Номер 217, страница 55, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 4. Решение задач с помощью пропорций - номер 217, страница 55.

Условие 2023.

217 Сравни выражения $(d, k \neq 0):$

1) $a + 1.8$ и $a + 1\frac{4}{7};$

2) $2\frac{1}{4} - b$ и $1.4 - b;$

3) $c \cdot 1\frac{3}{5}$ и $1.6c;$

4) $d : \frac{3}{7}$ и $d : \frac{7}{3};$

5) $n - 2.5$ и $n - 2\frac{1}{3};$

6) $1\frac{5}{11} : k$ и $1\frac{7}{13} : k.$

Решение 2 (2023).

1)

Чтобы сравнить выражения $a + 1,8$ и $a + 1\frac{4}{7}$, достаточно сравнить слагаемые $1,8$ и $1\frac{4}{7}$, так как к ним прибавляется одно и то же число $a$.

Преобразуем десятичную дробь в смешанное число: $1,8 = 1\frac{8}{10} = 1\frac{4}{5}$.

Теперь сравним $1\frac{4}{5}$ и $1\frac{4}{7}$. Так как целые части у чисел равны, сравним их дробные части: $\frac{4}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $5 < 7$, то $\frac{4}{5} > \frac{4}{7}$.

Следовательно, $1,8 > 1\frac{4}{7}$, а значит и $a + 1,8 > a + 1\frac{4}{7}$.

Ответ: $a + 1,8 > a + 1\frac{4}{7}$.

2)

Чтобы сравнить выражения $2\frac{1}{4} - b$ и $1,4 - b$, достаточно сравнить уменьшаемые $2\frac{1}{4}$ и $1,4$, так как из них вычитается одно и то же число $b$.

Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $2\frac{1}{4} = 2,25$.

Сравниваем $2,25$ и $1,4$. Очевидно, что $2,25 > 1,4$.

Так как уменьшаемое в первом выражении больше, то и всё выражение будет больше. Следовательно, $2\frac{1}{4} - b > 1,4 - b$.

Ответ: $2\frac{1}{4} - b > 1,4 - b$.

3)

Чтобы сравнить выражения $c \cdot 1\frac{3}{5}$ и $1,6c$, преобразуем смешанное число $1\frac{3}{5}$ в десятичную дробь.

$1\frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1 + 0,6 = 1,6$.

Таким образом, первое выражение равно $c \cdot 1,6$, что тождественно второму выражению $1,6c$.

Ответ: $c \cdot 1\frac{3}{5} = 1,6c$.

4)

Для сравнения выражений $d : \frac{3}{7}$ и $d : \frac{7}{3}$ заменим деление умножением на обратную дробь:

$d : \frac{3}{7} = d \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3}d$

$d : \frac{7}{3} = d \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}d$

Сравним коэффициенты при $d$. $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$, а $\frac{3}{7} < 1$. Следовательно, $\frac{7}{3} > \frac{3}{7}$.

По условию $d \neq 0$, поэтому результат сравнения зависит от знака $d$:

1. Если $d > 0$, то при умножении на положительное число $d$ знак неравенства не изменится: $\frac{7}{3}d > \frac{3}{7}d$. Значит, $d : \frac{3}{7} > d : \frac{7}{3}$.

2. Если $d < 0$, то при умножении на отрицательное число $d$ знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{7}{3}d < \frac{3}{7}d$. Значит, $d : \frac{3}{7} < d : \frac{7}{3}$.

Ответ: если $d > 0$, то $d : \frac{3}{7} > d : \frac{7}{3}$; если $d < 0$, то $d : \frac{3}{7} < d : \frac{7}{3}$.

5)

Чтобы сравнить выражения $n - 2,5$ и $n - 2\frac{1}{3}$, нужно сравнить вычитаемые $2,5$ и $2\frac{1}{3}$. Из одного и того же числа $n$ вычитаются разные значения. Чем больше вычитаемое, тем меньше будет разность.

Сравним $2,5$ и $2\frac{1}{3}$. Преобразуем $2,5 = 2\frac{1}{2}$.

Сравним дробные части $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведя к общему знаменателю 6, получим $\frac{3}{6}$ и $\frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$, а значит $2,5 > 2\frac{1}{3}$.

Поскольку из числа $n$ в первом случае вычитается большее число, то результат будет меньше. Следовательно, $n - 2,5 < n - 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $n - 2,5 < n - 2\frac{1}{3}$.

6)

Для сравнения выражений $1\frac{5}{11} : k$ и $1\frac{7}{13} : k$ сначала сравним делимые $1\frac{5}{11}$ и $1\frac{7}{13}$.

Целые части чисел равны, поэтому сравним их дробные части: $\frac{5}{11}$ и $\frac{7}{13}$. Приведем их к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$.

$\frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 13}{143} = \frac{65}{143}$

$\frac{7}{13} = \frac{7 \cdot 11}{143} = \frac{77}{143}$

Так как $65 < 77$, то $\frac{65}{143} < \frac{77}{143}$, а значит $1\frac{5}{11} < 1\frac{7}{13}$.

По условию $k \neq 0$, поэтому результат сравнения зависит от знака $k$:

1. Если $k > 0$, то при делении на положительное число $k$ знак неравенства сохранится: $1\frac{5}{11} : k < 1\frac{7}{13} : k$.

2. Если $k < 0$, то при делении на отрицательное число $k$ знак неравенства изменится на противоположный: $1\frac{5}{11} : k > 1\frac{7}{13} : k$.

Ответ: если $k > 0$, то $1\frac{5}{11} : k < 1\frac{7}{13} : k$; если $k < 0$, то $1\frac{5}{11} : k > 1\frac{7}{13} : k$.

Условие 2010-2022.

217 Сравни выражения ($d, k \neq 0$):

1) $a + 1,8$ и $a + 1\frac{4}{7}$;

2) $2\frac{1}{4} - b$ и $1,4 - b$;

3) $c \cdot 1\frac{3}{5}$ и $1,6c$;

4) $d : \frac{3}{7}$ и $d : \frac{7}{3}$;

5) $n - 2,5$ и $n - 2\frac{1}{3}$;

6) $1\frac{5}{11} : k$ и $1\frac{7}{13} : k$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).