Страница 55, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

215 Придумай задачи по схемам и реши их.

1) Скорость первого объекта: $8 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $12 \text{ км/ч}$. Объекты движутся навстречу друг другу. Общая начальная дистанция: $56 \text{ км}$. Дистанция, пройденная первым объектом до встречи: $? \text{ км}$.

Известно:

$t = 2,5 \text{ ч}$

$d_{2,5} = 56 \text{ км}$

$d_0 = ?$

2) Скорость первого объекта: $68 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $14 \text{ км/ч}$. Объекты движутся в одном направлении, начиная с одной точки. На схеме обозначена дистанция $81 \text{ км}$.

Известно:

$t_{\text{встр.}} = ?$

$d_1 = ?$

$d_4 = ?$

3) Скорость первого объекта: $3,4 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $4,2 \text{ км/ч}$. Объекты движутся навстречу друг другу. Дистанция, пройденная первым объектом до встречи: $19 \text{ км}$. Общая начальная дистанция: $? \text{ км}$.

Известно:

$t = 2 \text{ ч}$

$d_2 = 19 \text{ км}$

$s = ?$

$t_{\text{встр.}} = ?$

4) Скорость первого объекта: $4 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $16 \text{ км/ч}$. Объекты движутся в одном направлении, начиная с одной точки. На схеме обозначена дистанция $14 \text{ км}$.

Известно:

$d_t = 50 \text{ км}$

$t = ?$

215 Придумай задачи по схемам и реши их:

1) Два объекта, расстояние между которыми неизвестно ($d_0$), движутся навстречу друг другу. Скорость первого объекта $8$ км/ч, второго $12$ км/ч. Через $2,5$ часа расстояние между ними стало $56$ км. Каково было начальное расстояние между ними ($d_0$)?

Решение:
Скорость сближения $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 8 + 12 = 20$ км/ч.
За $t=2,5$ часа они преодолели: $S = v_{сбл} \times t = 20 \times 2,5 = 50$ км.
Начальное расстояние: $d_0 = S + d_{2,5} = 50 + 56 = 106$ км.
Ответ: $d_0 = 106$ км.

2) Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля $68$ км/ч, скорость второго $14$ км/ч. а) Через какое время первый автомобиль опередит второй на $81$ км? ($t_{встр.}$) б) Каково будет расстояние между ними через $1$ час? ($d_1$) в) Каково будет расстояние между ними через $4$ часа? ($d_4$)

Решение:
Скорость опережения (относительная скорость): $v_{отн} = v_1 - v_2 = 68 - 14 = 54$ км/ч.
а) Время, когда первый автомобиль опередит второй на $81$ км: $t_{встр.} = \frac{81}{v_{отн}} = \frac{81}{54} = 1,5$ ч.
б) Расстояние между ними через $1$ час: $d_1 = v_{отн} \times 1 = 54 \times 1 = 54$ км.
в) Расстояние между ними через $4$ часа: $d_4 = v_{отн} \times 4 = 54 \times 4 = 216$ км.
Ответ: $t_{встр.} = 1,5$ ч, $d_1 = 54$ км, $d_4 = 216$ км.

3) Два объекта начали движение из двух пунктов, расстояние между которыми неизвестно ($d_0$), и движутся в противоположных направлениях (отдаляются друг от друга). Скорость первого объекта $3,4$ км/ч, второго $4,2$ км/ч. Через $2$ часа расстояние между ними стало $19$ км. а) Каково было начальное расстояние между ними ($d_0$)? б) Насколько увеличилось расстояние между ними за $2$ часа? ($s$) в) Имеет ли смысл вопрос о времени встречи ($t_{встр.}$)?

Решение:
Скорость удаления: $v_{удал} = v_1 + v_2 = 3,4 + 4,2 = 7,6$ км/ч.
За $t=2$ часа они удалились друг от друга на: $S_{удал} = v_{удал} \times t = 7,6 \times 2 = 15,2$ км.
а) Начальное расстояние: $d_0 = d_2 - S_{удал} = 19 - 15,2 = 3,8$ км.
б) Расстояние увеличилось на $s = S_{удал} = 15,2$ км.
в) Вопрос о времени встречи ($t_{встр.}$) не имеет смысла, так как объекты удаляются друг от друга.

4) Из двух пунктов, расстояние между которыми $14$ км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль (более медленный) движется со скоростью $4$ км/ч, второй (более быстрый) - со скоростью $16$ км/ч. Второй автомобиль находится впереди первого. Через какое время расстояние между ними станет $50$ км?

Решение:
Скорость удаления (относительная скорость): $v_{удал} = v_2 - v_1 = 16 - 4 = 12$ км/ч.
Расстояние, на которое они удалились друг от друга дополнительно: $S_{доп} = d_t - d_0 = 50 - 14 = 36$ км.
Время: $t = \frac{S_{доп}}{v_{удал}} = \frac{36}{12} = 3$ ч.
Ответ: $t = 3$ ч.

216 1) Бассейн при одновременном включении трёх труб может наполниться за 4 ч, через одну первую трубу – за 10 ч, а через одну вторую – за 15 ч. За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну третью трубу?

2) Двум экскаваторам дано задание вырыть котлован. Работая вместе, они могут выполнить это задание за 20 дней. Но сначала 24 дня проработал один экскаватор, а затем работу закончил второй. За сколько времени было выполнено задание, если экскаватор, работавший первым, может один вырыть весь котлован за 36 дней?

1)

Примем объем всего бассейна за 1 единицу.

Пусть $P_1$, $P_2$ и $P_3$ – производительности (скорость наполнения) первой, второй и третьей труб соответственно, измеряемые в частях бассейна в час.

Согласно условию, три трубы вместе наполняют бассейн за 4 часа. Их общая производительность составляет:

$P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4}$ бассейна/час.

Первая труба одна наполняет бассейн за 10 часов, значит, её производительность:

$P_1 = \frac{1}{10}$ бассейна/час.

Вторая труба одна наполняет бассейн за 15 часов, её производительность:

$P_2 = \frac{1}{15}$ бассейна/час.

Чтобы найти производительность третьей трубы ($P_3$), нужно из общей производительности вычесть производительности первой и второй труб:

$P_3 = (P_1 + P_2 + P_3) - P_1 - P_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$.

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 4, 10 и 15 равно 60.

$P_3 = \frac{1 \cdot 15}{60} - \frac{1 \cdot 6}{60} - \frac{1 \cdot 4}{60} = \frac{15 - 6 - 4}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ бассейна/час.

Теперь, зная производительность третьей трубы, можно найти время ($T_3$), за которое она одна наполнит бассейн. Время является величиной, обратной производительности:

$T_3 = \frac{1}{P_3} = \frac{1}{1/12} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

2)

Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1 единицу.

Пусть $E_1$ и $E_2$ – производительности (скорость работы) первого и второго экскаваторов соответственно, измеряемые в частях котлована в день.

Работая вместе, они выполняют задание за 20 дней. Их совместная производительность равна:

$E_1 + E_2 = \frac{1}{20}$ котлована/день.

Первый экскаватор, работая один, может вырыть котлован за 36 дней. Его производительность составляет:

$E_1 = \frac{1}{36}$ котлована/день.

Найдем производительность второго экскаватора:

$E_2 = (E_1 + E_2) - E_1 = \frac{1}{20} - \frac{1}{36}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$E_2 = \frac{9}{180} - \frac{5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$ котлована/день.

Далее, по условию, первый экскаватор проработал 24 дня. Найдем, какую часть работы он выполнил за это время:

$W_1 = E_1 \times t_1 = \frac{1}{36} \times 24 = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ всей работы.

Оставшаяся часть работы, которую закончил второй экскаватор:

$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ всей работы.

Найдем время ($t_2$), которое потребовалось второму экскаватору, чтобы выполнить оставшуюся часть работы:

$t_2 = \frac{W_{ост}}{E_2} = \frac{1/3}{1/45} = \frac{1}{3} \times 45 = 15$ дней.

