Номер 176, страница 46, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 3. Графики прямой и обратной пропорциональности - номер 176, страница 46.

Условие 2023.

176 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырёх задачах. Какая это зависимость? Построй для неё таблицу и график. Используя график, реши все четыре задачи одновременно.

Зависимость: обратная пропорциональность, описываемая формулой $xy = 24$ или $y = \frac{24}{x}$.

1) Расстояние от посёлка до железнодорожной станции 24 км. Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за 1,5 ч? За сколько времени пройдёт его пешеход со скоростью 6 км/ч?

2) Объём бассейна 24 м³. Чему равна производительность трубы, подведённой к бассейну, если бассейн наполняется через неё за 1,5 ч? За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью 6 м³/ч?

3) За 1,5 кг моркови заплатили 24 р. Чему равна цена моркови за килограмм? Сколько капусты по цене 6 р. за килограмм можно купить на эти же деньги?

4) Площадь прямоугольника 24 см². Чему равна его длина, если ширина равна 1,5 см? Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна 6 см?

Решение 2 (2023).

Во всех четырёх задачах описывается одна и та же зависимость между величинами. Если обозначить одну величину через $x$, а другую через $y$, то их произведение является постоянным числом, равным 24. Таким образом, общая формула, описывающая зависимость, выглядит так:

$x \cdot y = 24$

Эту зависимость можно выразить в виде функции:

$y = \frac{24}{x}$

Такая зависимость называется обратной пропорциональностью: с увеличением одной величины в несколько раз, вторая уменьшается во столько же раз.

Построим таблицу значений для этой зависимости, выбирая удобные значения $x$:

$x$	1	1,5	2	3	4	6	8	12	16	24
$y = \frac{24}{x}$	24	16	12	8	6	4	3	2	1,5	1

Графиком этой зависимости является кривая, называемая гиперболой. Для построения графика нужно нанести точки из таблицы на координатную плоскость и соединить их плавной линией. Поскольку все величины в задачах положительные, мы рассматриваем только ту часть графика, которая находится в первом координатном квадранте.

Используем этот общий график для решения всех четырёх задач. Для каждой задачи мы будем по-разному называть оси $x$ и $y$.

1)

В этой задаче $S=24$ км, $S = v \cdot t$. Пусть ось $x$ — это время $t$ (в часах), а ось $y$ — это скорость $v$ (в км/ч). Формула: $v = \frac{24}{t}$.

• Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за 1,5 ч?
Находим на оси $x$ (время) значение 1,5. Поднимаемся до графика и находим соответствующее значение на оси $y$ (скорость). По графику (и из таблицы) это значение равно 16. Значит, скорость должна быть 16 км/ч.

• За сколько времени пройдёт его пешеход со скоростью 6 км/ч?
Находим на оси $y$ (скорость) значение 6. Двигаемся к графику и находим соответствующее значение на оси $x$ (время). По графику (и из таблицы) это значение равно 4. Значит, пешеход пройдёт расстояние за 4 часа.

Ответ: скорость должна быть 16 км/ч; пешеход пройдёт расстояние за 4 часа.

2)

В этой задаче $V=24$ м³, $V = P \cdot t$. Пусть ось $x$ — это время $t$ (в часах), а ось $y$ — это производительность $P$ (в м³/ч). Формула: $P = \frac{24}{t}$.

• Чему равна производительность трубы, если бассейн наполняется через неё за 1,5 ч?
Находим на оси $x$ (время) значение 1,5. По графику соответствующее значение на оси $y$ (производительность) равно 16. Значит, производительность трубы 16 м³/ч.

• За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью 6 м³/ч?
Находим на оси $y$ (производительность) значение 6. По графику соответствующее значение на оси $x$ (время) равно 4. Значит, бассейн наполнится за 4 часа.

Ответ: производительность равна 16 м³/ч; бассейн наполнится за 4 часа.

3)

В этой задаче Стоимость $C=24$ р., $C = p \cdot m$. Пусть ось $x$ — это масса (количество) товара $m$ (в кг), а ось $y$ — это цена $p$ (в р./кг). Формула: $p = \frac{24}{m}$.

• Чему равна цена моркови за килограмм, если за 1,5 кг заплатили 24 р.?
Находим на оси $x$ (масса) значение 1,5. По графику соответствующее значение на оси $y$ (цена) равно 16. Значит, цена моркови 16 р./кг.

• Сколько капусты по цене 6 р. за килограмм можно купить на эти же деньги?
Находим на оси $y$ (цена) значение 6. По графику соответствующее значение на оси $x$ (масса) равно 4. Значит, можно купить 4 кг капусты.

Ответ: цена моркови 16 р./кг; можно купить 4 кг капусты.

4)

В этой задаче Площадь $A=24$ см², $A = l \cdot w$. Пусть ось $x$ — это ширина $w$ (в см), а ось $y$ — это длина $l$ (в см). Формула: $l = \frac{24}{w}$.

• Чему равна его длина, если ширина равна 1,5 см?
Находим на оси $x$ (ширина) значение 1,5. По графику соответствующее значение на оси $y$ (длина) равно 16. Значит, длина прямоугольника 16 см.

• Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна 6 см?
Находим на оси $y$ (длина) значение 6. По графику соответствующее значение на оси $x$ (ширина) равно 4. Значит, ширина прямоугольника 4 см.

Ответ: длина равна 16 см; ширина равна 4 см.

Условие 2010-2022.

176 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй для нее таблицу и график. Используя график, реши все четыре задачи одновременно.

1) Расстояние от поселка до железнодорожной станции $24\text{ км}$. Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за $1,5\text{ ч}$? За сколько времени пройдет его пешеход со скоростью $6\text{ км/ч}$?

2) Объем бассейна $24\text{ м}^3$. Чему равна производительность трубы, подведенной к бассейну, если бассейн наполняется через нее за $1,5\text{ ч}$? За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью $6\text{ м}^3/\text{ч}$?

3) За $1,5\text{ кг}$ моркови заплатили $24\text{ р}$. Чему равна цена моркови за килограмм? Сколько капусты по цене $6\text{ р}$ за килограмм можно купить на эти же деньги?

4) Площадь прямоугольника $24\text{ см}^2$. Чему равна его длина, если ширина равна $1,5\text{ см}$? Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна $6\text{ см}$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).