Страница 46, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 176

1) При каком условии обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? А конечную десятичную в обыкновенную?

2) Выбери дроби, которые можно перевести в конечные десятичные, и расшифруй слово:

$\frac{7}{12}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{9}{18}$, $\frac{5}{46}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{17}{20}$, $\frac{4}{11}$, $\frac{15}{16}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{14}{25}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{10}{7}$, $\frac{31}{50}$.

М А Л К Г Е О Р З И Н У Т В Я М

1) Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную только при выполнении одного условия: после сокращения дроби (приведения к несократимому виду) её знаменатель не должен содержать никаких простых множителей, кроме 2 и 5. Другими словами, знаменатель несократимой дроби должен иметь вид $2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ – целые неотрицательные числа.

Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную. Для этого нужно записать в числитель число, стоящее после запятой, а в знаменатель — единицу с таким количеством нулей, сколько цифр стоит после запятой. Если в десятичной дроби есть целая часть, она становится целой частью смешанной дроби. Например, $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$, а $3.14 = 3\frac{14}{100} = 3\frac{7}{50}$.

Ответ: Несократимую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, если в разложении ее знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5. Любую конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

2) Чтобы определить, можно ли дробь перевести в конечную десятичную, нужно разложить знаменатель несократимой дроби на простые множители. Если в разложении есть только числа 2 и 5, то можно. Проверим каждую дробь:

М: $\frac{7}{12}$. Знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$. Содержит множитель 3. Не подходит.
А: $\frac{3}{8}$. Знаменатель $8 = 2^3$. Содержит только множитель 2. Подходит (Буква А).
Л: $\frac{4}{5}$. Знаменатель 5. Подходит (Буква Л).
К: $\frac{7}{9}$. Знаменатель $9 = 3^2$. Содержит множитель 3. Не подходит.
Г: $\frac{9}{18}$. Сокращаем дробь: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$. Знаменатель 2. Подходит (Буква Г).
Е: $\frac{5}{46}$. Знаменатель $46 = 2 \cdot 23$. Содержит множитель 23. Не подходит.
О: $\frac{3}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. Содержит только множитель 2. Подходит (Буква О).
Р: $\frac{17}{20}$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5$. Содержит только множители 2 и 5. Подходит (Буква Р).
З: $\frac{4}{11}$. Знаменатель 11. Не подходит.
И: $\frac{15}{16}$. Знаменатель $16 = 2^4$. Содержит только множитель 2. Подходит (Буква И).
Н: $\frac{2}{3}$. Знаменатель 3. Не подходит.
У: $\frac{8}{15}$. Знаменатель $15 = 3 \cdot 5$. Содержит множитель 3. Не подходит.
Т: $\frac{14}{25}$. Знаменатель $25 = 5^2$. Содержит только множитель 5. Подходит (Буква Т).
В: $\frac{5}{6}$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. Содержит множитель 3. Не подходит.
Я: $\frac{10}{7}$. Знаменатель 7. Не подходит.
М: $\frac{31}{50}$. Знаменатель $50 = 2 \cdot 5^2$. Содержит только множители 2 и 5. Подходит (Буква М).

Составим слово из букв, которые соответствуют подходящим дробям: А Л Г О Р И Т М.

Ответ: АЛГОРИТМ.

К 176 1) При каком условии обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? А конечную десятичную в обыкновенную?

2) Выбери дроби, которые можно перевести в конечные десятичные, и расшифруй слово:

$\frac{7}{12}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{9}{18}$, $\frac{5}{46}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{17}{20}$, $\frac{4}{11}$, $\frac{15}{16}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{14}{25}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{10}{7}$, $\frac{31}{50}$.

М А Л К Г Е О Р З И Н У Т В Я М

175 На чертежах представлены графики прямой пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. Какие значения может принимать $y$, когда $x$ изменяется в границах: $1 \le x \le 4$?

1) Коэффициент пропорциональности $k = 3$.

Формула: $y = 3x$.

Если $x$ изменяется в границах $1 \le x \le 4$, то $y$ принимает значения $3 \le y \le 12$.

2) Коэффициент пропорциональности $k = 0.5$ (или $1/2$).

Формула: $y = 0.5x$ (или $y = \frac{1}{2}x$).

Если $x$ изменяется в границах $1 \le x \le 4$, то $y$ принимает значения $0.5 \le y \le 2$.

3) Коэффициент пропорциональности $k = 2$.