Общее время, затраченное на выполнение всего задания, равно сумме времени работы первого и второго экскаваторов:

$T_{общ} = t_1 + t_2 = 24 + 15 = 39$ дней.

Ответ: 39 дней.

216 1) Бассейн при одновременном включении трех труб может наполниться за 4 ч, через одну первую трубу – за 10 ч, а через одну вторую – за 15 ч. За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну третью трубу?

2) Двум экскаваторам дано задание вырыть котлован. Работая вместе, они могут выполнить это задание за 20 дней. Но сначала 24 дня проработал один экскаватор, а затем работу закончил второй. За сколько времени было выполнено задание, если экскаватор, работавший первым, может один вырыть весь котлован за 36 дней?

C 217* Найти лишнее слово и объясни, почему оно лишнее. Если возможно, укажи несколько вариантов решения.

1) КАПИТАН, ФЕНОМЕН, ОГОРОД, РАБОТА, ОПЕРАТОР;

2) ОДОКРИЛК, КРОЧЕВC, ШАРКААДН, ААЛИНТПО, УУНГРЕК.

1) КАПИТАН, ФЕНОМЕН, ОГОРОД, РАБОТА, ОПЕРАТОР

Вариант 1. Лишнее слово – РАБОТА. Все остальные слова в этом ряду (капитан, феномен, огород, оператор) являются именами существительными мужского рода, в то время как «работа» – это существительное женского рода.

Ответ: РАБОТА.

Вариант 2. Лишнее слово – ОПЕРАТОР. В этом слове четыре слога (о-пе-ра-тор), а во всех остальных словах – по три слога (ка-пи-тан, фе-но-мен, о-го-род, ра-бо-та).

Ответ: ОПЕРАТОР.

Вариант 3. Лишнее слово – КАПИТАН. Это единственное слово из предложенных, в котором отсутствует буква «О». Все остальные слова (феномен, огород, работа, оператор) содержат эту букву.

Ответ: КАПИТАН.

2) ОДОКРИЛК, КРОЧЕВС, ШАРКААДН, ААЛИНТПО, УУНГРЕК

Слова в этом ряду являются анаграммами. Чтобы найти лишнее, нужно сначала восстановить исходные слова:

• ОДОКРИЛК → КРОКОДИЛ
• КРОЧЕВС → СКВОРЕЦ
• ШАРКААДН → КАРАНДАШ
• ААЛИНТПО → АНТИЛОПА
• УУНГРЕК → КЕНГУРУ

Вариант 1. Лишнее слово – ШАРКААДН. После расшифровки получаем четыре названия животных (крокодил, скворец, антилопа, кенгуру) и один неодушевлённый предмет – карандаш. Таким образом, слово «карандаш» является лишним по смыслу.

Ответ: ШАРКААДН.

Вариант 2. Лишнее слово – КРОЧЕВС. Это единственное слово в исходном (зашифрованном) списке, в котором нет повторяющихся букв. В остальных словах буквы повторяются: ОДОКРИЛК (две «О»), ШАРКААДН (три «А»), ААЛИНТПО (две «А»), УУНГРЕК (две «У»).

Ответ: КРОЧЕВС.

С 217 Найди лишнее слово и объясни, почему оно лишнее. Если возможно, укажи несколько вариантов решения.

1) КАПИТАН, ФЕНОМЕН, ОГОРОД, РАБОТА, ОПЕРАТОР;

2) ОДОКРИЛК, КРОЧЕВC, ШАРКААДН, ААЛИHТПО, УУНГРЕК.

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

1) Пусть дано произвольное натуральное число $n$.

Квадрат этого числа равен $n^2$.

Предыдущее натуральное число равно $(n-1)$, а следующее за ним равно $(n+1)$.

Произведение предыдущего и следующего чисел равно $(n-1)(n+1)$.

Нам необходимо доказать, что $n^2 > (n-1)(n+1)$.

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь неравенство принимает вид:

$n^2 > n^2 - 1$.

Вычтем из обеих частей неравенства $n^2$:

$n^2 - n^2 > n^2 - 1 - n^2$

$0 > -1$.

Последнее неравенство является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $n^2 > (n-1)(n+1)$ также верно для любого натурального числа $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

2) Пусть $N$ — искомое натуральное число, а $S(N)$ — сумма его цифр. По условию задачи должно выполняться равенство: $N = 3 \cdot S(N)$.

Оценим количество цифр в числе $N$. Пусть в числе $N$ ровно $k$ цифр.

Наименьшее $k$-значное число — это $10^{k-1}$. Наибольшая возможная сумма цифр для $k$-значного числа — это $9k$ (например, для числа, состоящего из $k$ девяток).

Из условия $N = 3 \cdot S(N)$ следует, что $10^{k-1} \le N \le 3 \cdot (9k)$, то есть $10^{k-1} \le 27k$.

Проверим это неравенство для различных натуральных $k$:

• При $k=1$: $10^{1-1} = 10^0 = 1$. $27 \cdot 1 = 27$. Неравенство $1 \le 27$ верно. Значит, число может быть однозначным.
• При $k=2$: $10^{2-1} = 10^1 = 10$. $27 \cdot 2 = 54$. Неравенство $10 \le 54$ верно. Значит, число может быть двузначным.
• При $k=3$: $10^{3-1} = 10^2 = 100$. $27 \cdot 3 = 81$. Неравенство $100 \le 81$ ложно. Значит, трёхзначных решений не существует.

При $k > 3$ левая часть неравенства $10^{k-1}$ растёт гораздо быстрее, чем правая $27k$, поэтому для $k \ge 3$ решений нет. Следовательно, искомое число может быть только однозначным или двузначным.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Число однозначное.

Пусть $N = a$, где $a$ — цифра от 1 до 9. Тогда $S(N) = a$. Уравнение принимает вид: $a = 3 \cdot a$. Отсюда $2a = 0$, то есть $a=0$. Но 0 не является натуральным числом, поэтому однозначных решений нет.

Случай 2: Число двузначное.

Пусть $N = 10a + b$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9. Тогда $S(N) = a+b$. Уравнение принимает вид:

$10a + b = 3(a+b)$

$10a + b = 3a + 3b$

$7a = 2b$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, а 7 и 2 — взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 2, а $b$ должно быть кратно 7. Учитывая, что $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$, проверим возможные значения.

Единственная ненулевая цифра, кратная 7, это $b=7$. Подставим это значение в уравнение:

$7a = 2 \cdot 7$

$7a = 14$

$a=2$

Цифра $a=2$ удовлетворяет условию $a \in \{1, ..., 9\}$. Таким образом, мы нашли единственное двузначное число: $N=27$.

Проверка: Сумма цифр числа 27 равна $2+7=9$. Утроенная сумма цифр равна $3 \cdot 9 = 27$. Условие $27=27$ выполняется.

Ответ: 27.

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

219 Два путника вышли одновременно – один из А в В, а другой из В в А. Шли они равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому осталось идти ещё 16 ч, а второму – 9 ч. Через сколько часов после выхода они встретились?

Решение

Пусть $v_1$ – скорость первого путника (из А в В), а $v_2$ – скорость второго путника (из В в А). Пусть $t$ – время, которое они шли до встречи. Это искомое время.

К моменту встречи первый путник прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$. Второй путник за то же время прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t$.

После встречи первому путнику, чтобы дойти до пункта В, осталось пройти расстояние, которое уже прошел второй путник, то есть $S_2$. По условию, на это ему понадобится 16 часов. Значит, можно записать:
$S_2 = v_1 \cdot 16$

Аналогично, второму путнику, чтобы дойти до пункта А, осталось пройти расстояние, которое уже прошел первый путник, то есть $S_1$. По условию, на это ему понадобится 9 часов. Значит:
$S_1 = v_2 \cdot 9$

Теперь мы имеем систему уравнений. Подставим в первые два уравнения выражения для $S_1$ и $S_2$ из последних двух:
$v_2 \cdot 9 = v_1 \cdot t$
$v_1 \cdot 16 = v_2 \cdot t$

Выразим из обоих уравнений отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{t}$
Из второго уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{16}$

Так как левые части этих выражений равны, мы можем приравнять их правые части:
$\frac{9}{t} = \frac{t}{16}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:
$t \cdot t = 9 \cdot 16$
$t^2 = 144$
$t = \sqrt{144}$
$t = 12$

Путники встретились через 12 часов после выхода.
Ответ: 12 часов.

