена через скорость $v$ и время $t_1$:

$S = v \cdot t_1 = v \cdot \frac{23}{6}$

Затем пешеход увеличил скорость на 1 км/ч, и его новая скорость стала $(v + 1)$ км/ч. Этот же путь он прошел за 3 часа ($t_2 = 3$ ч). Выразим длину пути $S$ через новую скорость и новое время:

$S = (v + 1) \cdot t_2 = (v + 1) \cdot 3$

Поскольку расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять два выражения для $S$ и составить уравнение:

$v \cdot \frac{23}{6} = (v + 1) \cdot 3$

Решим это уравнение, чтобы найти первоначальную скорость $v$:

$\frac{23v}{6} = 3v + 3$

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

$23v = 6 \cdot (3v + 3)$

$23v = 18v + 18$

Перенесем все члены с $v$ в одну сторону:

$23v - 18v = 18$

$5v = 18$

$v = \frac{18}{5} = 3.6$ км/ч.

Итак, первоначальная скорость пешехода была 3,6 км/ч.

Теперь найдем длину пути $S$, подставив значение $v$ в любое из уравнений для $S$. Проще использовать второе:

$S = (3.6 + 1) \cdot 3 = 4.6 \cdot 3 = 13.8$ км.

Ответ: 13.8 км.

222 Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, пройдет намеченный путь за 3 ч 50 мин. Но, увеличив эту скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 3 ч. Чему равна длина пути?

223 Расстояние между двумя пристанями на озере катер проплывает по расписанию за 2 ч 30 мин. Через час после отправления из-за штормовой погоды он снизил скорость на 10 км/ч и поэтому в пункт назначения прибыл с опозданием на полчаса. С какой первоначальной скоростью плыл катер?

Обозначим первоначальную скорость катера как $v$ км/ч.

По расписанию катер должен был проплыть расстояние между пристанями за 2 часа 30 минут, что составляет $2,5$ часа. Тогда расстояние $S$ между пристанями равно:

$S = v \cdot 2,5$ (км)

Рассмотрим фактическое движение катера:

1. Первую часть пути катер плыл 1 час со своей первоначальной скоростью $v$. За это время он проплыл расстояние:

$S_1 = v \cdot 1 = v$ (км)

2. Оставшееся расстояние, которое ему нужно было проплыть, составляет:

$S_2 = S - S_1 = 2,5v - v = 1,5v$ (км)

3. После этого катер снизил скорость на $10$ км/ч, и его новая скорость стала $(v - 10)$ км/ч.

4. Катер прибыл в пункт назначения с опозданием на полчаса (30 минут, или $0,5$ часа). Это означает, что общее фактическое время в пути составило:

$T_{факт} = 2,5 \text{ ч} + 0,5 \text{ ч} = 3$ ч

5. Поскольку первый час катер двигался по плану, время, затраченное на оставшуюся часть пути, составило:

$T_2 = T_{факт} - 1 \text{ ч} = 3 - 1 = 2$ ч

Теперь мы можем выразить оставшееся расстояние $S_2$ через новую скорость и время $T_2$:

$S_2 = (v - 10) \cdot T_2 = (v - 10) \cdot 2$

Мы получили два выражения для оставшегося расстояния $S_2$. Приравняем их и решим уравнение:

$1,5v = 2(v - 10)$

$1,5v = 2v - 20$

$2v - 1,5v = 20$

$0,5v = 20$

$v = \frac{20}{0,5}$

$v = 40$

Таким образом, первоначальная скорость катера составляла $40$ км/ч.

Ответ: $40$ км/ч.

223 Расстояние между двумя пристанями на озере катер проплывает по расписанию за 2 ч 30 мин. Через час после отправления из-за штормовой погоды он снизил скорость на 10 км/ч и поэтому в пункт назначения прибыл с опозданием на полчаса. С какой первоначальной скоростью плыл катер?