Формула: $y = 2x$.

Если $x$ изменяется в границах $1 \le x \le 4$, то $y$ принимает значения $2 \le y \le 8$.

1)

Формула прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Чтобы найти коэффициент $k$, выберем на графике точку с целочисленными координатами, через которую проходит прямая. Например, точку с координатами $(1; 3)$. Подставим ее координаты в формулу: $3 = k \cdot 1$, откуда получаем, что коэффициент $k = 3$.

Следовательно, формула для данного графика: $y = 3x$.

Теперь найдем, какие значения может принимать $y$, когда $x$ изменяется в границах $1 \le x \le 4$. Поскольку функция возрастающая (так как коэффициент $k=3 > 0$), наименьшее значение $y$ будет достигаться при наименьшем значении $x$, а наибольшее – при наибольшем.

При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 = 3$.
При $x = 4$, $y = 3 \cdot 4 = 12$.

Таким образом, когда $x$ изменяется в границах $1 \le x \le 4$, $y$ принимает значения в границах $3 \le y \le 12$.

Ответ: коэффициент $k = 3$, формула $y = 3x$, значения $y$ находятся в границах $3 \le y \le 12$.

2)

Для второго графика также определим коэффициент пропорциональности $k$ из формулы $y = kx$. Выберем на графике удобную точку, например, $(2; 1)$. Подставим ее координаты в формулу: $1 = k \cdot 2$, откуда $k = \frac{1}{2}$ или $k = 0.5$.

Следовательно, формула для данного графика: $y = 0.5x$.

Найдем значения $y$ при $1 \le x \le 4$. Функция является возрастающей ($k=0.5 > 0$).

При $x = 1$, $y = 0.5 \cdot 1 = 0.5$.
При $x = 4$, $y = 0.5 \cdot 4 = 2$.

Таким образом, при $1 \le x \le 4$ значения $y$ находятся в границах $0.5 \le y \le 2$.

Ответ: коэффициент $k = 0.5$, формула $y = 0.5x$, значения $y$ находятся в границах $0.5 \le y \le 2$.

3)

Для третьего графика определим коэффициент пропорциональности $k$. Выберем на графике точку, например, $(1; 2)$. Подставим ее координаты в формулу $y = kx$: $2 = k \cdot 1$, откуда $k = 2$.

Следовательно, формула для данного графика: $y = 2x$.

Найдем значения $y$ при $1 \le x \le 4$. Функция является возрастающей ($k=2 > 0$).

При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$.
При $x = 4$, $y = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, при $1 \le x \le 4$ значения $y$ находятся в границах $2 \le y \le 8$.

Ответ: коэффициент $k = 2$, формула $y = 2x$, значения $y$ находятся в границах $2 \le y \le 8$.

175 На чертежах представлены графики прямой пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. Какие значения может принимать $y$, когда $x$ изменяется в границах: $1 \le x \le 4$?

1) Коэффициент пропорциональности $k = 3$.

Формула: $y = 3x$.

Значения $y$, когда $1 \le x \le 4$: $3 \le y \le 12$.

2) Коэффициент пропорциональности $k = \frac{1}{2}$.

Формула: $y = \frac{1}{2}x$.

Значения $y$, когда $1 \le x \le 4$: $\frac{1}{2} \le y \le 2$.

3) Коэффициент пропорциональности $k = 2$.

Формула: $y = 2x$.

Значения $y$, когда $1 \le x \le 4$: $2 \le y \le 8$.

176 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырёх задачах. Какая это зависимость? Построй для неё таблицу и график. Используя график, реши все четыре задачи одновременно.

Зависимость: обратная пропорциональность, описываемая формулой $xy = 24$ или $y = \frac{24}{x}$.

1) Расстояние от посёлка до железнодорожной станции 24 км. Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за 1,5 ч? За сколько времени пройдёт его пешеход со скоростью 6 км/ч?

2) Объём бассейна 24 м³. Чему равна производительность трубы, подведённой к бассейну, если бассейн наполняется через неё за 1,5 ч? За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью 6 м³/ч?

3) За 1,5 кг моркови заплатили 24 р. Чему равна цена моркови за килограмм? Сколько капусты по цене 6 р. за килограмм можно купить на эти же деньги?

4) Площадь прямоугольника 24 см². Чему равна его длина, если ширина равна 1,5 см? Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна 6 см?

