Номер 198, страница 52, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Решение задач с помощью пропорций. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 198, страница 52.

Условие 2023.

198 Объясни, почему величины в задачах обратно пропорциональны, и реши их способом пропорций.

1) Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 4 ч 30 мин. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти обратный путь за 4 ч?

2) С конвейера сходит 180 деталей в минуту, с такой скоростью работы заказ для подрядчика можно выполнить за 8 ч. Сколько времени потребуется на такой же заказ, если после усовершенствования технологии конвейер будет выпускать 200 деталей в минуту?

3) В магазин привезли одинаковое количество яблок и груш. Яблоки разложены в 25 ящиков по 18 кг в каждом, а груши – в 30 ящиков поровну. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

4) Маленькое колесо повозки, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной окружности 3 м?

Решение 2 (2023).

1)

Величины в этой задаче — скорость автомобиля и время в пути — обратно пропорциональны, потому что расстояние между городами является постоянной величиной. Формула расстояния: $S = v \cdot t$. Если расстояние $S$ не меняется, то при увеличении скорости $v$ время в пути $t$ должно уменьшаться, и наоборот, чтобы их произведение оставалось постоянным.

Сначала переведем время в часы для удобства расчетов. 4 ч 30 мин = 4,5 часа.

Пусть $x$ — искомая скорость. Составим пропорцию. Так как зависимость обратная, отношение скоростей будет равно обратному отношению времени:

$ \frac{80}{x} = \frac{4}{4.5} $

Решим уравнение, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{80 \cdot 4.5}{4} = 20 \cdot 4.5 = 90 $ (км/ч)

Ответ: 90 км/ч.

2)

Величины в этой задаче — производительность конвейера (деталей в минуту) и время выполнения заказа — обратно пропорциональны. Общее количество деталей в заказе — это постоянная величина. Если производительность (скорость работы) увеличивается, то время, необходимое для выполнения того же объема работы, уменьшается.

Сначала переведем время выполнения заказа в минуты, так как производительность дана в деталях в минуту. 8 часов = $8 \cdot 60 = 480$ минут.

Пусть $x$ — новое время для выполнения заказа в минутах. Составим обратную пропорцию:

$ \frac{180}{200} = \frac{x}{480} $

Решим уравнение:

$ x = \frac{180 \cdot 480}{200} = \frac{18 \cdot 480}{20} = 18 \cdot 24 = 432 $ (минуты)

Теперь переведем 432 минуты обратно в часы и минуты: $432 \div 60 = 7$ (остаток 12). Это 7 часов и 12 минут.

Ответ: 7 ч 12 мин.

3)

Величины в задаче — количество ящиков и масса фруктов в одном ящике — обратно пропорциональны, потому что общая масса яблок и общая масса груш одинаковы (постоянная величина). Если увеличить количество ящиков для упаковки того же веса товара, то вес товара в каждом ящике придется уменьшить.

Пусть $x$ — масса груш в одном ящике. Составим обратную пропорцию, где отношение количества ящиков равно обратному отношению масс в одном ящике:

$ \frac{25}{30} = \frac{x}{18} $

Решим уравнение:

$ x = \frac{25 \cdot 18}{30} = \frac{5 \cdot 18}{6} = 5 \cdot 3 = 15 $ (кг)

Ответ: 15 кг.

4)

Величины — длина окружности колеса и количество оборотов, которое оно делает на определенном расстоянии, — обратно пропорциональны. Пройденное расстояние является постоянной величиной. Чтобы проехать одно и то же расстояние, колесу с большей длиной окружности потребуется сделать меньше оборотов, чем колесу с меньшей длиной окружности.

Пусть $x$ — количество оборотов большого колеса. Составим обратную пропорцию:

$ \frac{2.4}{3} = \frac{x}{1250} $

Решим уравнение:

$ x = \frac{2.4 \cdot 1250}{3} = 0.8 \cdot 1250 = 1000 $ (оборотов)

Ответ: 1000 оборотов.

Условие 2010-2022.

198 Объясни, почему величины в задачах обратно пропорциональны, и реши их способом пропорций.

1) Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 4 ч 30 мин. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти обратный путь за 4 ч?

2) Машинистка печатает со скоростью 180 знаков в минуту. Она может набрать некоторую рукопись за 8 ч. За сколько времени наберет ее машинистка, печатающая со скоростью 200 знаков в минуту?

3) В магазин привезли одинаковое количество яблок и груш. Яблоки разложены в 25 ящиков по 18 кг в каждом, а груши – в 30 ящиков поровну. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

4) Маленькое колесо повозки, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной окружности 3 м?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).