Страница 49, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

Найди правило, по которому расположены фигуры, и нарисуй недостающую фигуру.

1) (фигура 1) $ \square $ $ \infty $
$ \square $ $ \infty \text{+} $ $ \circ $
$ \infty $ $ \circ $ ?

2) $ - $ $ - $ $ - $ $ - $ $ \triangle $ $ \smile $
$ - $ $ - $ $ - $ $ - $ $ \triangle $ $ - $
$ - $ $ - $ $ \nabla $ $ \nabla $ $ \square $ $ \frown $
$ - $ $ - $ $ \triangle $ $ \triangle $ $ \square $ $ \frown $
$ - $ $ - $ $ \triangle $ $ \triangle $ $ \square $ $ \smile $
$ - $ $ - $ $ - $ $ - $ $ \triangle $ $ \smile $
$ - $ $ - $ $ - $ $ - $ $ \triangle $ $ \smile $
$ - $ $ - $ $ - $ $ - $ $ \triangle $ $ \smile $
?

1)

Чтобы найти недостающую фигуру, нужно проанализировать закономерности в таблице 3x3. Каждая фигура в таблице обладает несколькими характеристиками: цвет, форма внутри треугольника, наличие и расположение скобки, а также наличие, форма и расположение украшения на одной из вершин. Правило расположения фигур похоже на игру Судоку: в каждом ряду и столбце должны присутствовать элементы определенного набора.

1. Внутренняя форма: Фигуры внутри треугольников можно разделить на три группы по основному элементу: "квадрат", "круг" (включая колесо) и "бесконечность" (включая знак бесконечности с линиями). В каждом ряду и каждом столбце должна быть одна фигура каждого типа.
   • В третьем ряду уже есть "бесконечность" и "круг". Следовательно, в недостающей фигуре должен быть квадрат.
   • В третьем столбце также есть "бесконечность" и "круг", что подтверждает, что недостающая фигура должна содержать квадрат.
2. Цвет: В каждом ряду и каждом столбце расположены два белых (незакрашенных) треугольника и один розовый (закрашенный).
   • В третьем ряду есть один белый и один розовый треугольник. Значит, недостающий должен быть белым.
   • В третьем столбце также есть один розовый и один белый, что подтверждает, что недостающий треугольник — белый.
3. Расположение скобки: В каждом ряду скобка находится с разных сторон: слева, справа и снизу.
   • В третьем ряду уже есть скобки слева и снизу. Следовательно, у недостающей фигуры скобка должна быть справа.
4. Украшение на вершине: Положение украшения зависит от типа внутренней фигуры.
   • Фигуры с "бесконечностью" имеют украшение на верхней вершине.
   • Фигуры с "кругом" имеют украшение на правой нижней вершине.
   • Фигуры с "квадратом" имеют украшение на левой нижней вершине (или не имеют его вовсе).
   Так как у недостающей фигуры внутри квадрат, украшение должно быть на левой нижней вершине.
5. Форма украшения: Формы украшений (крест, петля, треугольник, звезда) также подчиняются определенной логике. Если рассмотреть формы украшений в каждом ряду и столбце как набор, можно выявить закономерность.
   • Ряд 3: петля, треугольник, ?
   • Столбец 3: треугольник, петля, ?
   В обоих случаях для завершения набора из трех разных простых символов не хватает креста.

Таким образом, недостающая фигура — это белый треугольник, внутри которого находится квадрат. Справа от треугольника расположена скобка, а в левой нижней вершине находится украшение в виде креста.

Ответ:

2)

Здесь также применяется правило, похожее на Судоку, где каждый ряд и столбец должен содержать по одному элементу из каждого набора характеристик. Проанализируем каждую черту лица.

1. Прическа: Есть три вида причесок: с пробором посередине, с пробором слева и с пробором справа. В каждом ряду и столбце встречаются все три вида.
   • В третьем ряду есть прически с пробором справа и посередине. Следовательно, у недостающего лица должна быть прическа с пробором слева.
   • Это подтверждается и анализом третьего столбца.
2. Нос: Есть две формы носа: треугольник и квадрат. В каждом ряду и столбце — два треугольных носа и один квадратный.
   • В третьем ряду есть один квадратный нос и один треугольный. Значит, у недостающего лица нос должен быть треугольным.
   • Это также подтверждается анализом третьего столбца.
3. Уши: Уши бывают двух видов: прямоугольные и заостренные. Правило здесь таково: в каждом ряду и столбце определенное соотношение ушей.
   • Ряд 1 и Столбец 1 и 3: два лица с прямоугольными ушами, одно с заостренными.
   • Ряд 2 и Столбец 2: одно лицо с прямоугольными ушами, два с заостренными.
   • В третьем ряду сейчас одно лицо с заостренными ушами и одно с прямоугольными. Чтобы соответствовать общему правилу (в этом ряду должно быть либо 2 прямоугольных, либо 2 заостренных), смотрим на столбец 3. В нем одно лицо с прямоугольными и одно с заостренными. Чтобы столбец 3 соответствовал правилу "2 прямоугольных, 1 заостренное", у недостающего лица должны быть прямоугольные уши. При этом Ряд 3 также станет рядом с двумя прямоугольными ушами.
4. Рот и глаза (выражение лица): Для этих черт простое правило Судоку не работает. Однако можно заметить другую закономерность, если сгруппировать лица по диагоналям.
   • Одна диагональная группа (справа-вверх) — лица (1,3), (2,1), (3,2). У них спокойное или нейтральное выражение.
   • Другая диагональная группа (справа-вниз) — лица (1,2), (2,3), (3,1). У них явно негативные эмоции (грусть, злость).
   • Третья группа — главная диагональ: (1,1), (2,2), (3,3). У этих лиц "особенные", асимметричные выражения (подмигивание, асимметричные брови).
   По этой логике, недостающее лицо (3,3) должно завершать свою группу.
   • Рот: В "особенной" группе уже есть улыбка (1,1) и грустный рот (2,2). Для завершения набора {улыбка, грусть, нейтральный} у недостающего лица должен быть прямой (нейтральный) рот.
   • Глаза: В этой же группе уже есть подмигивающие глаза и асимметричные злые глаза. Недостающее лицо должно иметь третий тип "особенных" глаз. Например, симметричные веселые глаза (в отличие от подмигивания) или удивленные глаза. Наиболее логичным будет простое, симметричное выражение, завершающее ряд. Например, простые веселые глаза.

Итак, недостающее лицо имеет: прическу с пробором слева, прямоугольные уши, нос-треугольник, прямой рот и веселые симметричные глаза.

Ответ:

$\Pi$ 187 Найди правило, по которому расположены фигуры, и нарисуй недостающую фигуру:

1) 2)

188 1) Запиши в виде десятичных дробей данные обыкновенные дроби:

$ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{1}{25}, \frac{4}{25}, \frac{9}{16}, \frac{11}{40}, \frac{7}{50}. $

2) Представь в виде обыкновенной несократимой дроби: 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,25; 0,75; 0,125; 0,375; 0,625; 0,875; 0,45; 0,02; 0,24; 0,025; 0,008.

