Номер 183, страница 48, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Графики прямой и обратной пропорциональности. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 183, страница 48.

Условие 2023.

183 Являются ли величины прямо или обратно пропорциональными:

а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости;

б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени;

в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу;

г) стоимость и количество товара при данной цене;

д) производительность труда и объём выполненной работы при постоянном времени;

е) длина и масса стандартного трамвайного рельса;

ж) долгота дня и ночи в сутках;

з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество;

и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр;

к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии?

Решение 2 (2023).

а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости
Связь между пройденным путем ($s$), скоростью ($v$) и временем ($t$) выражается формулой $s = v \cdot t$. Если скорость $v$ постоянна (является константой, $v = const$), то формула принимает вид $s = k \cdot t$, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Это означает, что при увеличении времени движения в несколько раз, пройденный путь увеличится во столько же раз. Следовательно, эти величины прямо пропорциональны.
Ответ: прямо пропорциональны.

б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени
Используем ту же формулу: $s = v \cdot t$. Если время $t$ постоянно ($t = const$), то формула принимает вид $s = v \cdot k$ или $s = k \cdot v$. Это формула прямой пропорциональности. Если при том же времени движения увеличить скорость в несколько раз, то и пройденный путь увеличится во столько же раз.
Ответ: прямо пропорциональны.

в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу
Формула, связывающая путь, скорость и время: $s = v \cdot t$. В данном случае путь $s$ является постоянной величиной ($s = const$), так как это один и тот же путь. Тогда можно выразить время через скорость: $t = s / v$ или $v \cdot t = s$. Так как $s$ – константа, это является определением обратной пропорциональности. Чем выше скорость, тем меньше времени требуется, чтобы преодолеть то же самое расстояние. Если увеличить скорость в 2 раза, время сократится в 2 раза.
Ответ: обратно пропорциональны.

г) стоимость и количество товара при данной цене
Общая стоимость ($C$) равна цене одного товара ($p$), умноженной на количество товара ($n$): $C = p \cdot n$. Если цена $p$ фиксирована ($p = const$), то зависимость является прямой пропорциональностью. При покупке вдвое большего количества товара его общая стоимость также увеличится вдвое.
Ответ: прямо пропорциональны.

д) производительность труда и объём выполненной работы при постоянном времени
Объём выполненной работы ($A$) равен производительности труда ($P$), умноженной на время работы ($t$): $A = P \cdot t$. Если время работы $t$ постоянно ($t = const$), то эта зависимость является прямой пропорциональностью. Если производительность труда увеличить в несколько раз, то за то же время объём выполненной работы увеличится во столько же раз.
Ответ: прямо пропорциональны.

е) длина и масса стандартного трамвайного рельса
Масса ($M$) однородного тела, такого как стандартный рельс, прямо пропорциональна его длине ($L$). Это можно выразить через линейную плотность $\rho_L$ (масса на единицу длины): $M = \rho_L \cdot L$. Поскольку рельс стандартный, его линейная плотность постоянна ($\rho_L = const$). Следовательно, зависимость является прямой пропорциональностью. Рельс вдвое большей длины будет иметь вдвое большую массу.
Ответ: прямо пропорциональны.

ж) долгота дня и ночи в сутках
Пусть $d$ – долгота дня, а $n$ – долгота ночи. В сутках 24 часа, поэтому их сумма постоянна: $d + n = 24$. Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью. Для прямой пропорциональности должно выполняться $d/n = k$ (константа), а для обратной $d \cdot n = k$ (константа). Проверим: если день равен 12 часам, то и ночь равна 12 часам, их отношение $12/12 = 1$, а произведение $12 \cdot 12 = 144$. Если день равен 16 часам, то ночь равна 8 часам, их отношение $16/8 = 2$, а произведение $16 \cdot 8 = 128$. Ни отношение, ни произведение не являются постоянными. С увеличением одной величины другая уменьшается, но не пропорционально.
Ответ: не являются ни прямо, ни обратно пропорциональными.

з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество
Общая масса конфет ($M$) равна массе одной конфеты ($m$), умноженной на их количество ($n$): $M = m \cdot n$. Так как конфеты одинаковые, масса одной конфеты $m$ является постоянной величиной ($m = const$). Следовательно, это прямая пропорциональность. Если взять в 3 раза больше конфет, их общая масса будет в 3 раза больше.
Ответ: прямо пропорциональны.

и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр
Стоимость билета ($C$) равна тарифу за один километр ($p$), умноженному на расстояние ($s$): $C = p \cdot s$. Так как тариф $p$ постоянен ($p = const$), то стоимость билета прямо пропорциональна расстоянию. Поездка на вдвое большее расстояние будет стоить вдвое дороже.
Ответ: прямо пропорциональны.

к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии
Пройденное расстояние ($S$) равно длине окружности колеса ($L$), умноженной на количество сделанных им оборотов ($n$): $S = L \cdot n$. В условии сказано, что расстояние является данным, то есть постоянным ($S = const$). Тогда мы имеем зависимость $L \cdot n = k$, где $k$ – постоянное расстояние. Это определение обратной пропорциональности. Чтобы проехать одно и то же расстояние, колесо с большей длиной окружности сделает меньше оборотов, а колесо с меньшей окружностью – больше.
Ответ: обратно пропорциональны.

Условие 2010-2022.

183 Являются ли величины прямо или обратно пропорциональными:

а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости;

б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени;

в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу;

г) стоимость и количество товара при данной цене;

д) производительность труда и объем выполненной работы при постоянном времени;

е) длина и масса стандартного трамвайного рельса;

ж) долгота дня и ночи в сутках;

з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество;

и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр;

к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).