219 Два путника вышли одновременно – один из A в B, а другой из B в A. Шли они равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 16 ч, а второму – 9 ч. Через сколько часов после выхода они встретились?

220 Три клоуна, Бим, Бом и Бам, вышли на арену цирка соответственно в красной, зелёной и синей рубашках. Их туфли также были трёх цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зелёных туфлях и рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Для решения этой логической задачи давайте последовательно разберем все известные факты.

Сначала определим цвета рубашек клоунов. В условии сказано, что Бим, Бом и Бам вышли на арену соответственно в красной, зелёной и синей рубашках. Это значит:

• У Бима — красная рубашка.
• У Бома — зелёная рубашка.
• У Бама — синяя рубашка.

Теперь, зная цвет рубашек, установим цвет туфель для каждого клоуна, используя остальные условия.

Из условия "У Бима цвета рубашки и туфель совпадали" следует, что раз его рубашка красная, то и туфли у него тоже красные.

Далее, в условии говорится: "Бам был в зелёных туфлях". Мы уже знаем, что рубашка у Бама синяя. Это соответствует части условия "и рубашке другого цвета", так как синий и зелёный — разные цвета.

Осталось определить цвет туфель Бома. Всего было три цвета туфель: красный, зелёный и синий. Красные туфли носит Бим, а зелёные — Бам. Методом исключения заключаем, что Бому достались синие туфли. Проверим это по последнему условию: "У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными". У Бома зелёная рубашка и синие туфли — оба цвета не красные, значит, наше решение верное.

Ответ:

• Бим был одет в красную рубашку и красные туфли.
• Бом был одет в зелёную рубашку и синие туфли.
• Бам был одет в синюю рубашку и зелёные туфли.

220 Три клоуна, Бим, Бом и Бам, вышли на арену цирка соответственно в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли также были трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях и рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

213 Для 8 человек, отправляющихся в экспедицию на 30 дней, заготовлено 180 кг крупы.

1) Сколько килограммов крупы при той же норме надо добавить к уже заготовленной, если в экспедицию отправляются 5 человек на 80 дней?

2) На сколько дней хватит 360 кг крупы, если в экспедицию отправляются 12 человек?

Для решения задачи сначала найдем норму потребления крупы на одного человека в день, исходя из начальных данных.

Изначально было 8 человек, экспедиция длилась 30 дней, и на это было заготовлено 180 кг крупы.
1. Рассчитаем общее количество "человеко-дней" в первой экспедиции:
$8 \text{ человек} \times 30 \text{ дней} = 240 \text{ человеко-дней}$.
2. Теперь найдем, сколько килограммов крупы приходится на один человеко-день (это и будет норма потребления):
$180 \text{ кг} \div 240 \text{ человеко-дней} = 0.75$ кг/человеко-день.

1) Сколько килограммов крупы при той же норме надо добавить к уже заготовленной, если в экспедицию отправляются 5 человек на 80 дней?

1. Рассчитаем, сколько всего крупы потребуется для новой экспедиции (5 человек на 80 дней). Сначала найдем общее количество человеко-дней:
$5 \text{ человек} \times 80 \text{ дней} = 400 \text{ человеко-дней}$.
2. Теперь, зная норму (0.75 кг/человеко-день), рассчитаем общее количество необходимой крупы:
$400 \text{ человеко-дней} \times 0.75 \text{ кг/человеко-день} = 300$ кг.
3. Изначально было заготовлено 180 кг. Чтобы найти, сколько нужно добавить, вычтем из необходимого количества уже имеющееся:
$300 \text{ кг} - 180 \text{ кг} = 120$ кг.
Ответ: надо добавить 120 кг крупы.

2) На сколько дней хватит 360 кг крупы, если в экспедицию отправляются 12 человек?

1. Рассчитаем, сколько крупы в день будет потреблять новая группа из 12 человек, используя ту же норму:
$12 \text{ человек} \times 0.75 \text{ кг/человеко-день} = 9$ кг/день.
2. Теперь, зная общее количество крупы (360 кг) и дневной расход (9 кг/день), найдем, на сколько дней хватит запасов:
$360 \text{ кг} \div 9 \text{ кг/день} = 40$ дней.
Ответ: 360 кг крупы хватит на 40 дней.

213 Для 8 человек, отправляющихся в экспедицию на 30 дней, заготовлено 180 кг крупы.

1) Сколько килограммов крупы при той же норме надо добавить к уже заготовленной, если в экспедицию отправляются 5 человек на 80 дней?

2) На сколько дней хватит 360 кг крупы, если в экспедицию отправляются 12 человек?

$\Pi$ 214 Интеллектуальная разминка

Подбери для данных трёх слов четвёртое так, чтобы оно «относилось» к третьему, как второе к первому.

1) Труд – награда, лень – ...

2) Дружба – любовь, вражда – ...

3) Кино – экран, театр – ...

4) Человек – туловище, дерево – ...

1) Труд – награда, лень – ...

В этой паре устанавливается связь между действием и его закономерным результатом. Труд как положительное усилие вознаграждается. Лень — это антоним труда, то есть отсутствие усилия или бездействие. Следовательно, результат лени должен быть противоположен награде. Таким результатом является наказание или порицание.

Ответ: наказание.

2) Дружба – любовь, вражда – ...

Здесь прослеживается связь по степени интенсивности чувства. Любовь можно рассматривать как более сильное и глубокое проявление привязанности, чем дружба. Вражда является антонимом дружбы. Соответственно, для вражды нужно подобрать понятие, которое будет выражать крайнюю степень неприязни и будет антонимом любви. Этому условию соответствует слово "ненависть".

Ответ: ненависть.

3) Кино – экран, театр – ...

Аналогия построена на соотношении "вид искусства/место действия – площадка для представления". В кино действие разворачивается на экране. В театре аналогичную функцию выполняет сцена, на которой играют актеры. Таким образом, экран для кино — это то же самое, что сцена для театра.

Ответ: сцена.

4) Человек – туловище, дерево – ...

В данной аналогии используется принцип "целое – его основная, центральная часть". Туловище является основной частью тела человека, к которой крепятся конечности и голова. У дерева такой же основной, несущей частью, от которой отходят ветви и корни, является ствол.

Ответ: ствол.

$\Pi$ 214 Интеллектуальная разминка.

Подбери для данных трех слов четвертое так, чтобы оно “относилось” к третьему, как второе к первому:

1) Труд – награда, лень – ...

2) Дружба – любовь, вражда – ...

3) Кино – экран, театр – ...

4) Человек – туловище, дерево – ...

215 Вычислили и запиши следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности.

1) $1,2 \cdot 0,5$

$0,024 : 0,08$

$3,1 - 2,95$

$0,005 + 0,07$

2) $1 \frac{7}{9} : 1 \frac{5}{7}$

$6 - 2 \frac{8}{9}$

$3,5 + 5 \frac{5}{6}$

$11 \frac{2}{3} \cdot 2,4$

3) $1600 \cdot 0,00075$

$10,556 : 5,2$

$5 - 1,996$

$2,647 + 1,3535$

4) $4 \frac{1}{12} - 2,75$

$16 : 6 \frac{2}{3}$

$1 \frac{13}{14} + 1,5$

$1 \frac{1}{9} \cdot 4$

Для решения задачи необходимо сначала вычислить результаты всех выражений в каждом из четырех столбцов, а затем определить закономерность в полученных рядах чисел и найти следующий член последовательности для каждого столбца.

Сначала вычислим значения для каждого выражения в первом столбце:

$1,2 \cdot 0,5 = 0,6$

$0,024 : 0,08 = 0,3$

$3,1 - 2,95 = 0,15$

$0,005 + 0,07 = 0,075$

Получаем ряд ответов: $0,6;\ 0,3;\ 0,15;\ 0,075$.