1) Запиши в виде десятичных дробей данные обыкновенные дроби:

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно разделить числитель на знаменатель. Другой способ — привести дробь к знаменателю, равному степени 10 (10, 100, 1000 и т.д.), умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0,125$
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0,375$
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0,625$
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{875}{1000} = 0,875$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0,8$
$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100} = 0,05$
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15$
$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100} = 0,04$
$\frac{4}{25} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{16}{100} = 0,16$
$\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 625}{16 \cdot 625} = \frac{5625}{10000} = 0,5625$
$\frac{11}{40} = \frac{11 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{275}{1000} = 0,275$
$\frac{7}{50} = \frac{7 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{14}{100} = 0,14$

Ответ: 0,5; 0,25; 0,75; 0,125; 0,375; 0,625; 0,875; 0,4; 0,6; 0,8; 0,05; 0,15; 0,04; 0,16; 0,5625; 0,275; 0,14.

2) Представь в виде обыкновенной несократимой дроби:

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, нужно записать её как дробь, где в числителе — число после запятой, а в знаменателе — 1 с таким количеством нулей, сколько цифр после запятой. Затем, если возможно, сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$
$0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{375 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{3}{8}$
$0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{625 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{5}{8}$
$0,875 = \frac{875}{1000} = \frac{875 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{7}{8}$
$0,45 = \frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$
$0,02 = \frac{2}{100} = \frac{2 \div 2}{100 \div 2} = \frac{1}{50}$
$0,24 = \frac{24}{100} = \frac{24 \div 4}{100 \div 4} = \frac{6}{25}$
$0,025 = \frac{25}{1000} = \frac{25 \div 25}{1000 \div 25} = \frac{1}{40}$
$0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{8 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{1}{125}$

Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{7}{8}$; $\frac{9}{20}$; $\frac{1}{50}$; $\frac{6}{25}$; $\frac{1}{40}$; $\frac{1}{125}$.

188 1) Запиши в виде десятичных дробей данные обыкновенные дроби: $ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{3}{8} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{7}{8} $, $ \frac{2}{5} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{4}{5} $, $ \frac{1}{20} $, $ \frac{3}{20} $, $ \frac{1}{25} $, $ \frac{4}{25} $, $ \frac{9}{16} $, $ \frac{11}{40} $, $ \frac{7}{50} $.

2) Представь в виде обыкновенной несократимой дроби: $0,5$; $0,2$; $0,4$; $0,6$; $0,8$; $0,25$; $0,75$; $0,125$; $0,375$; $0,625$; $0,875$; $0,45$; $0,02$; $0,24$; $0,025$; $0,008$.

189 1) Мальчик, наблюдая грозу, увидел, как блеснула молния, и через 15 с услышал удар грома. На каком расстоянии от него происходила гроза, если скорость звука в воздухе равна 0,33 км/с?

2) Автобус выходит из Москвы в 9 ч 45 мин и приезжает в пункт назначения в 12 ч 5 мин. Скорость автобуса 54 км/ч. Чему равна длина маршрута автобуса? На каком расстоянии от пункта назначения по расписанию находится автобус в 11 ч 20 мин?

1)

Поскольку скорость света многократно превышает скорость звука, можно считать, что мальчик увидел молнию в тот же момент, когда она произошла. Задержка в 15 секунд, с которой был услышан гром, — это время, которое потребовалось звуку, чтобы преодолеть расстояние от места удара молнии до мальчика.

Для нахождения расстояния используется формула: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

В условии даны:
Скорость звука в воздухе: $v = 0,33$ км/с
Время задержки: $t = 15$ с

Подставим значения в формулу и вычислим расстояние:
$S = 0,33 \text{ км/с} \cdot 15 \text{ с} = 4,95 \text{ км}$

Ответ: гроза происходила на расстоянии 4,95 км от мальчика.

2)

Задача состоит из двух вопросов. Решим их по порядку.

Чему равна длина маршрута автобуса?

1. Сначала определим общее время, которое автобус провел в пути.
Время отправления: 9 ч 45 мин.
Время прибытия: 12 ч 5 мин.
Продолжительность поездки: $t_{общ} = (12 \text{ ч } 5 \text{ мин}) - (9 \text{ ч } 45 \text{ мин})$.
Для удобства вычислений представим 12 ч 5 мин как 11 ч 65 мин.
$t_{общ} = (11 \text{ ч } 65 \text{ мин}) - (9 \text{ ч } 45 \text{ мин}) = 2 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.

2. Переведем время в пути в часы.
Поскольку в одном часе 60 минут, то $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, общее время в пути составляет $t_{общ} = 2\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{7}{3} \text{ ч}$.

3. Теперь найдем длину маршрута, зная скорость автобуса $v = 54$ км/ч.
$S_{общ} = v \cdot t_{общ} = 54 \text{ км/ч} \cdot \frac{7}{3} \text{ ч} = \frac{54 \cdot 7}{3} \text{ км} = 18 \cdot 7 \text{ км} = 126 \text{ км}$.

На каком расстоянии от пункта назначения по расписанию находится автобус в 11 ч 20 мин?

1. Чтобы найти расстояние до пункта назначения, сначала определим, сколько времени автобусу осталось ехать с 11 ч 20 мин до времени прибытия в 12 ч 5 мин.
$t_{ост} = (12 \text{ ч } 5 \text{ мин}) - (11 \text{ ч } 20 \text{ мин}) = (11 \text{ ч } 65 \text{ мин}) - (11 \text{ ч } 20 \text{ мин}) = 45 \text{ мин}$.

2. Переведем оставшееся время в часы.
$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

3. Зная скорость и оставшееся время, найдем расстояние, которое автобусу осталось проехать.
$S_{ост} = v \cdot t_{ост} = 54 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{162}{4} \text{ км} = 40,5 \text{ км}$.

Ответ: длина маршрута автобуса равна 126 км; в 11 ч 20 мин автобус находится на расстоянии 40,5 км от пункта назначения.

189 1) Мальчик, наблюдая грозу, увидел, как блеснула молния, и через $15$ с услышал удар грома. На каком расстоянии от него происходила гроза, если скорость звука в воздухе равна $0,33$ км/с?

2) Автобус выходит из Москвы в 9 ч 45 мин и приезжает в пункт назначения в 12 ч 5 мин. Скорость автобуса $54$ км/ч. Чему равна длина маршрута автобуса? На каком расстоянии от пункта назначения по расписанию находится автобус в 11 ч 20 мин?

190 1) Поезд из 10 вагонов прошёл мимо наблюдателя за 8 с. Чему равна скорость поезда, если длина вагона 16 м?

2) Кондуктор пассажирского поезда заметил, что встречный товарный поезд прошёл мимо него за 9 с. Чему равна длина товарного поезда, если он следует со скоростью 56 км/ч, а скорость пассажирского поезда равна 84 км/ч?

1)

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общую длину поезда, а затем, зная время, за которое он прошел мимо наблюдателя, вычислить его скорость.

1. Найдем общую длину поезда ($L$). Поезд состоит из 10 вагонов ($n=10$), и длина каждого вагона ($l$) равна 16 м. Длина всего поезда равна произведению количества вагонов на длину одного вагона:

$L = n \times l = 10 \times 16 \text{ м} = 160 \text{ м}$

2. Поезд прошел мимо наблюдателя за время $t = 8$ с. Это означает, что расстояние, равное длине поезда ($L$), было преодолено за это время. Скорость поезда ($v$) можно найти по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ - это пройденное расстояние, равное длине поезда:

$v = \frac{L}{t} = \frac{160 \text{ м}}{8 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

3. Для наглядности можно перевести скорость в километры в час (км/ч). Для этого нужно умножить значение в м/с на 3,6:

$v = 20 \text{ м/с} \times 3.6 = 72 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость поезда равна 20 м/с (или 72 км/ч).