Во всех четырёх задачах описывается одна и та же зависимость между величинами. Если обозначить одну величину через $x$, а другую через $y$, то их произведение является постоянным числом, равным 24. Таким образом, общая формула, описывающая зависимость, выглядит так:

$x \cdot y = 24$

Эту зависимость можно выразить в виде функции:

$y = \frac{24}{x}$

Такая зависимость называется обратной пропорциональностью: с увеличением одной величины в несколько раз, вторая уменьшается во столько же раз.

Построим таблицу значений для этой зависимости, выбирая удобные значения $x$:

Графиком этой зависимости является кривая, называемая гиперболой. Для построения графика нужно нанести точки из таблицы на координатную плоскость и соединить их плавной линией. Поскольку все величины в задачах положительные, мы рассматриваем только ту часть графика, которая находится в первом координатном квадранте.

Используем этот общий график для решения всех четырёх задач. Для каждой задачи мы будем по-разному называть оси $x$ и $y$.

1)

В этой задаче $S=24$ км, $S = v \cdot t$. Пусть ось $x$ — это время $t$ (в часах), а ось $y$ — это скорость $v$ (в км/ч). Формула: $v = \frac{24}{t}$.

• Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за 1,5 ч?
Находим на оси $x$ (время) значение 1,5. Поднимаемся до графика и находим соответствующее значение на оси $y$ (скорость). По графику (и из таблицы) это значение равно 16. Значит, скорость должна быть 16 км/ч.

• За сколько времени пройдёт его пешеход со скоростью 6 км/ч?
Находим на оси $y$ (скорость) значение 6. Двигаемся к графику и находим соответствующее значение на оси $x$ (время). По графику (и из таблицы) это значение равно 4. Значит, пешеход пройдёт расстояние за 4 часа.

Ответ: скорость должна быть 16 км/ч; пешеход пройдёт расстояние за 4 часа.

2)

В этой задаче $V=24$ м³, $V = P \cdot t$. Пусть ось $x$ — это время $t$ (в часах), а ось $y$ — это производительность $P$ (в м³/ч). Формула: $P = \frac{24}{t}$.

• Чему равна производительность трубы, если бассейн наполняется через неё за 1,5 ч?
Находим на оси $x$ (время) значение 1,5. По графику соответствующее значение на оси $y$ (производительность) равно 16. Значит, производительность трубы 16 м³/ч.

• За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью 6 м³/ч?
Находим на оси $y$ (производительность) значение 6. По графику соответствующее значение на оси $x$ (время) равно 4. Значит, бассейн наполнится за 4 часа.

Ответ: производительность равна 16 м³/ч; бассейн наполнится за 4 часа.

3)

В этой задаче Стоимость $C=24$ р., $C = p \cdot m$. Пусть ось $x$ — это масса (количество) товара $m$ (в кг), а ось $y$ — это цена $p$ (в р./кг). Формула: $p = \frac{24}{m}$.

• Чему равна цена моркови за килограмм, если за 1,5 кг заплатили 24 р.?
Находим на оси $x$ (масса) значение 1,5. По графику соответствующее значение на оси $y$ (цена) равно 16. Значит, цена моркови 16 р./кг.

• Сколько капусты по цене 6 р. за килограмм можно купить на эти же деньги?
Находим на оси $y$ (цена) значение 6. По графику соответствующее значение на оси $x$ (масса) равно 4. Значит, можно купить 4 кг капусты.

Ответ: цена моркови 16 р./кг; можно купить 4 кг капусты.

4)

В этой задаче Площадь $A=24$ см², $A = l \cdot w$. Пусть ось $x$ — это ширина $w$ (в см), а ось $y$ — это длина $l$ (в см). Формула: $l = \frac{24}{w}$.

• Чему равна его длина, если ширина равна 1,5 см?
Находим на оси $x$ (ширина) значение 1,5. По графику соответствующее значение на оси $y$ (длина) равно 16. Значит, длина прямоугольника 16 см.

• Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна 6 см?
Находим на оси $y$ (длина) значение 6. По графику соответствующее значение на оси $x$ (ширина) равно 4. Значит, ширина прямоугольника 4 см.

Ответ: длина равна 16 см; ширина равна 4 см.

176 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй для нее таблицу и график. Используя график, реши все четыре задачи одновременно.

1) Расстояние от поселка до железнодорожной станции $24\text{ км}$. Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за $1,5\text{ ч}$? За сколько времени пройдет его пешеход со скоростью $6\text{ км/ч}$?