Найдем закономерность в этом ряду. Каждый следующий член ряда получается делением предыдущего на 2:

$0,6 : 2 = 0,3$

$0,3 : 2 = 0,15$

$0,15 : 2 = 0,075$

Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Чтобы найти следующее число в ряду, нужно последний член разделить на 2:

$0,075 : 2 = 0,0375$

Ответ: $0,0375$

Вычислим значения для каждого выражения во втором столбце:

$1\frac{7}{9} : 1\frac{5}{7} = \frac{16}{9} : \frac{12}{7} = \frac{16}{9} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 3} = \frac{28}{27} = 1\frac{1}{27}$

$6 - 2\frac{8}{9} = 5\frac{9}{9} - 2\frac{8}{9} = 3\frac{1}{9}$

$3,5 + 5\frac{5}{6} = 3\frac{1}{2} + 5\frac{5}{6} = 3\frac{3}{6} + 5\frac{5}{6} = 8\frac{8}{6} = 9\frac{2}{6} = 9\frac{1}{3}$

$11\frac{2}{3} \cdot 2,4 = \frac{35}{3} \cdot \frac{24}{10} = \frac{35}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 12}{3} = 7 \cdot 4 = 28$

Получаем ряд ответов: $1\frac{1}{27};\ 3\frac{1}{9};\ 9\frac{1}{3};\ 28$.

Представим числа в виде неправильных дробей: $\frac{28}{27};\ \frac{28}{9};\ \frac{28}{3};\ \frac{28}{1}$.

Закономерность заключается в том, что каждый следующий член ряда в 3 раза больше предыдущего:

$\frac{28}{27} \cdot 3 = \frac{28}{9}$

$\frac{28}{9} \cdot 3 = \frac{28}{3}$

$\frac{28}{3} \cdot 3 = 28$

Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$. Следующее число в ряду будет:

$28 \cdot 3 = 84$

Ответ: $84$

Вычислим значения для каждого выражения в третьем столбце:

$1600 \cdot 0,00075 = 1,2$

$10,556 : 5,2 = 2,03$

$5 - 1,996 = 3,004$

$2,647 + 1,3535 = 4,0005$

Получаем ряд ответов: $1,2;\ 2,03;\ 3,004;\ 4,0005$.

Проанализируем закономерность. Целая часть каждого следующего числа увеличивается на 1. Дробная часть также меняется по определенному правилу.

1-й член: $1,2 = 1 + \frac{2}{10^1}$

2-й член: $2,03 = 2 + \frac{3}{10^2}$

3-й член: $3,004 = 3 + \frac{4}{10^3}$

4-й член: $4,0005 = 4 + \frac{5}{10^4}$

Можно заметить, что n-й член последовательности $a_n$ можно описать формулой $a_n = n + \frac{n+1}{10^n}$.

Чтобы найти пятое число в ряду (при $n=5$), подставим 5 в формулу:

$a_5 = 5 + \frac{5+1}{10^5} = 5 + \frac{6}{100000} = 5 + 0,00006 = 5,00006$

Ответ: $5,00006$

Вычислим значения для каждого выражения в четвертом столбце:

$4\frac{1}{12} - 2,75 = 4\frac{1}{12} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{1}{12} - 2\frac{9}{12} = 3\frac{13}{12} - 2\frac{9}{12} = 1\frac{4}{12} = 1\frac{1}{3}$

$16 : 6\frac{2}{3} = 16 : \frac{20}{3} = 16 \cdot \frac{3}{20} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$

$1\frac{13}{14} + 1,5 = 1\frac{13}{14} + 1\frac{1}{2} = 1\frac{13}{14} + 1\frac{7}{14} = 2\frac{20}{14} = 3\frac{6}{14} = 3\frac{3}{7}$

$1\frac{1}{9} \cdot 4 = \frac{10}{9} \cdot 4 = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$

Получаем ряд ответов: $1\frac{1}{3};\ 2\frac{2}{5};\ 3\frac{3}{7};\ 4\frac{4}{9}$.

Найдем закономерность. Целая часть n-го члена равна $n$. Числитель дробной части также равен $n$. Знаменатель дробной части равен $2n+1$.

1-й член: $1\frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = 1\frac{1}{3}$

2-й член: $2\frac{2}{2 \cdot 2 + 1} = 2\frac{2}{5}$

3-й член: $3\frac{3}{2 \cdot 3 + 1} = 3\frac{3}{7}$

4-й член: $4\frac{4}{2 \cdot 4 + 1} = 4\frac{4}{9}$

Формула n-го члена: $a_n = n\frac{n}{2n+1}$.

Найдем следующий, пятый член последовательности (при $n=5$):

$a_5 = 5\frac{5}{2 \cdot 5 + 1} = 5\frac{5}{10+1} = 5\frac{5}{11}$

Ответ: $5\frac{5}{11}$

215 Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности:

1) $1,2 \cdot 0,5$
$0,024 : 0,08$
$3,1 - 2,95$
$0,005 + 0,07$

2) $1\frac{7}{9} : 1\frac{5}{7}$
$6 - 2\frac{8}{9}$
$3,5 + 5\frac{5}{6}$
$11\frac{2}{3} \cdot 2,4$

3) $1600 \cdot 0,00075$
$10,556 : 5,2$
$5 - 1,996$
$2,647 + 1,3535$

4) $4\frac{1}{12} - 2,75$
$16 : 6\frac{2}{3}$
$1\frac{13}{14} + 1,5$
$1\frac{1}{9} \cdot 4$

216 Как изменятся:

1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 5, а другое увеличить на 4;

2) разность, если уменьшаемое увеличить на 5, а вычитаемое увеличить на 4;

3) произведение, если один множитель уменьшить в 3 раза, а другой – уменьшить в 6 раз;

4) частное, если делимое уменьшить в 3 раза, а делитель уменьшить в 6 раз?

1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 5, а другое увеличить на 4;
Пусть первоначальная сумма $S$ равна сумме двух слагаемых $a$ и $b$:
$S = a + b$
После изменений первое слагаемое станет $(a + 5)$, а второе — $(b + 4)$. Новая сумма $S_1$ будет равна:
$S_1 = (a + 5) + (b + 4)$
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$S_1 = a + b + 5 + 4 = (a + b) + 9$
Так как $a + b = S$, то:
$S_1 = S + 9$
Следовательно, сумма увеличится на 9.
Ответ: увеличится на 9.

2) разность, если уменьшаемое увеличить на 5, а вычитаемое увеличить на 4;
Пусть первоначальная разность $D$ равна разности уменьшаемого $a$ и вычитаемого $b$:
$D = a - b$
После изменений уменьшаемое станет $(a + 5)$, а вычитаемое — $(b + 4)$. Новая разность $D_1$ будет равна:
$D_1 = (a + 5) - (b + 4)$
Раскроем скобки:
$D_1 = a + 5 - b - 4$
Перегруппируем слагаемые:
$D_1 = (a - b) + (5 - 4) = (a - b) + 1$
Так как $a - b = D$, то:
$D_1 = D + 1$
Следовательно, разность увеличится на 1.
Ответ: увеличится на 1.

3) произведение, если один множитель уменьшить в 3 раза, а другой - уменьшить в 6 раз;
Пусть первоначальное произведение $P$ равно произведению двух множителей $a$ и $b$:
$P = a \cdot b$
После изменений первый множитель станет $\frac{a}{3}$, а второй — $\frac{b}{6}$. Новое произведение $P_1$ будет равно:
$P_1 = \frac{a}{3} \cdot \frac{b}{6}$
$P_1 = \frac{a \cdot b}{3 \cdot 6} = \frac{a \cdot b}{18}$
Так как $a \cdot b = P$, то:
$P_1 = \frac{P}{18}$
Следовательно, произведение уменьшится в 18 раз.
Ответ: уменьшится в 18 раз.

