Номер 215, страница 55, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 4. Решение задач с помощью пропорций - номер 215, страница 55.

Условие 2023.

215 Вычислили и запиши следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности.

1) $1,2 \cdot 0,5$

$0,024 : 0,08$

$3,1 - 2,95$

$0,005 + 0,07$

2) $1 \frac{7}{9} : 1 \frac{5}{7}$

$6 - 2 \frac{8}{9}$

$3,5 + 5 \frac{5}{6}$

$11 \frac{2}{3} \cdot 2,4$

3) $1600 \cdot 0,00075$

$10,556 : 5,2$

$5 - 1,996$

$2,647 + 1,3535$

4) $4 \frac{1}{12} - 2,75$

$16 : 6 \frac{2}{3}$

$1 \frac{13}{14} + 1,5$

$1 \frac{1}{9} \cdot 4$

Решение 2 (2023).

Для решения задачи необходимо сначала вычислить результаты всех выражений в каждом из четырех столбцов, а затем определить закономерность в полученных рядах чисел и найти следующий член последовательности для каждого столбца.

1)

Сначала вычислим значения для каждого выражения в первом столбце:

$1,2 \cdot 0,5 = 0,6$

$0,024 : 0,08 = 0,3$

$3,1 - 2,95 = 0,15$

$0,005 + 0,07 = 0,075$

Получаем ряд ответов: $0,6;\ 0,3;\ 0,15;\ 0,075$.

Найдем закономерность в этом ряду. Каждый следующий член ряда получается делением предыдущего на 2:

$0,6 : 2 = 0,3$

$0,3 : 2 = 0,15$

$0,15 : 2 = 0,075$

Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Чтобы найти следующее число в ряду, нужно последний член разделить на 2:

$0,075 : 2 = 0,0375$

Ответ: $0,0375$

2)

Вычислим значения для каждого выражения во втором столбце:

$1\frac{7}{9} : 1\frac{5}{7} = \frac{16}{9} : \frac{12}{7} = \frac{16}{9} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 3} = \frac{28}{27} = 1\frac{1}{27}$

$6 - 2\frac{8}{9} = 5\frac{9}{9} - 2\frac{8}{9} = 3\frac{1}{9}$

$3,5 + 5\frac{5}{6} = 3\frac{1}{2} + 5\frac{5}{6} = 3\frac{3}{6} + 5\frac{5}{6} = 8\frac{8}{6} = 9\frac{2}{6} = 9\frac{1}{3}$

$11\frac{2}{3} \cdot 2,4 = \frac{35}{3} \cdot \frac{24}{10} = \frac{35}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 12}{3} = 7 \cdot 4 = 28$

Получаем ряд ответов: $1\frac{1}{27};\ 3\frac{1}{9};\ 9\frac{1}{3};\ 28$.

Представим числа в виде неправильных дробей: $\frac{28}{27};\ \frac{28}{9};\ \frac{28}{3};\ \frac{28}{1}$.

Закономерность заключается в том, что каждый следующий член ряда в 3 раза больше предыдущего:

$\frac{28}{27} \cdot 3 = \frac{28}{9}$

$\frac{28}{9} \cdot 3 = \frac{28}{3}$

$\frac{28}{3} \cdot 3 = 28$

Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$. Следующее число в ряду будет:

$28 \cdot 3 = 84$

Ответ: $84$

3)

Вычислим значения для каждого выражения в третьем столбце:

$1600 \cdot 0,00075 = 1,2$

$10,556 : 5,2 = 2,03$

$5 - 1,996 = 3,004$

$2,647 + 1,3535 = 4,0005$

Получаем ряд ответов: $1,2;\ 2,03;\ 3,004;\ 4,0005$.

Проанализируем закономерность. Целая часть каждого следующего числа увеличивается на 1. Дробная часть также меняется по определенному правилу.

1-й член: $1,2 = 1 + \frac{2}{10^1}$

2-й член: $2,03 = 2 + \frac{3}{10^2}$

3-й член: $3,004 = 3 + \frac{4}{10^3}$

4-й член: $4,0005 = 4 + \frac{5}{10^4}$

Можно заметить, что n-й член последовательности $a_n$ можно описать формулой $a_n = n + \frac{n+1}{10^n}$.

Чтобы найти пятое число в ряду (при $n=5$), подставим 5 в формулу:

$a_5 = 5 + \frac{5+1}{10^5} = 5 + \frac{6}{100000} = 5 + 0,00006 = 5,00006$

Ответ: $5,00006$

4)

Вычислим значения для каждого выражения в четвертом столбце:

$4\frac{1}{12} - 2,75 = 4\frac{1}{12} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{1}{12} - 2\frac{9}{12} = 3\frac{13}{12} - 2\frac{9}{12} = 1\frac{4}{12} = 1\frac{1}{3}$

$16 : 6\frac{2}{3} = 16 : \frac{20}{3} = 16 \cdot \frac{3}{20} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$

$1\frac{13}{14} + 1,5 = 1\frac{13}{14} + 1\frac{1}{2} = 1\frac{13}{14} + 1\frac{7}{14} = 2\frac{20}{14} = 3\frac{6}{14} = 3\frac{3}{7}$

$1\frac{1}{9} \cdot 4 = \frac{10}{9} \cdot 4 = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$

Получаем ряд ответов: $1\frac{1}{3};\ 2\frac{2}{5};\ 3\frac{3}{7};\ 4\frac{4}{9}$.

Найдем закономерность. Целая часть n-го члена равна $n$. Числитель дробной части также равен $n$. Знаменатель дробной части равен $2n+1$.

1-й член: $1\frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = 1\frac{1}{3}$

2-й член: $2\frac{2}{2 \cdot 2 + 1} = 2\frac{2}{5}$

3-й член: $3\frac{3}{2 \cdot 3 + 1} = 3\frac{3}{7}$

4-й член: $4\frac{4}{2 \cdot 4 + 1} = 4\frac{4}{9}$

Формула n-го члена: $a_n = n\frac{n}{2n+1}$.

Найдем следующий, пятый член последовательности (при $n=5$):

$a_5 = 5\frac{5}{2 \cdot 5 + 1} = 5\frac{5}{10+1} = 5\frac{5}{11}$

Ответ: $5\frac{5}{11}$

Условие 2010-2022.

215 Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности:

1) $1,2 \cdot 0,5$
$0,024 : 0,08$
$3,1 - 2,95$
$0,005 + 0,07$

2) $1\frac{7}{9} : 1\frac{5}{7}$
$6 - 2\frac{8}{9}$
$3,5 + 5\frac{5}{6}$
$11\frac{2}{3} \cdot 2,4$

3) $1600 \cdot 0,00075$
$10,556 : 5,2$
$5 - 1,996$
$2,647 + 1,3535$

4) $4\frac{1}{12} - 2,75$
$16 : 6\frac{2}{3}$
$1\frac{13}{14} + 1,5$
$1\frac{1}{9} \cdot 4$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).