Номер 182, страница 48, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Графики прямой и обратной пропорциональности. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 182, страница 48.

Условие 2023.

182 Докажи утверждения, если $b \neq 0, d \neq 0$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$;

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Решение 2 (2023).

1)

Требуется доказать эквивалентность: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$.

Доказательство эквивалентности требует доказательства в обе стороны (прямое и обратное утверждения).

Доказательство в прямую сторону (⇒):

Предположим, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ является истинным. Нам нужно доказать, что из этого следует $\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$.

Рассмотрим левую часть второго равенства и преобразуем её, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{a+nb}{b} = \frac{a}{b} + \frac{nb}{b} = \frac{a}{b} + n$.

Теперь рассмотрим правую часть:

$\frac{c+nd}{d} = \frac{c}{d} + \frac{nd}{d} = \frac{c}{d} + n$.

Поскольку по нашему первоначальному предположению $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, мы можем приравнять преобразованные выражения:

$\frac{a}{b} + n = \frac{c}{d} + n$.

Это означает, что $\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$. Прямое утверждение доказано.

Доказательство в обратную сторону (⇐):

Теперь предположим, что истинным является равенство $\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$. Нам нужно доказать, что из этого следует $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Начнем с данного нам равенства:

$\frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$.

Разделим почленно числители на знаменатели в обеих частях:

$\frac{a}{b} + \frac{nb}{b} = \frac{c}{d} + \frac{nd}{d}$

$\frac{a}{b} + n = \frac{c}{d} + n$.

Вычтем $n$ из обеих частей равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Обратное утверждение доказано. Поскольку утверждение доказано в обе стороны, эквивалентность верна.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Требуется доказать эквивалентность: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Доказательство в прямую сторону (⇒):

Предположим, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ является истинным. Докажем, что $\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Преобразуем левую часть второго равенства:

$\frac{nb-a}{b} = \frac{nb}{b} - \frac{a}{b} = n - \frac{a}{b}$.

Преобразуем правую часть:

$\frac{nd-c}{d} = \frac{nd}{d} - \frac{c}{d} = n - \frac{c}{d}$.

Так как по предположению $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то, умножив на -1, получим $-\frac{a}{b} = -\frac{c}{d}$. Прибавив $n$ к обеим частям, получим:

$n - \frac{a}{b} = n - \frac{c}{d}$.

Следовательно, $\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$. Прямое утверждение доказано.

Доказательство в обратную сторону (⇐):

Предположим, что истинным является равенство $\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$. Докажем, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Начнем с данного равенства:

$\frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Разделим почленно числители на знаменатели:

$\frac{nb}{b} - \frac{a}{b} = \frac{nd}{d} - \frac{c}{d}$

$n - \frac{a}{b} = n - \frac{c}{d}$.

Вычтем $n$ из обеих частей:

$-\frac{a}{b} = -\frac{c}{d}$.

Умножим обе части на -1:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Обратное утверждение доказано. Поскольку утверждение доказано в обе стороны, эквивалентность верна.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2010-2022.

182 Докажи утверждения, если $b \neq 0, d \neq 0$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+nb}{b} = \frac{c+nd}{d}$;

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{nb-a}{b} = \frac{nd-c}{d}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).