4) частное, если делимое уменьшить в 3 раза, а делитель уменьшить в 6 раз?
Пусть первоначальное частное $Q$ равно частному от деления делимого $a$ на делитель $b$:
$Q = \frac{a}{b}$
После изменений делимое станет $\frac{a}{3}$, а делитель — $\frac{b}{6}$. Новое частное $Q_1$ будет равно:
$Q_1 = \frac{a/3}{b/6}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$Q_1 = \frac{a}{3} \cdot \frac{6}{b} = \frac{6a}{3b} = 2 \cdot \frac{a}{b}$
Так как $\frac{a}{b} = Q$, то:
$Q_1 = 2 \cdot Q$
Следовательно, частное увеличится в 2 раза.
Ответ: увеличится в 2 раза.

216 Как изменятся:

1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 5, а другое увеличить на 4;

2) разность, если уменьшаемое увеличить на 5, а вычитаемое увеличить на 4;

3) произведение, если один множитель уменьшить в 3 раза, а другой – уменьшить в 6 раз;

4) частное, если делимое уменьшить в 3 раза, а делитель уменьшить в 6 раз?

217 Сравни выражения $(d, k \neq 0):$

1) $a + 1.8$ и $a + 1\frac{4}{7};$

2) $2\frac{1}{4} - b$ и $1.4 - b;$

3) $c \cdot 1\frac{3}{5}$ и $1.6c;$

4) $d : \frac{3}{7}$ и $d : \frac{7}{3};$

5) $n - 2.5$ и $n - 2\frac{1}{3};$

6) $1\frac{5}{11} : k$ и $1\frac{7}{13} : k.$

1)

Чтобы сравнить выражения $a + 1,8$ и $a + 1\frac{4}{7}$, достаточно сравнить слагаемые $1,8$ и $1\frac{4}{7}$, так как к ним прибавляется одно и то же число $a$.

Преобразуем десятичную дробь в смешанное число: $1,8 = 1\frac{8}{10} = 1\frac{4}{5}$.

Теперь сравним $1\frac{4}{5}$ и $1\frac{4}{7}$. Так как целые части у чисел равны, сравним их дробные части: $\frac{4}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $5 < 7$, то $\frac{4}{5} > \frac{4}{7}$.

Следовательно, $1,8 > 1\frac{4}{7}$, а значит и $a + 1,8 > a + 1\frac{4}{7}$.

Ответ: $a + 1,8 > a + 1\frac{4}{7}$.

2)

Чтобы сравнить выражения $2\frac{1}{4} - b$ и $1,4 - b$, достаточно сравнить уменьшаемые $2\frac{1}{4}$ и $1,4$, так как из них вычитается одно и то же число $b$.

Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $2\frac{1}{4} = 2,25$.

Сравниваем $2,25$ и $1,4$. Очевидно, что $2,25 > 1,4$.

Так как уменьшаемое в первом выражении больше, то и всё выражение будет больше. Следовательно, $2\frac{1}{4} - b > 1,4 - b$.

Ответ: $2\frac{1}{4} - b > 1,4 - b$.

3)

Чтобы сравнить выражения $c \cdot 1\frac{3}{5}$ и $1,6c$, преобразуем смешанное число $1\frac{3}{5}$ в десятичную дробь.

$1\frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1 + 0,6 = 1,6$.

Таким образом, первое выражение равно $c \cdot 1,6$, что тождественно второму выражению $1,6c$.

Ответ: $c \cdot 1\frac{3}{5} = 1,6c$.

4)

Для сравнения выражений $d : \frac{3}{7}$ и $d : \frac{7}{3}$ заменим деление умножением на обратную дробь:

$d : \frac{3}{7} = d \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3}d$

$d : \frac{7}{3} = d \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}d$

Сравним коэффициенты при $d$. $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$, а $\frac{3}{7} < 1$. Следовательно, $\frac{7}{3} > \frac{3}{7}$.

По условию $d \neq 0$, поэтому результат сравнения зависит от знака $d$:

1. Если $d > 0$, то при умножении на положительное число $d$ знак неравенства не изменится: $\frac{7}{3}d > \frac{3}{7}d$. Значит, $d : \frac{3}{7} > d : \frac{7}{3}$.

2. Если $d < 0$, то при умножении на отрицательное число $d$ знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{7}{3}d < \frac{3}{7}d$. Значит, $d : \frac{3}{7} < d : \frac{7}{3}$.

Ответ: если $d > 0$, то $d : \frac{3}{7} > d : \frac{7}{3}$; если $d < 0$, то $d : \frac{3}{7} < d : \frac{7}{3}$.

5)

Чтобы сравнить выражения $n - 2,5$ и $n - 2\frac{1}{3}$, нужно сравнить вычитаемые $2,5$ и $2\frac{1}{3}$. Из одного и того же числа $n$ вычитаются разные значения. Чем больше вычитаемое, тем меньше будет разность.

Сравним $2,5$ и $2\frac{1}{3}$. Преобразуем $2,5 = 2\frac{1}{2}$.

Сравним дробные части $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведя к общему знаменателю 6, получим $\frac{3}{6}$ и $\frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$, а значит $2,5 > 2\frac{1}{3}$.

Поскольку из числа $n$ в первом случае вычитается большее число, то результат будет меньше. Следовательно, $n - 2,5 < n - 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $n - 2,5 < n - 2\frac{1}{3}$.

6)

Для сравнения выражений $1\frac{5}{11} : k$ и $1\frac{7}{13} : k$ сначала сравним делимые $1\frac{5}{11}$ и $1\frac{7}{13}$.

Целые части чисел равны, поэтому сравним их дробные части: $\frac{5}{11}$ и $\frac{7}{13}$. Приведем их к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$.

$\frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 13}{143} = \frac{65}{143}$

$\frac{7}{13} = \frac{7 \cdot 11}{143} = \frac{77}{143}$

Так как $65 < 77$, то $\frac{65}{143} < \frac{77}{143}$, а значит $1\frac{5}{11} < 1\frac{7}{13}$.

По условию $k \neq 0$, поэтому результат сравнения зависит от знака $k$:

1. Если $k > 0$, то при делении на положительное число $k$ знак неравенства сохранится: $1\frac{5}{11} : k < 1\frac{7}{13} : k$.

2. Если $k < 0$, то при делении на отрицательное число $k$ знак неравенства изменится на противоположный: $1\frac{5}{11} : k > 1\frac{7}{13} : k$.

Ответ: если $k > 0$, то $1\frac{5}{11} : k < 1\frac{7}{13} : k$; если $k < 0$, то $1\frac{5}{11} : k > 1\frac{7}{13} : k$.

217 Сравни выражения ($d, k \neq 0$):

1) $a + 1,8$ и $a + 1\frac{4}{7}$;

2) $2\frac{1}{4} - b$ и $1,4 - b$;

3) $c \cdot 1\frac{3}{5}$ и $1,6c$;

4) $d : \frac{3}{7}$ и $d : \frac{7}{3}$;

5) $n - 2,5$ и $n - 2\frac{1}{3}$;

6) $1\frac{5}{11} : k$ и $1\frac{7}{13} : k$.

218 Найди число, если:

1) четверть его трети составляет $3\frac{2}{3}$;

2) 80 % от его половины равны 0,72;

3) $\frac{7}{12}$ числа на 0,5 меньше $\frac{5}{6}$ этого числа;

4) 120 % от числа в 4 раза больше разности этого числа и 3,5.

1) Обозначим искомое число через $x$.

Треть числа равна $\frac{1}{3}x$.

Четверть от трети числа равна $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}x = \frac{1}{12}x$.

По условию, эта величина составляет $3\frac{2}{3}$.

Составим уравнение: $\frac{1}{12}x = 3\frac{2}{3}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$.

Получаем уравнение: $\frac{1}{12}x = \frac{11}{3}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 12:

$x = \frac{11}{3} \cdot 12 = 11 \cdot 4 = 44$.

Ответ: 44.

2) Обозначим искомое число через $x$.

Половина числа равна $\frac{1}{2}x$ или $0,5x$.

80% от половины числа — это $0,8 \cdot (0,5x)$.

По условию, это равно 0,72.

Составим уравнение: $0,8 \cdot 0,5x = 0,72$.