2)

В этой задаче рассматривается относительное движение. Товарный поезд проходит мимо кондуктора, который сам движется в пассажирском поезде навстречу. Длина товарного поезда будет равна произведению относительной скорости поездов на время, за которое он прошел мимо кондуктора.

1. Найдем относительную скорость сближения поездов ($v_{отн}$). Так как поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{отн} = v_{товарного} + v_{пассажирского} = 56 \text{ км/ч} + 84 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

2. Время ($t$) дано в секундах ($9$ с), а скорость — в км/ч. Необходимо привести единицы измерения к единой системе. Переведем относительную скорость в метры в секунду (м/с), умножив значение на коэффициент $\frac{1000}{3600} = \frac{5}{18}$:

$v_{отн} = 140 \text{ км/ч} \times \frac{5}{18} = \frac{140 \times 5}{18} \text{ м/с} = \frac{700}{18} \text{ м/с} = \frac{350}{9} \text{ м/с}$

3. Теперь найдем длину товарного поезда ($L_{товарного}$). Она равна расстоянию, пройденному с относительной скоростью за данное время:

$L_{товарного} = v_{отн} \times t = \frac{350}{9} \text{ м/с} \times 9 \text{ с} = 350 \text{ м}$

Ответ: длина товарного поезда равна 350 м.

190 1) Поезд из 10 вагонов прошел мимо наблюдателя за 8 с. Чему равна скорость поезда, если длина вагона 16 м?

2) Кондуктор пассажирского поезда заметил, что встречный товарный поезд прошел мимо него за 9 с. Чему равна длина товарного поезда, если он следует со скоростью 56 км/ч, а скорость пассажирского поезда равна 84 км/ч?

191 1) Расстояние между деревней и станцией девочка проходит за $\frac{5}{12}$ ч, а её отец — за 0,25 ч. Скорость девочки меньше скорости отца на 2,4 км/ч. На каком расстоянии от деревни находится станция?

2) Расстояние от дома до дачи Иван Иванович обычно проезжает за 1 ч 20 мин. Но из-за погодных условий он уменьшил свою скорость на 10 км/ч и поэтому доехал до дачи за полтора часа. На каком расстоянии от дома Ивана Ивановича находится его дача?

1) Пусть $S$ - искомое расстояние в км.
Пусть $v_д$ - скорость девочки, а $v_о$ - скорость отца.
Время девочки в пути $t_д = \frac{5}{12}$ ч.
Время отца в пути $t_о = 0,25 = \frac{1}{4}$ ч.
Скорость можно выразить через расстояние и время по формуле $v = \frac{S}{t}$.
Тогда скорость девочки: $v_д = \frac{S}{5/12} = \frac{12S}{5}$ км/ч.
Скорость отца: $v_о = \frac{S}{1/4} = 4S$ км/ч.
По условию, скорость девочки меньше скорости отца на 2,4 км/ч, то есть $v_о - v_д = 2,4$.
Подставим выражения для скоростей в это уравнение:
$4S - \frac{12S}{5} = 2,4$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{20S}{5} - \frac{12S}{5} = 2,4$
$\frac{8S}{5} = 2,4$
Теперь найдем $S$:
$8S = 2,4 \cdot 5$
$8S = 12$
$S = \frac{12}{8} = 1,5$ км.
Ответ: станция находится на расстоянии 1,5 км от деревни.

2) Пусть $S$ - расстояние от дома до дачи в км.
Пусть $v_1$ и $t_1$ - обычная скорость и время в пути.
Пусть $v_2$ и $t_2$ - скорость и время в пути из-за погодных условий.
Переведем время в часы:
$t_1 = 1$ ч 20 мин $= 1 + \frac{20}{60}$ ч $= 1 + \frac{1}{3}$ ч $= \frac{4}{3}$ ч.
$t_2 =$ полтора часа $= 1,5$ ч $= \frac{3}{2}$ ч.
Выразим скорости через расстояние $S$:
$v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{S}{4/3} = \frac{3S}{4}$ км/ч.
$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{S}{3/2} = \frac{2S}{3}$ км/ч.
По условию, Иван Иванович уменьшил скорость на 10 км/ч, то есть $v_1 - v_2 = 10$.
Составим уравнение, подставив выражения для скоростей:
$\frac{3S}{4} - \frac{2S}{3} = 10$
Найдем общий знаменатель для дробей (12) и решим уравнение:
$\frac{3 \cdot 3S}{12} - \frac{4 \cdot 2S}{12} = 10$
$\frac{9S - 8S}{12} = 10$
$\frac{S}{12} = 10$
$S = 10 \cdot 12 = 120$ км.
Ответ: дача Ивана Ивановича находится на расстоянии 120 км от дома.

191 1) Расстояние между деревней и станцией девочка проходит за $\frac{5}{12}$ ч, а ее отец – за 0,25 ч.

Скорость девочки меньше скорости отца на 2,4 км/ч. На каком расстоянии от деревни находится станция?

2) Расстояние от дома до дачи Иван Иванович обычно проезжает за 1 ч 20 мин. Но из-за погодных условий он уменьшил свою скорость на 10 км/ч и поэтому доехал до дачи за полтора часа. На каком расстоянии от дома Ивана Ивановича находится его дача?

187 Длина первого прямоугольника на 20 % больше длины второго, а ширина – на 40 % меньше ширины второго. На сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше площади второго прямоугольника?

Обозначим длину и ширину второго прямоугольника как $L_2$ и $W_2$ соответственно. Тогда его площадь $A_2$ будет равна:

$A_2 = L_2 \cdot W_2$

Теперь выразим длину и ширину первого прямоугольника через размеры второго.

Длина первого прямоугольника, $L_1$, на 20% больше длины второго. Чтобы увеличить число на 20%, нужно умножить его на 1.2 (т.е. 100% + 20% = 120%).

$L_1 = L_2 \cdot (1 + 0.20) = 1.2 \cdot L_2$

Ширина первого прямоугольника, $W_1$, на 40% меньше ширины второго. Чтобы уменьшить число на 40%, нужно умножить его на 0.6 (т.е. 100% - 40% = 60%).

$W_1 = W_2 \cdot (1 - 0.40) = 0.6 \cdot W_2$

Теперь найдем площадь первого прямоугольника $A_1$, используя полученные выражения для его длины и ширины:

$A_1 = L_1 \cdot W_1 = (1.2 \cdot L_2) \cdot (0.6 \cdot W_2)$

Сгруппируем множители:

$A_1 = (1.2 \cdot 0.6) \cdot (L_2 \cdot W_2) = 0.72 \cdot (L_2 \cdot W_2)$

Поскольку $A_2 = L_2 \cdot W_2$, мы можем записать:

$A_1 = 0.72 \cdot A_2$

Это означает, что площадь первого прямоугольника составляет 72% от площади второго. Чтобы найти, на сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше площади второго, вычтем эту долю из 1 (или 100%):

$1 - 0.72 = 0.28$

Переведем это значение в проценты:

$0.28 \cdot 100\% = 28\%$

Таким образом, площадь первого прямоугольника на 28% меньше площади второго.

Ответ: на 28%.

187 Длина первого прямоугольника на 20% больше длины второго, а ширина – на 40% меньше ширины второго. На сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше площади второго прямоугольника?

188 Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при сохранении оплаты за единицу продукции заработная плата выросла на $5 \%$?

