Номер 193, страница 49, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 3. Графики прямой и обратной пропорциональности - номер 193, страница 49.

Условие 2023.

193. Докажи высказывания, если $b \ne 0, d \ne 0, b \ne d$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a + 2b}{b} = \frac{c + 2d}{d};$

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a - c}{b - d} = \frac{c}{d}.$

Решение 2 (2023).

1)

Для доказательства эквивалентности $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+2b}{b} = \frac{c+2d}{d}$ выполним равносильные преобразования одного из выражений, чтобы получить второе.

Рассмотрим выражение $\frac{a+2b}{b} = \frac{c+2d}{d}$.
Разделим почленно числители на знаменатели в обеих частях равенства:

$\frac{a}{b} + \frac{2b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{2d}{d}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{a}{b} + 2 = \frac{c}{d} + 2$

Вычтем 2 из обеих частей равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Поскольку все выполненные преобразования (почленное деление, сокращение, вычитание одного и того же числа) являются равносильными, то есть обратимыми, мы доказали, что равенство $\frac{a+2b}{b} = \frac{c+2d}{d}$ эквивалентно равенству $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Ответ: Высказывание доказано.

2)

Для доказательства эквивалентности $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$ также воспользуемся методом равносильных преобразований.

Рассмотрим равенство $\frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$.
По условию $d \ne 0$ и $b \ne d$, следовательно $b-d \ne 0$. Значит, мы можем применить основное свойство пропорции (умножение крест-накрест):

$d(a-c) = c(b-d)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$ad - cd = bc - cd$

Прибавим к обеим частям $cd$:

$ad = bc$

По условию $b \ne 0$ и $d \ne 0$, поэтому мы можем разделить обе части равенства на произведение $bd$:

$\frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd}$

Сократим дроби:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Все шаги преобразования являются равносильными. Это означает, что из равенства $\frac{a-c}{b-d} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, и наоборот. Таким образом, эквивалентность доказана.

Ответ: Высказывание доказано.

Условие 2010-2022.

193 Докажи высказывания, если $b \ne 0, d \ne 0, b \ne d$:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a + 2b}{b} = \frac{c + 2d}{d};$

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a - c}{b - d} = \frac{c}{d}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).