$0,4x = 0,72$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,4:

$x = \frac{0,72}{0,4} = \frac{7,2}{4} = 1,8$.

Ответ: 1,8.

3) Обозначим искомое число через $x$.

$\frac{7}{12}$ числа — это $\frac{7}{12}x$.

$\frac{5}{6}$ этого числа — это $\frac{5}{6}x$.

По условию, $\frac{7}{12}$ числа на 0,5 меньше, чем $\frac{5}{6}$ этого числа. Это значит, что их разность равна 0,5.

Составим уравнение: $\frac{5}{6}x - \frac{7}{12}x = 0,5$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{10}{12}x - \frac{7}{12}x = 0,5$.

$(\frac{10 - 7}{12})x = 0,5$.

$\frac{3}{12}x = 0,5$.

Сократим дробь: $\frac{1}{4}x = 0,5$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 4:

$x = 0,5 \cdot 4 = 2$.

Ответ: 2.

4) Обозначим искомое число через $x$.

120% от числа — это $1,2x$.

Разность этого числа и 3,5 — это $(x - 3,5)$.

По условию, 120% от числа в 4 раза больше этой разности.

Составим уравнение: $1,2x = 4 \cdot (x - 3,5)$.

Раскроем скобки:

$1,2x = 4x - 14$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$14 = 4x - 1,2x$.

$14 = 2,8x$.

Найдем $x$:

$x = \frac{14}{2,8} = \frac{140}{28} = 5$.

Ответ: 5.

218 Найди число, если:

1) четверть его трети составляет $3 \frac{2}{3}$;

2) $80\%$ от его половины равны $0,72$;

3) $\frac{7}{12}$ числа на $0,5$ меньше $\frac{5}{6}$ этого числа;

4) $120\%$ от числа в $4$ раза больше разности этого числа и $3,5$.

246 Переформулируй предложения, используя глагол «следует». Построй отрицания.

а) Если светит солнце, то вода в реке тёплая.

б) Человек, знающий нотную грамоту, умеет играть на скрипке.

в) Стрелки часов совмещаются в полдень.

г) Любая неправильная дробь больше единицы.

д) Все углы четырёхугольника прямые.

е) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

а) Исходное утверждение «Если светит солнце, то вода в реке тёплая» — это логическое следование. Переформулируем его с использованием глагола «следует»: «Из того, что светит солнце, следует, что вода в реке тёплая».
Отрицание этого утверждения строится добавлением частицы «не» к глаголу «следует»: «Из того, что светит солнце, не следует, что вода в реке тёплая». Это означает, что одно событие не является гарантией другого (солнце может светить, но вода при этом может быть холодной).
Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что светит солнце, следует, что вода в реке тёплая». Отрицание: «Из того, что светит солнце, не следует, что вода в реке тёплая».

б) Утверждение «Человек, знающий нотную грамоту, умеет играть на скрипке» можно представить как условное: «Если человек знает нотную грамоту, то он умеет играть на скрипке».
Переформулируем с глаголом «следует»: «Из того, что человек знает нотную грамоту, следует, что он умеет играть на скрипке».
Отрицание: «Из того, что человек знает нотную грамоту, не следует, что он умеет играть на скрипке». Это означает, что одного знания нот недостаточно, чтобы уметь играть на скрипке.
Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что человек знает нотную грамоту, следует, что он умеет играть на скрипке». Отрицание: «Из того, что человек знает нотную грамоту, не следует, что он умеет играть на скрипке».

в) Утверждение «Стрелки часов совмещаются в полдень» описывает событие, которое является следствием наступления полудня.
Переформулируем его: «Из того, что наступил полдень, следует, что стрелки часов совмещаются».
Отрицание: «Из того, что наступил полдень, не следует, что стрелки часов совмещаются».
Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что наступил полдень, следует, что стрелки часов совмещаются». Отрицание: «Из того, что наступил полдень, не следует, что стрелки часов совмещаются».

г) Утверждение «Любая неправильная дробь больше единицы» относится ко всем объектам определённого класса.
Переформулируем его как логическое следование: «Из того, что дробь неправильная, следует, что она больше единицы».
Отрицание: «Из того, что дробь неправильная, не следует, что она больше единицы». Это утверждение является истинным, так как неправильная дробь может быть равна единице (например, $ \frac{5}{5} = 1 $), а не строго больше неё.
Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что дробь неправильная, следует, что она больше единицы». Отрицание: «Из того, что дробь неправильная, не следует, что она больше единицы».

д) Утверждение «Все углы четырёхугольника прямые» относится к некоторому конкретному четырёхугольнику (который, в таком случае, является прямоугольником).
Переформулируем: «Из того, что фигура является данным четырёхугольником, следует, что все его углы прямые».
Отрицание: «Из того, что фигура является данным четырёхугольником, не следует, что все его углы прямые». Это значит, что у четырёхугольника может быть хотя бы один угол, не являющийся прямым.
Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что фигура является данным четырёхугольником, следует, что все его углы прямые». Отрицание: «Из того, что фигура является данным четырёхугольником, не следует, что все его углы прямые».

е) Исходное предложение «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры» уже имеет условную форму.
Переформулируем его с глаголом «следует»: «Из того, что площади фигур равны, следует, что равны и сами фигуры».
Отрицание: «Из того, что площади фигур равны, не следует, что равны и сами фигуры». Это утверждение истинно, поскольку фигуры разной формы могут иметь одинаковую площадь (например, квадрат и круг).
Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что площади фигур равны, следует, что равны и сами фигуры». Отрицание: «Из того, что площади фигур равны, не следует, что равны и сами фигуры».

K 246 Переформулируй предложения, используя глагол «следует». Построй отрицания:

а) Если светит солнце, то вода в реке теплая.

б) Человек, знающий нотную грамоту, умеет играть на скрипке.

в) Стрелки часов совмещаются в полдень.

г) Любая неправильная дробь больше единицы.

д) Все углы четырехугольника прямые.

е) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

247 Переведи высказывания с математического языка на русский. Найди ложные высказывания и построй их отрицания. Обоснуй свой ответ.

а) $x^2 = y^2 \Rightarrow x = y;$

б) $m^2 = n^2 \Rightarrow m = n (m, n \in N);$

в) $x^2 = y^2 \Rightarrow |x| = |y|;$

г) $|x| = |y| \Rightarrow x = y;$

д) $n > 5 \Rightarrow n \ge 6 (n \in N);$

е) $x > 5 \Rightarrow x \ge 6;$

ж) $m \in N, n \in N \Rightarrow m - n \in N;$

з) $x^2 \in Q \Rightarrow x \in Q.$

а) $x^2 = y^2 \Rightarrow x = y$

Перевод на русский язык: "Если квадрат числа $x$ равен квадрату числа $y$, то число $x$ равно числу $y$."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Ложность этого утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $x = 2$, а $y = -2$. Тогда $x^2 = 2^2 = 4$ и $y^2 = (-2)^2 = 4$. Условие $x^2 = y^2$ выполняется, однако заключение $x = y$ (т.е. $2 = -2$) ложно. Следовательно, все высказывание ложно.
Отрицание строится по правилу отрицания импликации $\neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B$. В данном случае отрицание: $x^2 = y^2 \land x \neq y$. На русском языке: "Квадрат числа $x$ равен квадрату числа $y$, и при этом $x$ не равен $y$."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существуют числа $x$ и $y$ такие, что $x^2=y^2$ и $x \ne y$.

б) $m^2 = n^2 \Rightarrow m = n$ ($m, n \in N$)

Перевод на русский язык: "Если квадрат натурального числа $m$ равен квадрату натурального числа $n$, то число $m$ равно числу $n$."
Это высказывание истинно.
Обоснование: Из равенства $m^2 = n^2$ следует $m^2 - n^2 = 0$, или $(m-n)(m+n) = 0$. Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, они по определению положительны ($m > 0, n > 0$), и их сумма $m+n$ также положительна и не равна нулю. Следовательно, равенство $(m-n)(m+n) = 0$ возможно только если первый множитель равен нулю, то есть $m-n = 0$, откуда следует $m=n$.