Решение:

Для решения задачи введем переменные:

$T_1 = 8$ ч — начальная продолжительность рабочего дня.
$T_2 = 7$ ч — новая продолжительность рабочего дня.
$P_1$ — начальная производительность труда (единиц продукции в час).
$P_2$ — новая производительность труда (единиц продукции в час).
$C$ — оплата за единицу продукции (по условию, эта величина постоянна).
$S_1$ — начальная заработная плата.
$S_2$ — новая заработная плата.

Заработная плата вычисляется как произведение общего количества произведенной продукции на стоимость одной единицы. Общее количество продукции равно произведению производительности на время работы.

Начальная заработная плата:

$S_1 = P_1 \cdot T_1 \cdot C = 8 \cdot P_1 \cdot C$

Новая заработная плата:

$S_2 = P_2 \cdot T_2 \cdot C = 7 \cdot P_2 \cdot C$

По условию задачи, новая заработная плата должна быть на 5% выше начальной. Это означает, что $S_2$ должна составлять 105% от $S_1$:

$S_2 = 1.05 \cdot S_1$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это уравнение:

$7 \cdot P_2 \cdot C = 1.05 \cdot (8 \cdot P_1 \cdot C)$

Поскольку величина $C$ (оплата за единицу продукции) постоянна и не равна нулю, мы можем сократить её в обеих частях уравнения:

$7 \cdot P_2 = 1.05 \cdot 8 \cdot P_1$

$7 \cdot P_2 = 8.4 \cdot P_1$

Теперь найдем отношение новой производительности $P_2$ к старой $P_1$, чтобы узнать, во сколько раз она должна измениться:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{8.4}{7}$

$\frac{P_2}{P_1} = 1.2$

Это значит, что новая производительность должна составлять 120% от старой ($P_2 = 1.2 \cdot P_1$). Чтобы найти, на сколько процентов нужно повысить производительность, нужно из новой величины (1.2) вычесть старую (1) и перевести в проценты:

$(1.2 - 1) \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: производительность труда нужно повысить на 20%.

188 Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при сохранении оплаты за единицу продукции заработная плата выросла на 5% ?

D 189 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами в данных задачах. Построй таблицу и график этой зависимости и реши по графику обе задачи одновременно.

1) Спортсмен бежит со скоростью 5 м/с. Какое расстояние он пробежит за 4 с? За сколько секунд он пробежит расстояние, равное 15 м?

2) Набор одной страницы рукописи на компьютере стоит 5 р. Сколько рублей надо заплатить за набор 4 страниц? Сколько страниц набрано, если оплата составила 15 р.?

Обе задачи описывают прямую пропорциональность. В первом случае это зависимость расстояния $s$ от времени $t$ при постоянной скорости $v=5$ м/с. Во втором — зависимость стоимости $C$ от количества страниц $n$ при постоянной цене $p=5$ р./стр.

Обе зависимости можно описать одной общей формулой. Пусть $x$ — независимая переменная (время или количество страниц), а $y$ — зависимая переменная (расстояние или стоимость). Коэффициент пропорциональности в обоих случаях равен 5.

Формула, описывающая зависимость:

$y = 5x$

Построим таблицу значений для этой зависимости:

Графиком этой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат. Построим график по точкам из таблицы.

Решим обе задачи, используя построенный график.

1) В задаче о спортсмене ось $x$ — это время в секундах ($t$), а ось $y$ — расстояние в метрах ($s$).

Чтобы найти расстояние, которое спортсмен пробежит за 4 секунды, находим на оси $x$ значение 4. Двигаясь от этой точки вверх до графика, а затем влево до оси $y$, находим значение 20 (показано синим пунктиром). Таким образом, за 4 с спортсмен пробежит 20 м.

Чтобы найти, за сколько секунд спортсмен пробежит 15 метров, находим на оси $y$ значение 15. Двигаясь от этой точки вправо до графика, а затем вниз до оси $x$, находим значение 3 (показано красным пунктиром). Таким образом, расстояние 15 м он пробежит за 3 с.

Ответ: за 4 с спортсмен пробежит 20 м; расстояние в 15 м он пробежит за 3 с.

2) В задаче о наборе рукописи ось $x$ — это количество страниц ($n$), а ось $y$ — стоимость в рублях ($C$).

Чтобы найти стоимость набора 4 страниц, находим на оси $x$ значение 4. По графику (синий пунктир) этому значению соответствует $y=20$. Следовательно, за 4 страницы нужно заплатить 20 р.

Чтобы найти, сколько страниц было набрано при оплате в 15 рублей, находим на оси $y$ значение 15. По графику (красный пунктир) этому значению соответствует $x=3$. Следовательно, было набрано 3 страницы.

Ответ: за набор 4 страниц надо заплатить 20 р.; если оплата составила 15 р., то набрано 3 страницы.

D 189 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами в данных задачах. Построй таблицу и график этой зависимости и реши по графику обе задачи одновременно.

1) Спортсмен бежит со скоростью $5 \text{ м/с}$. Какое расстояние он пробежит за $4 \text{ с}$? За сколько секунд он пробежит расстояние, равное $15 \text{ м}$?

2) Набор одной страницы рукописи на компьютере стоит 5 р. Сколько рублей надо заплатить за набор 4 страниц? Сколько страниц набрано, если оплата составила 15 р.?

190 Построй формулу, описывающую зависимость между величинами во всех трёх задачах. Построй таблицу и график этой зависимости и реши по графику все три задачи одновременно.

1) Расстояние от деревни до посёлка $6 \text{ км}$. За сколько времени проедет его велосипедист, скорость которого $12 \text{ км/ч}$? С какой скоростью надо идти пешеходу, чтобы пройти это расстояние за $2 \text{ ч}$?

2) Бак вмещает $6 \text{ м}^3$ воды. За сколько времени выкачает воду из этого бака насос, производительность которого $12 \text{ м}^3/\text{ч}$? С какой производительностью работает насос, который выкачивает всю воду за $2 \text{ ч}$?

3) В бидоне $6 \text{ л}$ молока. Его разлили поровну в $12 \text{ банок}$. Сколько литров молока в каждой банке? Сколько двухлитровых банок можно наполнить из этого бидона?

Все три задачи описывают одну и ту же математическую зависимость – обратную пропорциональность. В каждой задаче есть общая величина (расстояние, объем воды, объем молока), которая является произведением двух других переменных величин.

Обозначим общую величину как $A$, а две переменные величины как $x$ и $y$. Тогда их зависимость можно описать общей формулой:

$A = x \cdot y$

Во всех трех задачах общая величина $A$ равна 6 (6 км, 6 м³, 6 л). Таким образом, для всех задач справедлива формула:

$6 = x \cdot y$, или $y = \frac{6}{x}$

Где переменные $x$ и $y$ означают:

• В задаче 1: $x$ – скорость ($v$, км/ч), $y$ – время ($t$, ч).
• В задаче 2: $x$ – производительность ($P$, м³/ч), $y$ – время ($t$, ч).
• В задаче 3: $x$ – количество банок ($N$, шт.), $y$ – объем одной банки ($V$, л).

Построение таблицы зависимости

Составим таблицу значений для функции $y = 6/x$, выбрав несколько значений $x$.