2) Объем бассейна $24\text{ м}^3$. Чему равна производительность трубы, подведенной к бассейну, если бассейн наполняется через нее за $1,5\text{ ч}$? За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью $6\text{ м}^3/\text{ч}$?

3) За $1,5\text{ кг}$ моркови заплатили $24\text{ р}$. Чему равна цена моркови за килограмм? Сколько капусты по цене $6\text{ р}$ за килограмм можно купить на эти же деньги?

4) Площадь прямоугольника $24\text{ см}^2$. Чему равна его длина, если ширина равна $1,5\text{ см}$? Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна $6\text{ см}$?

177 Построй на одном чертеже графики данных зависимостей. Рассмотри их расположение и сделай вывод.

1) $y = \frac{6}{x}$;

x | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 6 | 12

y | | | | | |

2) $y = \frac{12}{x}$;

x | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12

y | | | | | |

3) $y = \frac{24}{x}$;

x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12

y | | | | | |

4) $y = \frac{36}{x}$.

x | 3 | 4 | 6 | 9 | 12

y | | | | |

Для построения графиков сначала вычислим значения y для каждой функции при заданных значениях x, заполнив соответствующие таблицы.

1) $y = \frac{6}{x}$

Вычисляем значения y для каждого x:

• При $x = 0,5$: $y = \frac{6}{0,5} = 12$
• При $x = 1$: $y = \frac{6}{1} = 6$
• При $x = 2$: $y = \frac{6}{2} = 3$
• При $x = 3$: $y = \frac{6}{3} = 2$
• При $x = 6$: $y = \frac{6}{6} = 1$
• При $x = 12$: $y = \frac{6}{12} = 0,5$

Ответ:

2) $y = \frac{12}{x}$

Вычисляем значения y для каждого x:

• При $x = 2$: $y = \frac{12}{2} = 6$
• При $x = 3$: $y = \frac{12}{3} = 4$
• При $x = 4$: $y = \frac{12}{4} = 3$
• При $x = 6$: $y = \frac{12}{6} = 2$
• При $x = 8$: $y = \frac{12}{8} = 1,5$
• При $x = 12$: $y = \frac{12}{12} = 1$

Ответ:

3) $y = \frac{24}{x}$

Вычисляем значения y для каждого x:

• При $x = 1$: $y = \frac{24}{1} = 24$
• При $x = 2$: $y = \frac{24}{2} = 12$
• При $x = 3$: $y = \frac{24}{3} = 8$
• При $x = 4$: $y = \frac{24}{4} = 6$
• При $x = 6$: $y = \frac{24}{6} = 4$
• При $x = 12$: $y = \frac{24}{12} = 2$

Ответ:

4) $y = \frac{36}{x}$

Вычисляем значения y для каждого x:

• При $x = 3$: $y = \frac{36}{3} = 12$
• При $x = 4$: $y = \frac{36}{4} = 9$
• При $x = 6$: $y = \frac{36}{6} = 6$
• При $x = 9$: $y = \frac{36}{9} = 4$
• При $x = 12$: $y = \frac{36}{12} = 3$

Ответ:

Теперь построим графики данных зависимостей на одном чертеже, используя вычисленные точки.

Вывод:

Все четыре графика представляют собой ветви гиперболы, заданной уравнением вида $y = \frac{k}{x}$, где $k > 0$. Поскольку все заданные значения x положительны, графики расположены в первой координатной четверти.

Рассматривая расположение графиков, можно сделать следующие выводы:

1. Все графики имеют одинаковую форму (гипербола), но разное расположение относительно осей координат.
2. Коэффициенты пропорциональности для данных функций равны $k=6$, $k=12$, $k=24$ и $k=36$.
3. С увеличением коэффициента k, график функции "отодвигается" от начала координат. Для любого положительного значения x, чем больше k, тем больше соответствующее значение y. Это означает, что график с большим k будет лежать выше графика с меньшим k.
4. Таким образом, график $y = \frac{36}{x}$ расположен дальше всех от осей, а график $y = \frac{6}{x}$ — ближе всех.

177 Построй на одном чертеже графики данных зависимостей. Рассмотри их расположение и сделай вывод.

1) $y=\frac{6}{x}$;

2) $y=\frac{12}{x}$;

3) $y=\frac{24}{x}$;

4) $y=\frac{36}{x}$.