Ответ: Высказывание истинно.

в) $x^2 = y^2 \Rightarrow |x| = |y|$

Перевод на русский язык: "Если квадрат числа $x$ равен квадрату числа $y$, то модуль числа $x$ равен модулю числа $y$."
Это высказывание истинно.
Обоснование: По определению, модуль числа $a$ есть арифметический квадратный корень из $a^2$, то есть $|a| = \sqrt{a^2}$. Если $x^2 = y^2$, то, извлекая неотрицательный квадратный корень из обеих частей равенства, получаем $\sqrt{x^2} = \sqrt{y^2}$, что равносильно $|x| = |y|$.

Ответ: Высказывание истинно.

г) $|x| = |y| \Rightarrow x = y$

Перевод на русский язык: "Если модуль числа $x$ равен модулю числа $y$, то число $x$ равно числу $y$."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Ложность этого утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $x = 3$, а $y = -3$. Тогда $|x| = |3| = 3$ и $|y| = |-3| = 3$. Условие $|x| = |y|$ выполняется, но заключение $x=y$ (т.е. $3 = -3$) ложно. Следовательно, все высказывание ложно.
Отрицание: $|x| = |y| \land x \neq y$. На русском языке: "Модуль числа $x$ равен модулю числа $y$, и при этом $x$ не равен $y$."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существуют числа $x$ и $y$ такие, что $|x|=|y|$ и $x \ne y$.

д) $n > 5 \Rightarrow n \ge 6$ ($n \in N$)

Перевод на русский язык: "Если натуральное число $n$ больше 5, то оно не меньше 6 (больше или равно 6)."
Это высказывание истинно.
Обоснование: Множество натуральных чисел является дискретным. Следующее натуральное число после 5 — это 6. Поэтому, если натуральное число $n$ строго больше 5, то оно может быть только 6, 7, 8, и так далее. Каждое из этих чисел удовлетворяет условию $n \ge 6$.

Ответ: Высказывание истинно.

е) $x > 5 \Rightarrow x \ge 6$

Перевод на русский язык: "Если число $x$ больше 5, то оно не меньше 6 (больше или равно 6)."
Это высказывание ложно.
Обоснование: В данном случае, если не указано иное, $x$ считается действительным числом. Между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много других действительных чисел. Например, можно взять $x = 5.5$. Условие $x > 5$ ($5.5 > 5$) выполняется, но заключение $x \ge 6$ ($5.5 \ge 6$) ложно. Следовательно, все высказывание ложно.
Отрицание: $x > 5 \land x < 6$, что можно записать как $5 < x < 6$. На русском языке: "Число $x$ больше 5 и меньше 6."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существует число $x$ такое, что $5 < x < 6$.

ж) $m \in N, n \in N \Rightarrow m - n \in N$

Перевод на русский язык: "Если $m$ и $n$ — натуральные числа, то их разность $m-n$ также является натуральным числом."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Множество натуральных чисел не замкнуто относительно операции вычитания. Ложность утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $m = 3$ и $n = 5$. Оба числа являются натуральными. Их разность $m-n = 3 - 5 = -2$, что не является натуральным числом. Также, если $m=n$, разность равна 0, что также не является натуральным числом.
Отрицание: $m \in N \land n \in N \land m - n \notin N$. На русском языке: "Существуют такие натуральные числа $m$ и $n$, что их разность не является натуральным числом."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существуют натуральные числа $m$ и $n$ такие, что их разность $m-n$ не является натуральным числом.

з) $x^2 \in Q \Rightarrow x \in Q$

Перевод на русский язык: "Если квадрат числа $x$ является рациональным числом, то и само число $x$ является рациональным."
Это высказывание ложно.
Обоснование: Ложность утверждения можно показать на контрпримере. Пусть $x = \sqrt{2}$. Тогда $x^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным ($2 \in Q$), но само число $x = \sqrt{2}$ является иррациональным ($x \notin Q$). Следовательно, высказывание ложно.
Отрицание: $x^2 \in Q \land x \notin Q$. На русском языке: "Существует такое число $x$, квадрат которого рационален, а само число иррационально."

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: Существует число $x$ такое, что его квадрат $x^2$ является рациональным числом, а само число $x$ не является рациональным.

247 Переведи высказывания с математического языка на русский. Найди ложные высказывания и построй их отрицания. Обоснуй свой ответ.

а) $x^2 = y^2 \Rightarrow x = y$;

б) $m^2 = n^2 \Rightarrow m = n (m, n \in N)$;

в) $x^2 = y^2 \Rightarrow |x| = |y|$;

г) $|x| = |y| \Rightarrow x = y$;

д) $n > 5 \Rightarrow n \ge 6 (n \in N)$;

е) $x > 5 \Rightarrow x \ge 6$;

ж) $m \in N, n \in N \Rightarrow m - n \in N$;

з) $x^2 \in Q \Rightarrow x \in Q$.

248 а) Назови тему и рему высказываний. Что общего в высказываниях и чем они отличаются?

1. Квадрат является прямоугольником.

2. Прямоугольник является квадратом.

б) Сформулируй данные высказывания с помощью глагола «следует». Что ты замечаешь?

в) Найди ложное высказывание и построй его отрицание.

а) В первом высказывании «Квадрат является прямоугольником» темой (то, о чём говорится) является «квадрат», а ремой (то, что о нём сообщается) — «является прямоугольником».
Во втором высказывании «Прямоугольник является квадратом» темой является «прямоугольник», а ремой — «является квадратом».
Общее в этих высказываниях то, что они устанавливают связь между одними и теми же геометрическими понятиями (квадрат и прямоугольник) и используют одинаковую структуру предложения.
Отличаются они тем, что тема и рема в них поменялись местами. Это приводит к изменению смысла и истинности высказываний.
Ответ: В первом высказывании тема — «квадрат», рема — «является прямоугольником». Во втором высказывании тема — «прямоугольник», рема — «является квадратом». Общее в них — используемые понятия и структура, а отличаются они тем, что тема и рема поменялись местами.

б) Сформулируем высказывания с помощью глагола «следует»:
1. Из того, что четырёхугольник является квадратом, следует, что он является прямоугольником.
2. Из того, что четырёхугольник является прямоугольником, следует, что он является квадратом.
Можно заметить, что получились два утверждения, которые являются взаимно обратными. Первое утверждение истинно, а второе — ложно. Таким образом, изменение порядка следования (замена темы и ремы) превращает истинное утверждение в ложное.
Ответ: 1. Из того, что фигура — квадрат, следует, что она — прямоугольник. 2. Из того, что фигура — прямоугольник, следует, что она — квадрат. Мы замечаем, что первое высказывание истинно, а второе, обратное ему, — ложно.

в) Ложным является второе высказывание: «Прямоугольник является квадратом».
Это высказывание ложно, потому что не каждый прямоугольник является квадратом. Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Прямоугольник, у которого длина и ширина не равны, не является квадратом.
Отрицание этого высказывания: «Неверно, что прямоугольник является квадратом» или, что то же самое, «Не всякий прямоугольник является квадратом».
Ответ: Ложное высказывание: «Прямоугольник является квадратом». Его отрицание: «Не всякий прямоугольник является квадратом».

248 a) Назови тему и рему высказываний. Что общего в высказываниях и чем они отличаются?

1. Квадрат является прямоугольником.

2. Прямоугольник является квадратом.

б) Сформулируй данные высказывания с помощью глагола «следует». Что ты замечаешь?

в) Найди ложное высказывание и построй его отрицание.

249 Запиши высказывания на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

а) Если первое число меньше второго, а второе – меньше третьего, то первое число меньше третьего. $(A < B \land B < C) \Rightarrow (A < C)$

б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе – на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего. $(A = B - 5 \land B = C - 5) \Rightarrow (A = C - 5)$

в) Если первое число кратно второму, а второе – кратно третьему, то первое число кратно третьему. $(B \mid A \land C \mid B) \Rightarrow (C \mid A)$

г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе – в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего. $(A = 2B \land B = 2C) \Rightarrow (A = 2C)$

Что ты замечаешь?