Построение графика зависимости

Графиком функции $y = 6/x$ является гипербола. Так как в наших задачах все величины положительны, мы рассматриваем только ту ветвь гиперболы, которая находится в первой координатной четверти. По оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения $x$, а по оси ординат (вертикальной) – значения $y$. Чтобы решить задачи по графику, нужно найти заданное значение на одной оси, провести линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести линию до другой оси и определить соответствующее значение.

Решение задач по графику (используя таблицу как аналог графика)

1) В этой задаче $x$ – это скорость $v$ (км/ч), а $y$ – это время $t$ (ч).

• Вопрос: "За сколько времени проедет его велосипедист, скорость которого 12 км/ч?"
  Нам дано $x = 12$ км/ч. По таблице или графику находим соответствующее значение $y$.
  $y = 6/12 = 0.5$ ч. 0.5 часа – это 30 минут.
• Вопрос: "С какой скоростью надо идти пешеходу, чтобы пройти это расстояние за 2 ч?"
  Нам дано $y = 2$ ч. По таблице или графику находим соответствующее значение $x$.
  $x = 6/2 = 3$ км/ч.

Ответ: велосипедист проедет расстояние за 0.5 часа (30 минут); пешеходу надо идти со скоростью 3 км/ч.

2) В этой задаче $x$ – это производительность $P$ (м³/ч), а $y$ – это время $t$ (ч).

• Вопрос: "За сколько времени выкачает воду из этого бака насос, производительность которого 12 м³/ч?"
  Нам дано $x = 12$ м³/ч. По таблице или графику находим соответствующее значение $y$.
  $y = 6/12 = 0.5$ ч.
• Вопрос: "С какой производительностью работает насос, который выкачивает всю воду за 2 ч?"
  Нам дано $y = 2$ ч. По таблице или графику находим соответствующее значение $x$.
  $x = 6/2 = 3$ м³/ч.

Ответ: насос выкачает воду за 0.5 часа; насос работает с производительностью 3 м³/ч.

3) В этой задаче $x$ – это количество банок $N$ (шт.), а $y$ – это объем одной банки $V$ (л).

• Вопрос: "Его разлили поровну в 12 банок. Сколько литров молока в каждой банке?"
  Нам дано $x = 12$ банок. По таблице или графику находим соответствующее значение $y$.
  $y = 6/12 = 0.5$ л.
• Вопрос: "Сколько двухлитровых банок можно наполнить из этого бидона?"
  Нам дано $y = 2$ л. По таблице или графику находим соответствующее значение $x$.
  $x = 6/2 = 3$ банки.

Ответ: в каждой банке будет по 0.5 литра молока; можно наполнить 3 двухлитровые банки.

190 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех трех задачах. Построй таблицу и график этой зависимости и реши по графику все три задачи одновременно.

Формула: $xy = 6$

1) Расстояние от деревни до поселка 6 км. За сколько времени проедет его велосипедист, скорость которого 12 км/ч? С какой скоростью надо идти пешеходу, чтобы пройти это расстояние за 2 ч?

2) Бак вмещает $6 \text{ м}^{\text{3}}$ воды. За сколько времени выкачает воду из этого бака насос, производительность которого $12 \text{ м}^{\text{3}}/\text{ч}$? С какой производительностью работает насос, который выкачивает всю воду за 2 ч?

3) В бидоне 6 л молока. Его разлили поровну в 12 банок. Сколько литров молока в каждой банке? Сколько двухлитровых банок можно наполнить из этого бидона?

191 Реши каждую задачу несколькими разными способами.

1) За 3 одинаковые книги заплатили 324 р.

Сколько рублей стоят 12 таких книг?

2) Заготовленного корма хватит двум хомякам на 60 дней. На сколько дней хватит этого корма

8 хомякам при постоянном расходе корма на

одного хомяка в день?

Способ 1: через нахождение цены одной книги

Сначала найдем, сколько стоит одна книга. Для этого разделим общую стоимость на количество книг.

1) $324 : 3 = 108$ (р.) — цена одной книги.

Теперь, зная цену одной книги, найдем стоимость 12 таких книг.

2) $108 \times 12 = 1296$ (р.) — стоимость 12 книг.

Ответ: 1296 рублей.

Способ 2: через нахождение отношения количеств

Сначала узнаем, во сколько раз 12 книг больше, чем 3 книги.

1) $12 : 3 = 4$ (раза) — во столько раз больше книг нужно купить.

Так как количество книг увеличилось в 4 раза, то и общая стоимость увеличится во столько же раз.

2) $324 \times 4 = 1296$ (р.) — стоимость 12 книг.

Ответ: 1296 рублей.

Способ 1: через нахождение общего запаса корма

Узнаем, на сколько "хомяко-дней" рассчитан запас корма. Для этого умножим количество хомяков на количество дней.

1) $2 \times 60 = 120$ (хомяко-дней) — общий запас корма.

Это означает, что одному хомяку этого корма хватило бы на 120 дней. Теперь разделим этот общий запас на новое количество хомяков.

2) $120 : 8 = 15$ (дней) — на столько хватит корма 8 хомякам.

Ответ: на 15 дней.

Способ 2: используя обратную пропорциональность

Сначала узнаем, во сколько раз увеличилось количество хомяков.

1) $8 : 2 = 4$ (раза) — во столько раз стало больше хомяков.

Чем больше хомяков, тем на меньшее количество дней хватит корма. Поскольку количество хомяков увеличилось в 4 раза, количество дней, на которое хватит корма, уменьшится в 4 раза.

2) $60 : 4 = 15$ (дней) — на столько хватит корма 8 хомякам.

Ответ: на 15 дней.

191 Реши каждую задачу несколькими разными способами:

1) За 3 одинаковые книги заплатили 324 р.
Сколько рублей стоят 12 таких книг?

2) Заготовленного корма хватит двум хомякам на 60 дней. На сколько дней хватит этого корма 8 хомякам при постоянном расходе корма на одного хомяка в день?

192 Реши уравнения:

1) $3x : 0.2 = 2\frac{1}{7} : \frac{5}{14}$;

2) $\frac{6.8}{x+8} = \frac{2}{x}$.

Решим уравнение $3x : 0,2 = 2\frac{1}{7} : \frac{5}{14}$.

Сначала упростим правую часть уравнения. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

Теперь выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{15}{7} : \frac{5}{14} = \frac{15}{7} \cdot \frac{14}{5}$

Сократим дробь, разложив числа на множители:

$\frac{15 \cdot 14}{7 \cdot 5} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7)}{7 \cdot 5} = 3 \cdot 2 = 6$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$3x : 0,2 = 6$

Чтобы найти делимое $3x$, нужно частное (6) умножить на делитель (0,2):

$3x = 6 \cdot 0,2$

$3x = 1,2$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1,2}{3}$

$x = 0,4$

Ответ: $0,4$

Решим уравнение $\frac{6,8}{x+8} = \frac{2}{x}$.

Это уравнение является пропорцией. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних. Прежде чем применить это свойство, определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:

$x + 8 \neq 0 \implies x \neq -8$

$x \neq 0$

Теперь применим свойство перекрестного умножения:

$6,8 \cdot x = 2 \cdot (x+8)$

Раскроем скобки в правой части:

$6,8x = 2x + 16$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой:

$6,8x - 2x = 16$

$4,8x = 16$

Найдем $x$, разделив обе части на 4,8:

$x = \frac{16}{4,8}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{160}{48}$

Сократим полученную дробь. Оба числа, 160 и 48, делятся на 16:

$x = \frac{160 : 16}{48 : 16} = \frac{10}{3}$

Полученный корень $x = \frac{10}{3}$ не противоречит ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -8$). Ответ можно также представить в виде смешанного числа: $3\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$

192 Реши уравнения:

1) $3x : 0,2 = 2\frac{1}{7} : \frac{5}{14}$;

2) $\frac{6,8}{x+8} = \frac{2}{x}$.

