Номер 219, страница 56, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Решение задач с помощью пропорций. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 219, страница 56.

Условие 2023.

219 1) Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби $\frac{2}{7}$, чтобы получить дробь, равную 0,5?

2) Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби $\frac{17}{22}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{2}{3}$?

3) Знаменатель дроби на 8 больше числителя. Если к числителю дроби прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, то получится дробь, равная 0,4. Чему равен знаменатель данной дроби?

4) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится дробь, равная 0,125. Чему равен числитель данной дроби?

Решение 2 (2023).

1) Пусть $x$ – искомое число. Согласно условию, если прибавить это число к числителю и знаменателю дроби $\frac{2}{7}$, то получится дробь, равная 0,5. Составим уравнение:
$\frac{2+x}{7+x} = 0,5$
Представим 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
$\frac{2+x}{7+x} = \frac{1}{2}$
Воспользуемся свойством пропорции (крест-накрест):
$2(2+x) = 1(7+x)$
$4 + 2x = 7 + x$
$2x - x = 7 - 4$
$x = 3$
Проверка: $\frac{2+3}{7+3} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 3.

2) Пусть $x$ – искомое число, которое нужно вычесть. Если вычесть это число из числителя и знаменателя дроби $\frac{17}{22}$, то получится дробь, равная $\frac{2}{3}$. Составим уравнение:
$\frac{17-x}{22-x} = \frac{2}{3}$
Решим уравнение, используя свойство пропорции:
$3(17-x) = 2(22-x)$
$51 - 3x = 44 - 2x$
$51 - 44 = 3x - 2x$
$x = 7$
Проверка: $\frac{17-7}{22-7} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
Ответ: 7.

3) Пусть числитель исходной дроби равен $x$. По условию, знаменатель на 8 больше, следовательно, он равен $x+8$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+8}$.
Если к числителю прибавить 1, новый числитель будет $x+1$.
Если из знаменателя вычесть 1, новый знаменатель будет $(x+8)-1 = x+7$.
Получившаяся дробь $\frac{x+1}{x+7}$ равна 0,4. Представим 0,4 в виде дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x+1}{x+7} = \frac{2}{5}$
$5(x+1) = 2(x+7)$
$5x + 5 = 2x + 14$
$5x - 2x = 14 - 5$
$3x = 9$
$x = 3$
Числитель исходной дроби равен 3. Нас просят найти знаменатель данной (исходной) дроби. Он равен $x+8 = 3+8 = 11$.
Ответ: 11.

4) Пусть числитель исходной дроби равен $x$. По условию, знаменатель на 1 меньше, следовательно, он равен $x-1$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x-1}$.
Если из числителя вычесть 4, новый числитель будет $x-4$.
Если знаменатель умножить на 4, новый знаменатель будет $4(x-1) = 4x-4$.
Получившаяся дробь $\frac{x-4}{4x-4}$ равна 0,125. Представим 0,125 в виде дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x-4}{4x-4} = \frac{1}{8}$
$8(x-4) = 1(4x-4)$
$8x - 32 = 4x - 4$
$8x - 4x = 32 - 4$
$4x = 28$
$x = 7$
Вопрос задачи — чему равен числитель данной дроби. Мы обозначили его за $x$.
Ответ: 7.

Условие 2010-2022.

219 1) Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби $ \frac{2}{7} $, чтобы получить дробь, равную 0,5?

2) Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби $ \frac{17}{22} $, чтобы получить дробь, равную $ \frac{2}{3} $?

3) Знаменатель дроби на 8 больше числителя. Если к числителю дроби прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, то получится дробь, равная 0,4. Чему равен знаменатель данной дроби?

4) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится дробь, равная 0,125. Чему равен числитель данной дроби?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).