Обозначим первое число как $a$, второе как $b$, и третье как $c$.

а) Если первое число меньше второго, а второе — меньше третьего, то первое число меньше третьего.

Запись на математическом языке: $(a < b \text{ и } b < c) \Rightarrow a < c$.

Это высказывание является свойством транзитивности для отношения "меньше". Оно всегда истинно для любых чисел $a, b, c$. Например, если $a=2, b=5, c=10$, то $2 < 5$ и $5 < 10$, из чего следует, что $2 < 10$. Таким образом, высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинно.

б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе — на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего.

Запись на математическом языке: $(a = b - 5 \text{ и } b = c - 5) \Rightarrow a = c - 5$.

Это высказывание ложно. Чтобы доказать это, найдем контрпример. Пусть $c = 15$. Тогда из условия $b = c - 5$ следует, что $b = 15 - 5 = 10$. Из условия $a = b - 5$ следует, что $a = 10 - 5 = 5$. Условие $(a = b - 5 \text{ и } b = c - 5)$ выполнено. Проверим заключение $a = c - 5$. Подставив наши значения, получаем $5 = 15 - 5$, то есть $5 = 10$, что является ложью. На самом деле, если $a = b - 5$ и $b = c - 5$, то $a = (c - 5) - 5 = c - 10$. То есть первое число на 10 меньше третьего, а не на 5.

Построение отрицания: Отрицанием импликации $P \Rightarrow Q$ является высказывание $P \text{ и не } Q$. Отрицание: "Существуют такие числа, что первое число на 5 меньше второго, а второе — на 5 меньше третьего, но при этом первое число не является на 5 меньше третьего".

Обоснование истинности отрицания: Отрицание истинно, что и было показано на приведенном выше контрпримере ($a=5, b=10, c=15$), где условие выполняется, а заключение — нет.

Ответ: Высказывание ложно.

в) Если первое число кратно второму, а второе — кратно третьему, то первое число кратно третьему.

Запись на математическом языке: $(a \text{ кратно } b \text{ и } b \text{ кратно } c) \Rightarrow a \text{ кратно } c$.

Это высказывание является свойством транзитивности для отношения кратности (делимости). Оно истинно. Если $a$ кратно $b$, то существует такое целое число $k$, что $a = k \cdot b$. Если $b$ кратно $c$, то существует такое целое число $m$, что $b = m \cdot c$. Тогда мы можем подставить второе выражение в первое: $a = k \cdot (m \cdot c) = (k \cdot m) \cdot c$. Так как произведение целых чисел $k \cdot m$ также является целым числом, то $a$ кратно $c$. Таким образом, высказывание истинно.

Ответ: Высказывание истинно.

г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе — в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего.

Запись на математическом языке: $(a = 2b \text{ и } b = 2c) \Rightarrow a = 2c$.

Это высказывание ложно. Найдем контрпример. Пусть $c = 3$. Тогда из условия $b = 2c$ следует, что $b = 2 \cdot 3 = 6$. Из условия $a = 2b$ следует, что $a = 2 \cdot 6 = 12$. Условие $(a = 2b \text{ и } b = 2c)$ выполнено. Проверим заключение $a = 2c$. Подставив наши значения, получаем $12 = 2 \cdot 3$, то есть $12 = 6$, что является ложью. На самом деле, если $a = 2b$ и $b = 2c$, то $a = 2 \cdot (2c) = 4c$. То есть первое число в 4 раза больше третьего, а не в 2 раза.

Построение отрицания: "Существуют такие числа, что первое число в 2 раза больше второго, а второе — в 2 раза больше третьего, но при этом первое число не является в 2 раза больше третьего".

Обоснование истинности отрицания: Отрицание истинно, что и было показано на приведенном выше контрпримере ($a=12, b=6, c=3$), где условие выполняется, а заключение — нет.

Ответ: Высказывание ложно.

Что ты замечаешь?

Все высказывания имеют общую логическую структуру "Если (a R b) и (b R c), то (a R c)", где R — некоторое отношение между числами. Эта структура описывает свойство транзитивности отношения R.

Можно заметить, что:

• Высказывания (а) и (в) истинны. Это означает, что отношения "меньше" и "кратно" являются транзитивными.
• Высказывания (б) и (г) ложны. Это означает, что отношения "быть на 5 меньше" и "быть в 2 раза больше" не являются транзитивными. В случае (б) разница суммируется ($a=c-10$), а в случае (г) множитель перемножается ($a=4c$).

249 Запиши высказывания на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$.

Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

а) Если первое число меньше второго, а второе — меньше третьего, то первое число меньше третьего.

$(a < b \text{ и } b < c) \Rightarrow a < c$

б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе — на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего.

$(a = b - 5 \text{ и } b = c - 5) \Rightarrow a = c - 5$

в) Если первое число кратно второму, а второе — кратно третьему, то первое число кратно третьему.

$(b|a \text{ и } c|b) \Rightarrow c|a$

г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе — в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего.

$(a = 2b \text{ и } b = 2c) \Rightarrow a = 2c$

Что ты замечаешь?

D 250 Запиши в общем виде правила деления суммы, разности и произведения на число. Пользуясь этими правилами, вычисли устно:

а) $(15 \cdot 86) : 43;$

б) $(9494 \cdot 5) : 94;$

в) $6986 : 7 + 14 : 7;$

г) $5564 : 52 - 364 : 52;$

д) $(15 \cdot 19 + 38) : 19;$

е) $(3500 - 48 \cdot 70) : 35.$

Правила деления в общем виде:

• Деление суммы на число: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
  Формула: $(a + b) : c = a : c + b : c$
• Деление разности на число: чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого результата вычесть второй.
  Формула: $(a - b) : c = a : c - b : c$
• Деление произведения на число: чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель.
  Формула: $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = a \cdot (b : c)$

а) $(15 \cdot 86) : 43$
Применим правило деления произведения на число. Удобнее разделить множитель 86 на 43.
$(15 \cdot 86) : 43 = 15 \cdot (86 : 43) = 15 \cdot 2 = 30$
Ответ: 30

б) $(9494 \cdot 5) : 94$
Применим правило деления произведения на число. Удобнее разделить множитель 9494 на 94.
$(9494 \cdot 5) : 94 = (9494 : 94) \cdot 5 = 101 \cdot 5 = 505$
Ответ: 505

в) $6986 : 7 + 14 : 7$
Используем правило деления суммы на число в обратном порядке: $a:c + b:c = (a+b):c$.
$6986 : 7 + 14 : 7 = (6986 + 14) : 7 = 7000 : 7 = 1000$
Ответ: 1000

г) $5564 : 52 - 364 : 52$
Используем правило деления разности на число в обратном порядке: $a:c - b:c = (a-b):c$.
$5564 : 52 - 364 : 52 = (5564 - 364) : 52 = 5200 : 52 = 100$
Ответ: 100

д) $(15 \cdot 19 + 38) : 19$
Применим правило деления суммы на число. Разделим каждое слагаемое в скобках на 19.
$(15 \cdot 19 + 38) : 19 = (15 \cdot 19) : 19 + 38 : 19 = 15 + 2 = 17$
Ответ: 17

е) $(3500 - 48 \cdot 70) : 35$
Применим правило деления разности на число. Разделим уменьшаемое и вычитаемое на 35.
$(3500 - 48 \cdot 70) : 35 = 3500 : 35 - (48 \cdot 70) : 35 = 100 - 48 \cdot (70 : 35) = 100 - 48 \cdot 2 = 100 - 96 = 4$
Ответ: 4

Π 250 Запиши в общем виде правила деления суммы, разности и произведения на число. Пользуясь этими правилами, вычисли устно:

а) $(15 \cdot 86) : 43;$

б) $(9494 \cdot 5) : 94;$

в) $6986 : 7 + 14 : 7;$

г) $5564 : 52 - 364 : 52;$

д) $(15 \cdot 19 + 38) : 19;$

е) $(3500 - 48 \cdot 70) : 35.$