193. Докажи высказывания, если $b \ne 0, d \ne 0, b \ne d$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a + 2b}{b} = \frac{c + 2d}{d};$

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a - c}{b - d} = \frac{c}{d}.$

1)

Для доказательства эквивалентности $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+2b}{b} = \frac{c+2d}{d}$ выполним равносильные преобразования одного из выражений, чтобы получить второе.

Рассмотрим выражение $\frac{a+2b}{b} = \frac{c+2d}{d}$.
Разделим почленно числители на знаменатели в обеих частях равенства:

$\frac{a}{b} + \frac{2b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{2d}{d}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{a}{b} + 2 = \frac{c}{d} + 2$

Вычтем 2 из обеих частей равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Поскольку все выполненные преобразования (почленное деление, сокращение, вычитание одного и того же числа) являются равносильными, то есть обратимыми, мы доказали, что равенство $\frac{a+2b}{b} = \frac{c+2d}{d}$ эквивалентно равенству $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Ответ: Высказывание доказано.

2)

Для доказательства эквивалентности $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$ также воспользуемся методом равносильных преобразований.

Рассмотрим равенство $\frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$.
По условию $d \ne 0$ и $b \ne d$, следовательно $b-d \ne 0$. Значит, мы можем применить основное свойство пропорции (умножение крест-накрест):

$d(a-c) = c(b-d)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$ad - cd = bc - cd$

Прибавим к обеим частям $cd$:

$ad = bc$

По условию $b \ne 0$ и $d \ne 0$, поэтому мы можем разделить обе части равенства на произведение $bd$:

$\frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd}$

Сократим дроби:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Все шаги преобразования являются равносильными. Это означает, что из равенства $\frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, и наоборот. Таким образом, эквивалентность доказана.

Ответ: Высказывание доказано.

193 Докажи высказывания, если $b \ne 0, d \ne 0, b \ne d$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a + 2b}{b} = \frac{c + 2d}{d};$

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a - c}{b - d} = \frac{c}{d}.$

D 224 Пользуясь формулой $y = 0,5x - 4$, определи:

а) y, если $x = 0; 15,6; -12,8;$

б) x, если $y = 9,8; -0,5; -6.$

а) y, если x = 0; 15,6; -12,8;

Для нахождения значения y, подставим поочередно данные значения x в исходную формулу $y = 0,5x - 4$.

1. Если $x = 0$, то:

$y = 0,5 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$.

2. Если $x = 15,6$, то:

$y = 0,5 \cdot 15,6 - 4 = 7,8 - 4 = 3,8$.

3. Если $x = -12,8$, то:

$y = 0,5 \cdot (-12,8) - 4 = -6,4 - 4 = -10,4$.

Ответ: если $x = 0$, то $y = -4$; если $x = 15,6$, то $y = 3,8$; если $x = -12,8$, то $y = -10,4$.

б) x, если y = 9,8; -0,5; -6.

Для нахождения значения x, сначала выразим x из формулы $y = 0,5x - 4$.

$y = 0,5x - 4$

$0,5x = y + 4$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на $0,5$ (что эквивалентно умножению на 2):

$x = \frac{y + 4}{0,5}$

$x = 2 \cdot (y + 4)$

$x = 2y + 8$

Теперь подставим поочередно данные значения y в полученную формулу.

1. Если $y = 9,8$, то:

$x = 2 \cdot 9,8 + 8 = 19,6 + 8 = 27,6$.

2. Если $y = -0,5$, то:

$x = 2 \cdot (-0,5) + 8 = -1 + 8 = 7$.

3. Если $y = -6$, то:

$x = 2 \cdot (-6) + 8 = -12 + 8 = -4$.

Ответ: если $y = 9,8$, то $x = 27,6$; если $y = -0,5$, то $x = 7$; если $y = -6$, то $x = -4$.

D 224 Пользуясь формулой $y = 0.5x - 4$, определи:

а) $y$, если $x = 0; 15,6; -12,8;$

б) $x$, если $y = 9,8; -0,5; -6.$

225 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей: $y = -2x$, $y = -2x + 1$ и $y = -2x - 3$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Все три зависимости являются линейными функциями вида $y = kx + b$, графиком каждой из которых является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Построение графиков

1. Для функции $y = -2x$:

• При $x=0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку (0; 0).
• При $x=1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. Получаем точку (1; -2).

Проводим прямую через эти две точки.

2. Для функции $y = -2x + 1$:

• При $x=0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку (0; 1).
• При $x=1$, $y = -2 \cdot 1 + 1 = -1$. Получаем точку (1; -1).

Проводим прямую через эти две точки на той же координатной плоскости.

3. Для функции $y = -2x - 3$:

• При $x=0$, $y = -2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку (0; -3).
• При $x=-1$, $y = -2 \cdot (-1) - 3 = 2 - 3 = -1$. Получаем точку (-1; -1).

Проводим прямую через эти две точки на той же координатной плоскости.

Что ты наблюдаешь?

После построения графиков на одной координатной плоскости можно наблюдать, что все три прямые параллельны друг другу. Они имеют одинаковый наклон, но пересекают ось ординат ($Oy$) в разных точках:

• $y = -2x$ в точке (0; 0)
• $y = -2x + 1$ в точке (0; 1)
• $y = -2x - 3$ в точке (0; -3)

График $y = -2x + 1$ — это график $y = -2x$, сдвинутый на 1 единицу вверх по оси $Oy$. График $y = -2x - 3$ — это график $y = -2x$, сдвинутый на 3 единицы вниз по оси $Oy$.

Ответ: Построенные графики являются параллельными прямыми.

Сформулируй гипотезу.

Все данные функции относятся к виду $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$, который отвечает за наклон прямой, для всех трех функций одинаков и равен -2. Свободный член $b$, который показывает точку пересечения с осью $Oy$, у всех функций разный (0, 1, и -3).

Отсюда можно сформулировать гипотезу: графики линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Ответ: Графики линейных функций вида $y = kx + b$ являются параллельными прямыми, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $b$ — различны.

225 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей: $y = -2x$, $y = -2x + 1$ и $y = -2x - 3$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

226 Построй на одной координатной плоскости графики зависимости $y=kx$, если $k = -\frac{1}{3}$, $k = -1$ и $k = -3$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Построй на одной координатной плоскости графики зависимости y = kx, если k = -1/3, k = -1 и k = -3.

Графиком функции $y=kx$ является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для построения прямой достаточно найти еще одну точку для каждого значения коэффициента $k$.

1. При $k = -\frac{1}{3}$, функция имеет вид $y = -\frac{1}{3}x$.
Для нахождения второй точки выберем значение $x$, кратное 3, например, $x=3$. Тогда $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$.
Таким образом, вторая точка для построения этого графика — $(3, -1)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(3, -1)$.

2. При $k = -1$, функция имеет вид $y = -x$.
Выберем $x=2$, тогда $y = -2$.
Вторая точка — $(2, -2)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, -2)$.

3. При $k = -3$, функция имеет вид $y = -3x$.
Выберем $x=1$, тогда $y = -3 \cdot 1 = -3$.
Вторая точка — $(1, -3)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

Ответ: Графики строятся по двум точкам. Одна точка для всех графиков — начало координат $(0, 0)$. Вторые точки для каждого графика: для $y = -\frac{1}{3}x$ — точка $(3, -1)$; для $y = -x$ — точка $(2, -2)$; для $y = -3x$ — точка $(1, -3)$.

Что ты наблюдаешь?

Все построенные графики — это прямые линии, которые проходят через начало координат. Поскольку во всех трех случаях коэффициент $k$ отрицательный ($k<0$), все прямые расположены во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях. Прямые имеют разный угол наклона к оси абсцисс ($Ox$). График $y = -3x$ расположен ближе всего к оси ординат ($Oy$), то есть является самым «крутым». График $y = -\frac{1}{3}x$ расположен ближе всего к оси абсцисс ($Ox$), то есть является самым «пологим».

Ответ: Все графики — прямые, проходящие через начало координат и расположенные во II и IV координатных четвертях. Чем больше модуль коэффициента $k$, тем круче расположен график (ближе к оси $Oy$).

Сформулируй гипотезу.

На основе наблюдений можно выдвинуть следующую гипотезу о свойствах графика функции $y=kx$:

1. График функции $y=kx$ всегда является прямой, проходящей через начало координат $(0,0)$.

2. Знак коэффициента $k$ определяет, в каких координатных четвертях расположен график. Если $k>0$, то в I и III четвертях. Если $k<0$ (как в нашем случае), то во II и IV четвертях.

3. Абсолютное значение коэффициента $k$ (его модуль $|k|$) определяет угол наклона прямой к оси $Ox$. Чем больше значение $|k|$, тем «круче» идет график, то есть тем ближе он расположен к оси $Oy$. Чем меньше значение $|k|$, тем график более «пологий», то есть расположен ближе к оси $Ox$.

Ответ: Гипотеза: График функции $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат. Расположение графика зависит от знака $k$: при $k<0$ он находится во II и IV четвертях, а при $k>0$ — в I и III. Угол наклона графика к осям зависит от модуля $k$: чем больше $|k|$, тем прямая круче (ближе к оси $Oy$).

226 Построй на одной координатной плоскости графики зависимости $y = kx$, если $k = -\frac{1}{3}$, $k = -1$ и $k = -3$. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

227 Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи $(a, c, n, x \neq 0)$:

а) $- \frac{a}{4} + \frac{a}{12}$;

б) $- \frac{2b}{c} - \frac{c}{2}$;

в) $- \frac{n^2}{ax} \cdot \left(-\frac{a^2}{n}\right)$;

г) $- \frac{3}{c} : \frac{6}{c^2}$.

а) Чтобы сложить дроби $-\frac{a}{4}$ и $\frac{a}{12}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 это 12.
Дополнительный множитель для первой дроби: $12 : 4 = 3$.
$-\frac{a}{4} + \frac{a}{12} = -\frac{a \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{a}{12} = -\frac{3a}{12} + \frac{a}{12}$
Сложим числители, оставив знаменатель прежним:
$\frac{-3a + a}{12} = \frac{-2a}{12}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{-2a}{12} = -\frac{a}{6}$
Ответ: $-\frac{a}{6}$

б) Чтобы вычесть дроби $-\frac{2b}{c}$ и $\frac{c}{2}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $c$ и 2 это $2c$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $2c : c = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $2c : 2 = c$.
$-\frac{2b}{c} - \frac{c}{2} = -\frac{2b \cdot 2}{c \cdot 2} - \frac{c \cdot c}{2 \cdot c} = -\frac{4b}{2c} - \frac{c^2}{2c}$
Объединим дроби под общим знаменателем:
$\frac{-4b - c^2}{2c} = -\frac{4b + c^2}{2c}$
Эту дробь сократить нельзя.
Ответ: $-\frac{4b + c^2}{2c}$

в) Чтобы перемножить дроби $-\frac{n^2}{ax}$ и $(-\frac{a^2}{n})$, сначала определим знак произведения. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$-\frac{n^2}{ax} \cdot (-\frac{a^2}{n}) = \frac{n^2}{ax} \cdot \frac{a^2}{n}$
Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{n^2 \cdot a^2}{ax \cdot n}$
Сократим полученную дробь. Сокращаем на $a$ и на $n$:
$\frac{n^{2-1} \cdot a^{2-1}}{x} = \frac{n \cdot a}{x} = \frac{an}{x}$
Ответ: $\frac{an}{x}$

г) Чтобы разделить дробь $-\frac{3}{c}$ на $\frac{6}{c^2}$, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$-\frac{3}{c} : \frac{6}{c^2} = -\frac{3}{c} \cdot \frac{c^2}{6}$
Выполним умножение:
$-\frac{3 \cdot c^2}{c \cdot 6}$
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель можно сократить на 3 и на $c$:
$-\frac{3 \cdot c \cdot c}{c \cdot 2 \cdot 3} = -\frac{c}{2}$
Ответ: $-\frac{c}{2}$

227. Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи ($a, c, n, x \neq 0$):

а) $-\frac{a}{4} + \frac{a}{12}$;

б) $-\frac{2b}{c} - \frac{c}{2}$;

в) $-\frac{n^2}{ax} \cdot (-\frac{a^2}{n})$;

г) $-\frac{3}{c} : \frac{6}{c^2}$

228 Расстояние от дома до школы Петя проходит пешком за треть часа, а на велосипеде проезжает за 8 мин. На каком расстоянии от школы он живёт, если его скорость на велосипеде на 9 км/ч больше, чем скорость пешком?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $S$ — искомое расстояние от дома до школы в километрах, $v_{пеш}$ — скорость Пети пешком в км/ч, а $v_{вел}$ — его скорость на велосипеде в км/ч.

Сначала приведем все единицы времени к часам.
Время в пути пешком: $t_{пеш} = \frac{1}{3}$ часа.
Время в пути на велосипеде: $t_{вел} = 8$ мин. Чтобы перевести минуты в часы, нужно разделить их на 60: $t_{вел} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ часа.

Расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$). Мы можем выразить расстояние двумя способами:
1. Для движения пешком: $S = v_{пеш} \cdot t_{пеш} = v_{пеш} \cdot \frac{1}{3}$
2. Для движения на велосипеде: $S = v_{вел} \cdot t_{вел} = v_{вел} \cdot \frac{2}{15}$

Поскольку расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения:
$v_{пеш} \cdot \frac{1}{3} = v_{вел} \cdot \frac{2}{15}$

Из условия задачи известно, что скорость на велосипеде на 9 км/ч больше скорости пешком:
$v_{вел} = v_{пеш} + 9$

Подставим это выражение в наше уравнение:
$\frac{1}{3} v_{пеш} = \frac{2}{15} (v_{пеш} + 9)$

Теперь решим полученное уравнение. Для удобства умножим обе части на 15, чтобы избавиться от знаменателей:
$15 \cdot \frac{1}{3} v_{пеш} = 15 \cdot \frac{2}{15} (v_{пеш} + 9)$
$5 v_{пеш} = 2 (v_{пеш} + 9)$
$5 v_{пеш} = 2 v_{пеш} + 18$
$5 v_{пеш} - 2 v_{пеш} = 18$
$3 v_{пеш} = 18$
$v_{пеш} = \frac{18}{3} = 6$ км/ч.

Мы нашли скорость Пети пешком. Теперь можем найти расстояние, подставив это значение в одну из формул для $S$:
$S = v_{пеш} \cdot t_{пеш} = 6 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{6}{3} = 2$ км.

Ответ: Петя живёт на расстоянии 2 км от школы.

228 Расстояние от дома до школы Петя проходит пешком за треть часа, а на велосипеде проезжает за 8 мин. На каком расстоянии от школы он живет, если его скорость на велосипеде на 9 км/ч больше, чем скорость пешком?

229 Найди значение выражения

$\frac{(4.5 \cdot 1\frac{2}{3} - 6.75) : \frac{2}{3}}{(3\frac{1}{3} \cdot 0.3 + 5\frac{1}{3} : \frac{1}{8}) : 2\frac{2}{3}} + \frac{1\frac{4}{11} \cdot 0.22 : 0.3 - 0.96}{(0.2 - \frac{3}{40}) \cdot 1.6}$

Для нахождения значения выражения, вычислим каждую из двух дробей (слагаемых) по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

Вычисление первого слагаемого

Первое слагаемое: $ \frac{(4,5 \cdot 1\frac{2}{3} - 6,75) \cdot \frac{2}{3}}{(3\frac{1}{3} \cdot 0,3 + 5\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}) : 2\frac{2}{3}} $.

1. Вычислим числитель: $ (4,5 \cdot 1\frac{2}{3} - 6,75) \cdot \frac{2}{3} $.
Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:
$ 4,5 = \frac{9}{2} $; $ 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} $; $ 6,75 = 6\frac{75}{100} = 6\frac{3}{4} = \frac{27}{4} $.
Сначала выполним действия в скобках:
$ \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{3} - \frac{27}{4} = \frac{3 \cdot 5}{2} - \frac{27}{4} = \frac{15}{2} - \frac{27}{4} = \frac{30}{4} - \frac{27}{4} = \frac{3}{4} $.
Затем умножим результат на $ \frac{2}{3} $:
$ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Таким образом, числитель первой дроби равен $ \frac{1}{2} $.

2. Вычислим знаменатель: $ (3\frac{1}{3} \cdot 0,3 + 5\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}) : 2\frac{2}{3} $.
Преобразуем числа в обыкновенные дроби:
$ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3} $; $ 0,3 = \frac{3}{10} $; $ 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3} $; $ 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} $.
Выполним действия в скобках:
$ \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{10} + \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{8} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $.
Теперь разделим результат на $ \frac{8}{3} $:
$ \frac{5}{3} : \frac{8}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $.
Таким образом, знаменатель первой дроби равен $ \frac{5}{8} $.

3. Найдем значение первого слагаемого, разделив числитель на знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $.

Вычисление второго слагаемого

Второе слагаемое: $ \frac{1\frac{4}{11} \cdot 0,22 : 0,3 - 0,96}{(0,2 - \frac{3}{40}) \cdot 1,6} $.

1. Вычислим числитель: $ 1\frac{4}{11} \cdot 0,22 : 0,3 - 0,96 $.
Преобразуем числа в обыкновенные дроби:
$ 1\frac{4}{11} = \frac{15}{11} $; $ 0,22 = \frac{22}{100} = \frac{11}{50} $; $ 0,3 = \frac{3}{10} $; $ 0,96 = \frac{96}{100} = \frac{24}{25} $.
Выполним действия в порядке их очередности:
$ \frac{15}{11} \cdot \frac{11}{50} = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} $.
$ \frac{3}{10} : \frac{3}{10} = 1 $.
$ 1 - \frac{24}{25} = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} $.
Таким образом, числитель второй дроби равен $ \frac{1}{25} $.

2. Вычислим знаменатель: $ (0,2 - \frac{3}{40}) \cdot 1,6 $.
Преобразуем числа в обыкновенные дроби:
$ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $; $ 1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} $.
Выполним действие в скобках:
$ \frac{1}{5} - \frac{3}{40} = \frac{8}{40} - \frac{3}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} $.
Теперь умножим результат на $ \frac{8}{5} $:
$ \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5} = \frac{1}{5} $.
Таким образом, знаменатель второй дроби равен $ \frac{1}{5} $.

3. Найдем значение второго слагаемого, разделив числитель на знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{25} \cdot 5 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $.

Итоговое значение выражения

Теперь сложим значения первого и второго слагаемых:
$ \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1 $.

Ответ: 1

229 Найди значение выражения:

$\frac{(4.5 \cdot 1\frac{2}{3} - 6.75) \cdot \frac{2}{3}}{(3\frac{1}{3} \cdot 0.3 + 5\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}) \div 2\frac{2}{3}} + \frac{1\frac{4}{11} \cdot 0.22 \div 0.3 - 0.96}{(0.2 - \frac{3}{40}) \cdot 1.6}$

C 230* Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,01$?

А если 0,01 заменить на 0,005?

Рассмотрим данное двойное неравенство: $0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,01$.

Приведем дроби в средней части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 13 и 8 равен $13 \cdot 8 = 104$.

Неравенство примет вид: $0 < \frac{8m}{104} - \frac{13n}{104} < 0,01$

$0 < \frac{8m - 13n}{104} < 0,01$

Умножим все части неравенства на 104, чтобы избавиться от знаменателя.

$0 \cdot 104 < 8m - 13n < 0,01 \cdot 104$

$0 < 8m - 13n < 1,04$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то и выражение $8m - 13n$ является целым числом. Единственное целое число, которое находится в интервале $(0; 1,04)$ — это число 1.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти, существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, для которых выполняется равенство:

$8m - 13n = 1$

Это линейное диофантово уравнение. Так как наибольший общий делитель коэффициентов при $m$ и $n$, $\text{НОД}(8, 13) = 1$, а 1 делится на 1, уравнение имеет решения в целых числах. Найдем одно из них подбором.

$8m = 13n + 1$

Переберем несколько натуральных значений $n$:

• Если $n=1$, то $13 \cdot 1 + 1 = 14$, не делится на 8.
• Если $n=2$, то $13 \cdot 2 + 1 = 27$, не делится на 8.
• Если $n=3$, то $13 \cdot 3 + 1 = 40$. $40 = 8 \cdot 5$. Отсюда $m=5$.

Мы нашли пару натуральных чисел $m=5$ и $n=3$, которые удовлетворяют уравнению $8m - 13n = 1$. Следовательно, для этих чисел выполняется и исходное неравенство.

Проверим: $\frac{5}{13} - \frac{3}{8} = \frac{40 - 39}{104} = \frac{1}{104}$.

$0 < \frac{1}{104} < 0,01 \iff 0 < 1 < 1,04$. Неравенство верное.

Ответ: Да, существуют. Например, $m=5$ и $n=3$.

А если 0,01 заменить на 0,005?

В этом случае исходное неравенство будет выглядеть так:

$0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,005$

Выполнив те же преобразования, что и в первом пункте, получим:

$0 < 8m - 13n < 0,005 \cdot 104$

$0 < 8m - 13n < 0,52$

Выражение $8m - 13n$ должно быть целым числом. Однако в интервале $(0; 0,52)$ нет ни одного целого числа.

Следовательно, не существует таких целых (а значит, и натуральных) чисел $m$ и $n$, которые удовлетворяли бы этому неравенству.

Ответ: Нет, не существуют.

c 230

Существуют ли такие натуральные числа m и n, что $0 < \frac{m}{13} - \frac{n}{8} < 0,01$.

А если 0,01 заменить на 0,005?